§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

第七节立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n ⊥α，此时向量n 叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量. (3)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 2.空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角).φ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)求二面角的大小①如图甲，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉.②如图乙、丙，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉.θ的取值范围是[0，π].3.空间向量与距离的关系 (1)点到平面的距离如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( ) (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A.(－1,1,1)B.(1，－1,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33[解析] 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .故选C.[答案] C3.若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合[解析] 由(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，可知平面α⊥平面β，选C.[答案] C4.如图所示，若M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱A ′B ′，BB ′的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值为( )A.32 B.1010 C.35D.25[解析] 以A 为原点，AB →，AD →，AA ′→所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，C (1,1,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，12，所以cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.[答案] D5.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.233[解析] 如图建立坐标系.则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令z ＝1，得n ＝(－1,1,1). ∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.故选D. [答案] D6.正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________.[解析] 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0).设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°.[答案] 30°考点一 向量法证明垂直与平行关系——互动型如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .[证明] 如图建立空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4).(1)取AB 中点为N ，则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)，∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →.∴DE ∥NC ，又NC 在平面ABC 内，故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →＝(－2,2，－4)， EF →＝(2，－2，－2)， AF →＝(2,2,0)，B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 则B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF ，∵B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥AF ，又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .(1)用向量证明平行的方法①线线平行：证明两直线的方向向量共线.②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；b.证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量；b.转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.(2016·青岛模拟)如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点.求证：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.[证明]由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.(1)OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BA →＝(－1,0,0)，∴OM →·BA →＝0，∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2).∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－1，0，DC →＝(1,0,0)，由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎨⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝12x 1，z 1＝－12x 1，令x 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12.同理可得n 2＝(0,1,1). ∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD .考点二 向量法求空间角——共研型角度1：向量法求异面直线所成的角(2016·西安模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110 B.25 C.3010D.22[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝|BM →·AN →||BM →|·|AN →|＝36×5＝3010. [答案] C角度2：向量法求斜线与平面所成的角(2016·全国卷Ⅲ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.[解] (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. 取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN ∥AM ，TN ＝AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB . (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2，PM →＝(0,2，－4)，PN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎨⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1).于是直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525.角度3：向量法求二面角(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°. (1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E －BC －A 的余弦值.[解] (1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G －xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3).由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF . 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，故∠CEF ＝60°.从而可得C (－2，0，3).所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0).设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3).设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4). 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 故二面角E －BC －A 的余弦值为－21919.求空间角的向量方法(1)求异面直线所成的角利用直线的方向向量将异面直线所成的角转化成向量所成的角，即若异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·b |a |·|b |. (2)求斜线与平面所成的角①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时).②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角.(3)求二面角①分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.②分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.1.[角度1]如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是__________.[解析] 以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°. [答案] 45°2.[角度2](2016·江西九校联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于点D.(1)求证：CD⊥AB；(2)若四边形BCC1B1是正方形，且A1D＝5，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.[解](1)证明：连接AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1的中点.∵BC1∥平面A1CD，平面A1CD∩平面ABC1＝DE，∴DE∥BC1，∴D为AB的中点.又∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB.(2)∵AD2＋A1A2＝5＝A1D2，∴A1A⊥AD.又B1B⊥BC，B1B∥A1A，∴A1A⊥BC.又AD∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC.设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，连接AO，OO1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则A 1(0,2，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32.∴A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，－32.易得平面CBB 1C 1的一个法向量为n ＝(0,0,1)， ∴|cos 〈A 1D →，n 〉|＝|A 1D →·n ||A 1D →|·|n |＝1510.故直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为1510.3.[角度3]如图，几何体EF －ABCD中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∠ADF ＝90°.(1)求证：AC ⊥FB ；(2)求二面角E －FB －C 的大小. [解] (1)证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC ， ∵四边形CDEF 为正方形，∴DC ⊥FC .∵DC ∩AD ＝D ，∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC .又四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD ＝2，AB ＝4，∴AC ＝22，BC ＝22，则有AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC ，又BC ∩FC ＝C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB .(2)由(1)知AD ，DC ，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D (0,0,0)，F (0,2,2)，B (2,4,0)，E (0,0,2)，C (0,2,0)，A (2,0,0)，∴EF →＝(0,2,0)，FB →＝(2,2，－2)， 设平面EFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·FB →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x ＋2y －2z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －z ＝0. 令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，由(1)知平面FCB 的一个法向量为AC →＝(－2,2,0)， 设二面角E －FB －C 的大小为θ，由图知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos θ＝|cos 〈n ，AC →〉|＝12，∴θ＝π3.考点三 向量法求距离——自练型(1)在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A.63B.33aC.a 3D.6a(2)在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则点D 到平面PBC 的距离是________.[解析] (1)根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系.P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a ).过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离.∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心.又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a .(2)分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,1,0)，∴PC →＝(2,2，－2)，BC →＝(0,2,0).设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＝0， 取x ＝1，则n ＝(1,0,1). 又BD →＝(－2,1,0)，∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n ||n |＝ 2.[答案] (1)B (2) 2空间距离的求法(1)两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.(2)求点P 到平面α的距离，先在平面α内取一点A ，确定向量P A →的坐标，再确定平面α的法向量n ，最后代入公式d ＝|P A →·n ||n |求解.课题43：建立适当的空间直角坐标系名师导学：利用向量方法解决立体几何问题的前提是恰当地建立空间直角坐标系，关键是确定明确的线线垂直关系，即“墙角”模型，另外，坐标系建立的是否合适，直接影响计算的速度与结果.(2016·云南毕业生复习统一测试)如图，在三棱锥A－BCD中，CD⊥BD，AB＝AD，E为BC的中点.(1)求证：AE⊥BD；(2)设平面ABD⊥平面BCD，AD＝CD＝2，BC＝4，求二面角B －AC－D的平面角的正弦值.[切入点]取BD的中点O，通过证明OE、OD、OA两两垂直，建立空间直角坐标系.[关键点]先进行几何关系的证明，具备建系条件时才能建系.[解](1)证明：设BD的中点为O，连接AO ，EO .∵AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又∵E 为BC 的中点，∴EO ∥CD . ∵CD ⊥BD ，∴EO ⊥BD .∵OA ∩OE ＝O ，∴BD ⊥平面AOE . 又∵AE ⊂平面AOE ， ∴AE ⊥BD .(2)由(1)知，AO ⊥BD ，EO ⊥BD ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ，∴AO ⊥平面BCD .∵EO ⊂平面BCD ， ∴AO ⊥EO ，∴OE ，OD ，OA 两两互相垂直. ∵CD ⊥BD ，BC ＝4，CD ＝2， ∴BD ＝BC 2－CD 2＝2 3.由O 为BD 的中点，AO ⊥BD ，AD ＝2，得BO ＝OD ＝3，OA ＝AD 2－OD 2＝1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，A (0,0,1)，B (0，－3，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，∴AB →＝(0，－3，－1)，AC →＝(2，3，－1)，AD →＝(0，3，－1).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3y －z ＝0， 2x ＋3y －z ＝0.取y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3， z ＝3.∴n ＝(3，－3，3)是平面ABC 的一个法向量.同理可得平面ADC 的一个法向量m ＝(0，3，3). 设二面角B －AC －D 的平面角为θ， 则|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝77.∵0<θ<π，∴sin θ＝1－cos 2θ＝427，∴二面角B －AC －D 的平面角的正弦值为427.建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即建立坐标系时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系.另外，使尽可能多的点在坐标轴上，可以减小运算量.如图所示，四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.(1)求证：BD⊥平面ADE.(2)求BE和平面CDE所成角的正弦值.[解](1)证明：由BC⊥CD，BC＝CD＝2，可得BD＝2 2.由EA⊥ED，且EA＝ED＝2，可得AD＝2 2.又AB＝4，所以AB2＝AD2＋BD2，所以BD⊥AD.又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE.(2)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz ，则D (0,0,0)，B (0,22，0)，C (－2，2，0)，E (2，0，2)，所以BE →＝(2，－22，2)，DE →＝(2，0，2)， DC →＝(－2，2，0).设n ＝(x ，y ，z )是平面CDE 的法向量，则n ·DE →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，－x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1,1，－1).设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BE →，n 〉|＝|BE →·n ||BE →|·|n |＝|2－22－2|23×3＝23，所以BE 和平面CDE 所成角的正弦值为23.。

