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05第五章变量之间的相关及其描述

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第五章 相关关系 PPT课件

第五章 相关关系 PPT课件

p 越接近1，表示两个变量的相关程度越密切，称高相关。
p 越接近0，表示两个变量的相关程度越疏松，称低相关。
3、相关散点图
直观地显示了两个事物的成对观测值之间是否存在相关， 存在什么样的相关以及相关程度
几种相关散点图：
R=-1 R=1
曲线相关
线性正相关
线性 （如身高和体重）
非线性 (如年龄和身高)
第五章 相关关系
一、相关、相关关系与散点图 二、积差相关 三、等级相关 四、质与量相关 五、品质相关 六、相关系数的选用与解释
一、相关、相关关系与散点图
1、相关的意义
事物之间的相互关系
因果关系（两种事物） 共变关系（三种事物） 相关关系（两种事物）
相关的含义
零相关：两列变量之间没有 关系，即6一列变量变动时， 另一列变量作无规律变动。
2、相关系数
——两列变量间相关程度的数字表现形式，即用来表示相关系数 强度的指标。P（总体） r（样本）
p, r [1,1]
p0
不相关，相互独立
p0
正相关
p0
负相关
p 1
完全正相关
p 1
完全负相关
r
s2 xi

S2 yi

S
2 d
2 S xi S yi
(d xi yi )
4、标准分数的计算公式
1 r 1 N
Z Z xi yi
r N Z Z xi yi
实例：书P116 （例5-1）
5、相关系数的合并
意义：来自同一总体的多个样本的相关系数的合成。 步骤： （1）将各样本的r 转换成费舍Z分数，见附表8。 （2）求每一样本的Z分数之和 （3）求平均Z分数

教育与心理统计学 第五章：相关系数

教育与心理统计学 第五章：相关系数

质与量相关
两列变量中：
一列为等比或等距的测量数据，且总体分布为正 态
另一列为二分变量（性别，结婚状况）
二分变量分真正的二分变量和人为的二分变量
真正的二分变量——离散型二分变量，测量结果只有 两种类型。
人为二分变量——该变量是一个连续型的测量数据， 本身是一个连续的统一体，但是被人为规定的标准划 分为两个类别。
散点的分布形状为椭圆形，可 认为两变量之间具有线性关系。
正相关0<r<1
负相关-1<r<0
当所有的点都分布在一条直线上时， 两变量之间的关系为完全相关。
16
70
B 15
C
68
14
13
66
12 64
11
10
10
12
14
A 16
完全正相关r=1
62
10
12
14
A 16
完全负相关r=-1
散点的分布没有明显集中在某一方向的趋势，形 成圆形区域时，两变量之间的关系为零相关。
二、计算积差相关系数的基本公式
（一）利用标准差和离均差的计算公式：
r xy NSXSY
r xy x2. y2
Sxy r
SXSY
(5-1a) (5-1b) new
协方差(covariance)是两个变量离均差乘积的 平均数。协方差越大，表示X、Y两列变量的 线性关系越强。 用符号COV表示。
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关？ （一）事物之间的相互关系
事物之间的相互关系
因果关系（两种事物） 共变关系（三种事物） 相关关系（两种事物）
相关的含义
——事物之间存在关系，但又 不能直接做因果关系解释时， 称事物间的联系为相关。 ——判断两个因素或变量之间 是否有关系，定量地研究这些 关系，称为相关分析。

