排队论

11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。

顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。

服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。

服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。

11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。

表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。

表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。

在许多实际(Poisson流,或指数分布。

顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。

顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。

比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。

一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。

以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。

但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。

第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。

另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。

5。

2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。

如图5。

5所示。

图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。

与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。

1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。

其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。

3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。

2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。

由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。

1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。

退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望随机服务系统理论与展望退出前一页后一页。

授 课 内 容 备注、更新第6章 排队论（1）排队是指因车辆数量超过服务设施的容量，致使车辆得不到及时服务而等候的现象。

（2）排队论则是研究排队现象及其规律性的理论。

（3）在交通工程中，排队论被广泛用于车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、收费亭、加油站等交通设施设计与管理等方面的研究中。

6.1 概述6.1.1排队系统基本组成1. 输入过程（1）定义：输入过程是指各种类型接受服务的车辆(或行人等)按怎样的规律到达（2）种类：①定长输入：车辆均匀到达，车头时距相同；②泊松输入：车辆到达符合泊松分布，车头时距服从负指数分布；③爱尔朗输入：车辆到达车头时距符合爱尔朗分布。

2. 排队规则（1）定义：排队规则是指到来的车辆按怎样的次序接受服务。

（2）分类：①等待制：车辆到达时，如若所有服务台均被占用，则该车辆便排队等候服务，称为等待制。

②损失制：车辆到达时，如若所有服务台均被占用，则该车辆不排队等候，称为损失制；③ 混合制：如果车辆到达时，若队长小于L，就加入排队队伍；若队长大于等于L，车辆就离去。

3.输出方式（1）定义：是指同一时刻有多少服务台可接纳车辆，每一车辆服务了多少时间。

（2）分类：①定长分布：每一车辆的服务时间都相等；②负指数分布：每一车辆的服务时间相互独立，且都服从相同的负指数分授 课 内 容备注、更新布；③ 爱尔朗分布：每一车辆的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。

6.1.2 排队系统的主要特征指标① 服务率：它为单位时间内被服务的车辆均值。

② 交通强度：单位时间内被服务的车辆数与请求服务的车辆数之比。

③ 系统排队长度：可分为系统内的平均车辆数（Ls ）和排队等待服务平均车辆数（Lq ）。

常用于描述排队系统的服务水平。

④ 等待时间：从车辆到达时起到他开始接受服务时止这段时间。

⑤ 车辆在系统内的时间：等于车辆排队等待时间与接受服务时间之和。

6.1.3排队系统的分类记号（1）肯达尔（Kendall ）于1953年提出了排队系统的分类记号：输入分布/输出分布/并联的服务站数。

运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。

排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。

本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。

什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。

排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。

•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。

排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。

常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。

到达过程的特征决定了顾客到达的规律。

服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。

常用的服务过程有指数分布、正态分布等。

服务过程的特征决定了服务的速度和效率。

排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。

常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。

这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。

性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。

排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。

M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。

排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。

排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。

M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。

M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。

排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。

在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。

排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。

这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。

实用排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。

它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。

现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。

一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。

包括①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。

②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。

③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k 阶Erlang 分布。

（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。

常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。

当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。

在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。

当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。

顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。

当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。

如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。

(3)服务机构服务机构主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布。

常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。

二、排队系统的数量指标(1)队长与等待队长队长（通常记为s L ）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。

等待队长（通常记为q L ）指系统中处于等待的顾客的数量。

显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。

(2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为s W ）和平均等待时间（通常记为q W ）。

顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。

顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。