专题14 切线的性质和判定 (原卷版)

专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法专题14 圆锥曲线切线方程 微点1 圆锥曲线切线方程的求法 【微点综述】圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论． 一、圆锥曲线切线方程方法 1．向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程． 例11．已知圆O 的方程是()()222x a y b r -+-=，求经过圆上一点()00,M x y 的圆的切线l 的方程． 2．变换法设椭圆方程为22221x y a b +=，我们作变换：,,x au y bv =⎧⎨=⎩则可把椭圆化为单位圆：221u v +=，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题． 例22．求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程． 3．判别式法可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．思维导图：设切线方程⇒联立切线与椭圆的方程⇒消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程⇒Δ0=求切线斜率⇒写出切线方程． 注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切． 例33．求经过点()2,1M 的双曲线：2222x y -=的切线l 的方程． 4．导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程． 例44．设为,A B 曲线2:4x C y =上两点，,A B 的横坐标之和为4．设M 为曲线C 上一点，C在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 例55．证明：过椭圆C ：22221x y m n+=(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为00221x x y y m n +=．5．几何性质法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：（1）若焦点为12,F F 的椭圆或双曲线上有一点M ，则12F MF ∠的平分线一定与圆锥曲线相切；（2）若焦点为F 的抛物线上有一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则FN 的中点P 与M 的连线PM 必与抛物线相切．据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程． 例66．求抛物线2:8C y x =上经过点()8,8M 的切线l 的方程． 例77．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 例8（2022乙卷理科）8．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：()2241y x ++=上点的距离的最小值为4． (1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 【强化训练】（2022桃城区校级模拟）9．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022聊城一模）10．已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022迎泽区校级月考）11．已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.12．过圆2216x y +=外一点P （4，2）向圆引切线． (1)求过点P 的圆的切线方程；(2)若过点P 的直线截圆所得的弦长为(3)若过P 点引圆的两条切线，切点分别为1P 、2P ，求过切点1P 、2P 的直线方程． （2021春·黑龙江期中）13．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y+= B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += （2020．新课标△）14．已知△M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作△M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=（2022宿州期末）15．定义：若点()00,P x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，则以 P 为切点的切线方程为：00221x x y y a b +=.已知椭圆 22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点（ ） A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022金安区校级期末）16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ） A ．1BCD ．2（2022吉安期末理）17．过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．20?x y +-= B ．30x y --= C ．2330x y +-= D ．3100x y --=（2022大连期末）18．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点N 的切线方程为_____________. （2022泸县校级一模）19．椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是______．（2022金安区校级模拟）20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C （ABC ≠0）上一点M （x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C ，．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点M （x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线l ，已知直线l 过点N 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率的取值范围是⎣，则该双曲线离心率的取值范围是______． （2022兴庆区校级一模）21．已知()00,P x y 是抛物线()220y px p =>上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在22y px =两边同时求导，得：2'2yy p =，则'py y=，所以过P 的切线的斜率0p k y =.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P 处的切线方程为_________.（2022亳州期末）22．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，点P (2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程(2)求过点P 的椭圆C 的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P 被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．（2022福州二模）23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M （4，t ），其中t R ∈，切点分别是A 、B ，试利用结论：在椭圆22221x y a b+=上的点()00,x y 处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=，证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ；(3)试探究2211AF BF +的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由． （2022香坊区校级三模）24．