高中数学苏教版选修2-2第1章《导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。

高中数学苏教版选修2-2第1章《1.2.1 常见函数的导数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式;
2.能利用导数公式求简单函数的导数.
2重点难点
教学重点:
基本初等函数的导数公式的应用.
3教学过程
3.1第一学时
新设计
教学过程:
一、问题情境
1.问题情境.
(1)在上一节中,我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么如何求函数的导数呢?
(2)求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(3)函数导函数的概念
2.探究活动.
用导数的定义求下列各函数的导数:
(1) ( 为常数); (2) ( 为常数);
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;。

高中数学苏教版选修2-2第1章《1.5.2定积分》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案高中数学苏教版选修2-2第1章《1.5.2 定积分》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1.理解掌握定积分的概念,熟练定积分的记法和意义。

2.充分理解定积分的几何意义。

3.能够使用定积分的定义和几何意义求简单的定积分。

2学情分析定积分作为导数和极限的结合,具有高度的抽象性。

作为高中阶段,本章内容在考纲中只要求理解定义并能简单应用,但近几年高考在学科综合应用考察力度的加大,结合定积分在物理和化学中的重要应用,和高等学校数学学科的学习需要,我认为定积分内容值得在教学中去研究,以此培养学生的兴趣和应用能力,为学生的进一步学习奠定基础。

3重点难点教学重点:定积分的概念;定积分的几何意义;用定积分定义和几何意义求简单的定积分。

教学难点:定积分的概念及几何意义。

4教学过程活动1【导入】背景引入微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”。

微积分的建立,无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用。

积分的思想产生得很早,公元前200多年,希腊科学泰斗阿基米德就用积分的观点求得了球体体积公式。

公元5世纪,中国数学家祖冲之、祖暅父子提出了“幂势既同,则积不容异”也是积分概念的雏形。

活动2【讲授】定积分的发展史一、准备阶段(16世纪-17世纪中叶):1.开普勒首次在求积中运用无穷小方法;2.费尔玛、帕斯卡利用"分割求和"及无穷小的性质的观点求积。

_1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数已知函数(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝1x，(5)f(x)＝x.问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝x＋Δx－xΔx＝1，∴当Δx→0时，ΔyΔx→1，即x′＝1.问题2：函数f(x)＝1x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝1x＋Δx－1xΔx＝x－(x＋Δx)x(x＋Δx)Δx＝－1x2＋x·Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－1x2，即⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2.1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；2．C′＝0(C为常数)；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x；5．(x3)′＝3x2；6.⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2；7．(x)′＝12x.1．(xα)′＝αxα－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ； 6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. [一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．。

常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。

教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。

二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。

〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。

思考：求函数的图象过点的切线的方程。

五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。

〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。

①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。

第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。

解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。

1.1.4《导数的概念》教案一、教学目标(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想二、教学重点难点导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力.三、教学过程【复习引入】1.什么叫做平均变化率；函数y =f (x )的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f (x )从x 1到x 2平均变化率为:2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率2121()()f x f x y k x x x -∆==∆- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？曲线的割线和切线【数学建构】1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ,则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x=+∆-∆'===∆→∆∆当. 2.求导数的步骤：①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.函数在一区间上的导数：如果函数 f (x )在开区间 (a ,b ) 内每一点都可导，就说f (x )在开区间 (a,b )内可导．这时，对于开区间 (a,b )内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b )内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f (x ) 在开区间(a,b )内的导函数，简称为导数，记作''()()(),0y f x x f x f x y x x x∆+∆-===∆→∆∆当时的值 【数学应用】例1 求y =x 2+2在点x =1处的导数.解：222[(1)2](12)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆ 22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆ '12,0|2x y x x xy =∆∴=+∆∆→∆=当时 变式:求y =x 2+2在点x =a 处的导数.例2 若2()(1)f x x =-，求(2)((2))f f ''和.例3已知y ='y ，并求出函数在2x =处的切线方程.解：y y x x∆=∆=∆∆'0y y x x x ∆∴==∆∆==∆→当时的值。

导数的概念与几何意义教学案课题平均变化率班级姓名第小组教学目标：（一）知识目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均变化率的意义，为建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

(二）能力目标体会平均变化率的思想及内涵（三）情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度,互相合作的风格,勇于探究,积极思考的学习精神教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：一、情境引入(1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2)问题1：“从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少?”问题2:“AB 段与BC 段哪一段速度较快?”一．师生活动（1）速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？（2)曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（3）由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？(4）在考察C B y y -的同时必须考察C Bx x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。

