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实验四信号的分解与合成实验目的：1.了解信号的分解与合成原理；2.掌握连续时间信号的傅里叶级数分解公式及其应用；3.掌握离散时间信号的傅里叶变换公式及其应用。
实验原理：1.信号的分解任何信号都可以分解成若干谐波的叠加。
这是因为任何周期信号都可以表示为若干谐波的叠加。
傅里叶级数分解公式：$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_ne^{jn\omega_0t}$$其中，$C_n$为信号的各级谐波系数，$\omega_0$为信号的基波频率。
当信号为实信号时，其傅里叶级数中只有实系数，且对称性可利用，因此实际计算中可以只计算正频率系数，即$$x(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$其中，$A_n$为信号各级谐波幅度，$\phi_n$为各级谐波相位。
若信号不是周期信号，则可以采用傅里叶变换进行分解。
2.信号的合成对于任意信号$y(t)$，都可以表示为其傅里叶系数与基波频率$\omega_0$的乘积的叠加，即$$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn\omega_0t}$$若$y(t)$为实信号，则其傅里叶系数中只有正频率系数，即$$y(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$实验步骤：一、连续时间信号的傅里叶级数分解1.打开Matlab软件，使用line或scatter等函数绘制出函数$f(x)=x(0<x<2\pi)$的图像。
2.使用Matlab的fft函数对f(x)进行逆傅里叶变换得到其傅里叶级数分解。
3.将得到的傅里叶级数分解与原函数的图像进行比较，分析级数中谐波幅度的变化规律。
二、离散时间信号的傅里叶变换1.使用Matlab生成一个为$sin(\pi k/4),0\le k\le 15$的离散时间信号。
实验十三 信号分解及合成一、 实验目的1、 了解和熟悉波形分解与合成原理。
2、 了解和掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。
二、 实验仪器1、 双踪示波器2、 数字万用表3、 信号源及频率计模块S24、 数字信号处理模块S4三、 实验原理（一）信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号()f t ,只要满足狄利克菜(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号()f t ,可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间11(,)t t T +内表示为()01()cos sin 41,3,5,7,n n n f t a a n t b n t Ak Tk ω∞==+Ω+Ω=⋅⋅⋅∑()01()cos sin n n n f t a a n t b n t ∞==+Ω+Ω∑即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
图1ωca信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图13-1来形象地表示。
其中图(a)是信号在幅度—时间—频率三维坐标系统中的图形;图(b)是信号在幅度一时间坐标系统中的图形即波形图：把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图(c)是信号在幅度—频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。
当被测信号同时加到所有滤波器上,中心频率与信号所包含的某次谐波分景频率-致的滤波器便有输出。
信号的产生、分解与合成东南大学电工电子实验中心实验报告课程名称：电子电路实践第四次实验实验名称：信号的产生、分解与合成院（系）：吴健雄学院专业：电类强化姓名：周晓慧学号：61010212实验室: 实验组别：同组人员：唐伟佳(61010201)实验时间：2012年5月11日评定成绩：审阅教师：实验四信号的产生、分解与合成一、实验内容及要求设计并安装一个电路使之能够产生方波，并从方波中分离出主要谐波，再将这些谐波合成为原始信号或其他周期信号。
1.基本要求（注：方波产生与最后合成为唐伟佳设计，滤波和移相我设计）（1）设计一个方波发生器，要求其频率为1kHz，幅度为5V；（2）设计合适的滤波器，从方波中提取出基波和3次谐波；（3）设计一个加法器电路，将基波和3次谐波信号按一定规律相加，将合成后的信号与原始信号比较，分析它们的区别及原因。
2.提高要求设计5次谐波滤波器或设计移相电路，调整各次谐波的幅度和相位，将合成后的信号与原始信号比较，并与基本要求部分作对比，分析它们的区别及原因。
3. 创新要求用类似方式合成其他周期信号，如三角波、锯齿波等。
分析项目的功能与性能指标：说明：这次实验我负责的是基波和3次谐波信号滤波器及其移相电路的设计，其余部分是唐伟佳设计，同时我还参与了全过程的调试。