第五章 相关系数

第五章 相关系数

=9.48
将以上数值代入公式（4.1）
r N x Y
xy =
285 .1 =0.56 10 5.34 9.48
所以，语文测验成绩与英语测验成绩之间的相关系数 r=0.56。
2、用原始观测值求r 利用基本公式求r，麻烦且结果不够精确。 可用原始观测值直接求r，公式为： X Y XY N (5.3) r X Y X N Y N 或者
2 2 2 2
r
N X 2 ( X ) 2 N Y 2 ( Y ) 2
N XY X Y
(5.4)
式中 ， 、Y分别为两变量的观测值， X
N为观测值的对数
实际上，这两个公式是由公式（5.1）推导出来的。 X ， Y Y ， x X X ， 把 X N N (Y Y ) 2 (X X ) 和 ，以及 代入公 y Y Y
不完全相关：由两列变量成对的观测值的坐标
点不在一条直线上，呈椭圆形。 零相关：指两变量间没有相关关系，即当一 变量变化时，另一变量不显示出变化倾向， 或即使有变化，也无一定规律。
不完全正相关
不完全负相关
零相关
从散布图的形状，我们可以大 约地看出变量间相关程度的强弱、 方向或性质，但并不能得知其相关 的确切程度。 为精确了解变量间的相关程度， 还需进行进一步的统计分析，求出 描述变量间相关程度的量数，即相 关系数。
r N X 2 ( X 2 ) N Y 2 ( Y ) 2 （5.5） N X Y X Y
式中， X 是 X 变量各数值与其估计平均数
之差； Y 是
Y 变量各数值与其估计平均数之差。
练习:以上述资料为例，假定X变量的估计平均数 为70，Y变量的估计平均数为72,计算相关系数.

统计学名词解释

统计学名词解释

统计学名词解释统计学名词解释第⼀章绪论1.随机变量：在统计学上，把取值之间不能预料到什么值的变量。

2.总体：⼜称母全体、全域，指具有某种特征的⼀类事物的全体。

3.个体：构成总体的每个基本单元称为个体。

4.样本：从总体中抽取的⼀部分个体，称为总体的⼀个样本。

5.次数：指某⼀事件在某⼀类别中出现的数⽬，⼜称为频数。

6.频率：⼜称相对次数，即某⼀事件发⽣的次数被总的事件数⽬除，亦即某⼀数据出现的次数被这⼀组数据总个数去除。

7.概率：某⼀事物或某⼀情在某⼀总体中出现的⽐率。

8.观测值：⼀旦确定了某个值。

就称这个值为某⼀变量的观测值。

9.参数：⼜称为总体参数，是描述⼀个总体情况的统计指标。

10.统计量：样本的那些特征值叫做统计量，⼜称特征值。

第⼆章统计图表1.统计表：是由纵横交叉的线条绘制，并将数据按照⼀定的要求整理、归类、排列、填写在内的⼀种表格形式。

⼀般由表号、名称、标⽬、数字、表注组成。

2.统计图：⼀般采⽤直⾓坐标系，通常横轴表⽰事物的组别或⾃变量x，称为分类轴。

纵轴表⽰事物出现的次数或因变量，称为数值轴。

⼀般由图号及图题、图⽬、图尺、图形、图例、图组成。

3.简单次数分布表：依据每⼀个分数值在⼀列数据中出现的次数或总计数资料编制成的统计表，适合数据个数和分布范围⽐较⼩的时候⽤。

4.分组次数分布表：数据量很⼤时，应该把所有的数据先划分在若⼲区间，然后将数据按其数值⼤⼩划归到相应区域的组别内，分别统计各个组别中包括的数据个数，再⽤列表的形式呈现出来，适合数据个数和分布范围⽐较⼤的时候⽤。

5.分组次数分布表的编制步骤：（1）求全距（2）定组距和组数（3）列出分组组距（4）登记次数（5）计算次数6.分组次数分布的意义：（1）优点：A．可将杂乱⽆章数据排列成序，以发现各数据的出现次数及分布状况。

B．可显⽰⼀组数据的集中情况和差异情况等。

（2）缺点：原始数据不见了，从⽽依据这样的统计表算出的平均值会与⽤原始数据算出的值有出⼊，出现误差，即归组效应。

第五章相关分析与回归分析

第五章相关分析与回归分析

第五章相关分析与回归分析相关分析（Correlation Analysis）和回归分析（Regression Analysis）都是统计学中常用的数据分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。

