高中数学人教版必修函数模型的应用实例教案(系列三)

《函数模型的应用举例》教案1教学目标：1．通过实例理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．2．通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．3．在实际问题的解决中，发展学生提出、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型解决实际问题，特别是分段函数和指数型函数的应用．2．难点：函数模型的检验，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．教法与学法：1．教法选择：分析引导2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究教学过程：【设置情境，激发探索】可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口【作法总结，变式演练】【思维拓展，课堂交流】【归纳小结，课堂延展】教学设计说明1．教材地位分析：（1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受．（2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力．（3）本小节教材是上节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展．上节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题．本节要求根据背景材料中的函数模型解决实际问题，验证模型的正确性．2．学生现实分析：高一学生通过数学必修①前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力，这为本节课的学习奠定了知识基础．运用数学知识解决实际问题，需要有一定的阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难．在思维层面上，学生往往不能深刻理解题意，不善于将实际问题抽象为一个数学问题来解决．因此在本节应用实例课的教学过程中，我将重点放在“审题”两个环节上，着重引导学生怎样“审题”，以及如何提炼图表信息验证函数模型．。

3.2.2 函数模型的应用实例第1课时教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用．教学难点：函数模型的体验与建立．教学过程导入新课思路1．(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．推进新课新知探究提出问题(1)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )．(2)A ，B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站，给A ，B 两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域．(3)分析以上实例属于那种函数模型．讨论结果：(1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2(x －30)＋90，30<x ≤40.(2)y ＝5x 2＋52(100—x )2(10≤x ≤90)． (3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．应用示例例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图1所示．图1(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数解析式，并作出相应的图象．活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s (km)与时间t (h)的函数为分段函数．解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km. (2)根据图1，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ＋2 004，0≤t <1，80(t －1)＋2 054，1≤t <2，90(t －2)＋2 134，2≤t <3，75(t －3)＋2 224，3≤t <4，65(t －4)＋2 299，4≤t ≤5.这个函数的图象如图2所示．图2图3两种优惠方案所对应的函数解析式： 20010031010010x x x ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，，－，，g (x )＝500500()3100500.10x g x x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，，， x )＝g (x )时，310x －10＝50，∴x ＝200. ∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.M a lthus ，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y ＝y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r 1，r 2，r 3，…，r 9.由55 196(1＋r 1)＝56 300，可得1951年的人口增长率为r 1≈0.020 0.同理可得，r 2≈0.021 0，r 3≈0.022 9，r 4≈0.025 0，r 5≈0.019 7，r 6≈0.022 3，r 7≈0.027 6，r 8≈0.022 2，r 9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r ＝(r 1＋r 2＋…＋r 9)÷9≈0.022 1.令y 0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y ＝55 196e 0.022 1t ，t ∈N . 根据表中的数据作出散点图，并作出函数y ＝55 196e 0.022 1t (t ∈N )的图象(图4)．图4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)活动：学生先思考讨论，再回答．教师根据实际情况，提示引导．出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得x(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x＝3 200(元)．(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，得5 000(1－y)4＝3 200，解得y1＝1－255，y2＝1＋255(舍去)．所以y＝1－255≈0.11＝11%，即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低约为11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关联性．拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，每周产值为f 千元， 则f ＝4x ＋3y ＋2z ，其中⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝360，12x ＋13y ＋14z ＝120，x ≥0，y ≥0，z ≥60， ①②③由①②可得y ＝360－3x ，z ＝2x ，代入③得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，360－3x ≥0，2x ≥60，则有30≤x ≤120.故f ＝4x ＋3(360－3x )＋2·2x ＝1 080－x ，当x ＝30时，f max ＝1 080－30＝1 050.此时y ＝360－3x ＝270，z ＝2x ＝60.答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体．请同学们借助上面的实例细心体会．课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．活动：学生先思考讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．作业课本习题3.2A 组 5,6.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题．本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．第2课时作者：王仁海，瓯海中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛省一等奖．整体设计教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A 版)》第三章的“3.2.2函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例 1 下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？①列表②描点图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y＝kx＋b(k≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧ 14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7，b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地图3确定函数模型由前三组数据，用计算器确定函数模型：＋12x ＋41；52.07×0.778x ＋92.5.作出函数图象进行比较时，y 1＝77，y 2＝81.0. 图4此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝2.6，b＝1.019.这样得到函数模型为y＝2.6×1.019x，画出这个函数的图象与散点图．图6我们发现，函数y＝2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组2：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数的图象与散点图．图7我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y ＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136＜1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～2005年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在2010年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．学习资源《普通高中课程标准实验教科书·数学1》第三章“函数的应用”简介白涛http：///200406/ca506858.html。