二．建构数学(1）通过比较位移在区间[]1,32上的平均变化率0.5与位移在区间[]32,34上的平均变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化。

(2）一般地，给出函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率()()2121f x f x x x -- （3）回到位移曲线图中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构（4）用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的",但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙"逼迫“精确"。

三、例题讲评例1．P58页例1、例2,并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（/kg 月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么?（3）例2中()0.15t V t e -=是一个随时间变化而变化的量，0.316-(3/cm s )是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？例2．P57页例3、例4，并注意小结（1） 例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化（2） 例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？（3） 例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考。

1.2.1《常见函数的导数》教案一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．三、教学过程【复习准备】1.导数的相关知识①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图.（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 2.如何求切线的斜率?(0)PQ x k P ∆→当时，无限趋近于点处切线的斜率3.导数：函数在某点处的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆.无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f /(x 0)．4.由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 【情境引入】本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.（1）y =x ; （2）y =x 2 ; （3）y =x 3问题：1-=x y ，2-=xy ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】1.几种常见函数的导数:问题引入1：(1)(23)x '-+=2- (4)x '=1(2)(2)x '-=2- (5)(5)x '+=1(3)3'=0 (6)(4)'-=0通过以上运算我们能得到什么结论?公式一: 0C '= (C 为常数) (kx +b )/=k问题引入2：(1)x '=1 2(2)()x '=2x 2(3)(3)x '=6x 1(4)()x '=21x- 通过以上运算我们能得到什么结论?公式二:'1()x x ααα-= ()α是常数【知识应用】例1 求下列函数的导数：（1）()'3x （2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）'解：（1）()'3x 31233x x -==（2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()'2x -=212x --=-32x -=-32x =-（3）'1'2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11212x -=1212x -==例2 求下列函数的导数：4(1)y x = 3(2)y x -= 1(3)y x =(4)y ==0(5)sin 45y =(6)cos u v解：44131(1)()44y x x x n -''===3314(2)()33y x x x ----''==-=-1112211(3)()()1x x x x x ----''==-=-=-12(4)y x x ==111221()2y x x -''∴===(5)(sin 45)0o y '''=== (6)(cos )sin u v v ''==-例3（1）已知3y x =，求(2)f '. （2）已知21y x=，求(3)f '. 解：3312()33y x x x -''=== 2213()22y x x x ----''==-=- 2(2)3(2)12f '∴=⨯= 312(3)2(3)22727f -'∴=-⨯=-⨯=- 拓展【例题讲解】1.求过曲线y =cos x 上点P (1,32π) 的切线的直线方程. ()cos ,()sin ,()sin 332f x x f x x f ππ'=∴=-'∴=-=-解： 1(,)32P π故曲线在点处的切线斜率为 1(),2233210.3y x y ππ∴-=--+--=所求的直线方程为2:若直线y =4x +b 是函数y =x 2图象的切线,求b 以及切点坐标. 0022000:(,)()()224,2,24(2,4),4442,4P x y f x x xx x y y x b b b ''====∴===+∴=⋅+=-解设切点即切点坐标由题意得此点也在直线上【归纳总结】切线相关问题的处理方法设出切点坐标（如果没有交待切点坐标）求出切点处的导数得切线的斜率切点在切线上，代入切线方程切点在曲线上，代入曲线方程【拓展研究】若直线y =3x +1是曲线y =ax 3的切线,试求a 的值.解:设直线y =3x +1与曲线y =ax 3相切于点P (x 0,y 0),则有:y 0=3x 0+1 ①, y 0=ax 03 ②, 3ax 02=3. ③ 由①,②得3x 0+1=ax 03, 由③得ax 02=1,代入上式可得: 3x 0+1=x 0, x 0=-1/2.所以a •(-1/2)2=1，,a =4.【课堂小结】0()C C '=为常数1()x x αααα-=为常数(sin )cos x x '=【课堂练习】见学案。

