函数模型及其应用教案_00002

增长型函数模型及其应用复习教学目标：1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上，学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题；2、使学生学会正确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决，提高学生数学建模、解模的能力．复习教学重点：提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力，采用研究、尝试、训练的方法解决． 复习教学难点：根据已知条件建立函数关系式，把实际问题抽象、转化为数学问题，即建立数学模型． 复习教学设计：一、基础梳理1、几种常见的函数模型(1) 一次函数模型：()()0f x ax b a b a =+≠、为常数，；(2) 二次函数模型：()()20f x ax bx c a b c a =++≠、、为常数，；(3) 指数函数模型：()()010x f x b a c a b c a a b =⋅+>≠≠、、为常数，且，；(4) 对数函数模型：()()log 010a f x b x c a b c a a b =+>≠≠、、为常数，且，；(5) 幂函数模型：()()0n f x ax b a b a =+≠、为常数，．(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，把握数学本质，选择数学模型；(2) 建模：由题设中的数量关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3) 解模：运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题；(4) 还原：回到题目本身，检验求解结果的实际意义，得出结论．二、小试身手1、(巩固对不同函数增长速度的理解)下列命题不正确的是 ( C )(A) 函数()2f x x =在()0+∞，　是增函数；(B) 函数()2x f x =在()0+∞，　是增函数； (C) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立； (D) ()00+x ∃∈∞，　，当0x x >时，22x x >恒成立． 2、(指数型函数的应用) 某林场计划第一年造林1万亩，以后每年比前一年多造林20%，则三年后一共造林 ( D )(A) 1.4万亩； (B) 1.44万亩； (C) 3.6万亩； (D) 3.64万亩．三、热点考向探究热点1、一次函数、二次函数模型例1、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润分别是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有以下公式：5x P =，Q =今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？ 解：设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资()3x -万元，总利润为y 万元，根据题意得：)035x y x =+≤≤，令t =，则230x t t --≤≤，　， ∴ ()2213132130555220y t t t t ⎛⎫⎡=-+=--+∈ ⎪⎣⎝⎭，， 当32t =时，max 1.05y =，此时，0.753 2.25x x =-=，　， 答：为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润是1.05万元．方法小结：利用一次函数、二次函数的单调性求最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围，对于比较复杂的形式可用换元等方法进行化简．热点二：指数函数与对数函数模型例2、某工厂一、二、三月份的某产品产量分别为1万件、1. 2万件、1. 3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y (万件)与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数或(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)，已知四月份的产量为1. 36万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：若用二次函数模拟，设()20y ax bx c a =++≠，根据题意得：142 1.293 1.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得：177202010a b c =-==，，，∴ 2177202010y x x =-++，当4x =时， 1.3y =，与四月份实际产量误差0.06万件； 若用(c b a c ab y x 、、+=为常数，0a ≠)模拟，根据题意得：2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解方程组得：417525a b c =-==，，， ∴ 417525xy ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，当4x =时， 1.35y =，与四月份实际产量误差0.01万件； 故：用(c b a c ab y x 、、+=为常数)作为模拟函数较好，417525x y ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭． 方法小结：在日常生活中，增长问题常用指数函数模型和幂函数模型进行模拟，有时也可以选用对数函数模型模拟，需和实际情况进行对比，看用哪种模型更为合理．变式练习：根据统计数据发现，从2000年开始，某地区的森林面积y (万亩)与经过的年数x 的关系可用一个对数函数模型()lg 0y a x b a =+≠进行模拟，已知2002年该地区森林面积为3.6万亩，2005年该地区森林面积为4.4万亩，请据此估计该地区2020年的森林面积．(参考数据：lg 20.30≈)解：由题意得：lg 2 3.6lg 5 4.4a b a b ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩，解方程组得：23a b ==，， ∴ 2lg 3y x =+，当20x =时，()2lg 20321lg 23 5.6y =+=++≈，答：估计该地区2020年的森林面积约为5.6万亩．四、课堂教学小结：解答应用题的要求：认真审题，合理建模，仔细运算，检查作答．常见的增长类函数模型：一次、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型． 常用的数学方法：待定系数法．五、分层练习：A 级：1、(人教A 版教材第101页练习改编，检验学生对不同函数增长速度的掌握)已知()2f x x =，()2x g x =，()2log h x x =，当()4+x ∈∞，　时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是 ( C )(A) ()()()f x g x h x >>； (B) ()()()g x h x f x >>；(C) ()()()g x f x h x >>； (D) ()()()f x h x g x >>．2、(( B )(A) y a bx =+； (B) x y a b =+； (C) 2y ax b =+； (D) b y a x=+． 3、(检验学生对指数函数型模型的掌握) 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线nt y ae =，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶的水只有8a ，则m = ( D ) (A) 7； (B) 8； (C) 9； (D) 10．4、(检验学生对数学建模的掌握) 商店经销一种洗衣粉，年销量为6000袋，每袋进价为2. 8元，销售价为3. 4元，全年分若干次进货，每次进货均为x 袋，已知每次进货运输费用为62. 5元，全年保管费为x 5.1元，要使利润最大，每次进货量应为 500 袋．B 级：1、(2011年湖北高考，检验学生对指数型函数增长情况的综合应用)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量．已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-(太贝克／年)，则()60M = ( D )(A) 5太贝克； (B) 75ln 2太贝克； (C) 150ln 2太贝克；(D)150太贝克．2、(增长型函数模型的综合应用)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：)(1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =；(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？答案：(1)()()()⎩⎨⎧≤-≤≤+-=30020030022000300t t t t t f ＜，　，　，()()()300010015020012≤≤+-=t t t g ，　； (2) 第50天上市收益最大．六、考题赏析(2011年湖北17题) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(I) 当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(II) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．解：(I) 由题意：当()02060x v x ≤≤=时，；当()20200x v x ax b ≤≤=+时，设，再由已知得12000320602003a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，，　解得，，故函数()v x 的表达式为()()600201200202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　． (II) 依题意并由(I)可得()()600201200202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩， ，，　， 当()020x f x ≤≤时，为增函数，故当20x =时，其最大值为6020=1200⨯；当20200x <≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