功能：此次实验主要功能是实现信号的产生，并让我们在对信号的分解过程中体会傅里叶级数对周期信号的展开，以及滤波器的设计（该实验主要使用带通和全通滤波器（即移相器）），最后通过将分解出的谐波分量合成。
性能指标：1、对于方波而言：频率要为1kHz，幅度为5V （即峰峰值为10V），方波关键顶部尽可能是直线，而不是斜线。
2、滤出的基波：a、波形要为正弦波，频率为1kHz，幅度理论值为6.37V（注：其实滤除的基波幅度只要不太离谱即可，因为后面的加法器电路可以调整增益，可以调到6.37V，后面的3次谐波、5次谐波也一样）故最主要的是波形和频率。
信号的分解与合成原理
信号的分解与合成原理是对信号进行分离和组合的过程，在信号处理中起着重要的作用。
通过分解和合成信号，我们可以分析信号的特征和性质，从而实现对信号的处理、修改、重构等操作。
信号的分解是将一个复杂的信号分解为若干个简单的基本信号的过程。
这些基本信号可以是正弦信号、余弦信号、方波信号等。
通过分解信号，我们可以了解信号中各个频率分量的强弱、相位关系等信息。
信号的合成是将若干个基本信号按一定的权重和相位关系组合成一个复杂的信号的过程。
通过合成信号，我们可以得到一个具有特定频率成分和振幅的信号。
这种合成信号在通信、音频处理等领域中具有广泛的应用。
在信号的分解与合成过程中，我们通常使用傅里叶分析和傅里叶合成的方法。
傅里叶分析是将一个信号分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程，它通过傅里叶变换来实现。
傅里叶合成则是将一系列正弦和余弦函数按一定的权重和相位关系组合成一个信号的过程，它通过傅里叶逆变换来实现。
信号的分解与合成原理基于信号的频域表示，即将信号从时域表示转换为频域表示。
通过频域表示，我们可以获得信号的频谱信息，了解信号中各个频率分量的特性。
在分解与合成过程中，我们可以选择不同的基函数、权重和相位关系，从而实现对信号的不同处理效果。
总之，信号的分解与合成原理是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们分析和处理信号，从而实现信号的修改、重构等操作。
通过合理选择基函数、权重和相位关系，我们可以实现对信号的高效处理与优化。
实验四信号的分解与合成实验目的：1.了解正弦波的频率、周期、幅值的概念，学习如何扫描振荡器的操作方法；3.学会分解信号为基波和谐波的叠加形式，并学习信号的合成原理。
实验仪器：1.示波器2.扫描振荡器3.电容电阻箱或电位器4.函数发生器5.电源实验原理：1.正弦波的频率、周期、幅值正弦波是指时间、电压或电流都随着正弦函数变化的周期性波形，常表示为y=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位，t为时间。
正弦波的频率指的是单位时间内波形变化的次数，即ω/2π，单位为赫兹（Hz）。
频率越高，波形在单位时间内变化的次数越多，波形的周期越短。
正弦波的周期指波形从一个极值到另一个极值所需的时间，即T=1/f。
正弦波的幅值指波形振动的最大距离，通常用峰值（Vp）或峰峰值（Vpp）来表示。
峰值是指波形振动的最大值或最小值，峰峰值是指波形振动的最大值与最小值之差。
扫描振荡器是一种信号源，它能够产生可调频率、可调幅度的正弦波信号。
其操作方法如下：（1）将扫描振荡器电源插座插入电源插座；（3）按下扫描振荡器的POWER开关，激活电源；（4）调节FREQUENCY旋钮和AMPLITUDE旋钮，调节正弦波的频率和幅度；（5）根据需要选择SINE、SQUARE、TRIANGLE等波形。
3.调节示波器的基本参数（1）调节触发电平。
触发电平是示波器用于捕捉波形起点的电平参考值，需要根据所测量的信号进行调节。
在示波器的“Trigger”面板上，可以通过“LEVEL”旋钮进行设置。
（2）调节时间/电压比。
示波器有自动触发和正常触发两种模式。
在自动触发模式下，示波器会自动捕捉信号并显示波形；在正常触发模式下，示波器需要先捕捉到信号才能进行显示。
在示波器的“Trigger”面板上，可以通过“MODE”选择触发模式。
（4）选择或调节显示模式。
示波器有AC、DC、GND三种显示模式，分别表示显示交流信号、直流信号和零参考信号。
信号分解与合成实验报告本次实验主要涉及信号分解和合成的过程和方法。
其中，我们研究了信号分解和合成的基本概念和原理，利用 MATLAB 软件进行信号分解和合成实验，通过实验数据和实验结果验证了信号分解和合成的正确性和实用性。
一、信号分解信号分解，是指将一个信号分解成若干个简单的成分。
常用的信号分解方法有傅里叶变换、小波变换等。
本次实验我们采用了小波变换对信号进行分解。
小波变换是一种时频分析方法，具有良好的适应性、时间分解精度高、尤其适合非平稳信号的分析。
在小波分析中，我们通过选择适当的小波函数和选取不同的分解层数，可以将信号分解为越来越细节和越来越精确的小波成分，对信号的各种特征和结构有较好的拟合和表示，从而更为深入地了解信号的内在特性。
在 MATLAB 环境下，我们通过调用 Wavelet Toolbox 中的相关函数，实现了信号分解的实验。
具体步骤为：1.加载待处理信号，使用 load 命令将信号载入 MATLAB 环境中。
2.选择所需的小波函数。
