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(完整)高二数学导数知识点总结及习题练习,推荐文档

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[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
由已知可得Error!解得 a＝＋g(x)＝x3＋ax2＋ 4 x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋ 4 ，令 F′(x)＝0，得
解析：选 A 由 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x 得 f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则
( )π
π
π
a＝f′ 4 ＝3－2sin2＋2cos2＝1.由 y＝x3 得 y′＝3x2，过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线的斜率
k＝3a2＝3×12＝3.又 b＝a3，则 b＝1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 y＝x3 上的点 P 的切线
(9)设 f (x) 与 g(x) 的定义域的交集为 D 若 x D f (x) g(x) 恒成立则有f (x) g(x) 0 min
(10)若对 x1 I1 、 x2 I2 ， f (x1) g(x2 ) 恒成立，则 f (x)min g(x)max . 若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ,则 f (x)min g(x)min .
大于 0，极小值小于 0.
(13)证题中常用的不等式:
① ln x x 1 (x 0) ② ln（x）+1 x (x 1) ③ ex 1 x
④ ex 1 x ⑤
ln x x 1 x 1 2
(x 1) ⑥ ln x 1 1
x2 2 2x2
(x 0)
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
( )π
1．(2014·洛阳统考)已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′ 4 ，f′(x)是 f(x)的导函数，则 过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0
B．4x－3y＋1＝0
C．3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0
D．3x－y－2＝0 或 4x－3y＋1＝0
若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ，则 f (x)max g(x)max . （11）已知 f (x) 在区间 I1 上的值域为 A,， g(x) 在区间 I2 上值域为 B，
若对 x1 I1 , x2 I2 ，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，则 A B 。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0 有两个不等实根 x1 、x2 ，且极大值
y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0，y0)，
1
7
则有
x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝2x
2 0
＋mx0＋2，m<0，于是解得
m＝－2，故选
D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
[典例 1]已知函数 f(x)＝x2－ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明．
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0，∴f′(x)<0 恒成立，∴f(x)在 R 上单调递减． [典例 2] (2012·北京高考改编)已知函数 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a2＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区间．
解：f(x)＝x2－ex，f(x)在 R 上单调递减，
f′(x)＝2x－ex，只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可．设 g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则 g′(x)＝2－ex，
当 x＝ln 2 时，g′(x)＝0，当 x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0，当 x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
(4)函数 f (x) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： x I f (x) 0 ( 0) 恒成立 (5)函数 f (x) 在区间 I 上不单调等价于 f (x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程
f (x) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f (x) 为二次函数且 I=R，则有 0 ） 。 (6) f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f (x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) 0 或
高三专题复习——导数
在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线 y f (x) 在 x x0 处的切线的斜率等于 f (x0 ) ，切线方程为 y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) (2)若可导函数 y f (x) 在 x x0 处取得极值，则 f (x0 ) 0 。反之，不成立。 (3)对于可导函数 f (x) ，不等式 f (x) 0（） 0 的解集决定函数 f (x) 的递增（减）区间。
角度三 求参数的值
1
7
3．已知 f(x)＝ln x，g(x)＝2x2＋mx＋2(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，且与 f(x)
图像的切点为(1，f(1))，则 m 等于( )
A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
1
解析：选 D ∵f′(x)＝x，∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1，又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为
f (x) 0 在 I 上恒成立 (7)若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)min 0 ; 若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)max 0 (8)若 x0 I ，使得 f (x0 ) 0 ，则 f (x)max 0 ；若 x0 I ，使得 f (x0 ) 0 ，则 f (x)min 0 .
方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线 y＝3ln x＋x＋2 在点 P0 处的切线方程为 4x－y－1＝0，则
点 P0 的坐标是( )
A．(0,1)
B．(1，－1)
C．(1,3)
D．(1,0) 3
解析：选 C 由题意知 y′＝x＋1＝4，解得 x＝1，此时 4×1－y－1＝0，解得 y＝3，∴点 P0 的坐标是(1,3)．

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高二上学期数学导数知识点

高二上学期数学导数知识点

高二上学期数学导数知识点导数是微分学的重要概念，是函数变化率的度量。

在高二上学期的数学学习中，导数是一个重要的知识点。

本文将介绍高二上学期数学导数的相关知识点，包括导数的定义、导数的基本性质、导数的计算方法和导数应用的例题。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。