3.2.2函数模型的应用实例（第1课时）教学目的：通过一些实例，让学生感受函数模型的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程。

教学重点：两函数模型实例的讲解。

教学难点：通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。

教学过程：一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。

解：(1)阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km。

（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 它的函数图象P 102。

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝rt e y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。

表3-8是1950――1959年我国的人口数据资料（P 103）（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从口增长模型y=55196e 0.0221t ，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出这个模型与数据是否吻合，用Excel 电子表格作出图象展示给学生看。

2019年暑季课程苏教版高三数学第12讲:《函数模型及其应用》教案一、教学目标1。

能够应用函数知识构造函数模型,解决简单的实际生活中的优化问题、2、能利用函数与方程、不等式之间的关系,解决一些简单问题、二、知识梳理1、几种常见函数模型(1)一次函数模型:(为常数,);(２)反比例函数模型:(为常数,);(３)二次函数模型:(为常数,),二次函数模型是高中时期应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中是最为常见的;(4)指数函数模型:(为常数,;(5)对数函数模型:(为常数,);(6)幂函数模型:(为常数,);(7)分式函数模型:;(8)分段函数模型。

2、解应用题的方法与步骤用框图表示如下:三、题型突破题型一一次函数、二次函数模型例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量ｘ(吨)之间的函数关系式能够近似地表示为,已知此生产线年产量最大为210吨、(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,能够获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移１马上开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力,加速城市之间的流通、依照测算,假如一列火车每次拖4节车厢,每天能来回1６次;假如每次拖7节车厢,则每天能来回1０次。

每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客1１0人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数、(注:营运人数指火车运送的人数)、题型二分段函数模型例2．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的3００天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用下图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图(2)的抛物线表示、（1）写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式;(２)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？(注:市场售价与种植成本的单位:元／102,k ｇ,时间单位:天)变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1、80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3。

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校Modeling and Problem Solving——函数模型及其应用教案中澳课程部王晓叶学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。

这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。

MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。

所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。

但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。

教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。

2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。

3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

教学重难点：1.建立合适的函数模型2.利用得到的函数模型解决实际问题教学过程一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟）案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。

”目前，他正在接受警方调查。

警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。

Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and theafter it braking.b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way?（设计意图：从生活案例引入新知，激发学生的学习兴趣。

本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华•本课内容是课本必修1中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。

通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题，函数模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成【知识导图】教学过程」、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节, 是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状^态。

导入的方法很多，仅举两种方法：①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

二、知识讲解（考点对实解决题进行抽象题的解题过程际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用X、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3 ）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解这些步骤用框图表示：间的关系，数据的单位等等；(2 )建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