相关分析主要用于衡量变量之间的线性关系强度和方向，回归分析则是基于相关分析的基础上建立数学模型来预测或解释因变量的方法。

相关分析是一种用于研究两个变量之间关系强度和方向的统计方法。

相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的指标，其取值范围为[-1,1]。

当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减少；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系弱或不存在。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlati on coefficient）和肯德尔相关系数（Kendall’s rank correlation coefficient）等。

皮尔逊相关系数适用于两个变量均为连续型的情况，斯皮尔曼和肯德尔相关系数则适用于至少一个变量为顺序型或等距型的情况。

回归分析是一种建立数学模型来预测或解释因变量的方法。

在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量建立数学关系，然后通过该关系来预测或解释因变量。

回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析两种。

简单回归分析是指只有一个自变量和一个因变量之间的分析。

该方法主要用于研究一个自变量对因变量的影响，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的线性关系。

简单回归分析的核心是最小二乘法，即通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线。

多元回归分析是指有多个自变量和一个因变量之间的分析。

该方法主要用于研究多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元线性回归模型来描述它们之间的关系。

计量经济学第五章(新)

计量经济学第五章(新)

利用Eviews得回归方程为：
ˆ ln y 1.6524 0.3397 ln x1 0.9460 ln x2
t = (-2.73) p= (0.0144*) R2=0.995 (1.83) (0.085) (9.06) (0.000**)
对回归方程解释如下：斜率系数0.3397表示 产出对劳动投入的弹性，即表明在资本投入保持 不变的条件下，劳动投入每增加一个百分点，平 均产出将增加0.3397个百分点。同样地，在劳动 投入保持不变的条件下，资本投入每增加一个百 分点，产出将平均增加0.8640个百分点。两个弹 性系数相加为规模报酬参数，其数值等于1.1857 ，表明墨西哥经济的特征是规模报酬递增的（如 果数值等于1，属于规模报酬不变；小于1，则属 于规模报酬递减）。
20.5879 z 1 20.5879 x (4.6794 ) (4.3996 ** )
3、半对数模型和双对数模型
形式为：
ln y 0 1 x u y 0 1 ln x u
的模型称为半对数模型。 把形式为:
ln y 0 1 ln x u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 t = a + b r + c r2 c<0
t：税收；
r：税率
设 z1 = r， z 2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b z1 + c z 2 c<0
例 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下 表，试用回归分析法确定其成本函数。
表5-1 墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本
年份 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 GDP 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 就业人数 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 固定资产 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520533 561531 609825

第五章相关系数


第三节 等级相关
一、斯皮尔曼等级相关

使用条件

(1)两个变量以等级次序排列（包括一个变量是
等级，而另一个变量是连续的）
(2)两个变量虽然是连续性数据，但其总体不是
正态分布（非参数的相关方法）
(3)样本容量不一定大于30
被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听X 172 140 152 187 139 195 212 164 149 146
6 3 0 -10 -22 -21 -8 -52
108 63
342 46
例题：10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题的得 分，试求该问答题的区分度（该问答题满分１０分，因此 得６分和６分以上则为该题通过） 考生
因果关系 共变关系 相关关系 从数量上考虑事物间的联系 函数关系 相关关系
一、相关关系
两个变量间不确定、不精确的变化关系， 为相关关系 举例两列数据看似有一定关系，但不能确 定，只是模糊的
二、相关的分类
1、相关方向 （1）正相关：变量之间变动方向相同， 同增同减； ↑↑或者↓↓如： （2）负相关：变量之间变动方向相反， 一个增加，另一个则小；↑↓或者↓↑如： （3）零相关：变量之间的变动完全没 有规律可循。如：
2、计算公式
P
二分变量中某一类别所占的比例
q 二分变量中另一类别所占的比例
St 指连续变量的标准差，
测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值