3.2.2函数模型的应用实例[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.知识点一常见函数模型知识点二解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：题型一一次函数、二次函数模型例1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()A.30元B.42元C.54元D.越高越好答案B解析设每天获得的利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元.反思与感悟 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位.利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 跟踪训练1 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元答案 B解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.题型二 指数型函数、对数型函数模型例2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10.解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位. (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得： v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.反思与感悟 指数型函数模型：y ＝ma x ＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.跟踪训练2 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年).(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005) 解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2， 经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3， ……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x ， 所以y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人). (3)由题意得100×(1＋1.2%)x >120，两边取常用对数得lg [100×(1＋1.2%)x ]>lg 120， 整理得2＋x lg 1.012>2＋lg 1.2，得x ≥16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人. 题型三 分段函数模型例3 如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域.解 如图，过B ，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 和G ，则AH ＝12，AG ＝32，当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ， ∴y ＝S △AMN ＝12x 2，0≤x <12.当M 位于H ，G 之间时，y ＝12AH ·HB ＋HM ·MN ＝12×12×12＋(x －12)×12＝12x －18，12≤x <32.当M 位于G ，D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12×12×(2＋1)－12(2－x )(2－x )＝－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴所求函数的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0≤x <12，12x －18，12≤x <32，－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]，值域为[0，34].反思与感悟 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”.2.解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值.(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围. 跟踪训练3 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x ≤10，59，10＜x ≤16，－3x ＋107，16＜x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解 (1)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9. 故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为 f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59； 当16＜x ≤30时，f (x )单调递减， f (x )＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min. (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f (5).因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些.(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.所以x＝17 1 3.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 13－6＝1113＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.题型四拟合函数模型的应用例4为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量.解(1)描点作图如图甲.(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2. 反思与感悟 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. 跟踪训练4 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份 1999 2000 2001 2002 x /年 0 1 2 3 生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较.解 (1)画出函数图形，如图.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上. 设所求的函数为y ＝kx ＋b ，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式， 解方程组，可得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7. 因此，所求的函数关系式为 y ＝f (x )＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4， f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.建立函数模型时忽略自变量的取值范围致误例5 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元. (1)写出飞机票的价格y (单位：元)关于人数x (单位：人)的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10(x －30)，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75， 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数， 所以当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，S 取得最大值21 000.故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.纠错心得 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.跟踪训练5 某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)万元，其中x 是产品售出的数量(单位：百件). (1)把利润表示为年产量的函数f (x )；(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 解 (1)设年产量为x (百件)，当0≤x ≤5时，f (x )＝5x －x 22－(0.5＋0.25x )；当x >5时，销售收入为252万元，此时f (x )＝252－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 22＋194x －12，0≤x ≤5，12－0.25x ，x >5.