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B .（1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程. （2022渝中区校级月考）25．已知椭圆22122:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为12，过点)E的椭圆1C 的两条切线相互垂直.（△）求椭圆1C 的方程；（△）在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. （2022杭州模拟）26．已知曲线1C 上任意一点到()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1，椭圆2C 的中心在原点，一个焦点与1C 的焦点重合，长轴长为4．(1)求曲线1C 和椭圆2C 的方程；(2)椭圆2C 上是否存在一点M ，经过点M 作曲线1C 的两条切线,MA MB （,A B 为切点）使得直线AB 过椭圆的上顶点，若存在，求出切线,MA MB 的方程，不存在，说明理由．参考答案：1．()()()()200x a x a y b y b r --+--=【分析】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，利用0OM ON ⋅=化简整理可得. 【详解】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，由已知得圆心(),O a b ，()()0000,,,OM x a y b MN x x y y ∴=--=--，又0OM ON ⋅=，即()0000()()()0x x x a y y y b --+--= 所以()()()()()()00000x a x a x a y b y b y b ----+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， △过圆上的点()00,M x y 的圆的切线l 的方程是：()()()()()()220000x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，又()()22200x a y b r -+-=，△所求圆的切线l 的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．2．340x y +-=【分析】令,43yx u v ==，利用伸缩变换求得椭圆和点M 在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.【详解】令,43y x u v ==，则椭圆在新坐标系uOv 下的方程是：221u v +=，点M ⎛ ⎝⎭在新坐标系uOv 下的坐标是：⎝⎭，设过圆221u v +=上的点⎝⎭的切线方程为(22v k u -=-（易得斜率必存在），即(v k u =221u v +=整理得2221(1)(1)(21)02k u k u k k +-+--=由题意可知，22222(1)2(1)(21)0k k k k k =--+--=Δ，整理得2(1)0k +=即1k =-，所以切线方程为(v u =-，即：u v +=∴过椭圆上一点M 的切线l的方程是：43x y+340x y +-=． 3．10x y --=【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【详解】若直线斜率不存在，过点()2,1M 的直线方程为：2x =，代入2222x y -=可得21y =，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设l 的方程是：()12y k x -=-，即：21y kx k =-+，将它代入方程2222x y -=整理得：()()()222214218840k x k k x k k ---+-+=，由已知20210,k -∆=≠，即()()()2224214218840k k k k k -----+=⎡⎤⎣⎦，解得：1k =，故所求切线l 的方程为：21y x =-+，即：10x y --=． 4．7y x =+【分析】在求得直线AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点M 的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=，于是直线AB 的斜率为121212121212()()14()4y y x x x x x x k x x x x -+-+====--， 由24x y =，得2x y '=． 设()33,M x y ，由题意可知：312x =，解得32x =，()2,1M ∴． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段的中点为()2,2N m +，1MN m =+将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=，当()1610m ∆=+>，即当1m >-时，12x =+22x =-从而可得12AB x =-= 因为AM BM ⊥，且BN AN =，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 所以BN AN MN ==，所以2AB MN =，即()21m =+， 解得7m =，直线AB 的方程为7y x =+． 5．证明见解析【分析】方法一：分0y >，0y <和0y =，当0y >，0y <时，利用导数求切线方程可得； 方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程. 【详解】法一：由椭圆C ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时，y =2nx y m '=-，△当00y >时，2000222001x n n n k x x y mm m y n =-=-=-⋅． △切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，两边同时除以22m n 得：00221x x y ym n+=． 同理可证：00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=． 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=． 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=． 法二：当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，△由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 化简可得：2222t m k n =+，△式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=． 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=．6．280x y -+=【分析】根据线段NF 的垂直平分线经过点M 即可求得切线方程.【详解】由抛物线2:8C y x =可得其焦点()2,0F ， 准线方程为：2x =-， 过点()8,8M 作准线的垂线，设垂足为N ，则N 的坐标为()2,8-， 又设FN 的中点为P ，则P 的坐标为()0,4，如图所示：故直线PM 的方程为：84480y x --=-， 即280x y -+=，△切线l 的方程为280x y -+=． 7．答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+，且均过均过点P ，可知弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】以22y px =（p ＞0）为例说明．