测量的连续变量中与p对应的那部分数据的平均值
某一测验中10名考生的卷面总分和一道选 择题的得分，试求该选择题的区分度。
考生 A B C D E F 1 1 0 0 G 1 H 0 I 0 J 1

变量间的相关关系与统计案例教师版

变量间的相关关系与统计案例教师版教师版：变量间的相关关系与统计案例引言：在统计学中，了解变量间的相关关系是非常重要的。

相关关系描述了两个或更多变量之间的连接，帮助我们理解它们如何相互影响和变化。

本文将介绍变量间相关关系的基本概念，并提供一些统计案例来帮助教师教授有关此主题的课程。

第一部分：相关性的定义和计算相关性是指两个或多个变量之间的关系程度。

直观上，当一个变量的值增加时，另一个变量的值是否也随之增加或减少。

相关性可以是正面的（变量之间的关系是正向的），也可以是负面的（变量之间的关系是反向的）。

相关性的计算可以通过两种方法来完成：Pearson相关系数和Spearman等级相关系数。

Pearson相关系数用于度量两个连续变量之间的线性关系，它的值介于-1和1之间。

当其值接近1时，表示两个变量之间的关系很强；当其值接近-1时，表示两个变量之间的关系是反向的；当其值接近0时，表示两个变量之间的关系较弱。

Spearman等级相关系数用于度量两个等级变量之间的关系，它的计算方式类似于Pearson相关系数，但在计算前将变量转换为等级。

第二部分：相关关系的案例研究案例1：学生的学习时间和学生成绩在这个案例中，我们研究了学生的学习时间和他们的学生成绩之间的相关关系。

我们收集了一组学生的学习时间（以小时为单位）和他们的学生成绩（以百分制为单位）数据。

通过计算Pearson相关系数，我们发现学习时间和学生成绩之间存在较强的正面相关关系（r = 0.8）。

这意味着学习时间越多，学生成绩越高。

案例2：家庭收入和孩子的学习成绩在这个案例中，我们研究了家庭收入与孩子学习成绩之间的相关关系。

我们收集了一组家庭收入水平（以年收入为单位）和孩子的学习成绩（以百分制为单位）数据。

通过计算Pearson相关系数，我们发现家庭收入和孩子学习成绩之间存在较弱的正面相关关系（r = 0.4）。

这意味着家庭收入较高的孩子往往有更好的学习成绩，但这种关系不是很强。

统计学习题集第五章相关与回归分析

所属章节：第五章相关分析与回归分析1■在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为（）。

答案：负相关。

干扰项：正相关。

干扰项：完全相关。

干扰项：非线性相关。

提示与解答：本题的正确答案为：负相关。

2■在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之减少，则称为（）。

答案：正相关。

干扰项：负相关。

干扰项：完全相关。

干扰项：非线性相关。

提示与解答：本题的正确答案为：正相关。

3■下面的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：相关系数不会取负值。

干扰项：相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量。

干扰项：相关系数是一个随机变量。

干扰项：相关系数的绝对值不会大于1。

提示与解答：本题的正确答案为：相关系数不会取负值。

4■下面的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值不为0。

干扰项：相关系数显著性检验的原假设是：总体中两个变量不存在相关关系。

干扰项：回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值为0。

干扰项：回归分析中多元线性回归方程的整体显著性检验的原假设是：自变量前的偏回归系数的真值同时为0。

提示与解答：本题的正确答案为：回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值不为0。

5■根据你的判断，下面的相关系数值哪一个是错误的（）。

答案：1.25。

干扰项：-0.86。

干扰项：0.78。

干扰项：0。

提示与解答：本题的正确答案为：1.25。

6■下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：数值越大说明两个变量之间的关系越强，数值越小说明两个变量之间的关系越弱。