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【知识梳理】（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n （6）点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．（7）在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为PA n d PA cos PA,n n⋅=〈〉=．【专题过关】【考点目录】考点1：异面直线所成角考点2：线面角考点3：二面角考点4：点到直线的距离考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离考点6：异面直线的距离【典型例题】考点1：异面直线所成角1．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 33B ．36C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B 2C ．12-D ．2【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，1cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅==-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．3210B ．3210-C ．24D 5【答案】A【解析】因为111ABC A B C -为直三棱柱，且90ACB ∠=︒，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()110,4,0,0,0,0,0,0,3,3,0,3B C C A ，所以()()110,4,3,3,0,3BC AC =-=--，115,992BC A C ==+设1BC 与1AC 所成角为θ，所以11932cos cos ,532BC A Cθ-===⨯.则1BC 与1AC 32故选：A.4．（2022·福建宁德·高二期中）若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（）A ．25-B ．25C ．255-D 255【答案】B【解析】由题，()22125a =+-=，22215b =+=，则22cos 555a b a bθ⋅-==⋅⋅，故选：B5．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（理））已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC 的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 5SD =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22t BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 55211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2.即SD =2.故选：C6．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，2AD =则异面直线CD 与BM 所成角的大小为___________.【答案】3π【解析】由题知，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD 所以DA 、DC 、DS 两两垂直故以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为2DC SD ==，2AD =，点M 是侧棱SC 的中点，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，)2,2,0B ，()0,0,2S ，()0,1,1M 所以()0,2,0DC =，()2,1,1BM =--设异面直线CD 与BM 所成角为θ则21cos 22211DC BM DC BMθ⋅-===⨯++⋅因为异面直线的夹角为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦所以3πθ=故答案为：3π.7．（2021·广东·江门市广雅中学高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所10BD 的长为_______.【答案】【解析】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()1,2,0,1,22EF BD t ⎫==+⎪⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos ||||EF BD EF BD θ⋅==22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以BD ==故答案为：8．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）如图，在正四棱锥V ABCD -中， E 为BC 的中点，2AB AV ==.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为余弦值为216，则VF VA =________.【答案】23【解析】连接AC 、BD 交于点O ，则AC BD ⊥，因为四棱锥V ABCD -为正四棱锥，故VO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OV 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则)A、E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、(V、()B ，设),0,VF VA λλ===-，其中01λ≤≤，(0,BV =，则)),1BF BV VF λ=+=-，22,22VE ⎛=- ⎝，由已知可得21cos ,6BF VE BF VE BF VE ⋅<>==⋅，整理可得2620λλ--=，因为01λ≤≤，解得23λ=，即23VF VA =.故答案为：23考点2：线面角9．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【解析】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ．所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥，因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B （2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则1x =-，0y =，所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ，则1111sin cos ,2A B n A B n A B nθ⋅===⋅．因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°．10．（2021·黑龙江·哈尔滨七十三中高二期中（理））如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F．(1)求证：1A C ⊥平面BED ；(2)求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．【解析】（1）连接AC ，因为1111ABCD AB C D -是正四棱柱，即底面为正方形，则BD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD AA ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，故BD ⊥平面1A AC ，而1AC ⊂平面1A AC ，则1BD AC ⊥，同理得1BE AC ⊥，又BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ；（2）以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，则()2,2,0B ，()()12,0,4,0,2,0A C ，∴()10,2,4A B =-，()12,2,4AC =--，由题可知()12,2,4AC =--为平面BDE 的一个法向量，设1A B 与平面BDE 所成的角为α，则1130sin cos 62024,C A B A α==⋅，即1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值为306.11．（2021·河北唐山·高二期中）如图（1），△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）．(1)求证：AB⊥CD；(2)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由图（1）知，在图（2）中AC⊥AD，AB⊥AD，∵平面ACD⊥平面ABD，平面ACD∩平面ABD＝AD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，∴AB⊥CD；(2)由（1）可知AB⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC＝1，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），D（0，0，1），E（0，1，12），∴A E＝10,1,2⎛⎫,⎪⎝⎭BC＝(120),BE,-,＝10,1,2⎛⎫-,⎪⎝⎭设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），由20102BC n x yn BE y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y＝1，得x＝2，z＝2，则n＝（2，1，2），……设直线AE与平面BCE所成角为θ，则245 sin|cos,|15532AE nθ==⨯故直线AE与平面BCE4512．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=1，E是PB的中点.(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)求直线AP 与平面AEC 所成角的正弦值.【解析】（1）因AD ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，则AD ⊥PB ，又PA =AB =2，E 是PB 的中点，则有AE ⊥PB ，而AE AD A =，,AE AD ⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE .（2）因AD ⊥平面ABP ，∠PAB =90°，则直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(1,0,1),(0,0,2),(2,1,0)A E P C ，(1,0,1),(2,1,0),(0,0,2)AE AC AP ===，令平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则020n AE x z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =-，得(121)n ,,=-，令直线AP 与平面AEC 所成角的大小为θ，则||26sin |cos ,|||||62n AP n AP n AP θ⋅=〈〉==⨯所以直线AP 与平面AEC 613．