设点00(,)Q x y 是抛物线22y px =上的任意一点，则过点00(,)Q x y 且与抛物线相切的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2002()y pxy y k x x ⎧=⎨-=-⎩得：222222000000(222)20k x k x p ky x k x y kx y -+-++-=，因为二者相切，所以Δ0=，即222222000000(222)4(2)0k x p ky k k x y kx y +--+-=，化简得：0p k y =，又2002y px =， 代入00()y y k x x -=-得：()00y y p x x =+，即抛物线22y px =在00(,)Q x y 处的切线方程为()00yy p x x =+. 设准线上任一点0,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+两切线均过点P ，则满足1012p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2022p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故过两切点的弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则弦AB 过焦点．【点睛】（1）点()00,P x y 是抛物线()220y mx m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00y y m x x =+；（2）点()00,P x y 是抛物线()220x my m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00x x m y y =+．8．(1)p ＝2(2)【分析】（1）先求42pFM =+，点F 到圆M 上的点的距离的最小值即为FM r -. （2）求出AB =和点P 到直线AB的距离d =322(6)2144PABb S ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭△，根据b 的范围即可求最大值.（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到圆心4(0,)M -的距离42p FM +，所以点F 到圆M 上的点的距离的最小值为4142pFM r -=+-=， 解得p ＝2； （2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =， 即214y x =，则12y x '=， 设切点()11,A x y ，()22,B x y ， 则易得PA l ：21124x x y x =-，△PB l ：22224x x y x =-，△联立△△可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，设AB l ：y kx b =+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2440x kx b --=， △216160k b ∆=+>，即20k b +>， 且124x x k +=，124x x b =-， △(2,)P k b -△AB ==点P 到直线AB 的距离d =△()322142PABS AB d k b ==+△△，又点(2,)P k b -在圆M ：()2241y x ++=上， 故()22144b k --=，代入△得，332222(6)2112154444PAB b b b S ⎛⎫--+⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 而[]5,3p y b =-∈--，△当b ＝5时，()max=PAB S【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．A【分析】设(2,)P t ，圆心C 的坐标为(0,0)，可得以线段PC 为直径的圆N 的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦AB 的方程可得答案． 【详解】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 10．A【分析】由P A △AC ，PB △BC 可知点A 、B 在以PC 为直径的圆上，设点P 坐标，写出以PC 为直径的圆的方程，然后可得直线AB 方程，再由直线方程可确定所过定点. 【详解】根据题意，P 为直线l ：20x y ++=上的动点，设P 的坐标为(),2t t --， 过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A △AC ，PB △BC ， 则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C （0，0），(),2P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为：()()20x x t y y t -+++=，变形可得：()2220x y tx t y +-++=，则有22221(2)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+-++=⎩，联立可得：()120tx t y -++=，变形可得：()120y t x y +--=， 即直线AB 的方程为()120y t x y +--=，变形可得：()120y t x y +--=，则有1200y x y +=⎧⎨-=⎩，解可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：A ． 11．118,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -， 圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=， 变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩， 则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7；故答案为：11(7，8)7．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用. 12．(1)x ＝4或34200x y +-= (2)y ＝2或43100x y --= (3)280x y +-=【分析】（1）分k 不存在和k 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；（22，结合圆心到直线距离公式，可得解； （3）由题意12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径，写出圆的方程，过切点1P 、2P 的直线即为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的交线，求解即可. （1）当切线斜率不存在时，过点P （4，2）的直线为x ＝4，圆心到直线距离等于半径，故x ＝4为切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=．4=，即430k +=解得：34k =-，此时切线方程为34200x y +-=．△过点P 的圆的切线方程为x ＝4或34200x y +-=； （2）由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为420kx y k --+=．△r ＝4，且弦长为△圆心到直线420kx y k --+=的距离2d ==，即2340k k -= 解得k ＝0或43k =．△所求直线方程为y ＝2或43100x y --=； （3）由题意，1122,OP PP OP PP ⊥⊥ 故12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径 △P （4，2），△以PO 为直径的圆圆心为(2,1)，半径||2PO r == 故圆的方程为()()22215x y -+-=，由于12,P P 也在圆2216x y +=上，故过切点1P 、2P 的直线为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的公共弦 两圆方程作差可得过1P 、2P 的直线方程为280x y +-=． 