在 Wavelet Toolbox 中，提供了多种不同形态的小波函数，可根据实际需求进行选择。
3.调用 wfilters 函数进行小波滤波器设计。
该函数根据所选小波函数的性质，生成对应的离散小波滤波器系数（低通和高通滤波器系数）。
4.使用 wmulticfs 函数对信号进行小波分解。
该函数将信号分解为多个不同尺度和不同频带的小波系数，可用于分析信号中的不同成分。
5.可视化分解结果，通过图像展示各个小波系数的分布和特征，可以更直观地了解信号的结构和组成成分。
二、信号合成信号合成，是指将多个简单的信号成分重新组合起来，形成新的信号。
信号合成常用的方法有基本波形叠加法、线性组合法、窄带带通滤波法等。
在本次实验中，我们采用了基本波形叠加法为例，对信号进行合成。
基本波形叠加法，是指将一系列基本波形（如正弦波、三角波）按照一定比例组合，形成新的波形。
该方法简单易行，对于周期信号的分析具有良好的适应性。
实验指导书实验项目名称：典型信号的合成和分解实验项目性质：普 通所属课程名称：工程测试技术实验计划学时：2一．实验目的通过本实验熟悉信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义和特点。
二．实验内容和要求1．周期信号的合成和分解在有限区间内，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)都可以展开傅里叶三角函数级数。
001001()(cos sin )2 cos()(1,2,3,)2n n n n n n n a x t a n t b n t a A n t n ωωωϕ∞=∞==++=+-=∑∑ 式中 0a ——常值分量00/20/202()T T a x t dt T -=⎰n a ——余弦分量的幅值00/20/202()cos T n T a x t n tdt T ω-=⎰n b ——正弦分量的幅值00/20/202()sin T n T b x t n tdt T ω-=⎰n A ——n 次谐波的振幅，是n 的偶函数22n n n A a b =+n ϕ——n 次谐波的相角，是n 的奇函数arctan n n na b ϕ= 可见，周期信号是由周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。
也就是说，复杂周期信号是由几个乃至无穷多个简单的周期信号组成的，这些组成的周期信号的频率具有公约数，周期具有公共的周期。
因此，周期信号可以分解成多个乃至无穷多个谐波信号。
反过来说，我们可以用一组谐波信号来合成任意形状的周期信号。
例如对于如右图所示的方波，其时域描述表达式为000()()02()02x t x t nT T A t x t T A t =+⎧⎪⎧⎪<<⎪⎨=⎨⎪⎪--<<⎪⎩⎩其傅立叶三角函数展开式为010004()sin (21)411 sin sin 3sin 535n A x t n t n A t t t ωπωωωπ∞=⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭∑ 其中，基频002T πω=。
可见，该周期方波是由一系列频率成分成谐波关系，幅值成一定比例，相位角为0的正弦波叠加而成的。
以圆频率为横坐标，以各次谐波的幅值n A 或相角n ϕ为纵坐标，则可分别得其幅频谱和相频谱。
由于n 为整数，相邻的谱线的频率间隔为基频0ω，因此周期信号的频谱是离散的。
2．准周期信号准周期信号是由两种以上的信号的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，因此无法按某一时间间隔周而复始重复出现。
例如()5sin106sin 207sin x t t t =++该信号由3个周期信号组成，但由于3个周期信号的圆频率10、20、 准周期信号的频谱是离散的。
三．实验主要仪器设备和材料1. 计算机 n 台2. matlab 软件1套四．实验步骤1.启动matlab软件，点击菜单File/new/M-File,打开一个空的m文件。
2.理解并输入附录中的程序代码；然后点击菜单File/save进行保存，保存的文件名不能以数字开头或含有汉字。
3.点击菜单Debug/Run，运行程序。
4.程序的运行结果是生成一个*.fig图形文件，文件中有4个图。
第1个图为周期信号的时域图形和0~n次谐波叠加后的时域图形；第2个图为0~n次谐波及其叠加后的时域图形；第3个图为周期信号0~n次谐波的幅值与频率的关系曲线，即幅频谱图；第4个图为周期信号0~n次谐波的幅值与频率的关系曲线，即相频谱图。
5.点击*.fig图形文件的菜单Edit/Figure Properties,在弹出的对话框的style/color下拉选项中，选择“white”。
改变图形文件的背景色为白色。
6.将图形文件抓频保存为BMP文件或保存为fig文件。
为避免混淆，建议图形文件名中包含波形名称和n的次数，如fangbon7.bmp或fangbon7.fig，表示该图形为方波的，n=7。
建议将此时的m程序文件另存为fangbon7.m,与图形文件同名。
7.改变程序中第4行中n的取值2次，重复步骤1~6。
每个人n的取值：n1=学号的最后2位+7，n2=n1*3，n3=n1*10;8.修改程序，重复步骤1~7，实现教材表1-2中的三角波的合成，画出其频谱图。