干扰项：仅仅是两个变量之间线性关系的一个度量，不能直接用于描述非线性关系。

干扰项：只是两个变量之间线性关系的一个度量，不一定意味着两个变量之间存在因果关系。

05心理统计学-第五章 相关关系


③两数据类型均为连续数据（即等距/比率数据）。
④两变量呈直线相关（先用散点图预测） 。
第二节 积差相关
▪ 二、基本计算公式 P113
➢ 1、运用标准差与离均差
xy
r NsX sY
，其中
x X X ，y Y Y
xy
可改写为 r
x2 y2
第二节 积差相关
▪ 二、基本计算公式
➢ 2、运用标准分数（Z分数）
▪ 一、概念与适用资料 (X X )(Y Y )
又称“积矩”相关。
N
[补充]：r2（决定系数/测定系数）具有消减预测误
差比例的含义。 P372
➢ 适用资料 [诸多条件缺一不可！]
①（大样本的）成对数据（表现为两组数据存在一一对
应关系） ，每对数据相互独立。
②正态双变量（即两总体服从正态分布或渐近正态的单 峰分布） [样本咋样就不管了]。
直接做因果判断。（通常难以区分出共变关系/虚假相关）
第一节 相关、相关系数与散点图
▪ 一、什么是相关
➢ 专题讨论：相关分析完全不能得出因果关系吗？
P107、148
回答：从理论和大多数实际操作来讲的确如此。
➢1）单凭相关无法判断何为因、何为果。 ➢2）很有可能存在其他变量共同作用于这两个变量。 ➢但排除了这两种情况的显著高相关可间接得出因果关
系。
第一节 相关、相关系数与散点图
▪ 一、什么是相关
➢ 2、相关的类别：
首先分为直线相关和曲线相关（根据散点图估计）
➢针对直线相关，从变化情况可划分为：正相关（及完 全正相关）、负相关（及完全负相关）、零相关（即两变量 之间无相关）。 （各种相关均可先根据散点图做初步估计）
[结合P110的图5-2、图5-3]
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• 双列相关的计算公式如下：
rb

Xp Xq SX

pq Y
三、多系列相关
• 多系列相关，也称多列相关（multiserials correlation），适用于处理两列正态变量资 料，其中一列为等距或等比的测量数据， 另一列被人为地划分为多种类别，称为名 义变量。如果某一正态变量被人为地划分 为三个类别，就称为三列相关，划分为四 个类别就称为四列相关。
第五章 变量之间的相关及其描述
主要内容
第一节 线性相关及其描述与解释 第二节 协方差和积差相关 第三节 等级相关 第四节 质量相关 第五节 品质相关 理解与练习
第一节 线性相关及其描述与解释
一、相关的概念 （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）正相关与负相关 （二）高相关与低相关 二、线性相关系数及其解释
一、相关的概念
• 即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在一定 的联系，但不是因果关系和共变关系。
一、点双列相关
• 点双列相关适用于双列变量中一列是来自
正态总体的等距或等比数据，另一列是二
分称名变量 。
•
点双列相关的计算公式如下： rpb