(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－12(x －4.75)2＋10.781 25；当x >5时，函数f (x )为单调递减函数. ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大.1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A.y ＝log 2xB.y ＝2xC.y ＝x 2D.y ＝2x答案 B解析 逐个检验可得答案为B.2.一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( ) A.y ＝2t B.y ＝120t C.y ＝2t (t ≥0) D.y ＝120t (t ≥0) 答案 D3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )答案 D4.里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍. 答案 6 10 000解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lgA 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.5.用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是____ m 2. 答案 9解析 设矩形的一边长为x m ， 则与这条边垂直的边长为12－2x2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3 m 时，S 最大＝9 m 2.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.一、选择题1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( ) A.y ＝2x B.y ＝2x －1 C.y ＝2x D.y ＝2x ＋1答案 D解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x＋1个.2.某厂日产手套的总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A.200副 B.400副 C.600副 D.800副答案 D解析 由5x ＋4 000≤10x ，得x ≥800，即日产手套至少800副才不亏本.3.某种商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年上涨10%，则2016年比2015年应降价( ) A.15% B.12% C.10% D.50% 答案 B解析 设2016年比2015年降价x ，则有关系式 (1＋25%)(1－x )＝1＋10%， ∴54(1－x )＝110100，∴x ＝0.12.故选B. 4.已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，解析式是( ) A.x ＝60t B.x ＝60t ＋50tC.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)D.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)答案 C解析 应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ； 当2.5<t ≤3.5时，汽车与A 地的距离总是150； 当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5).5.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( ) A.a ＝45，b ＝－30 B.a ＝30，b ＝－45 C.a ＝－30，b ＝45 D.a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0).由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，a ＋150b＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.6.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A.125 B.100 C.75 D.50 答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝⎝⎛⎭⎫49501. 设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e 1-kt ， ∴827＝(e －k )1t ＝⎝⎛⎭⎫49150t，∴t 150＝32，t 1＝75. 二、填空题7.已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好. 答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好.8.已知元素“碳14”每经过5 730年其质量就变成原来的一半.现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年.(注：精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 4.1≈0.613) 答案 7 400解析 设距现在为x 年，则有(12)5730x＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400.9.已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件. 答案 1.75解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·(0.5)1＋b ，1.5＝a ·(0.5)2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， ∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件.10.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2； ③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是________. 答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2＝4，故a ＝2，①正确； 当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，②正确； 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23. t 2－t 1＝log 23≠1.5，③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误. 三、解答题11.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：解 设每桶水在进价的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为 480－40(x －1)＝520－40x ＞0，所以0＜x ＜13， 则利润y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200 ＝－40(x －132)2＋1 490，其中0＜x ＜13，所以当x ＝6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1 490元.12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝⎛⎭⎫12th，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1220h ， 即14＝⎝⎛⎭⎫1220h，解得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1210t. 当T ＝35时，代入上式，得 35－24＝(88－24)·⎝⎛⎭⎫1210t， 即⎝⎛⎭⎫1210t＝1164.两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13.今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.) 解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e－5k.解得k ＝－15ln 0.9(或0.022).(2)由(1)得，P ＝1ln0.950⎛⎫⎪⎝⎭t P e.当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝1ln0.950⎛⎫⎪⎝⎭t P e.解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时.。

