第3章：离散时间信号的傅里叶变换教学幻灯片

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第3章：离散时间信号的傅里叶变换教学幻灯片

X ( j ) x ( t ) e j t dt
将离散信s号变换子集 s j进行自变量代换：
X(s) sj X( j) x(nTs)ejnTs n
Ts x(n)ejn X1( j) n
DTFT的性质
线性：若 x 1 ( n ) X 1 ( e j ), x 2 ( n ) X 2 ( e j )，则 x1 (n ) x 2 (n ) X 1 (e j ) X 2 (e j )
w0 =0.6283(f0=20) Aw0 =499.4717 Pw0 =1.2795 w0N =-0.6283(f=-20) Aw0N =0.1354 Pw0N =0.4922 Elapsed time is 7.619203 seconds.
其他分量泄漏
250 200 150 100
50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
0
5
10
15
20
25
30
w/rad
0
200
400
600
800
1000
f/Hz
的确出现了原信号频率分量。问题: (1)-f0处未出现频率分量
(2)出现2pi(或fs)周期性 (3)其他分量
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001

信息与通信第3章离散傅里叶变换PPT课件

n
~x(n)
1
(b)
0123456 7
n
~x(n)
x(n rN ) x(n%N) x((n))N
r
x(n) ~x (n)RN (n) x((n))N RN (n)
x(n)为周期序列的主值序列
第4页/共46页
| X~(k)|
(c)
01 2 3 4 5 6 7
k
| X(k)|
(d)
01 2 3 4 5 6 7
四、用MATLAB计算序列的DFT
• Xk = fft(xn,N) • xn = ifft(Xk,N)
第12页/共46页
【例3.1.2】
(a)16点 DFT的幅频特性图 4
3
(b)16点 DFT的相频特性图 2
相位
幅度
2
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
/
(c)32点 DFT的幅频特性图 4
W ( N 1)1 N
W 02 N
W 12 N
W ( N 1)2 N
W 0( N 1) N
W 1( N 1) N
x(0) x(1)
WN(
N
1)(
N
1)
x(N 1)
x(0) x(1)
1 N
W 00 N
W 10 N
x(N 1)
WN(N 1)0
W 01 N
W 11 N
1
n0
DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0, 2π] 上的N点等间隔采样。
第9页/共46页
三、DFT的隐含周期性
N 1

课件：第三章离散傅立叶变换(1ok)

m
28
DFT的第二种物理意义（DFT与DFS的关系）
DFT： x(n) X (k) 序列取主值，变换也取主值
DFS： x(n) X (k)
x(n) x(n)RN (n) X (k) X (k)RN (k)
x
N
(n)
x((n))N
X (k) X ((k))N
结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是
x(1) x((1))8 x(?) =x(7) ~x (9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
26
若x(n)实际长度为M，延拓周期为N
x(n) ~x (n).RN (n)
x(n) x((n))N
仅对N≥M时成立。
当N<M时，
~x (n)
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej )
n
R4 (n)e-jn
3
e-jn
n0
1 e-j4 1 e-j
e-j2 (e j2 e-j2 ) e-j / 2 (e j / 2 e-j / 2
)
e-j3 /2 sin(2) sin( / 2)
9
例：离散傅里叶变换
（2）x(n)的4点DFT
6
3.１离散傅里叶变换的定义及物理意义
• 离散傅里叶变换的定义 • DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 • DFT的隐含周期性
7
3.１.1 离散傅里叶变换的定义
• 离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为M，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn n0
x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列。

离散傅里叶变换(DFT)63244ppt课件

令k=m
n0
精选ppt
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
7
第3章离散傅里叶变换(DFT)
ak
1
N1
j2kn
x(n)e N
Nn0
令X(k) Nak
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
X
(k
N
)
N
1
x(n)e
j
2 N
n(k
N
)
N 1
j 2 nk
x(n)e N
X (k)
n0
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓
(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）
精选ppt
10
第3章离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
FT
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
精选ppt
3
第3章离散傅里叶变换(DFT)
(3)离散非周期信号
X (e j ) x(e j )e jnd
2
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
精选ppt
5
第3章离散傅里叶变换(DFT)

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件

2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2

数字信号处理DSP第三章1 离散傅里叶变换-PPT精选文档

7
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
Xk ( ) xne ()
n 0 N 1 2 j n k N
1 j n k 1N N xn ( ) Xke () N k 0
2
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的 2019/3/25 课件
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域、连续频率—序列的傅里叶变换
n Xe ( j ) xne ( ) j n
1 j j n x () n X ( e ) e d 2
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续 2019/3/25 课件
P132:

2019/3/25
3 4 5(1)(2)(3) 6 8 9 10 11 12 14 19 20 26 课件
2
第三章离散傅里叶变换
DFT: Discrete Fourier Transform
2019/3/25
课件
3
一、Fourier变换的几种可能形式
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握
周期卷积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移
位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程
2019/3/25 课件 1
本章作业练习
时间函数频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换

第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)

n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n

【精品】3离散傅里叶变换PPT课件

X1(k)=DFT［x1(n)］
X2(k)=DFT［x2(n)］
如果 X(k)=X1(k)·X2(k)
则
N 1
x(n )ID F T [X (k)] x 1 (m )x2((n m ))N R N (n )
m 0
N 1
或 x(n )ID F T [X (k)] x2(m )x 1 ((n m ))N R N (n )
设序列xn长度为m在频域02之间等间隔采样n点56将上式代入xz的表示式中得57上式中1因此上式就成为xn的傅里叶变换xe59例331长度为26的三角形序列编写matlab程序验证频域采样定理60dftdft的快速算法fft的出现dft在数字通信语言信号处理图像处理功率谱估计仿真系统分析雷达理论光学医学地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用
29
第3章离散傅里叶变换(DFT) 直接计算循环卷积较麻烦。计算机中
采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式。
30
第3章离散傅里叶变换(DFT)
当n = 0, 1, 2, …, L－1时，由x(n)形成的
序列为： {x(0), x(1), …, x(L－1)}。循环移位后
(2) 时域循环移位定理：设x(n) 是长度为N的有限长序列，
y(n)为x(n)的循环移位，即 y(n)=x((n+m))NRN(n)
则
Y(k)=DFT［y(n)］
WNkmX(k)
其中 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
24
第3章离散傅里叶变换(DFT) （3）频域循环移位定理，如果
可得下面的矩阵：
x(0)
x(1)

信号与系统离散时间傅立叶变换(PPT62页)

4. x(n) (n)
X (e j ) x(n)e jn 1 n
(n)
1 n
0
三. DTFT的收敛问题
如图所示:
X (e j )
1
0
当x(n是) 无限长序列时，由于 X（的e j表 ) 达式是无
穷项级数，当然会存在收敛问题。
收敛条件有两组：
2
1. x(n)则级数, 以均方误差最小的准则
当N 时，x(n) x(n), k0 , 0 d, ,
当 k在一个周期范围内变化时， k在0 范2围变化，
所以积分区间是。 2
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上
分布的、幅度为合。
1 X 的(e j复 )d指数分量的线性组 2
DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数
CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换
两点比较:
1.与对应的周期信号比较
X
(e
j
)
sin(2N1
1)
2
sin
2
ak
1 N
sin
N
k (2 N1
sin k
1) ,
N
ak
1 N
X (e j ) 2 k N
显然有关系成立
2.与对应的连续时间信号比较
x(t)
1, 0,
如图所示:
t T1 t T1