X
p SX
Xq
pq
二、双列相关
• 双列相关（biserial correlation）适用于两 列变量都是来自正态总体的等距或等比变 量，而且其中一列被人为地划分为两个类 别的数据。
ad bc
r a b (a c)(b d )(c d )
三、列联相关
• 当两列数据中至少有一列是多分类资料时， 描述变量之间的相互关系的品质相关系数 称为列联相关系数。列联相关又称均方相 依系数或接触系数，一般用C表示，它是由 二因素的 r 列c联表资料求得。
• 列联表的计算方法有很多种，最常用的是 皮尔逊定义的列联系数：
2 C n 2
理解与练习
1、解释相关系数时应注意什么？ 2、假设两变量为线性关系，那么，下列各种情况应
分别使用什么方法来计算相关系数： （1）两变量都是等距或等比变量，且均为正态分布； （2）一列变量是正态连续变量，而另一列变量是正
态连续变量但却被人为地划分为两类； （3）两变量都是等距或等比变量，但都不是正态分
一、协方差
• n个观察对象的离均差乘积的平均数在统计 学中被称为协方差，用符号COV表示，协 方差是一种相关量数，其计算公式为：
n
(xi X )( yi Y )
COV ( X ,Y ) i1 n
二、积差相关系数及其适用条件
• 计算相关系数的公式为：
rXY
xi
yi
量，且每一个变量的变化方向都被人为地 分为两种类型的测量数据之间的相关。
二、 系数
• 当两个相互关联着的变量分布都是真正的 二分变量，在两个分布中间都有一个真正 的缺口时，用phi系数解决此类“点分布” 问题。
• 系数是表示两因素两项分类资料相关程
度最常用的一种相关系数，若直接用四格 表内数据计算可以使用下列公式：
布； （4）一列变量是正态连续变量，而另一列变量为二
分类别变量。
（一）正相关与负相关
• 正相关即两个变量的变化在整体上方向一致。 • 负相关即两个变量的变化在整体上方向相反。
（二）高相关与低相关
• 高相关与低相关描述的是变量间变化关联的密切程 度，即相关的强弱程度。高相关又称为强相关，低 相关又称为弱相关。
二、线性相关系数及其解释
• 相关系数是两列变量间相关程度的数量化
• 多列相关系数的计算公式如下：
•
rs
YL YH Xi
St
(YL YH )2 pi
第五节 品质相关
一、四分相关
二、 系数
三、列联相关
• 如果两列变量都是类别（定性）的，根据 这样的资料来分析两个变量之间的相互关 系，就应采用品质相关的方法。
一、四分相关 • 四分相关适用于计算两个变量都是连续变

1 n
(
xi )(
yi )
xi2

1 n
(
xi )2
yi2

1 n
(
yi )2
• 计算积差相关系数要求变量符合以下条件： ①两列数据都是等距连续变量的观测数据或是
等比的测量数据； ②都是来自于正态分布的数据总体； ③两列数据必须具备一一对应的关系。
第三节 等级相关
一、斯皮尔曼等级相关 二、肯德尔和谐系数

二、肯德尔和谐系数
• 肯德尔和谐系数是表示多列等级变量相关 程度的一种方法，它适用于两列以上等级 变量。
• 当一列变量中没有相同的等级出现时，肯 德尔和谐系数的计算公式为：
W
SS Ri
1 k 2 (n3 n)
12
第四节 质量相关
一、点双列相关 二、双列相关 三、多系列相关
• 在教育研究中，研究者常将一列变量按事 物的某一属性划分种类，而另一列变量则 为等距或等比的测量数据，这种情况下求 得的相关，称为质量相关。
指标。总体相关系数用 表示。样本相关
系数一般用r表示。相关系数的取值范围介 于－1.00至＋1.00之间。
• 相关系数的正负号表示相关方向，正值表 示正相关，负值表示负相关；
• 相关系数的绝对值大小表示相关的程度， 其取值不同，表示相关程度不同。
第二节 协方差和积差相关
一、协方差 二、积差相关系数及其适用条件
• 当测量得到的数据不是等距的或等比数据， 而是具有等级顺序的测量数据；或者得到 的数据是等距或等比的测量数据，但其所 来自的总体之分布不是正态分布时，出现 上述两种情况中的任何一种，都不能使用 积差相关系数，此时应考虑等级相关的方 法。
• 一、斯皮尔曼等级相关
• 斯皮尔曼等级相关系数适用于两列具有等
级顺序的测量数据，或总体为非正态的等
距、等比数据。当一列变量中没有相同的
等级出现时，斯皮尔曼等级相关系数的计
算公式为：
6 D2
rR 1 n(n2 1)
• 若不用对偶等级之差，而用原始等级序数
计算，则可用如下的公式：
rR

n
3
1



4 RX RY n(n 1)
(n 1)