高中函数模型的应用教案我们要明确函数模型教学的目标。

这不仅仅是让学生掌握函数的定义和性质，更重要的是让他们能够将函数模型应用于解决实际问题。

因此，我们的教案需要围绕这一核心展开，引导学生从具体问题出发，逐步抽象出函数模型，再应用到其他类似情境中去。

我们来看一个具体的教学案例。

假设我们要教授的是线性函数模型。

我们可以从学生们熟悉的生活实例入手，比如手机套餐的选择。

我们可以通过设计一个活动，让学生们根据不同的通话时长和流量需求，选择最合适的手机套餐。

在这个过程中，学生们需要分析数据，建立成本与服务之间的线性关系，从而抽象出线性函数的模型。

在这个活动中，教师的角色是引导者和协助者。

我们需要提供必要的数据信息，帮助学生们理解如何从表格中提取关键信息，如何将这些信息转化为图表，并最终建立起函数模型。

同时，我们还要鼓励学生们进行小组讨论，通过交流思考，共同解决问题。

为了让学生们更好地掌握函数模型的应用，我们还可以在课堂上引入更多的实践活动。

例如，我们可以让学生们调查学校周边的房价，然后利用他们收集到的数据，建立一个描述房价与房屋面积、地理位置等因素之间关系的函数模型。

这样的活动不仅能够提高学生们的实践能力，还能让他们体会到数学在实际生活中的广泛应用。

在教学过程中，我们还要注意培养学生们的批判性思维。

当学生们建立了函数模型之后，我们应该引导他们思考这个模型的局限性和适用范围。

比如，在房价的例子中，我们可以让学生们讨论还有哪些其他因素可能影响房价，以及他们的模型是否能够涵盖这些因素。

我们要确保学生们能够将所学的知识内化为自己的东西。

这意味着他们不仅要会建立和应用函数模型，还要能够在遇到新问题时，独立地思考和使用这些模型。

为此，我们可以设计一些开放性的问题，让学生们自己探索和解决。

这样不仅能够巩固他们的知识，还能激发他们的创造力和解决问题的能力。

《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。

2. 学会构建函数模型解决实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。

二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。

2. 教学难点：函数模型的评估与优化。

四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。

2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。

3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。

五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。

2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。

4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。

第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。

2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。

4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。

后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。

教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。

注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。

六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。

§3.2.2 函数模型的应用实例一、教学目标：1. 知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题. 2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重难点1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、教学准备1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2. 教学用具：多媒体四、教学过程（一）新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？大家首先来看一个例子（二）探求新知例1.（P102 例3）探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。

另外，在本题中我们用到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻画现实问题的重要模型。

大家在运用分段函数的时候要注意它的定义域。

那么应该如何解函数的应用问题呢？例2．（P103 例4）在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。

因此，往往需要对模型进行修正。

课堂练习1（1）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”通讯费相同？（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种通讯方式合算？根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析. 课堂练习2（三）课时小结引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.（四）布置作业P121 习题3.2 A组第6题五、板书设计六、课后反思§3.2.2 函数模型的应用实例1、新课引入；2、分析例1和例2；3、课堂练习1和2；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.2.2 函数模型的应用实例1.知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题;(2)通过给出数据进行分析,画出散点图,并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合;(3)增强读图、画图、识图的意识,全面提高阅读理解的能力.2.过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应的确定性函数的模型;(2)根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.3.情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德,使其树立远大的理想,并能利用所学知识为社会服务.重点:根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.重难点突破:结合学生的知识水平,在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法:(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;(2)列式比较法:若题中所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.全国大学生建模竞赛简介1.建模竞赛的起源与历史建模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动,目的是促进建模的教学,培养学生应用数学的能力.我国在1992年起开展这项竞赛,现已形成一项全国性的竞赛活动.2.建模竞赛题的类型及出题的指导思想大部分的建模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中,例如去年C题“资金的使用计划”,D题“公交车的调度”.关于“公交车的调度”这道题目,在这儿稍做详细一点的介绍,题目给出我国某座大城市的一条交通线路.它只有上、下行驶方向各14个站,从早上6时开始至晚上12时,每站每小时上的人数的统计资料已绘出;每站之间的距离,公交车行驶速度也绘出.汽车平均可载客100人,最大载承量为120人,要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟,客流低峰期候车时间不超过15分钟,客车空载率不低于50%.问:(1)此线路应当配备多少辆车?(2)如何设计发车时间表?这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识不一样,它要考查的内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成.对此而言,建模竞赛题是一个“课题”,它是一个综合性的问题,数据庞大,需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟,是实际问题的近似表达,它的完成是在某种合理的假设下,因此其只能是较优的,不唯一的)呈报的成果是一篇“论文”.由此可见“建模竞赛”偏重于应用,它是以数学知识为主导,计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.3.全国大学生建模竞赛是如何进行的呢?我国著名的大学每年通常参加二次建模竞赛.春节后有一次“全美建模竞赛”,其发起的单位是美国工业与应用数学学会,现在已经发展成一项国际性的竞赛活动,竞赛题在网上获得,论文的书写是全英文的,比赛评奖直接在美国本土进行,第二项比赛就是“全国大学生建模竞赛”了.4.参加建模竞赛通常需要哪些方面的知识呢?第一方面:数学知识的应用能力.按历年比赛的试题来看,虽然涉及的数学知识面十分地宽广,但归结起来大体上有以下几类:(1)概率与数理统计.(2)统筹与线性规划.(3)微分方程及与计算机知识相交叉的知识,计算机模拟.第二方面:计算机的运用能力.第三方面:论文的写作能力.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