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起到了平滑作用，降低了谱峰分辨能力，主瓣宽度B=4*pi/N; 但使某些不存在的DTFT变得存在。
DTFT结果每个周期按窗长点数离散化—— 离散傅里叶变换（DFT）
抽样信号由于加窗的原因，DTFT必然是一个连续谱，但计算机只能获得谱的一些离散值。如何离散化？一种方法是一个周期2pi内离散出N点。
u(n)
11ej
(2k),
k
kZ
DTFT的物理意义
看频率组成、看频率响应
300
200
100
0
-5
0
5
10
15
20
25
w/rad
300
200
X(ej） x(n)ejn n
x ( n ) a c2 o f 0 n s s ( T ) a co 0 n s )(
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 30 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
X ( j ) x ( t ) e j t dt
即有：
X~ ( k )
N
1
~x
(
n
)
e
j
2 N
nk
n0
~x ( n )
1
N
1
X~
(k
)e
j 2 N
nk
N k 1
k , n ,
DFT对
离散周期序列的傅立叶级数DFS
N1
j2nk
X(k) x(n)e N
k0,N1
n0
1 N1
j2nk
x(n)
X(k)e N
n0,N1
N k1
FT :
m
N
1
Px 2
Px
(e
j
)d
X 2 N (e j ) 2 2N 1
能量谱、功率谱始终为能量谱、功率谱都是自
的实函数，失去了相位信息。相关函数的傅里叶变换，只是自相关函数的定
义略有不同。
一些典型信号的DTFT
(n)X(ej)1,所有幅频响1，应相为频响 0 应为
(nm)X(ej) (nm)ejnejm,所有幅频响1，应为 n 相频响（应）arctaX XnR I((eejj))arctacnso[i sn(m (m))]m
能量信号自相关函数的傅里叶变换是信号傅里叶变换的模的平方
Parseval （巴塞伐）定理：若
x 2 x ( n ) 2 1 X (e j ) 2 d
2 n
2
Wiener Khinchin (维纳辛钦）定理 :
lim Px (e j )
rx (m )e jm
e e e j0n
j 0 nT s
j 0 t
(t nTs )
n
X (e j ) 2 ( 0 2k), k Z k
x(n) 1
2
2
( 0 2k )e jnd
k
(
0 )e
jnd
e
j0n
sin(0n) j [(0 2k)(0 2k)],kZ k
cos( 0n) [(0 2k)(0 2k)],kZ k
d(n)
1 0
n0,1,, N1 n为其它值
X~(k) X(ej)
N1
j2 nk
x(j)
N1
j2 nk
x(n)e N
2k/ N
n0
k ,, k 0,, N1
离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换（DFT）的数学模型
频域抽样函数：
Q ( j ) 0 ( k 0 ) k
0
5
10
15
20
25
30
w/rad
0
200
400
600
800
1000
f/Hz
的确出现了原信号频率分量。问题: (1)-f0处未出现频率分量
(2)出现2pi(或fs)周期性 (3)其他分量
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
频域卷积定理：若 y ( n ) x ( n ) h ( n ), 则 Y ( e j ) X ( e j ) * H (e j ) 1 X (e j ) H (e j ( ) )d
2
时域相关定理：若 y ( m ) x ( n ) h ( n m ) x ( m ) * h ( m ), 则 Y (e j ) X * (e j ) H (e j ) n rx ( m ) x ( m ) * x ( m )，则 E x ( e j ) X * ( e j ) X (e j ) X ( e j ) 2
1
Ts
X a ( j
k
jk s )
T s X ( e j )
卷积与周期延拓 P116，图3.3.1
DTFT结果与离散信号的加窗
d
(n)
1
0
n 0,1, , N 1 n为其它值
D (e j ) e j ( N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
时移：若 x ( n ) X ( e j )，则 x ( n n 0 ) e j n 0 X ( e j )
奇偶虚实对称：
若 x ( n ) 为实信号，则（ 1） X R ( e j ) X R ( e j );
（ 2） X I ( e j ) X I ( e j ); ( 3 ) X * ( e j ) X ( e j );
w0 =0.6283(f0=20) Aw0 =499.4717 Pw0 =1.2795 w0N =-0.6283(f=-20) Aw0N =0.1354 Pw0N =0.4922 Elapsed time is 7.619203 seconds.
其他分量泄漏
250 200 150 100
50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
n
n
X ( ) x (n)e jn x (n)(cos( n) j sin( n))
n
n
X ( ) X ( ) ( x (n) cos( n))2 ( x (n) sin( n))2
n
n
x (n) sin( n)
( ) ( ) arctan
n
x (n) cos( n)
x ( n ) e j n
n
n
解释 2：
x ( n ) x s ( nT s ) x a ( t ) ( t nT s ) n
X s (e j ) X a ( j ) * P ( j )
2 X a ( j ) * [ T s
(
k
k
s )]
1 2
2 Ts
X a ( j ) ( k s )d k
x ( n ) 1
0
X
R (e
j
) cos(
n)d
(8) x (n )再为奇函数时，
X R ( e j ) 0 ; X I ( e j ) 2 x ( n ) sin n ; n 1
x ( n ) 1
0
X
I
(e
j
) sin(
n)d
时域卷积定理：若 y ( n ) x ( n ) * h ( n ), 则 Y (e j ) X (e j ) H (e j )
离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的定义
当限定 z ej时，离散信Z号变的换变为傅立叶变换 DT（FT),如下：
复变函数X(e j)，关于e j的幂级数
X(z) zej X(ej） x(n)ejn n
X(e j)是以2为周期
X(e j)是连续信号
傅立叶变换 r即 z1 限单定位在圆 Z变上换的。e jn X(ej)e jnX(e j)
100
w0 =0.6283 rad (f0 =20Hz)
0 -200
0
200
400
600
800
1000 Aw0 =249.7494
f/Hz
Pw0 =1.2797
的确出现了原信号频率分量。
w0N =-0.6283 rad(f0=-20Hz)
问题: (1)-f0处出现频率分量 (2)出现2pi(或fs)周期性
（ 4） X ( e j ) X ( e j ) ;
(5 ) arctan
X X
I (e j ) R (e j )
(
);
( 6 ) x ( n ) 1
[X
0
R (e
j ) cos(
n)
X
I (e
j ) sin(
n )]d
(7 ) x (n )再为偶函数时，
X R ( e j ) x ( 0 ) 2 x ( n ) cos( n ), X I ( e j ) 0 ; n 1

第3章：离散时间信号的傅里叶变换教学幻灯片

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