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2PA AB BC ===，1AD =，点M ，N 分别为棱PB ，DC 的中点．(1)求证：AM ∥平面PCD ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0A B C ,()()()1,0,0,0,0,2,0,1,1D P M ,则()()0,1,1,1,0,2AM PD ==-,()1,2,0CD =--,设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =r,则2020n PD x z n CD x y ⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩,令1z =,则2,1x y ==-,则平面PCD 的一个法向量为()2,1,1n =-,0110,n AM n AM∴⋅=-+=∴⊥//AM ∴平面PCD（2）由（1）得3,1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设直线MN 与平面PCD 所成角为θ.sin cos ,n MN MN n n MNθ⋅∴==⋅39=∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为27839.14．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,//AB AD BC AD ⊥，点M 是棱PD 上一点，且满足2,4AB BC AD PA ====．(1)求二面角A CD P --的正弦值；(2)若直线AM 与平面PCD所成角的正弦值为3，求MD 的长．【解析】(1)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P ，(2,2,0)CD =-，(0,4,4)PD =-，设平面PCD 法向量(,,)n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220440x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即(1,1,1)n =，又平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，cos ,3m n m n m n⋅〈〉=，故二面角A CD P --3=．(2)设MD PD λ=（01λ≤≤），(0,4,4)MD λλ=-，点(0,4,44)M λλ-，∴(0,4,44)AM λλ=-，由（1）得平面PCD 法向量(1,1,1)n =，且直线AM 与平面PCD∴6cos ,3AM n AM n AM n⋅〈〉==，解得12λ=，即12=MD PD ，又PD 12==MD PD 15．（2022·北京市第十二中学高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 的中点．(1)证明：//PA 平面BDE ；(2)若1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，F 为棱PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30°，求PFPB的值．【解析】(1)如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE(2)因为1,90PD AD BD ADB ===∠=︒，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =，设(01)PF PB λλ=<<，则()()0,,1,0,,1F DF λλλλ-=-因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30，所以1sin302DF n DF n⋅==12=解得12λ=，故此时12PF PB =.16．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PD AD ==，AD PC ⊥，点E 在线段PC 上（不与端点重合），30PCD ∠=︒.(1)求证：AD ⊥平面PCD ；(2)是否存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30°？若存在，求出PEEC的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，可得AD CD ⊥，又由AD PC ⊥，且CDPC C =，CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，根据线面垂直的判定定理，可得AD ⊥平面PCD .(2)在平面PCD 中，过点D 作DF CD ⊥交PC 于点F .由（1）知AD ⊥平面PCD ，所以AD DF ⊥，又由AD DC ⊥，以{},,DA DC DF 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()(0,0,0),2,0,0D A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(0,P -，设PEEC λ=，则PE EC λ=，所以212,,11AE AP PE λλλ⎛⎫-=+=- ++⎝⎭，()2,0,0AD =-，(2,3,PB =uu r设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，则2120120AE n x y AD n x λλ⎧-⋅=-++=⎪⎨+⎪⋅=-=⎩，取y =0,12x z λ==-，所以平面ADE的一个法向量()2n λ=-，因为直线PB 与平面ADE 所成角为30，所以1sin 30cos ,2PB n ︒==，解得5λ=±综上可得，存在点E 使得直线PB 与平面ADE 所成角为30，且5PEEC=±考点3：二面角17．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AB 的中点，1B C 交1BC 于点E ，AC BC ⊥，1CA CB CC ==.(1)求证：DE ∥平面11AAC C ；(2)求平面1AB C 与平面11A B C 的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：因为111ABC A B C -为三棱柱，所以平面11BCC B 是平行四边形，又1B C 交1BC 于点E ，所以E 是1B C 的中点．又D 为1AB 的中点，所以//DE AC ，又AC ⊂平面11AAC C ，DE ⊂/平面11AAC C ，所以//DE 平面11AAC C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，又AC BC ⊥，所以11C A 、11C B 、1C C 两两互相垂直，所以以1C 为坐标原点，分别以11C A 、11C B 、1C C 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，如图所示．设11CA CB CC ===，则1(0,0,0)C ，1(1,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(1,0,1)A ，(0,0,1)C ，所以1(1,1,1)AB =--，(1,0,0)=-AC ，11(1,1,0)=-A B ，1(1,0,1)AC =-．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y z x -+-=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，则(0,1,1)n =，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则(1,1,1)m =．所以cos ||||m n m n m n ⋅〈⋅〉===⋅所以平面1AB C 与平面11A B C18．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===，E 是OC的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求二面角A BE C --的正弦值．【解析】（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,0E .()()()2,0,00,1,02,1,0EB =-=-，()0,2,1AC =-.2cos 5EB AC =-，.由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是25.（2）()()2,0,10,1,1AB AE =-=-，.设平面ABE 的法向量为()1,,n x y z =，则由11n AB n AE ⊥⊥，，得200x z y z -=⎧⎨-=⎩，取()11,2,2n =.由题意可得，平面BEC 为xOy 平面，则其一个法向量为()20,0,1n =u u r，1212122cos 3n n n n n n ⋅===⋅，，则12sin 3n n =，，即二面角A BE C --的正弦值为3．19．（2021·福建·厦门一中高二期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动．(1)当AE DM ⊥时，求点M 的位置；(2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）2AB =2AD BC ==，4ABC π∠=，∴222cos 2AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，又AF AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，所以以AB ，AC ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,1),(0,0,1)A B C D E F-，设(0,,1),02M y y 则2,1)AE =，(2,2,1)DM y =-AE DM ⊥，∴2(2)10AE DM y ⋅=-+=，解得22y =，∴12FM FE =．∴当AE DM ⊥时，点M 为EF 的中点．（2）由（1）可得(2,,1)2BM =，(BC =设平面MBC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111112020m BM y z m BC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取12y =，则m =，易知平面ECD 的一个法向量为(0,1,0)n =，∴cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>=⋅∴平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为105．20．