§3.2.2函數模型的應用實例（Ⅲ）一、教學目標1、知識與技能能夠收集圖表數據資訊，建立擬合函數解決實際問題。

2、過程與方法體驗收集圖表數據資訊、擬合數據的過程與方法，體會函數擬合的思想方法。

3、情感、態度、價值觀深入體會數學模型在現實生產、生活及各個領域中的廣泛應用及其重要價值。

二、教學重點、難點：重點：收集圖表數據資訊、擬合數據，建立函數模解決實際問題。

難點：對數據資訊進行擬合，建立起函數模型，並進行模型修正。

三、學法與教學用具1、學法：學生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。

2、教學用具：多媒體四、教學設想（一）創設情景，揭示課題2003年5月8日，西安交通大學醫學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預測與控制策略數學模型”研究專案，馬知恩教授率領一批專家晝夜攻關，於5月19日初步完成了第一批成果，並製成了要供決策部門參考的應用軟體。

這一數學模型利用實際數據擬合參數，並對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結果指出，將患者及時隔離對於抗擊非典至關重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫人數將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數100人左右；若4月21日以後，政府示採取隔離措施，則高峰期病人人數將達60萬人。

這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發佈的數據，建立了非典流行趨勢預測動力學模型和優化控制模型，並對非典未來的流行趨勢做了分析預測。

本例建立教學模型的過程，實際上就是對收集來的數據資訊進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數。

（二）嘗試實踐探求新知例1．某地區不同身高的未成年男性的體重平均值發下表（身高：cm；體重：kg）身高ykg與身高xcm的函數模型的解析式。

2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低於0.8倍為偏瘦，那麼這個地區一名身高為175cm ，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？探索以下問題：1）借助計算器或電腦，根據統計數據，畫出它們相應的散點圖；2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數的圖象較為接近？3）你認為選擇何種函數來描述這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關係比較合適？4）確定函數模型，並對所確定模型進行適當的檢驗和評價.5）怎樣修正所確定的函數模型，使其擬合程度更好？本例給出了通過測量得到的統計數據表，要想由這些數據直接發現函數模型是困難的，要引導學生借助計算器或電腦畫圖，幫助判斷.根據散點圖，利用待定係數法確定幾種可能的函數模型，然後進行優劣比較，選定擬合度較好的函數模型.在此基礎上，引導學生對模型進行適當修正，並做出一定的預測. 此外，注意引導學生體會本例所用的數學思想方法.例2. 將沸騰的水倒入一個杯中，然後測得不同時刻溫度的數據如下表：1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象；2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫y （℃）關於時間()x s 的函數模型，並作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.3）水杯所在的室內溫度為18℃，根據所得的模型分析，至少經過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經過幾分鐘會降到10℃？對此結果，你如何評價？本例意圖是引導學生進一步體會，利用擬合函數解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.課堂練習：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產，並且前4個月的產量分別為1萬件、1 .2萬件、1.3萬件、1.37萬件. 由於產品品質好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好. 為了在推銷產品時，接收定單不至於過多或過少，需要估測以後幾個月的產量，你能解決這一問題嗎？探索過程如下：1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖；2）根據散點圖設想比較接近的可能的函數模型：一次函數模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函數模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 冪函數模型：12()(0);h x ax b a =+≠指數函數模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定係數法求出各解析式，並對各模型進行分析評價，選出合適的函數模型；由於嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最後再一起討論確定.（三）歸納小結，鞏固提高.通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數解決實際問題的一般方法，指出函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，是解決實際問題的重要思想方法. 利用函數思想解決實際問題的基本過程如下：符合實際（四）佈置作業：作業：教材P107習題32（B組）第1、2題：。

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）一、教学目标1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、学法与教学用具1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。

2、教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60 70 80 90 100 110体重6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高120 130 140 150 160 170体重20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

3.2 函数模型及其应用几类不同增长的函数模型一、教学目标（1）使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。