类型一、用函精图象刻画变化过程例题1(1) 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2) 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案与解析解析(1) y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A, C;又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.例题2 I某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中(2)的抛物线表示.图2—10(1)写出图中(1 )表示的市场售价与时间的函数关系式P= f (t);写出图中(2 )表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102, kg ,时间单位：天)答案与解析f ( t )=严-兰200，、2t —300,200 ct 兰 300;(t - 150) 2+ 100, 0W W00.200(2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t ) = f (t ) - g (t ),—- t^-^175,^^<200,即 h ( t )“2002 2Lt 27t-1025,20^J< 300..200 2 2得区间［0, 200］上的最大值 100;1 2当 200v t<300 时，配方整理得 h (t )=—(t — 350) 2+ 100，所以，当 t = 300 时，h200(t )取得区间(200, 300］ 上的最大值 87.5.综上，由100> 87. 5可知，h (t )在区间］0, 300］ 上可以取得最大值 100,此时t = 50 , 即从二月一日开始的第 50天时，上市的西红柿纯收益最大.类型二已知函数模型的实际问题候鸟例题年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v = a • blog 3Q(其中a 、b 是实数).据10统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出a 、b 的值；⑵若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？答案与解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a bg 30 = 0,10解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为当0W€00时，配方整理得h (t )=-1 200(t — 50) 2+ 100,所以，当 t = 50 时，h (t )取90即a+ b= 0;当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a ■ blog3= 1,整理得a+ 2b10=1.3+ b= 0, a=—1,解方程组彳得*3+ 2b= 1, b= 1.Q 一、Q⑵ 由(1)知，v=—1 + log 3yo・所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有v>2,即一1 + log 3和》2,Q 即log 3^>3,解得Q>270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.【总结与反思】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.⑶利用该模型求解实际问题.类型三构造函数模型的实际问题A B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y12=4.1 x —0.1 x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2= 2x,其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A. 10.5万元B. 11万元C. 43万元D. 43.025万元答案与解析解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16 —x)辆，所以22 2 21 2 21 可得利润y= 4.1 x —0.1 x + 2(16 —x) =—0.1 x + 2.1 x + 32=—0.1( x —-^) + 0.1 X —+ 32.因为x€ [0,16]，且x€ N,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元.例题2(1) 世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2 : 0.3010,100.0075 : 1.017 )( )A. 1.5% B . 1.6% C . 1.7% D . 1.8%(2) 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A. 略有盈利B. 略有亏损C. 没有盈利也没有亏损D. 无法判断盈亏情况答案与解析答案⑴C (2)B40解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1 + X)= 2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1+ x) = lg 2，所以lg(1 + x) ~0.007 5，所以100'007 5= 1 + X,得1 + x~ 1.017，所以x~ 1.7%.C⑵设该股民购进这支股票的价格为a元，贝U经历n次涨停后的价格为a(1 + 10%)n= a x 1.1 n元，经历n 次跌停后的价格为a x 1.1 n x(1 —10%)n= a x 1.1 n x0.9 n= a x(1.1 x0.9) n=0.99 n• a<a，故该股民这支股票略有亏损. B例题3某帀出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案与解析答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，9, 0<x<3,则y= 8 + 丄丨；〕x —v + 1, 3<x W8,v_8 + 2.15 x 5+ 2、号J x —8 + 1, x>8,由y= 22.6，解得x= 9.【总结与反思】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.四、课堂运用1. 已基础方形ABCD勺边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x, △ ABP的面积为S,则函数S= f(x)的图象是()2. 某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.3. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过 _______________ 小时才能开车.(精确到1小时)4. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5万元，此外每年都要花 费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年 增加2万元•为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ()A. 10 B • 11 C • 13 D • 21答案与解析1. 【答案】D【解析】依题意知当 0W x W4 时，f (x ) = 2x ；当 4<x W8 时，f (x ) = 8;当 8<x W 12 时，f (x ) = 24 — 2x , 观察四个选项知，选 D.2. 【答案】19【解析】由图象可求得一次函数的解析式为y = 30x — 570，令30x — 570= 0,解得x = 19.3. 【答案】(1)5【解析】设经过x 小时才能开车.x由题意得 0.3(1 — 25%) < 0.09 ,0.75 x < 0.3 , x > log 0.75 0.3 〜4.19.二 x 最小为 5. 4. 【答案】A【解析】设该企业需要更新设备的年数为 x ,设备年平均费用为y ,则x 年后的设备维护费用为 2 + 4 +…+ 2x = x (x + 1), 所以x 年的平均费用为100 + 0.5 x + x x + J. y = x100=x +v +1.5,A.巩固1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为0.3 mg/mL ,在停止喝酒后，血液中 由基本不等式得y =x + 型 + 1.5 >2x • ---- + 1.5V X=21.5，当且仅当 100即x = 10时取等号，所以选"400— 6x , 0<x w 40,(1) 写出年利润 W 万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.答案与解析__ 2—6x + 384x — 40, 0<x w 40, 1 答案(1) W= 40 000——16x + 7 360 , x >40.解析(1)当 0<x w 40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)2=—6x + 384X — 40, [2 分]当 x >40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)40 000 =— —16x + 7 360.x__ 2—6x + 384x — 40 , 0<x w 40,所以W 40 000J — x — 16x + 7 360 , x >40.2⑵①当 0<x w 40 时，W=— 6(x — 32) + 6 104 , 所以 Wax = W (32) = 6 104 ; [6 分] ②当 x >40 时，Wl=—40 000— 16x + 7 360 ,即x = 50€ (40,+^)时，取等号 所以W 取最大值为5 760.［10分］ 综合①②知，当x = 32时，W 取得最大值6 104万元.拔高］1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药. 对用一定量的水清洗一次 的效果作如下假定：用1个单1位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残2留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次 以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农Rx)万美兀，且 Rx) = * 7 400 x40 000，x >4°.(2) W 取得最大值6 104万元.由于40 000x+ 16x >240 000 .xx 16x = 1 600当且仅当40 000x16x ,药量之比为函数f (x).(1)试规定f ( 0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f (x)应该满足的条件和具有的性质；1(3)设f (x)= -，现有a (a> 0)单位量的水，可以清洗一次，也1 +x2可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由2. 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。