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））如图，直角三角形ABC 中，60BAC ∠=，点F 在斜边AB 上，且4AB AF =，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，3AD =，4AC BE ==．(1)求证：DF ⊥平面CEF ；(2)点M 在线段BC 上，且二面角F DM C --的余弦值为25，求CM 的长度．【解析】（1）90ACB ∠=，60BAC ∠=，4AC =，8AB ∴=，又4AB AF =，2AF ∴=；2222cos 2016cos6012CF AC AF AC AF BAC ∴=+-⋅∠=-=，解得：CF =，222AF CF AC ∴+=，则AF CF ⊥；DA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，CF AD ∴⊥；又,AF AD ⊂平面ADF ，AFA AD =，CF ∴⊥平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，DF CF ∴⊥；连接ED ，在四边形ABED 中，作DH BE ⊥，垂足为H，如下图所示，DF ==EF ==，DE =222DF EF DE ∴+=，则DF EF ^；,CF EF ⊂平面CEF ，CF EF F ⋂=，DF ⊥∴平面CEF .（2）以C 为坐标原点，,CA CB 正方向为,x y 轴，以BE 的平行线为z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设CM m =，则()0,,0M m ，()0,0,0C ，()4,0,3D，()F ，()4,,3MD m ∴=-，()4,0,3CD =，()1,FD =，设平面DMF 的法向量(),,n x y z =，则43030MD n x my z FD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9y =，解得：3x m =-z m =，()3n m m ∴=--；设平面CDM 的法向量(),,m a b c =，则430430CD m a c MD m a mb c ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令3a =，解得：0b =，4c =-，()3,0,4m ∴=-；二面角F DM C --的余弦值为25，2cos ,5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，25=，((()222134381m m m ⎡⎤∴-=-++⎢⎥⎣⎦，解得：m；当m F DM C --为钝二面角，不合题意；则二面角F DM C --的余弦值为25时，CM =21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中P ABCD -，2AB DC=，0AB BC ⋅=，AP BD ⊥，且AP DP DC BC ====(1)求证：平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)已知点E 是线段BP 上的动点（不与点P ､B 重合），若使二面角E AD P --的大小为4π，试确定点E 的位置.【解析】(1)连接BD ，由2AB DC =，0AB BC ⋅=知242,//,AB DC AB DC CD BC ==⊥，在Rt BCD 中，22216,4BD CD BC BD =+==，设AB 的中点为Q ，连接DQ ，则//,CD QB QB CD =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，又,CD BC DC BC ⊥=，所以四边形BCDQ 为正方形，所以,22DQ AB DQ AQ ⊥==Rt AQD 中，22216AD AQ DQ =+=，在Rt ABD 中，222161632AD BD AB +=+==，所以AD BD ⊥，又,AP BD AP AD A ⊥⋂=，,AP AD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面ADP ⊥平面ABCD ；(2)在APD △中，2228816AP PD AD +=+==，所以AP PD ⊥，在Rt APD 中，过点P 作PF AD ⊥，垂足为F ，因为PA PD =，所以F 为AD 中点，所以2PF DF ==，由（1）得BD ⊥平面ADP ，PF ⊂平面ADP ，则BD PF ⊥，,AD BD ⊂平面ABCD ，ADBD D =，则PF ⊥平面ABCD .以D 为原点，分别以,DA DB 所在直线为,x y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(2,0,2),(4,0,0),(2,4,2)D A B P DA PB ==--，设()(2,4,2),0,1PE PB λλλλλ==--∈，则(22,4,22)DE DP PE λλλ=+=--，易知平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，设平面EAD 的法向量为(,,)n x y z =，则()()40224220n DA x n DE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令1z =，则1(0,,1)2n λλ-=，所以221cos ,cos 4211m n m n m nλπλλλ⋅-===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，即2122521λλλ-=-+，即23210λλ+-=，解得1λ=-（舍）或13λ=，所以，当点E 在线段BP 上满足13PE PB =时，使二面角E AD P --的大小为4π.22．（2021·湖北十堰·高二期中）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//,2,4,23AN BM AB AN BM CN ====(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出CE EM 的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)正方形ABCD 中，BC AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD平面,ABMN AB BC =⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABMN ，所以BC BM ⊥，且BC BN ⊥，2,23BC CN ==所以2222BN CN BC -，又因为2AB AN ==，所以222BN AB AN =+，所以AN AB ⊥，又因为AN //BM ，所以BM AB ⊥，BC BA B =，所以BM ⊥平面ABCD .(2)由（1）知，BM ⊥平面,ABCD BM AB ⊥，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,4,0B C N M 设点(),,,,E x y z CE CM λ=[0,λ∈1]，则()(),,20,4,2x y z λ-=-，所以0422x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以()0,4,22E λλ-，所以()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220m x y m y z λλ⋅=+=⎧∴⎨⋅=+-=⎩令1x =，所以21,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1m λλ=--，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，所以cos ,BC m BC m BC m⋅=⋅3==即2642λλ=-+，即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =.考点4：点到直线的距离23．（2021·云南大理·高二期中）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 6C ．118D ．224【答案】B 【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F到直线AC 的距离2221136144422AF AF AC AC d ⎛⎫⋅⎛⎫⎪=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故点F 到直线AC 的距离是6424．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）A ．230B 30C 3010D 305【答案】D【解析】由已知得(1,1,1)PA =---，因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =，所以点()1,2,2P 到直线l 的距离为2222212930335512PA n PA n ⎛⎫⎛⎫⋅-----= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：D25．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCD A B C D -的项点()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,4,2C =，则点1A 与直线1BC 之间的距离为（）A ．B ．2C ．125D ．52【答案】A【解析】如图，由题意知，建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(200)(240)(042)D A B C ，，，，，，，，，，，，则1422AB BC CC ===，，，连接111A B AC ，，所以1111A B A C BC ===得11A BC V 是等腰三角形，取1BC 的中点O ，连接1OA ，则1OA ⊥1BC ，即点1A 到直线1BC 的距离为1OA ，在1Rt A OB 中，有1OA ==故选：A26．（2021·北京市昌平区第二中学高二期中）已知空间中三点(1,0,0)A -，(0,1,1)B -，(2,1,2)C --，则点C 到直线AB 的距离为（）A B C D 【答案】A【解析】依题意得()()1,1,2,1,1,1AC AB =--=-则点C 到直线AB 的距离为63d =故选：A27．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.【答案】5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--，因点P 在线段1D E 上，则[0,1]λ∈，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--，(22,4,4)CP CE EP λλλ=+=--，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==，而||CP =，则点Р到直线1CC的距离4525h =，当且仅当15λ=时取“=”，所以点Р到直线1CC的距离的最小值为5.28．（2022·福建龙岩·高二期中）直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)AP =-，直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，由题意得点P 到l的距离d =29．