高二数学讲义（24）导数的运算（1）【本课目标】1.运用导数定义求函数y c =，2y x =，3y x =，1y x=，y x = 2.能利用基本函数的导数公式求简单函数的导数，解决简单的问题.【预习导引】1.________)(5='-x ________)(='x _________1='⎪⎭⎫ ⎝⎛x ________)(sin ='x ________)(cos ='x ________)5(='x________)(='x e ________)(log 21='x ()________lnx '= 2.已知f(x)=x 3,则)1(f -'=_________.3.sin y x =在点A （2π，1）处的切线斜率为____________. 【典型例题】例1.求下列函数的导数（1）3y x =（2） 31y x =； （3）25y x ； （4）x y -=3例2. (1) 求曲线ln y x =在点M （1，0）处的切线方程(2) 已知函数3()f x x =图象的切线的斜率为1, 求切点处的切线方程.例3．直线12y x b 能作为下列函数()y f x 图象的切线吗？若能，求出切点坐标和b ；若不能，说明理由.（1）1()f x x ； （2）4()f x x ； （3）()x f x e .【课堂练习】 1．求下列函数的导数：（1）22y x= y ’=__________ （2）3x y = y ’=__________ （3）3log y x = y ’=___________ （4）sin y x = y ’=___________ 2．若3()f x x ='(1)f -=_____________ 3．1y x=在点1(2,)2处的切线方程为______________ 4．已知命题p ：函数f(x)=2x ；命题q ：f ’(x)=2，则命题p 是命题q 的 条件（从“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分也不必要”中选择填空）5．求过曲线cos y x =上点P （1,)32π且与这点处的切线垂直的直线方程.高二数学课后作业（24）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1.已知函数()5f x =，则(1)f '=___________.2．曲线n y x =在2x =处的导数为12, 则n =____________3．曲线34y x =(16,8)Q 处切线的斜率为_____________4.曲线3()f x x =的切线中，斜率等于1的有_______条.5．曲线212y x =在点1(1,)2处的切线的倾斜角等于___________ 6.已知曲线221y ax =+过点(,3)a ，则该曲线在该点处的切线方程____________.7.给出下列结论：①若31y x =，则43y x '=- ；②若3y x =313y x '=21y x =，则32y x -'=-；④若3y x =，则(1)3f '=，其中正确的有__ ___个.8.已知命题p: 函数y=f(x)的导函数是常函数； 命题q:函数y=f(x)是一次函数, 则命题p 是q 的______________条件.9．双曲线1xy =上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于10．（1）求曲线x y e =在11ln 23x =处的切线的方程．（2）当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点.(3)若直线y x b =-+为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标.11.若两曲线2()3f x x ax =+与2()1g x x ax =-+在1x =处的切线（1）互相垂直，求a 的值； （2）互相平行，求a 的值.【B 组题】1.函数()y f x =与()y g x =在R 上为可导函数，若()()f x g x ''=，则：①()()f x g x = ②()()f x g x -为常数函数；③()()0f x g x ==；④()()f x g x +为常数函数，其中正确的有_______________.2．若对3,'()4,(1)1,()x R f x x f f x ∀∈==-则= 3．设1l 为曲线1sin y x =在点(0,0)处的切线，2l 为曲线2cos y x =在点3(6π处的切线， 判断1l 与2l 两直线是否垂直.。