精心整理高一数学必修一教案《函数模型及其应用》【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。

在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.态度了解函处理生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验这样以.教学前言：函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.教学内容师生活动设计意图探究新知引入：教师：大家觉得我胖吗?学生回答教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡来衡量BMI 大于学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合学生活动并回答教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析呢?教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况学生分小组进行检验教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。

《函数模型及其应用》教案1（苏教版必修1）函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：方案一：y＝40（x∈N＋）方案二：y＝10x（x∈N＋）方案三：y＝0.4×（x∈N＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其它2个方案快得多，称为"指数爆炸"。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

《函数模型及其应用》教案1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH 的面积为S ，则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a + 由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4b a +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4ba +时，S 有最大值8)(2b a +;若4b a +＞b,即a ＞3b 时，典型例题基础过关实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还原说运用函数的性质S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4ba+)2+8)(2ba+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=4ba+时，四边形面积Smax =8) (2ba+,当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x＞0,即x＜10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t(3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650. ∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x(2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元. 当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4;当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1+x)n =60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10，得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。

高一数学必修教案《函数模型及其应用》自己整理的高一数学必修教案《函数模型及其应用》相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[第1条]【内容】建立描述现实问题的功能模型【内容分析】功能模型本身来源于现实，用于解决实际问题。

因此，这一节的内容是让学生有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，实现数学在实际问题中的应用价值。

同时，本课题是学生在学习初中函数的形象和性质的基础上，刚刚进入高中的探究式课堂教学。

学生在解决某一具体问题的过程中，可以从理解知识升华到熟练应用知识，从而辩证地看待知识理解与知识应用的关系，这种关系与所学的功能知识是紧密联系、相辅相成的。

另一方面，函数模型本身是与实际问题相结合的，空谈理论只能导致学生无法真正理解函数模型的应用以及在应用过程中建立和解决问题的过程，而从简单、典型、熟悉的函数模型中提取的思想和方法更容易被学生接受。

同时，学生要从简单的例子中学习，感受函数模型的选择和建立。

由于函数模型的建立离不开函数图像和数据表，会有一定量的原始数据处理，可能会用到计算机、计算器和图形工具，我们的教学更应该注重通过对实际问题的分析过程来选择合适的函数模型和函数模型的构建过程。

在这一过程中，学生应注重模型的建立，同时体验模型建立的可操作性和有效性，学习模型建立解决实际问题，培养和发展组织思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

[教学目标](1)反映建立功能模型描述实际问题的基本过程。

(2)了解功能模型的广泛应用(3)通过学生的操作和探究，提高学生发现、分析和解决实际问题的能力(4)提高学生探索和学习新知识的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度【重点】了解并建立一个功能模型来描述现实问题的基本过程，了解功能模型的广泛应用【难点】建立函数模型描述实际问题中的数据处理【教学目标分析】通过对整堂课抽样样本的分析和处理，学生认识到这门课的重点是用函数建模来刻画实际问题的基本过程，提高解决实际问题的能力。