导数的定义如下：f'(x) = lim(x→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx其中，lim表示极限，Δx表示x的增量。

这个定义可以解释为：当Δx趋近于0时，函数在x点的变化率趋近于某个值，即导数。

二、导数的基本性质1. 可微性：如果函数在某一点上的导数存在，则该函数在该点上是可微的。

2. 导数与函数图像的关系：函数图像在某一点的切线的斜率等于该点处的导数值。

3. 导数与函数的关系：若函数f(x)在某一点x处可导，则该点处的导数值给出了函数图像在该点斜率的大小和方向。

4. 导数的唯一性：函数在一个点的导数是唯一的。

三、导数的计算方法1. 基本函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数可以通过一些基本规则进行计算。

2. 导数的四则运算：如果f(x)和g(x)是可导函数，则它们的和、差、积、商仍然是可导函数，且有如下规则：(f+g)' = f' + g'(f-g)' = f' - g'(f·g)' = f'·g + f·g'(f/g)' = (f'·g - f·g') / g²3. 复合函数的导数：如对于复合函数h(x) = f(g(x))，可以使用链式法则进行求解：h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)四、导数应用的例题例题1：求函数f(x) = x³ - 3x² + 2x的导函数。

高二导数的知识点总结大全

高二导数的知识点总结大全

高二导数的知识点总结大全一、导数的定义和基本概念导数是微分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x处的导数存在，则导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

二、导数的性质1. 可导函数的性质：- 可导函数f(x)在其定义域上连续。

- 当函数f(x)在某一点x处可导时，f(x)在该点连续。

2. 常见函数的导数公式：- 常数函数的导数为零：(c)' = 0。

- 幂函数的导数公式：(x^n)' = nx^(n-1)。

- 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x。

- 对数函数的导数公式：(lnx)' = 1/x。

- 三角函数的导数公式：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。

3. 导数的四则运算规则：- 和的导数等于导数的和：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。

- 差的导数等于导数的差：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)。

- 积的导数等于导数的积加上原函数乘以导数：(f(x) * g(x))' =f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 商的导数等于导数的商减去原函数乘以导数的商的导数：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2。

三、导数的应用1. 切线与法线：- 函数图像上一点处的切线斜率等于该点处的导数值。

- 函数图像上一点处的法线斜率等于切线斜率的负倒数。

2. 极值点与拐点：- 极值点对应函数的导数在该点处为零或不存在。

- 函数图像的拐点对应函数的导数在该点处发生变号。

高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)

高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

导数高二知识点总结

导数高二知识点总结

导数高二知识点总结一、导数的概念1.1 函数的变化率导数的概念来源于对函数的变化率的研究。

当我们研究一个函数在某一点的变化情况时，我们关心的是函数值的改变量与自变量的改变量的比值。

这个比值就是函数的变化率。

而导数正是描述函数在某一点的变化率的工具。

1.2 导数的几何意义在几何上，函数图像在某一点的导数就是函数图像在该点的切线的斜率。

换句话说，导数表示了函数图像在该点的曲率和变化的速率。

这对理解导数的性质和应用提供了直观的几何解释。

1.3 导数的严格定义数学上，导数可以通过极限的概念来严格定义。

对于函数y=f(x)，如果极限lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗存在，则称这个极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。

二、导数的性质2.1 导数存在的条件函数在某一点可导的条件是该点的单侧导数存在且相等。

也就是说，函数在某一点可导的前提是该点的左导数和右导数存在且相等。

如果一个函数在某一点的左导数和右导数存在且相等，则该函数在该点处可导。

2.2 可导函数的性质如果函数在某一点可导，则在该点处函数是连续的。

而且，可导函数具有如下性质：a) 可导函数的导数是连续的b) 可导函数的导函数具有如下性质：i. (f+g)'=f'+g'ii. (cf)'=cf'iii. (fg)'=f'g+fg'iv. (f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)2.3 高阶导数对于一个可导函数，它的导函数也可以再次求导，这样就得到了函数的二阶导数。

类似地，可以继续求导得到函数的三阶导数、四阶导数等。

这些导数依次称为函数的高阶导数。

2.4 隐函数的导数对于由隐函数定义的函数，求导的方法和公式与显式函数不同，需要利用隐函数求导法则进行计算。

隐函数求导法则是根据函数定义方程的导数计算，需要运用链式法则和隐函数求导的相关知识。