13．C【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上， 故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 14．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． △()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 15．C【解析】设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，即可表示出MA 的方程，又M 在MA 上，即可得到()1126132x t y t++=，即可得到直线AB 的方程，从而求出直线AB 过的定点； 【详解】解：因为点M 在直线260x y --=上，设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，所以MA 的方程为11132x x y y+=，又M 在MA 上，所以()1126132x t y t ++=△，同理可得()2226132x t y t ++=△； 由△△可得AB 的方程为()26132x t yt++=，即()22636x t yt ++=，即()()431260x y t x ++-=，所以4301260x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线恒过定点12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 16．C【解析】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，根据题意，求得过点B 的切线l 的方程，即可求得C 、D 坐标，代入面积公式，即可求得OCD 面积S 的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x y y x =，即111,x y ==时等号成立， 所以OCD. 故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B 的切线方程，进而求得面积S 的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 17．A【解析】根据类比推理，可得直线l 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -的切线l 的方程为31124x y-+=， 即40x y --=，切线l 的斜率为1， 与直线l 垂直的直线的斜率为-1， 过A 点且与直线l 垂直的 直线方程为(13)y x +=-一， 即20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 18． 111x x y y +=22221x x y ya b+= 【分析】由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程 【详解】解：因为11OM y k x =，切线与直线OM ， 所以所求切线的斜率为11x y -， 所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=--，即221111y y y x x x -=-+，得221111x x y y x y +=+，因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=； 当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22221y x b a=- 22222y a x b a -= △22222()b y a x a =-△y = △1'222()(2)2b y a x x a-=-⋅-1222()bx a x a -=--=△过点()22,N x y的切线的斜率为△过点()22,N x y的切线的方程为22)y y x x -=-△点()22,N x y 在椭圆上，△2222221x y a b+=，222222222,a y a y b x a b b=+=， △2222()bx b y y x x a ay -=-⋅-， 即222222()b xy y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，2222222222a y y b x x a y b x +=+，△222222a y y b x x a b +=，△所求的切线方程为22221x x y ya b+=， 当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y ya b+=所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为22221x x y ya b+=， 故答案为：111x x y y +=；22221x x y ya b+= 【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题 19．340x y +-=【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】△椭圆223144x y +=，△y >0时，y △23xy -'=， △x ＝1时，13y '=-，即切线斜率13k =-，△椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是()1113y x -=--，即340x y +-=． 故答案为：340x y +-=． 20．【分析】求得切线方程，将N 代入切线方程，即可求得M 点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案． 【详解】双曲线在M （x 0，y 0）的切线方程为00221x x y ya b-=，将N 代入切线方程， 解得y 0＝﹣2b ，代入双曲线方程解得：x 0，21y b =，即y2bx +，由斜率的取值范围是⎣1≤b a ≤2， 由双曲线的离心率e ＝c a1≤22b a ≤4，∴双曲线离心率的取值范围， 故答案为:．【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．21．20-=x y【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212y x ＝－两边同时求导得，22x yy x y y '∴'=＝，，0002|2x x x k y y =∴='＝， △切线方程为2(y x ，整理为一般式即：20x y －.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．(1)2211612x y +=；(2)280x y +-=； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出,,a b c .（2）由直线与椭圆相切，根据判别式Δ0=即可求出直线斜率k . （3）利用向量数量积证明直线1PF 与2F P 关于直线m 对称即可；【详解】（1）由题意可得：2222212491c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得216a =，212b =，△椭圆C 的方程为：2211612x y +=；（2）显然，过点P (2，3)的切线存在斜率， 设切线l 的斜率为k ，则l ：3(2)y k x -=-，由22116123(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()222348231648120k x k kx k k +--+--=， 因为直线l 与椭圆C 相切，∴()()()2222Δ64234341648120k k k k k =--+--=，化为：24410k k ++=，解得12k =-．