高考数学（文）一轮复习精品资料专题12 函数模型及其应用（教学案）1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)2.(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( ) A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利 B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A ．10B ．11C ．13D ．21 高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 【方法技巧】1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思． 高频考点五、构建函数模型解决实际问题例5、(1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年(2)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． ①求k 的值及f (x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值．【方法规律】(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．③构建f (x )＝x ＋ax (a >0)模型，常用均值不等式、导数等知识求解．(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．【变式探究】 (1)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． (2)某旅游景点预计2017年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N ＋，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x （x ∈N ＋，且1≤x ≤6），160x（x ∈N ＋，且7≤x ≤12）.①写出2017年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式； ②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？1．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________．2.【2016高考上海理数】已知，函数. （1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.3.【2016年高考北京理数】设函数.①若，则的最大值为______________； ②若无最大值，则实数的取值范围是________.【2015高考天津，理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()a R ∈21()log ()f x a x=+5a =()0f x >x 2()log [(4)25]0f x a x a --+-=a 0a >1[,1]2t ∈()f x [,1]t t +a 33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩0a =()f x ()f x a ()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()2g x b f x =--b R ∈()()y f x g x =-b（A ）（B ）（C ）（D ） 【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

2019-2020年高一数学函数模型及其应用教案二【学习目标】：1过程目标：（1）检验学生对于前面所学指、对数知识的掌握程度（2）引领学生合理构建输入值与输出值之间关系。

2知识技能目标:（1）如何合理选择输入值，寻找输入值与输出值之间关系。

（2） 建立合适的指、对函数关系式（3）关注输入值应取范围，以确保函数关系式有意义。

3情感目标：（1）通过数学建模，巧妙建构输入值与输出值之间关系，培养学生喜欢探究的情感与态度 教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用教学难点：学生对情境文字的理解【学前准备】某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。

经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。

(1) 试求y 与x 之间的关系式。

(2) 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？【探究活动】：一、创设情境：某企业现生产的甲种产品使企业xx 年盈利a 万元，预计从xx 年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少，同时开发乙种产品xx 年投放市场，乙种产品第一年盈利b 万元，在今后20年内，每年盈利都比上一年增加，若，问该企业今后20年内，哪一年盈利最少是多少万元。

二、活动尝试：1某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（增长率=增长值/原产值）A ）97年B ）98年C ）99年D ）00年2A 、B 两家电器公司在今年1—5月份的销售量如图所示，则B 相对于A 其市场份额比例比较大的月份是 A)2 月 B)3月 C)4月 D)5 月 54321(月）20406080100（万台）A B 0099989796(年）2004006008001000（万元）3某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：A．多赚5.92元B．少赚5.92元C．多赚28.92元D．盈利相同（1）仔细读题，梳理题目所给的数量关系（2）问什么，设什么，列表呈现各数量关系及所设未知数（3）列出关于输入值与输出值的式子。

精品资料欢迎下载适用学科高中数学适用年级高一适用区域通用课时时长（分钟）2 课时知识点 教学目标1.几类不同增长的函数模型的特点2.用已知函数模型解决实际问题3.建立函数模型解决实际问题 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体 会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等）的实例。

教学重点 了解函数模型的广泛应用。

教学难点 了解函数模型的广泛应用。

【教学建议】本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问 题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容 是课本必修 1 中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想， 这也为后面高中的学习做了铺垫。

通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型 刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步 运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数模型本身就来源于现 实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与 知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。