（2）通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。

（3）体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。

二、教学重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教学手段：运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。

四、教材分析：1、背景（1）圆的周长随着圆的半径的增大而增大：L=2πR (一次函数)（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：S=πR2 (二次函数)（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数型函数)。

2、例题例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。

根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。

解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元；y=40 (x ∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*)方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。

Y=0.4×2x-1(x *N )从每天的回报量来看：图112-1第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案三。

高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（三）高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（三）教学目标：1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型说明有关现象或对有关进展趋势进行猜测；2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；3．进一步培育同学数学地分析问题、探究问题、解决问题的力量.教学重点：了解数据的拟合，感悟函数的应用.教学难点：通过数据拟合建立恰当函数模型.教学方法：讲授法，尝试法．教学过程：一、情境问题某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c（其中a，b，c为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？二、同学活动完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．三、数学建构1．数据的拟合：数据拟合就是讨论变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．2．在处理数据拟合(猜测或掌握)问题时，通常需要以下几个步骤：（1）依据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；（2）通过观查散点图，画出"最贴近'的曲线，即拟合曲线；（3）依据所学学问，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数y＝kx＋b；对称型选二次函数y＝ax2＋bx＋c；单调型选指数型函数y＝abx＋c或反比例型函数y＝x＋a(k)＋b．（4）利用此函数解析式，依据条件对所给的问题进行猜测和掌握．四、数学应用例1 物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过肯定时间t后的温度是T ，则T－Ta＝(T0－Ta)，(0.5)t/h其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，假如咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．例2 在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x 台（xN*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？例3 （见情境问题）五、巩固练习1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开头时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成果记录如图所示：依据图中各点，请你从下列函数中：（1）y＝ax2＋bx＋c；（2）y＝kax＋b；（3）（1）依据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的改变关系；y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝abt，y＝alogbt（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．简答：（1）由供应的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的改变关系不行能是常函数，因此用y＝at+b，y＝abt，y＝alogbt 中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.（2）略．六、要点归纳与方法小结处理数据拟合(猜测或掌握)问题时的解题步骤.七、作业课本P104习题3.4（2）－4．。

浙江省江山实验中学高中数学 3.2 函数模型的应用实例学案新人教A版必修3学习方针：1．能够找出简单实际问题中的函数关系式，学会应用二次函数、指数型函数和对数型函数模型解决实际问题；；2．通过小组讨论、探究，使学生学会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题的方式。

3．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值；培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学思维方式；用极度的热情投入学习，积极思考，做学习的主人。

重点：运用二次函数、指数型函数和对型函数模型解决实际问题难点：将实际问题改变为数学模型《预习案》Previewing Case一相关知识1．前面已经学习过的函数模型有哪些？？2．如何作函数的图象？3.按照函数模型如何球函数的最值？二教材助读1.教材例3中暗影部分的面积如何表达？2.教材例3中按照坐标轴表达的含义，你能确定暗影部分面积的实际含义吗？3.教材例3中，为什么s关于t的函数解析式为分段的？4.教材例4中怎样检验所给出的函数模型是否适合人口增长数据？5.在教材例5的销售问题中，利润与哪些量有关，如何表达？6.如何按照散点图拟合函数，结合教材例6谈谈体会。

三预习自测1．用清水衣服，若每次能洗去污垢的34，要使留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A.3B.4C.5D.62.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则函数解析是为（）A.202(10)y x x=-≤ B.202(10)y x x=-<C.202(510)y x x=-≤≤ D. 202(510)y x x=-<<3.某商店的一种商品每个进价为80元，销售价为每个100元，此时每天的商品销售量为a个，为了促进销售，开展购一件商品送一个小礼品的活动，在必然范围内，礼品价格没增加球员，每天的销售增加10%，设每天的销售利润为y元，礼品价格为n元，写出y n与之间的函数关系式：（不必写出自变量的取值范围）我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例教学设计一、背景函数模型在数学教育中占据重要的地位。