△求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=． （3）证明：△椭圆C 的方程为：2211612x y +=， 则椭圆左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， △过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=， △过点P 的椭圆法线方程为m ：210x y --=， 法线的方向向量()1,2m =--， △()14,3PF =--，()20,3PF =-， △1112cos ,PF mPF m PF m⋅==-，2222cos ,PF mPF m PF m⋅==- △直线1PF ，2F P 关于直线m 对称；△从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点． 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：△定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．△待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 23．(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)是，常数为43【分析】（1）代入点坐标，结合2221b e a=-求解即可；（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M （4，t ），可得点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，求出定点坐标即可； （3）联立直线AB 与椭圆，点点距公式表示22,AF BF ，结合韦达定理化简即得解【详解】（1）△椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．△222314b e a =-=，△221914a b +=，△， 由△△得：24a =，23b =，△椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设切点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，则切线方程分别为11143x x y y+=，22143x x y y +=． 又两条切线交于点M （4，t ），即1113t x y +=，2213tx y +=，即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，令0y =，可得1x = 故对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点()21,0F ．（3）将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， △122612t y y t +=+，1222712y y t =-+， 不妨设10y >，20y <，21AF y =，同理22BF y =，△211212221111y y y y y y AF BF -⎫+=-=⎪⎭1243==，△2211AF BF +的值恒为常数43． 24．（1）2y x =+；（2）2214812x y +=. 【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求. （2a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求. 【详解】解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-， 当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =， 所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=， 21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+，()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =， 所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.25．(△)22143x y +=；(△)满足条件的点P 有两个.【详解】试题分析：(1) 结合椭圆的离心率可求得1c =，则椭圆方程为22143x y +=.(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线BC 的方程为002x y x y =-，则点P 的轨迹方程为112y x =-，原问题转化为直线112y x =-与椭圆1C 的交点个数，即满足条件的点P 有两个. 试题解析：（△）由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ， 则1NE k =，NE的直线方程为y x =因为椭圆22122:1x y C a b+= ()0a b >>的离心率为12，所以椭圆22122:143x y C c c+=，所以22221,43y x x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 0∆=，则1c =， 所以椭圆方程为22143x y +=.（△）设点()11,B x y ，()22,C x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=，△抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为()1112x y y x x -=-， 即2111122x y x y x =+-， △21114y x =，△112x y x y =-.△点()00,P x y 在切线1l 上，△10012x y x y =-.△ 同理，20022x y x y =-.△ 综合△、△得，点()11,B x y ，()22,C x y 的坐标都满足方程002xy x y =-. △经过()11,B x y ，()22,C x y 两点的直线是唯一的， △直线BC 的方程为002x y x y =-， △点()1,1A 在直线BC 上，△00112y x =-， △点P 的轨迹方程为112y x =-.又△点P 在椭圆1C 上，又在直线112y x =-上， △直线112y x =-经过椭圆1C 内一点()0,1-， △直线112y x =-与椭圆1C 交于两点. △满足条件的点P 有两个.26．(1)21:4C x y =，222:134x y C +=(2)2y =-【分析】(1)依据曲线1C 和椭圆的定义求方程.(2) 假设点M 存在，设切线方程，M 即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.【详解】（1）由曲线1C 上任意一点到F （0，1）的距离比到x 轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线1C 为以F （0，1）为焦点的抛物线，则曲线1C ：24x y =；设椭圆2C 的方程()222210y x a b a b+=>>，由24a =，a ＝2，c ＝1，2223b a c =-=，△椭圆2C ：22143y x +=；（2）若存在，由题意设AB 方程：y ＝kx +2代入24x y =，化简得2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，△ 由于12y x '=，△切线MA 方程为：()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，△同理切线MB 方程为：2221124y x x x =-，△ 由△△得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，△M （2k ，-2）， 又M （2k ，-2）在椭圆上，24113k +=可得：k ＝0，△M （0，-2）k ＝0代入△有：1x =2x =-△椭圆2C 上存在一点M （0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为2y =-． 【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点M 的坐标，由点M 的特性可以求出M 坐标，进而求出切点，写出切线方程．。