导入的方法很多，仅举两种方法：精品资料欢迎下载① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：环节教学内容设计师生双边互动材料：澳大利亚兔子数“爆 师：指出：一般而言，在理想炸” 条件（食物或养料充足，空间在教科书第三章的章头图中，有 条件充裕，气候适宜，没有敌一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群 害等）下，种群在一定时期内兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859 的增长大致符合“J”型曲线；创年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子， 在有限环境（空间有限，食物 由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔 有限，有捕食者存在等）中，设子的天敌，兔子数量不断增加，不到 种 群 增 长 到 一 定 程 度 后 不 增 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚， 长，曲线呈“S”型．可用指数情数量达到 75 亿只．可爱的兔子变得 函 数 描 述 一 个 种 群 的 前 期 增 可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 长，用对数函数描述后期增长境75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率 的 大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．精品资料欢迎下载组 织 探 究环节 组 织 探 究例 1．假设你有一笔资金用于投 资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以 后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0 .4 元， 以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？探究： 1）在本例中涉及哪些数量关 系？如何用函数描述这些数量关 系？师：创设问题情境，以问题引 入能激起学生的热情，使课堂 里的有效思维增强．生：阅读题目，理解题意，思 考探究问题．师：引导学生分析本例中的数 量关系，并思考应当选择怎样 的函数模型来描述．生：观察表格，获取信息，体 会三种函数的增长差异，特别 是指数爆炸，说出自己的发现， 并进行交流．2）分析解答（略）师：引导学生观察表格中三种 方案的数量变化情况，对于 “增加量”进行比较，体会 “直线增长”、“指数爆炸” 等．3）根据例 1 表格中所提供的数 据，你对三种方案分别表现出的回报 资金的增长差异有什么认识？教学内容设计师生双边互动4）你能借助计算器或计算机作 出函数图象，并通过图象描述一下三 种方案的特点吗？师：引导学生利用函数图象分 析三种方案的不同变化趋势．生：对三种方案的不同变化趋 势作出描述，并为方案选择提 供依据．5）根据以上分析，你认为就作 出如何选择？师：引导学生分析影响方案选 择的因素，使学生认识到要做 出正确选择除了考虑每天的收 益，还要考虑一段时间内的总 收益．生：通过自主活动，分析整理 数据，并根据其中的信息做出 推理判断，获得累计收益并给精品资料欢迎下载例 2．某公司为了实现 1000 万元 利润的目标，准备制定一个激励销售 部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单出本全的完整解答，然后全班 进行交流． 师：引导学生分析三种函数的 不同增长情况对于奖励模型的 影响，使学生明确问题的实质 就是比较三个函数的增长情 况．位：万元）的增加而增加但奖金不超 生：进一步体会三种基本函数过 5 万元，同时奖金不超过利润的 模型在实际中的广泛应用，体25%．现有三个奖励模型：会它们的增长差异．．问：其中哪个模型能符合公司的 要求？师：引导学生分析问题使学生 得出：要对每一个奖励模型的 奖金总额是否超出 5 万元，以 及奖励比例是否超过 25%进行 分析，才能做出正确选择．探究：1）本 例 涉 及 了 哪 几 类 函 数 模 型？本例的实质是什么？环节组 织 探 究2）你能根据问题中的数据，判 定所给的奖励模型是否符合公司要 求吗？呈现教学材料师生互动设计 生：分析数据特点与作用判定 每一个奖励模型是否符合要 求．3）通过对三个函数模型增长差 异的比较，写出例 2 的解答．师：引导学生利用解析式，结 合图象，对三个模型的增长情 况进行分析比较，写出完整的 解答过程．生：进一步认识三个函数模型 的增长差异，对问题作出具体 解答．精品资料欢迎下载幂函数、指数函数、对数函数的师：引导学生仿照前面例题的增长差异分析： 探究方法，选用具体函数进行比较分析．探 究 与 发 现你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数生：仿照例题的探究方法，选 用具体函数进行研究、论证， 并进行交流总结，形成结论性 报告．在区间上的 师：对学生的结论进行评析，增长差异，并进行交流、讨论、概括 借助信息技术手段进行验证演总结，形成较为准确、详尽的结论性 示．报告．尝试练习：生：通过尝试练习进一步体会1）教材 P116 练习 1、2；三种不同增长的函数模型的增2）教材 P119 练习．长差异及其实际应用．巩固与小结与反思：师：培养学生对数学学科的深反通过实例和计算机作图体会、认 刻认识，体会数学的应用美．思识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．二、知识讲解（考1）点对1实解际决问实题际进问行题抽的象解概题括过：程研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量 之间的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函 数模型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确 选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题抽象概括函数模型考点 2解决函数应用的能力题应着重培养下面一运用些能力函 数 性 质实际问题的解还原说明精品资料欢迎下载（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速 弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变 量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数 式，注意不要忘记考察函数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小） 值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

课时教案第二单元第11案总第11案课题函数模型及其应用2009年9月12日教学目标课标要求1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

考纲要求①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；理解直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．②了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用,并能举例描述.教学重点了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用,并能举例描述.教学难点理解直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．课型复习课教具多媒体、三角板、教法讲练结合教学过程教学过程预设师生活动预设一、知识回顾：1.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理的选取参变数，设定变元后就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，处理相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题得到解决。

2.解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.图解解题程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（数学应用）（检验作答）3.与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。