它是数学学科的一个重要的概念，不仅是后续内容的基础，而且在现实中也有着广泛的应用。

应用函数模型来解决实际问题是数学教育的一个重要目标。

在高中数学教育中，必修13.2.2通过一系列的例子，让学生更深入地了解函数模型的应用和意义。

二、教学目标1.了解什么是函数模型；2.掌握函数模型的建立方法和应用技巧；3.通过具体实例了解函数模型在实际中的应用；4.提高分析解决实际问题的能力和思维方式。

三、教学内容1.函数模型的定义、基本性质和应用场景；2.函数模型的建立方法及步骤；3.函数模型的应用实例，如卡路里计算器、房屋面积计算器等。

四、教学步骤第一步：引入通过介绍“什么是函数模型”，让学生明确本节课的学习目标。

可以通过简单的实例，例如汽车耗油量和速度之间的关系，引出函数模型的概念。

第二步：知识点讲解讲解函数模型的定义、基本性质以及应用场景。

特别是要重点讲解函数模型在实际应用中的作用和意义。

教师可以通过多个实例来解释函数模型，让学生更加深入地理解。

第三步：实例分析选取一个具体的应用场景，例如卡路里计算器，引导学生分析这个问题，通过解决问题的过程引出函数模型的建立。

1.首先，让学生了解什么是卡路里，以及怎样计算卡路里的数量；2.其次，引导学生思考如何建立一个计算卡路里的函数模型；3.最后，让学生自己动手建立函数模型，根据不同的输入变量（例如食品的重量、脂肪含量等），计算出相应的输出结果（卡路里的数量）。

第四步：总结通过对实例的分析，引导学生总结建立函数模型的步骤和方法，并让他们思考函数模型在实际应用中的作用和意义。

五、教学评价1.学生能够正确理解什么是函数模型以及函数模型的应用场景；2.学生能够熟练掌握函数模型的建立方法及步骤；3.学生能够应用函数模型解决实际问题，并给出合理的解释；4.学生能够分析解决实际问题的能力和思维方式得到提升。

函数模型及其应用教学目标：（1）根据给出函数模型的图像或数据进行分析，会验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相符。

（2）根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题”的基本方法教学重点：1.实际问题数学化（建模），2.对函数模型进行解答，得出数学问题的解. 教学难点： 实际问题数学化教学过程：一。

先知先觉：1.预习课本P 97例2、P 102例3、P 104例52.三个例题中已知条件有什么异同？分别解决的是什么问题？每个题解决的关键是什么？你有什么疑问？3.练习：P 104练习2. P 106练习1.二．重难点突破：梳理例题2：三个函数哪个比较好排除？用的什么方法？哪个不好排除？用的什么方法比较的？是否符合实际问题检验过程可以省略吗？。

梳理例题3：采用什么样的数学模型？梳理例题5：采用的什么模型？小结：常用的函数模型有哪些？例1：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4t 时每吨1.80元,当用水超过4t 时超过部分每吨3.00元。

某月甲乙两户共交水费y 元，，已知甲乙两户该月用水量分别为5xt,3xt 。

（1）求y 关于x 的函数，（2）若甲乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。

小结：例2：某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为2.1％，回答下列问题：（1） 写出该城市的人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式（2） 计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1万人）（3） 计算大约多少年以后该城市的人口总数将达到120万人（精确到0.1万人） 参考数据()127.12.111000≈+，()196.12.111500≈+，()21.12.111600≈+总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：解决应用题的一般程序步骤：①审题：②建模：③解模：④还原：注：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．练习：1. 一根均匀的轻质弹簧，已知在600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100 N的拉力作用下，长度为0.55 m ,在300 N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？三．轻松小测：(一)．P107 A组3、4、6。

函数模型的应用实例说课稿我今天说课的课题是函数模型的应用举例，下面我从教材的分析、教法和学法、教学过程三个方面进行说课，首先我们来进行教材分析。

一、教材分析1、教材地位和作用函数模型的应用举例是高中数学人教版必修1第三章第二节的内容，本节课用5个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习，通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力。

2、教学目标根据新课标标准要求及结合学生已有的认知结构，我确定本节课的教学目标为：（1）知识目标：能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型，并利用建立的函数模型解决实际问题。