9.修改程序，重复步骤1~7，实现教材表1-2中的锯齿角波的合成，画出其频谱图。
10.实现准周期信号x(t)的合成，画出其频谱图。
=++()5sin106sin207sinx t t t11.用优盘拷贝自己保存的图形文件和程序，课后进行实验数据处理和分析。
五．实验报告要求实验报告采用学校新颁布的统一实验报告纸，要求手工完成实验报告。
书写工整、认真，按照要求严格地完成实验报告。
1．实验报告写作大纲(1) 实验的目的和要求(2) 实验的内容和结果整理实验得到的图形，并进行分析。
分析周期信号及准周期信号的组成和频谱特点(3) 结论(4) 问题和讨论对思考题的回答。
(5) 对本试验的体会和建议2. 实验报告中可以附上实验的源程序。
3. 图形要求打印，纸张大小需剪裁到与实验报告纸尺寸一致。
六、思考题1．复杂周期信号的各组成成分之间的频率有什么关系？2．具有离散频谱的一定是周期信号吗？3．由多个简单周期信号叠加而成的信号一定是周期信号吗？附：合成典型方波信号的matlab程序%x(t)=A (0<=t<T0/2);x(t)=-A (T0/2<=t<T0)clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=7;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0if(mod(tn,T0)<=T0/2)y_t(tn_i)=A; %信号前半周期的表达式elsey_t(tn_i)=-A; %信号后半周期的表达式end;t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=0;%合成的信号值，初始化为0pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=(2*i-1)*w0;%第i次谐波的频率a(i)=(4*A/(pi*((2*i-1)))); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图----------------------------------------------------------------合成典型三角波信号的matlab程序%三角波clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=10;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0if (mod(tn,T0)<=T0/4)y_t(tn_i)=4*A*mod(tn,T0)/T0; %信号前1/4周期的表达式elseif (T0/4<=mod(tn,T0)) & (mod(tn,T0)<=3*T0/4)y_t(tn_i)=-4*A*(mod(tn,T0)-T0/2)/T0; %信号中间部分的表达式elseif (3*T0/4<=mod(tn,T0)<=T0)y_t(tn_i)=4*A*(mod(tn,T0)-T0)/T0; %信号后1/4周期的表达式end;t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=0;%合成的信号值，初始化为0pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=(2*i-1)*w0;%第i次谐波的频率a(i)=-(8*A/(pi^2))*((-1)^(i))*(1/i^2); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图附：合成典型锯齿波信号的matlab程序%锯齿波clear all;%清除所有变量clc;%清屏n=7;% n为叠加的谐波数目T0=2;A=2;;%T0为方波的周期;A为方波的幅值;NofT0=2;%所画的时域波形的周期数%周期信号时域描述tn_i=1;for tn=0:0.01:NofT0*T0y_t(tn_i)=A*mod(tn,T0)/T0; %信号周期的表达式t_t(tn_i)=tn;tn_i=tn_i+1;end;plot(t_t,y_t);%周期信号的频域描述t=0:0.01:NofT0*T0;%时域波形的长度x=A/2;%合成的信号值，初始为直流分量pi=3.1415926;w0=2*pi/T0;%基波的频率for i=1:nfw(i)=i*w0;%第i次谐波的频率a(i)=-A/(pi*i); %第i次谐波的幅值fai(i)=0;%第i次谐波的相位y(i,:)=a(i)*sin(fw(i)*t);%第i次谐波的值x=x+y(i,:);%0-i次谐波之和end;%subplot将画图区分成2行2列的四个小画图区subplot(2,2,1);%选择第1个画图区plot(t_t,[y_t;x]);%画信号的时域及合成后的图形subplot(2,2,2);%选择第2个画图区plot(t,[x; y]);%画0-n次谐波及合成后的图subplot(2,2,3);%选择第3个画图区stem(fw,a); %画0-n次谐波的幅值——频率图subplot(2,2,4);%选择第4个画图区stem(fw,fai);%画0-n次谐波的相位——频率图。