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________.【答案】3【解析】如图，以D 为原点建系，则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--，则111111cos ,3A O A E A O A E A O A E⋅==，又[]11,0,A O A E π∈，所以111sin ,3A O A E =，所以点O 到直线1A E的距离为1111sin ,33A O A O A E ==.故答案为：23.考点5：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离30．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .（2）()=0,2,0AB ，则点B 到平面ACF 的距离为43AB nn⋅=.31．（2022·江苏·2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则点D 到平面ABC 的距离为______．【答案】33【解析】记AC 与BD 的交点为O ，图1中，由正方形性质可知AC BD ⊥，所以在图2中，,OB AC OD AC ⊥⊥，所以2BOD π∠=，即OB OD⊥如图建立空间直角坐标系，易知1OA OB OC OD ====则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -则(0,1,1),(1,0,1),(0,2,0)AB AC BD =--=-=设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量，则00AB n y z AC n x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-所以点D 到平面ABC 的距离22333BD n d n⋅===故答案为：23332．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．【答案】1【解析】以1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1A ，()11,1,0B ，10,,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,0D ，设平面11B D EF 的法向量(),,m x y z =，则有1111020m D E y z m D B x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2y =得：2,1x z =-=-，故()2,2,1m =--，其中()10,1,1AB =-，则点A 到平面11B D EF 的距离为11AB m d m⋅===故答案为：133．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离是________.【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()0,1,0D 、()10,0,1A 、()11,1,1C ，设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =，()11,0,1AB =，()1,1,0AC =，由1111100m AB x z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =--，设平面11AC D 的法向量为()222,,n x y z =，()10,1,1DA =-，()11,0,1DC =，由12212200n DA y z n DC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =--r ，因为m n =，平面1AB C 与平面11AC D 不重合，故平面1//AB C 平面11AC D ，()0,1,0AD =uuu r ，所以，平面1AB C 与平面11AC D 间的距离为1333AD m d m⋅==故答案为：33.34．（多选题）（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,E O 分别是11A B ，11AC 的中点，P 在正方体内部且满足1132243AP AB AD AA =++，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BE 255B ．点O 到平面11ABCD 的距离是24C ．平面1A BD 与平面11B CD 3D ．点P 到直线AD 的距离为56【答案】ABCD【解析】如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)A ，1(1,1,1)C ，()10,1,1D ，1,0,12E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(1,0,0),,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．设ABE θ∠=，则||5cos 5||||BA BE BA BE θ⋅==，25sin 5θ==．故A 到直线BE的距离1||sin 1d BA θ===，故选项A 正确．易知111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，平面11ABC D 的一个法向量1(0,1,1)DA =-，则点O 到平面11ABC D 的距离11211||224||DA C O d DA ⋅===，故选项B 正确．1111(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0)A B A D A D =-=-=．设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0,x z y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =．所以点1D 到平面1A BD的距离113||||A D n d n ⋅===因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为3.故选项C 正确．因为1312423AP AB AD AA =++，所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(1,0,0)AB =，则34||AP AB AB ⋅=，所以点P 到AB 的距离56d ==.故选项D 正确．故选：ABCD.考点6：异面直线的距离35．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中）如图正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =.动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x yy z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min 23DA n PQ n⋅==.故选：B .36．（2021·辽宁沈阳·高二期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（）A 5B 7C 6D ．67【答案】D【解析】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ，则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =，67AB n d n⋅∴==.故选：D.37．（2021·上海交大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1AC 的距离为___________.【答案】【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由1(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)A B C A ，则1(0,4,0),(4,4,4)AB CA ==-，1(0,0,4)AA =设(,,)m x y z =是异面直线AB 和1AC 的公垂线的一个方向向量，则1404440m AB y m CA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则(1,0,1)m =-，所以异面直线AB 和1AC的距离为1AA m m ⋅==故答案为：38．（2021·广东·广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.（1）求证：平面GEF ⊥平面PBC ；（2）求证：EG 是直线PG 与BC 的公垂线；（3）求异面直线PG 与BC 的距离.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0A B C F E G ，()1,0,0GF =-，0,0GF PC GF PB ⋅=⋅=，所以,,GF PC GF PB PC PB P ⊥⊥⋂=，所以GF ⊥平面PBC ，由于GF ⊂平面GEF ，所以平面GEF ⊥平面PBC .（2）()()1,1,1,0,3,3EG BC =--=-，0,0EG PG EG BC ⋅=⋅=，所以EG 是直线PG 与BC 的公垂线.（3）2221113EG =++=所以异面直线PG 与BC39．（2021·全国·高二期中）如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值；（2）求异面直线PB 与CD 之间的距离．【解析】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，且PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面PAB 的一个法向量．易知()()1,1,2,0,2,2PC PD =-=-uu u r uu u r ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,220,x y y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =解得1,1z x ==．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3cos ,AD m AD m AD m⋅==uuu r u r uuu r u r uuu r u r PAB 与平面PCD 所成夹角为锐角所以平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值为33．（2）()1,0,2BP =-，设Q 为直线PB 上一点，且(),0,2BQ BP λλλ==-，因为()0,1,0CB =-，所以(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()1,1,0CD =-，所以点Q 到直线CD 的距离()22cos d CQ CQ CQ CD =-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r===，因为22919144222999λλλ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，所以23d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为2 3．。