（2）能力目标：渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法。

（3）情感目标：培养学生的应用意识、创新意识和探索精神。

3、教学重点与难点本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.难点：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.二、教学与学法本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。

本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。

三、教学过程整个教学的流程分为创设情境，引入新课；发现问题，探求新知；反思过程发现规律；巩固新知，反馈调控；归纳小结，布置作业5大块： 1、创设情境，引入新课让学生请举出生活中函数模型的应用实例，引出提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题. 2、发现问题，探求新知在课堂上教师引导学生，选取对本节的两个例题，思考分析，自主探究，解决实际问题，让学生在探究中学习，体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣。

3.2.2 函数模型的应用实例三维教学目标知识与能力：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。

过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。

情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。

教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。

教学难点：将实际问题转变为数学模型。

学习过程一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图像。

解：(1)阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km 。

（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 画出它的函数图像。

在解决实际问题过程中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。

本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可 以为有效控制人口增长依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型：y ＝rte y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数， r 表示人口的年平均增长率。

学科：数学函数模型的应用实例教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准试验教科书数学1》第三章函数模型应用实例第一课时，本节课体现了数学文化特色，体现了建模的思想，用函数的方法对实际问题建立数学模型，解决实际应用问题，让学生感知数学来源于生活，应用于生活，激发学生求知欲望。

同对函数模型应用实例的学习培养学生用数学知识来描叙和刻画现实世界，同时对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析大部分学生自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，对解决数学实际应用问题感到困难和信心不足，通过对这节课的学习，激发学对于实际问题的学习兴趣，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。

因此，学生已具备了探索发现研究简单数学模型的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思路学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参入机会。

为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识分段函数的模型，体会实际应用问题转化为数学模型。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。

让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标1、知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2、过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.3、情感与价值体会数学在实际问题中的应用价值.五、教学重难点重点运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题．难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．六、教学过程1、创设情景，引入新课杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事。

人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例课程设计引言函数模型是高中数学重要的内容之一，也是实际应用中常用的数学模型之一。

在高中数学教学中，教师应该重视函数模型的现实应用，有效引导学生掌握函数模型的基本方法和技巧。

本文将介绍人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例课程设计，希望能对广大数学教师提供参考和指导。

基本概念函数模型是指将某个变化关系用函数的形式表示出来，以便于对其进行研究和应用的数学模型。

在实际应用中，函数模型有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等领域。

课程设计教学目标本次课程设计的教学目标如下：1.掌握函数模型的基本概念和应用；2.能够用函数模型解决实际问题；3.能够熟练使用函数模型进行分析和演算。

教学内容本次课程教学内容主要包括以下三个方面：1.函数模型的基本概念及其应用；2.函数模型在实际问题中的应用；3.函数模型的分析及演算。

本次课程教学主要采用如下几个方法：1.讲解法：通过讲解函数模型的基本概念及其应用，使学生掌握相关知识；2.分组讨论法：将学生分为小组，引导学生利用函数模型解决实际问题；3.实践演练法：通过大量的实例演练，让学生熟练掌握函数模型的分析和演算方法。

教学过程第一阶段：讲解函数模型的基本概念及其应用1.首先，引导学生回顾函数的基本概念，如定义域、值域、单调性、奇偶性等；2.然后，讲解函数模型的基本概念，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们在实际问题中的应用；3.接着，讲解函数模型的图像特征，如顶点坐标、对称轴、零点等，以及它们的应用。

第二阶段：引导学生利用函数模型解决实际问题1.将学生分为小组，让每个小组选定一个实际问题；2.针对每个实际问题，引导学生构建相应的函数模型，分析其特征和趋势；3.探讨函数模型在解决实际问题中的应用，如寻找最优解、确定规律等。

第三阶段：实践演练，提高应用能力1.设计大量的函数模型应用实例，引导学生进行分析和演算；2.引导学生利用所学到的函数模型知识，解决更加复杂的实际问题；3.鼓励学生自主探索函数模型的应用，提高分析和应用能力。