江苏省泰兴中学高二数学讲义（23）导数的概念（2）【目标要求】1．理解平均速度逼近瞬时速度的过程2．通过几何背景、物理背景引出导数的形式化定义3．理解导数的概念，会用定义法求简单函数在某一点处的导数 【重点难点】重点：导数的概念、导数的求法 难点：对导数的形式化定义的理解【引入】在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？ 问题二：请大家继续思考，当Δt 取不同值时,尝试计算(2)(2)h t h t+∆-=∆v 的值？问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ 【典例剖析】例1：质点M 按规律223s t t =+作直线运动.（s 单位厘米，t 单位秒）⑴设0,t t ∆已经给定，求相应的,,s s t∆∆∆和当t ∆无限趋近于０时，st ∆∆趋近于什么常数，并说明他们的物理意义；⑵求质点M 在t=2秒时的瞬时速度．变式：某物体运动时，位移S （m ）与时间t （s ）之间的关系式3212S t t =+时的瞬时加速度是m/s 2．例2：已知2()2f x x =+．⑴求()f x 在1x =处的导数； ⑵求()f x 在x a =处的导数．变题：已知'0(),0f x a x =∆→，则00(2)()f x x f x x+∆-=∆001()()2f x x f x x+∆-=∆例3：已知()3f x x =求：⑴()f x '；⑵()0f '；⑶求曲线在（0，0）处的切线方程．例4：已知()323xx'=，求曲线()3f x x =在点（3，27）处的切线与坐标轴所围成的面积．【学后反思】 1．瞬时速度的概念一般地，如果当△t 无限趋近于0时，运动物体位移S （t ）的平均变化率()()00S t t S t t+∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度．2．导数概念设函数()y f x =在区间（a ，b ）上有定义，()0,x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作()0f x '． 3．求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤： ⑴求函数的增量()()00:y y f x x f x ∆∆=+∆-；⑵求平均变化率y x ∆∆；⑶求0x ∆→时，yA x∆→∆，则()0f x A '=． 4．函数在一点处的导数与函数的导函数（即导数）的联系与区别：函数在一点处的导数是由这个点0x x =来确定的，即在点()()00,x f x 处的切线的斜率；而函数的导函数（即导数）是指当()f x 对于区间(),a b 上任意点处都可导，则()f x 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数．设函数被称为()f x 的导函数，记作()f x '；导函数也可以理解为斜率是随着切点的改变而改变的． 【巩固练习】1．一质点运动规律为2236s t t =-+-，则在0t =的瞬时速度为．2．汽车在紧急刹车，速度v 和时间t 满足39v t =-+，车在3t =时的加速度是 ． 3．函数1y x=-在2x =处的导数是 ． 4．设函数()22f x ax =+，若()13f '-=，则a=江苏省泰兴中学高二数学课后作业（22）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1．设一质点在做直线运动，t s 时的位移（单位：m ）为()2132S t t =-，则从t=2s 到t=3s 这时间段的平均速度是． 2．已知()3f x =-，则()f π'=．3．一质点运动方程为2s t =，则质点在t=4时的瞬时速度为___________.4.运动员的速度是9.8 6.5v t =-+，则t=1s 时运动员的瞬时加速度是 m/s 2．5.已知P （-1，1）为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，若PQ k 当0x ∆→时的极限为-2，则在点P 处的切线的方程为___________.6.曲线232y x =-+在点（0，2）的切线的斜率为______________. 7.已知()3f x x =-，则()f x '=． 8.在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是．9.已知f(x+1)-f(1)=2x 2+x,，求)1(f '10.已知函数f(x)=ax 2+c,若)1(f '=2，求实数a 的值.11．已知曲线方程11y x =-，求曲线在P （2，1）处的切线方程．【B 组题】1.曲线3y x =在点P 处的切线的斜率为k ，当k=3时，P 点坐标为_________. 2.已知()()223f x x =+，则()1f '=．3.函数()f x 满足()12f '=，则当x 无限趋近于0时，⑴()()112f x fx+-→⑵()()121f x fx+-→4．用导数定义求函数1y xx=+的导数．。

1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升． 注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

第1章导数及其应用第1课时平均变化率教学过程一、问题情境现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]解通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小.[3]三、数学运用【例1】设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1)自变量的增量Δx;(2)函数的增量Δy;(3)函数的平均变化率.[处理建议]根据定义来求解.[规范板书]解(1)Δx=1.1-1=0.1.(2) Δy=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1.[题后反思]求平均变化率时关键在于理解定义,知道Δx与Δy分别指的是什么.【例2】(教材第7页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)[处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2,函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2,函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2,函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k.变式若质点运动规律为S=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.【例3】如图所示,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)(例3)[处理建议]首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.[规范板书]解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式== ,得y=x,人影长度变化速率为v===.[题后反思]几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.[处理建议]引导学生利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解在[1,4]上的平均变化率为=10,在[1,2]上的平均变化率为=6,在[1,1.5]上的平均变化率为=5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.[规范板书]解在[1,2]上的平均变化率为=-.*【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.[处理建议]本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.[规范板书]解===.四、课堂练习1.黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是400.提示利用平均变化率的概念.2.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3.若函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4.已知正方形原来的边长为4m,现在边长以 2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了(20+8t)m2.提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t(m2).五、课堂小结1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.第2课时曲线上一点处的切线教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.[3]展示下图:(图1)(图2)二、数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图3)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[4]概念生成动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5) Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l 就称为曲线在点P处的切线.[5]问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[6]三、数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)(例1(1))(例1(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?[处理建议]让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.[规范板书]解(1)与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.[题后反思]强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[7]变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?[规范板书]解2个.【例2】(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)[处理建议]为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.[规范板书]解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为k PQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.[题后反思]本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.[规范板书]解设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为k PQ==,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l 的方程.(见学生用书P4)[处理建议]应用平行直线的斜率关系和距离公式.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题有=,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.[题后反思]进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.[处理建议]本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.[规范板书]解设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由可求得a=-.*【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[处理建议]本题应设出切点(x 0,),求出相应的切线方程,再利用此方程过点P(3,5),用待定系数法求出x0.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.[题后反思]本题会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6的错误.变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=-3(x0+1),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.[题后反思]易误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.四、课堂练习1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有②②.(填序号)(第1题)2.求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.解设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为k PQ==.当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.解利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)的斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.五、课堂小结[8]1.知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2.思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.3.总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例.[9]第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t℃[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t℃[2,2.01],==-13.149;t℃[2,2.001],==-13.1049;t℃[2,2.0001],==-13.10049;t℃[1.9,2], =-12.61;t℃[1.99,2],=-13.051;t℃[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t 0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是②②②.(填序号)②物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS==g(3+Δt)2-=g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4℃x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4℃x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1℃x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1℃x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0℃(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解②求Δy;②求;②当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3℃x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解====3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x℃(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是②.(填序号)②在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);②在x=-1处的导数为f'(-1);②在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.第6课时常见函数的导数教学过程一、问题情境前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?二、数学建构问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?解给定函数y=f(x),计算=,令Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).活动1根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.②y=kx+b(k,b为常数).解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.引申:特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.②f(x)=x2.解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.②f(x)=x3.解因为===3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=.问题2你能根据上述②~②发现什么结论?几个常用函数的导数:②(kx+b)'=k(k,b为常数);②(C)'=0(C为常数);②(x)'=1;②(x2)'=2x;②(x3)'=3x2;②=-;②()'=.对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出公式):②(xα)'=αxα-1(α为常数);②(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1);②(lo x)'=log a e=(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(ln x)'=;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.[1]三、数学运用【例1】求曲线y=cos x在点处切线的方程.(见学生用书P12)[处理建议]利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.[规范板书]解y'=-sin x,所以在点处切线的斜率k=-sin==-,即切线方程为x+2y-π-1=0.[题后反思]对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.变式求曲线y=在点处的切线的方程.[规范板书]y'=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)[处理建议]设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.[题后反思]本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,a),由f'(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线x ln 4-y+3=0.(见学生用书P12)[处理建议]利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为。