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
面面距离 点面距离 向量的模 回归图形 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形
作业：
课本P121 第 2、4 题
3.2 立体几何中的向量方法（3）
----利用向量解决平行与垂直问题
xxz
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为 向量问题）
思考：
B
C
其他条（件1）不本变题，中可如以果计夹算角出A可B的以长测吗出？，而AB未知，A
D
图3
分析：由 A2 B(AC CD D)B 2
2
2
2
A C B D B D 2 (A C C A D D C C B D D ) B
a2c2b22 acbo s
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条
3.2 立体几何中的向量方法
----直线的方向向量与平面的法向量
一、点、直线、平面的位置的向量表示
点
●P
●
O 基点
空间中任意一点P的
位置可用向量 OP
表示
直线
a
●
A
l
●P
AP a (R)
点A和 a不仅可以确
定直线l的位置，还可 以具体表示出l上的任 意一点P。
平面
O a
●P
b
OP xa yb (x、yR)
u (1,0,1),v (1,1,0),求这两个平面 所成的锐二面角的的度大数小. 。
lm
a
b
l//ma /b / a b

立体几何中的向量方法（讲义）知识点睛利用直线的方向向量与平面的法向量解决立体几何问题． 一、角度（线线角、线面角、面面角）的计算 1． 线线角的求法：设两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，直线的夹角为θ， 则cos cos θ=<>=，a b __________． 线线角θ的范围：_______________． 2． 线面角的求法：（1）设直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，两向量的夹角为ϕ， 则有sin cos θϕ⋅==m nm n．（2）在直线l 上取两点A ，B ，则直线l 的一个方向向量为AB −−→，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则有||||sin |cos |||AB AB AB θ−−→−−→−−→⋅=<>=n n n ，．线面角θ的范围：_______________．3． 二面角的求法：（1）如图①，AB ，CD 所在直线是二面角α-l -β两个半平面内与棱l 垂直的直线，二面角α-l-β所成的角为θ，则cosθ=__________________．②①（2）如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β两个半平面α，β的法向量，二面角α-l-β所成的角为θ，则cos θ=_______________或_______________．（3）若已知BE⊥平面α，AF⊥平面β，二面角α-l-β所成的角为θ，则|cos cos|||||||||AF BEAF BEAF BEθ−−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅=<>=，．（4）二面角θ的范围：_____________．二、点到平面的距离的计算1．如图，已知AB为平面的一条斜线段，点A在平面α内，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为|||||cos|BO AB AB−−→−−→−−→=<>=，n_____________________．2．如图，已知PO⊥平面α，点A为平面α上的一点，则点P到平面α的距离||||PAd−−→=g nn．精讲精练1．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离为__________．①B 11C 1A 1D CBAE2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ， CG =2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为__________．GFEACD3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 在D 1C 1上，且D 1E=14D 1C 1，则直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值为__________．FE ABCD A 1C 1D 1B 14．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_______．B 1D 1C 11D CB A E5．如图，在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，AC ⊥BD ，BC =1，AD =AA 1=3. （1） 求证：AC ⊥B 1D ；（2）求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.D 1C 1B 1A 1DCBA6．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA =CB ，AB =AA 1，∠BAA 1=60°.（1）求证：AB ⊥A 1C ；（2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB =CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．D 1C 1B 1A 1DCBACC 17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.（1）求证：DC1⊥BC；（2）求二面角A1-BD-C1的大小．A1B1C1DABCA1B1C18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（1）求证：PC⊥平面BED；（2）若二面角A-PB-C为90°，PAPA求PD与平面PBC所成角的大小．9．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）求证：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1-CE-C1的正弦值；（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的B1 B正弦值为6，求线段AM 的长． ED 1C 1B 1A 1C BAD回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】 知识点睛一、1．⋅a b a b090θ︒︒≤≤2．090θ︒︒≤≤3．（1） cos ||||AB CDAB CD AB CD −−→−−→−−→−−→−−→−−→=⋅<，>（2）121212 cos ||||-=-⋅<，>n n n n n n121212 cos ||||=⋅<，>n n n n n n（4）0180θ︒︒≤≤二、| |||n n −−→⋅AB精讲精练1．1 2．11 3．87 4．23 5．（1）略；（2）7 6．（1）略；（27．（1）略；（2）30° 8．（1）略；（2）30° 9．（1）略；（2）7；（3立体几何中的向量方法（随堂测试）10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB =60°，AB =2AD ，PD ⊥底面ABCD ． （1）求证：P A ⊥BD ；（2）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的正弦值．CABD P【参考答案】1．（1）略；（2立体几何中的向量方法（作业）例1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C ⊥CD，如图2．EDCBAE DCBM A 1图1图2（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）问：线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 【过程示范】（1）∵由图1到图2可知CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD ∩A 1D=D ， ∴DE ⊥平面A 1CD ， 又∵A 1C ⊂平面A 1CD ， ∴A 1C ⊥DE ，又A 1C ⊥CD ，CD ∩DE=D ， ∴A 1C ⊥平面BCDE ．（2）如图建立空间直角坐标系C -xyz ， 在Rt △ACD 中，A 1C ⊥CD ，CD =2，A 1D =4， ∴A 1C=则C (0，0，0)，D (-2，0，0)，A 1(0，0，，B (0，3，0)， E (-2，2，0)，M (-1，0，，∴1(03−−→=-A B ，，，(210)−−→=--BE ，，，(10−−→=-CM ，，设平面A 1BE 的法向量为()x y z =，，n ，则有130 20A B y BE x y −−→−−→⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，n n 不妨取1=x ，则2=-y，=z则平面A1BE的一个法向量为(12=--，，n，设CM与平面A1BE所成的角为θ，则||sin=|cos2||||CMCMCMθ−−→−−→−−→⋅===<，>|nnn，则CM与平面A1BE所成角的大小为45°．（3）设线段BC上存在满足题意的点P，且点P的坐标为(0，a，0)，03a≤≤，∴1(0−−→=-A P a，，，(20)−−→=DP a，，，设平面A1DP的法向量为1111()x y z=，，n，则有111111120A P ayDP x ay−−→−−→⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，nn不妨取13=-x a，则16=y，1=z，则平面A1DP的一个法向量为1(36)a=-，n，若平面A1DP与平面A1BE垂直，则10=⋅n n，∴31230a a---=，解得2=-a，∵03a≤≤，∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．11．在空间直角坐标系O -xyz 中，平面OAB 的一个法向量为 n =(2，-2，1)，已知点P (-1，-3，2)，则点P 到平面OAB 的 距离d 等于（ ）A ．4B ．2C ．3D ．112．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面 A 1BD 的距离为（ ） ABCD ．1A BCDA 1C 1D 1B 113．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则CD 与平面BDC 1所成的角的正弦值等于（ ）A ．23B．3C．3D ．13D 1C 1B 1A 1CBAD14．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A =AC =12AB ，N 为AB 上一点，AB =4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． （1）求证：CM ⊥SN ；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小．NM SPABC15．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ．（1）求证：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q -BP -C 的余弦值．PD BA16．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的 中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA =EB =AB =1，P A =32，连接CE 并延长交AD 于点F ，连接GF ．（1）求证：AD ⊥平面CFG ；（2）求平面BCP 与平面DCP 夹角的余弦值．GFE DCBA17．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =3，BC =5． （1）求证：AA 1⊥平面ABC ； （2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（3）求证：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.B1 C1A1CB A【参考答案】1．B 2．C 3．A 4．（1）略；（2）45°5．（1）略；（2）56．（1）略；（2）47．（1）略；（2）1625；（3）925。

