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★线面所成角的求法：]2,0[⒈作图——证实——盘算求角的症结在于找出平面的垂线及斜线的射影.一般地经由过程斜线上某个特别点作出平面的垂线来找角.角的盘算一般是把已知前提归结到统一个或归结到几个有关的三角形中,从而把空间的盘算改变成平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题.3.向量法：如图,设l为平面α的斜线,l∩α＝A,a为l的偏向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则sinφ＝|cos〈a,n〉|＝|a·n||a||n|.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中对角线B1D与平面A1BC1所成的角大小为 ()2．如图,在棱长均为1的三棱锥S－ABC中,E为棱SA的中点,F为△ABC的中间,则直线EF与平面ABC所成角的正切值是()3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与正面ACC1A1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.324．如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝2,A 1D 与BC 1所成的角为π2,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.12C.155D.325.．正四棱锥S ABCD 中,O 为极点在底面上的射影,P 为侧棱SD 的中点,且SO ＝OD ,则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．6.如图,已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上,∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小;(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．7．已知三棱锥P －ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA ＝AC ＝12AB ,N 为AB 上一点,AB ＝4AN ,M ,S 分离为PB .BC 的中点．(1)证实：CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．8．如图,在五棱锥P ABCDE 中,PA ⊥平面ABCDE ,AB ∥CD ,AC ∥ED ,AE ∥BC ,∠ABC ＝45°,AB ＝22,BC ＝2AE ＝4,三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小; (3)求四棱锥P ACDE 的体积．9.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否消失一点F,使B1F∥平面A1BE？证实你的结论．10.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD＝PD,E,F分离为CD,PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB;(2)设AB＝2BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值．11．如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA＝AB＝1,AD＝3,点F是PB的中点,点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时,试断定EF与平面PAC的地位关系. 并解释来由;(2)证实：无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;(3)当BE等于何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°？。
直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。
一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
线面角的计算
线面角是指一条直线与一个平面之间的夹角。
计算线面角的步骤如下：
1. 确定直线和平面：首先确定直线和平面的具体方程或者参数方程。
2. 求直线在平面上的一点：将直线方程代入平面方程中，求解出直线与平面的交点坐标。
3. 求直线与平面的法向量：根据平面的法向量方程，可以求得平面的法向量。
4. 求直线的方向向量：直线的方向向量可以由直线的参数方程求得。
5. 计算夹角：利用向量的内积公式，将直线的方向向量与平面的法向量进行内积运算，然后求出夹角的余弦值。
6. 求出线面角：通过夹角的余弦值，可以使用反余弦函数计算出线面角的度数。
§立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。
问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。
三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°班别： _____________学号： _____________姓名： ___________高二理科数学导学案例2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2， 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ， 直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )A ．cos θ＝μ·v |μ||v|B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ|C ．sin θ＝μ·v |μ||v|D ．sin θ＝|μ·v||μ||v|2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178D ．233．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ．54 B ．104 C ．52 D ．1024．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D角的正弦值为()5．正四棱锥S—ABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角为．【参考答案】§立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法．用向量方法求空间中的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴cosθ＝|a·b| |a|·|b|.2．求直线与平面所成的角如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。
利用向量法求曲线与平面所成的角曲线和平面之间的角度是一个常见的数学问题，可以通过向量法进行求解。
本文将介绍如何利用向量法来求解曲线和平面所成的角。
问题背景假设曲线为参数方程 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，平面的法向量为 $\mathbf{n} = (a, b, c)$，其中 $t$ 是参数，$(x(t), y(t),z(t))$ 是曲线上的一点。
解法步骤利用向量法可以将问题简化为求解曲线的切向量和平面法向量之间的夹角。
1. 首先，计算曲线在参数 $t$ 处的切向量 $\mathbf{v}(t)$。
切向量的计算可以使用导数的方法，即 $\mathbf{v}(t) =\frac{d\mathbf{r}}{dt} = (x'(t), y'(t), z'(t))$。
如果曲线是直角坐标方程，则直接计算切向量即可。
2. 然后，计算曲线切向量和平面法向量之间的夹角 $\theta$。
夹角可以通过向量的点乘公式计算，即 $\cos\theta =\frac{\mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{v}(t)\| \cdot\|\mathbf{n}\|}$。
3. 最后，通过反余弦函数求解夹角的值。
曲线与平面所成的角度可以是锐角、直角或钝角，根据具体情况来确定角度的范围。
示例以下是一个简单的示例，展示如何利用向量法计算曲线和平面的夹角。
假设曲线为 $\mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, t)$，平面的法向量为$\mathbf{n} = (1, -1, 1)$。
我们希望计算曲线与平面所成的角度。
1. 计算曲线在参数 $t$ 处的切向量 $\mathbf{v}(t)$：$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = (-2\sin t, 2\cos t, 1)$2. 计算曲线切向量和平面法向量之间的夹角 $\theta$：$\cos\theta = \frac{\mathbf{v}(t) \cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{v}(t)\| \cdot \|\mathbf{n}\|}$3. 求解夹角的值：$\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{v}(t) \cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{v}(t)\| \cdot \|\mathbf{n}\|}\right)$ 通过上述步骤，我们可以求解曲线和平面所成的角度。
§3.2立体几何中的向量方法(4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么?怎样用定义法求它的大小？ 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ . 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角,能否求线面角？如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角,θ＝<a ,n 〉, 则sin φ＝ 。
三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 （ )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°班别： _____________学号： _____________姓名： ___________高二理科数学导学案例2．如图,三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1,∠BAA 1＝60°。
(1)证明：AB ⊥A 1C ；（2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2, 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ,∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1。
线面角向量公式
1 平行线面角向量公式
平行线面角向量公式是数学中一个重要的知识，用来判断两条直线和一个面之间所总形成的角度。
它包括直线面夹角、线面夹角和斜面夹角等，可以通过求解向量来求解出三个夹角。
平行线面角向量公式主要有以下几个：
（1）直线面夹角：直线面夹角公式可用向量加法和点乘法中的叉乘算数来求解。
根据直线面夹角公式，可以计算出两条直线和一个面所确立的角度。
（2）线面夹角：当一条直线与一个平面相交时，穿过该直线的一条平行线与平面之间的夹角称为线面夹角，用向量的点乘乘积就可以求出线面夹角的大小。
（3）斜面夹角：斜面多边形指由任意个非平行的直线构成的多边形，当斜面多边形和另一个多边形相交时，可以用向量点积求出这两个多边形之间的斜面夹角。
通过以上三个公式，可以计算出两条直线和一个面之间的夹角，也可以计算出多边形之间的斜面夹角，为解决数学问题提供了方便。
2 平行线面角向量公式的应用
平行线面角向量公式还可以应用到物理中，它可以用来计算光纤在不同介质中的传播行为以及微处理机内指标的分布情况。
另外，平行线面角向量公式还可用来计算建筑设计时声音或热量等方面的分布情况，即声束角等建筑领域的热力学参数。
此外，它还可以用来计算工业机器，如拉伸机的分布情况。
总之，平行线面角向量公式有着广泛的应用，可以用在几乎所有的科学领域，为我们解决许多未知的数学和应用问题提供了方便。