1.3.1 函数的单调性与导数 教案一、教学目的1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点 利用导数判断函数单调性. 三、教学难点 利用导数判断函数单调性. 四、教学过程 【复习引入】1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a xx ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠⎪⎝⎭【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时: 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数【构建数学】一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号，即：1212()()00f x f x yx x x-∆>>-∆也即:增函数时有1212()()00f x f x yx x x -∆>>-∆也即:减函数时有1212()()00f x f x yx x x-∆<<-∆也即结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间： 如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1 确定函数f(x)=x 2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x 2－2x+4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2 确定函数f(x)=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3 证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f(x 1)－f(x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x 3－9x 2+24x (2)y=x －x 3(1)解：y′=(x 3－9x 2+24x)′=3x 2－18x+24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x+33)(x －33)令－3(x+33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y=x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x+33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y=x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调区间. 解：y′=(ax 2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax+b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y=x x 2+ (2)y=92-x x(3)y=x +x (1)解：y′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0. ∴y=xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y′＜0.∴y=92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y′=(x +x)′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y′＞0. ∴y=x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、小结根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间；解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.六、课后作业。

高二数学讲义（37）导数综合复习（2）【教学目标】1.理解导数的定义及其几何意义；2.掌握几种常见函数的求导公式及其函数的和、差、积、商的求导法则；3.能利用导数法解决函数的单调性问题、极值、最值问题[基础训练]1、设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为2、在曲线3y ax bx =+上点P ()2,2处切线的斜率为9，那么ab =__ 3、如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为______ [典例剖析]例1、证明：当1x >时，恒有2(1)ln 1x x x ->+.o yx -33例2.已知a R ∈，函数2()(2)f x ax x =-有极大值32，（1）求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间.例3.设).442(31)(2a ax x e x f x ++=- （1）求a 的值，使)(x f 的极小值为0；（2）证明：当且仅当a=3时，)(x f 的极大值为4.例4.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.高二数学课后作业（37）班级: 姓名: 学号：1.cos y x x =在3x π=处的导数值是___________.2.设0x 是函数()24x f x x =--的一个零点, 且0(,1)x a a ∈+, 其中a N ∈, 则a = .3.函数()y f x =的图象在点P (5,y)处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=_____4.设a ∈R ，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 . 若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为_______________. 5.①已知3()1f x ax x =++有极值，则实数a 的取值范围为 ________.②已知3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围为________.③已知f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为_______.6、设32()f x x ax bx c =+++在1x =处取得极值2-，且5c >-，求()f x 的单调区间.7、已知函数32()2f x ax ax b =-+在[2,1]-上最大值为5，最小值11-，求,a b 的值.8、已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3lng x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．9、已知函数 321()43cos 32f x x x θ=-+，,[0,]2x R πθ∈∈， 1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；2）要使函数()f x 的极小值大于0，求参数θ的取值范围；3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21,)a a -内都是增函数，求实数a 的取值范围.。