①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
C
D
A D1
B
A
n
B O
证明： 如图建立空间直角坐标系 B-xyz
设 AB＝1，则 B(0,0,0)，
E12，0，0，F0，0，12，C1(0，1,1)，
所以E→F＝－12，0，12，B→C1＝(0,1,1)．
1
cos〈E→F，B→C1〉＝
2 22×
＝12，〈E→F，B→C1〉=60° 2
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
练习：如图，在三棱锥 V-ABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系 的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴，y 轴，z 轴上，D 是线 段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ＝π3时，
求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值．
解：由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点，
范围：
0,
2
C
D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？ B
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
结论：
a，b
aa，b
b
| ab
|
cos
ab
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量
A 的夹角为150°，则l1与l2夹角( )
A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均不对
所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．

直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。

一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

知识图谱-利用向量方法求线线角与线面角-利用向量方法求二面角-利用向量方法求距离直线与直线的夹角直线与平面的夹角向量法求二面角含有参数的二面角求法点到点线面的距离线与线面的距离第03讲_立体几何中的向量方法错题回顾利用向量方法求线线角与线面角知识精讲一．用向量方法求线线角与线面角1．两条异面直线所成的角（1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角；（2）范围：两异面直线所成的角的取值范围是；（3）向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有．2．直线与平面所成的角（1）定义：直线与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角；（2）斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所称角中最小的角；（3）范围：直线和平面所成角的取值范围是；（4）向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有或，此外还可以根据定义得到直线与平面所成的角如下图：．三点剖析一．方法点拨1．在用向量法求两条直线的夹角时，如果两条直线方向向量的夹角余弦值是负数时，则取绝对值，要正数，因为两条直线的夹角范围是．2．在用向量法求直线与平面的夹角时，如果算出的是负值时，则线面角的正弦值也需要取正值．题模精讲题模一直线与直线的夹角例1.1、已知是异面直线，，且，则所成的角是( )B、A、C、D、例1.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，A B=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．例1.3、如图所示，正四面体的高的中点为的中点为．（1）求证：两两垂直；（2）求．题模二直线与平面的夹角例2.1、若斜线段的长度是它在平面内的射影长的倍，则与所成角的正切值为__________．例2.2、直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是的中点，点在平面上的射影是．求与平面所成角的大小（结果用正弦值表示）．例2.3、已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．例2.4、如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值．随堂练习随练1.1、若异面直线的方向向量分别是，则异面直线与的夹角的余弦值等于( )A、B、C、D、随练1.2、在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

1A 1B 1C 1D ABCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a ·b =±|a ||b |2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： ·=|||| cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==,A Bd =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4π C ．510arccosD ．2π （向量法，传统法）PBCA例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππ（图）；若ππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

．
(4)判断直线和平面所成的角 θ 和〈l，n〉的关系，求出角 θ.
当堂检测：
如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，点 F1
是 A1C1 的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.
(1)求异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值；
(2)求直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角．
＝ ，
2 2 2
π
所以 θ＝ ，
4
π
所以直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为 .
4
课堂小结：
作业布置：
练习册 分层精炼33
高考链接：
（2022全国甲卷）18. 在四棱锥 P-ABCD中，PD⊥ 底
面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP= ．
（1）证明：BD ⊥ PA ；
n BP 3 y 3z 0
则 cos n, DP
n DP
n DP


3, 3 , DP 0,0, 3 ，
5
，
5
所以 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为
5
.
5
，则 l1 与 l2 所成的角
6
为( A )
π
A.
6
5π
B.
6
π 5π
C. 或
6 6
D.以上均不对
解析 l1 与
故选 A.