专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。

中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。

：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是⊙O 的切线。

》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

<（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。

•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。

（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。

【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。

,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。

(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

切线的性质与判定1-3题做垂直证半径，4-15题连半径证垂直.一 、解答题1.如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．2.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．4.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．E BE BE BE B5.已知：如图, AB 是⊙O 的直径, AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接DF ，DE ⊥CF 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AB =10，4cos 5C ∠=，求EF 的长．6.如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．7.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；OFEDCBA（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．8.如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．9.已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，，求⊙的半径长.10.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C ABCD O BD O AE CD ⊥E DA BDE ∠AE O 301cm DBC DE ∠==，BDD O CA B O .OA AB AD ==BD OE BC AE BCF 8BE =tan BFA ∠=O CD11.已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC 相切．12.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，D CAB ∠=∠． （1）求证：AD 为⊙O 的切线； （2）若4sin 5D =，6AD =，求CE 的长．13.如图，ABC △内接于O ，AB AC =，点D 在O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =． （1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．CDB14.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．15.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．ODCBAEA BCDODCOABE切线的性质与判定答案解析一 、解答题1.解法一：连结OD ，过O 点作OE AC ⊥于E ．∵AB AC =，∴B C ∠=∠， ∵O 是BC 中点，∴OB OC = OD AB ⊥∵O ⊙与AB 相切于D ，∴∴BOD COE ∆∆≌， ∴OE OD =， ∵OE AC ⊥， ∴AC 与O ⊙相切．解法二：连结OD OA 、，过O 点作OE AC ⊥于E ． ∵AB AC =，O 是BC 中点， ∴AO 平分BAC ∠，∵O ⊙与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥ ∵OE AC ⊥，∴OD OE =， ∴AC 与O ⊙相切．2.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．3.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．4.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ．可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒ ∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠， ∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．． （2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角， ∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BDAD DC=，即2CD AD BD =⋅． 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．5.（1）连接OD ， ∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠1．∵AB=AC, ∴∠B=∠C ．∴∠1=∠C ．∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥CF 于点E ，∴∠CED ＝90°． ∴∠ODE ＝∠CED ＝90°．∴ DE 是⊙O 的切线．(2) 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．∵cosC=cosB=54． ∵AB=10，∴BD=AB ·cosB=8． ∵∠F=∠B =∠C ． ∴DF=DC=8．且cosF=cosC=45．在Rt △DEF 中，EF=DF ·cosF=532． 6.（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥．∵ AC BC =， ∴AB BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点，∴DO AC ∥．∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ∥．∴ EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠． ∴BG EF ∥． ∴sin FC CGE EC BC∠==． 设CG x =，则6AG x =-． 在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-． ∴()2222686x x -=--． 解得23x =．即23CG =． 在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===． 7.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线 （2）易知10AD ==∴12DE AD = DFG COBEA8.（1）证明：连接，∵DA 平分，∴BDA EDA ∠=∠．∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∴OAD EDA ∠=∠．∴OA CE ∥．∵AE DE ⊥，∴90AED ∠=︒，90OAE DEA ∠=∠=︒ ∴AE OA ⊥． ∴AE 是O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴90BCD BAD ∠=∠=︒． ∵30DBC ∠=︒，60BDC ∠=︒ ∴120BDE ∠=︒．∵DA 平分BDE ∠，∴60BDA EDA ∠=∠=︒∴30ABD EAD ∠=∠=︒．在Rt AED △中，90AED ∠=︒，30EAD ∠=︒，∴2AD DE =．在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，30ABD ∠=︒，∴24BD AD DE ==．∵DE 的长时1cm ，∴BD 的长是4cm ． 9.（1）证明：连接.∵， ∴. ∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上，∴是⊙的切线 . （2）解：∵是⊙的直径， ∴.在中，, ∴设则，∴ .∴. OA BDE ∠OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O CA O 90ABC ∠=︒Rt ABF△tan 2AB BFA BF ∠==,AB =2BF x=3AF x ==23BF AF =CD∵, ∴ ∽ . ∴. ∵,∴ .∴.10.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线 （2）易知10AD ==∴12DE AD = 11.如图所示，过O 作OE AC ⊥，垂足为E ．∵O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ∴OE OD =， ∴O ⊙与AC 相切．【解析】证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种：①已知直线过圆上某点，那么连接该点与圆心，如第⑴题； ②如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线． 12.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒． ∴90CAB B ∠+∠=︒． ∵D CAB ∠=∠，∴90D B ∠+∠=︒． ∴90DAB ∠=︒．∴AD 为⊙O 的切线．,34C E ∠=∠∠=∠BFE ∆AFC ∆23BE BF AC AF ==8BE =12AC =6AO =（2）解：∵4sin 5D =，6AD =， 在Rt ACD △中， 24sin 5AC AD D =⋅=，185CD =． 在Rt DAB △中，sin D =45AB DB =． ∴8AB =，10DB =．∵AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴CE EF =．设CE EF x ==， 则18105BE x =--， ∵90EFB DAB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BEF △∽BDA △． ∴EF BE DA BD=， 即18105610x x --=． ∴125x =． 即CE 的长为125． 13.（1）如图，连结BD ．∵AD AB ⊥，∴DB 是O ⊙的直径．∴1290D ∠+∠+∠=︒．又∵AE AF =，∴BE BF =，23∠=∠．∵AB AC =，∴23D C ∠=∠=∠=∠．∴12390∠+∠+∠=︒．F C即OB BF ⊥于B ．∴直线BF 是O ⊙的切线．（2）作AG BC ⊥于点G ．∵23D ∠=∠=∠． ∴4cos cos 35D ∠=∠=．在Rt ABD △中，90DAB ∠=︒，4AD =，4cos 5D ∠=，∴5cos AD BD D==， 223AB BD AD =-=． 在Rt ABG △中，90AGB ∠=︒，3AB =，4cos 25∠=，∴12cos 25BG AB =∠=． ∵AB AC = ，∴2425BC BG ==． 14.（1）直线BD 与O 相切．如图1，连结OD ．OA OD =，A ADO ∠=∠． 90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=． 又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=．90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切．（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． DCO A B E图190C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． 2BC =， 52BD ∴=． 15.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ． 可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠，∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．．（2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角，∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BD AD DC=，即2CD AD BD =⋅． 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．。

微专题14 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。