π
l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0， ，
2

学以致用
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是
A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角

§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。

问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。

三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°班别： _____________学号： _____________姓名： ___________高二理科数学导学案例2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2， 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ， 直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v||μ||v|2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715B ．21C ．178D ．233．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）A ．54B ．104C ．52D ．102ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为() A.32 B.52 C.105 D.10105．正四棱锥S—ABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面P AC所成的角为．【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法．用向量方法求空间中的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴cosθ＝|a·b| |a|·|b|.2．求直线与平面所成的角如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。

|1 |||
=
解析
√3
√8
=
关闭
√6
4
.
答案
-10-
知识梳理
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.
关闭
不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2.
已知直三棱柱ABC-A
可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C
1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),
1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且
n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.
-5-
知识梳理
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
-6-
5
4.利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则
|AB|=||= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
(2)点到平面的距离
(2)平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n
· = 0,
为平面 α 的一个法向量,则可用方程组
求出平面 α 的一个
· = 0
法向量 n.
-8-
知识梳理
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双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. (
)
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. (
√5
关闭
A ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 .
5
解析
答案
-11-
知识梳理

例2：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C所成的角.
解：以点A为坐标原点建立空间直角
z
坐标系A—xyz A(0，0，0)， B1(1，0，1)， A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)，
B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
2
A
B

n，BA
2
B
n
结论：sin | cos n, AB |
例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是 A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的 余弦值．
例2：正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，侧棱 长为 2例1，：求正A方C体1与A侧B面CDA—BBA11AB11所C成1D的1中角，．
CDAD，PA垂直于底面ABCD，
PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
当堂检测
如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、B1C1 的中点．
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a

b
a，b
|
a

b
a，b
|
结论：
| cos a,b |
探究2：线面角
斜线与平面所成角的范围：


0,
Hale Waihona Puke 2 A
思考：
B O

设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？

30 10
2. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面所
成的角为 1 ，向量 AB 与n所成的角为 2 ，
则
1
2
2
1
2
2
(012,02)
而利用 cos 2 AB n
AB n
可求 2 ，
n
B
2 1
从而再求出 1 .
A
n
2. 线面角
设直线l的方向向量为a ， 平面
直线 l与平面 所成的角为 (0
平
面
A
B
C
的
法
向
量
平
移
到
A1
B1C
位
1
置
，已知BC NhomakorabeaCA
C
C
，取
1
A1
B1、
A1
C
的
1
中
点
D
、
1
F1，
求
B
D
与
1
A
F1
所
成
的
角
的
余
弦
值
.
F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如y z图
所示，设 则C C：1 1
A (1, 0 , 0 ), B (0 ,1, 0 ),
≤的 法≤ 向 量),为则u
，且
2
u
a
a u
s in au
l
a
u
是 练习4： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求PB与平面EDB所成角的正Z弦值

04 向量求法在解题中的应用
解题思路
向量表示
首先，将线线角或线面角用向 量表示出来，通常是通过两个
向量的点乘或叉乘来表示。
建立方程
根据向量的性质和题目条件， 建立关于这些向量的方程。
求解方程
解方程以找到未知数，这通常 涉及到向量模长、角度等。
得出结论
根据解得的向量，计算出线线 角或线面角。
实例解析
线线角-线面角的向量求法
目录
• 引言 • 线线角的向量求法 • 线面角的向量求法 • 向量求法在解题中的应用 • 结论
01 引言
主题简介
01
02
03
线线角
两条直线之间的夹角，通 常用角度或弧度表示。
线面角
一条直线与一个平面之间 的夹角，通常用角度或弧 度表示。
向量求法
利用向量的数量积、向量 的点积等性质来求解线线 角和线面角的方法。
解题步骤 2. 根据点乘结果，确定$theta$的范围并求出其值。
问题描述：求两条直线$l_1$和$l_2$之间的线 线角，已知两直线的方向向量分别为$vec{a}$ 和$vec{b}$。
1. 计stheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$。
理论完善
深入研究向量求法的理论基础，完 善相关定理和推论，为未来的研究 提供更有力的支撑。
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向量表示法
直线向量的表示
直线的方向向量可以用两个非共线向 量的线性组合来表示。
平面向量的表示
平面的法向量可以用三个非共线向量 的线性组合来表示。
计算方法
• 公式法：利用向量的点积和叉积，可以推导出线面角的计算公式。具体公式为 cosθ=∣∣→a⋅→n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→ a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅ →n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n→a⋅→n| → | → | → | → | → | → |→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→| →|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→|→ | → | →| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT| nT|| · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || · || ·||

§3.2立体几何中的向量方法(4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么?怎样用定义法求它的大小？ 问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ . 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角,能否求线面角？如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角,θ＝<a ,n 〉, 则sin φ＝ 。

三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 （ )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°班别： _____________学号： _____________姓名： ___________高二理科数学导学案例2．如图,三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1,∠BAA 1＝60°。

(1)证明：AB ⊥A 1C ；（2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2, 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ,∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1。

三、例题例1、解：如图，以B为原点，，则A（4，0，0），S（4，0，2），M（2，0，0），N（0，1，0）例2、五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。

现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。

设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1⊥平面BCC1 B1⊥平面ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：，且）总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。

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