下载文档原格式
【学整理】新初三数学：添加几何辅助线方法整理，总结很全，抓紧掌握！写在前面：暑假不仅仅是用来放松玩耍的，更是用来“弯道赶超”的。
暑假先人一步，开学领跑一路！开学不想落后他人，暑假抓紧预习起来。
今天小高老师和大家分享的是新初三数学：添加几何辅助线方法整理，总结很全，抓紧掌握！三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可。
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可。
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点：考虑中位线或等腰等边中的三线合一等知识。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一；（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °四边形常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。
在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。
下面介绍一些辅助线的添加方法。
1. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形；（2）利用两组对边平行构造平行四边形；（3）利用对角线互相平分构造平行四边形；2. 与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。
初中数学辅助线的做法总结一、加法与减法辅助线1.相差减一法：对于计算两个数之差的问题，我们可以使用相减法，即将两个数按位相减，并将每一位之差写在下方。
为了更加清晰，可以在个位上方画一条水平线，表示个位数。
例如：45-23，画线表示为：4-233—2.加减齐次法：当计算加法或减法的时候，两个数位数不同，我们可以借助辅助线将两数齐次，使问题更易解。
例如：34+20，可以在个位上方画一条辅助线，表示个位数相加得4，十位数不变。
+0-----3.补充法：当计算减法时，被减数小于减数，我们可以通过补充的方式，使被减数增加一个数位，将问题转化为一个正常的减法。
例如：36-47，可以在个位上方画一条辅助线，表示个位数不够减，需要向十位借1，并在个位上加10，即变成36+10=46-47，再进行减法运算。
-136+10-47-------1二、乘法与除法辅助线1.竖式计算法：对于较复杂的乘法运算，我们可以使用竖式计算法，将乘法运算拆分为多个小的乘法运算。
例如：36×25，可以将25拆分成20和5，然后依次与36相乘，最后相加。
36×20-----72+180-----9002.倍数计算法：当计算除法时，我们可以利用倍数的性质，将除法问题转化为乘法问题。
分为两种情况：一是被除数为倍数的情况，二是除数为倍数的情况。
例如：115÷5，可以找到被除数和除数都是5的倍数，115÷5=(100+10+5)÷5=20+2+1=233.分数的乘法与除法：对于计算分数的乘除法，我们可以利用分数的定义和简化规则，将计算转化为整数的运算。
例如：(8/5)×(7/3)，可以将其转化为整数相乘，然后再进行约分。
8×7=565×3=15所以结果为56/15，再进行约分。
三、几何问题的辅助线1.直角三角形辅助线：解决直角三角形的问题时，可以在直角处画一条垂线，以辅助解题。
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
D C BAED F CB A几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.C3：如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE .E D CB A中考应用以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB =2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD =BD ，求证：CD ⊥ACCDBABACBA2：如图，AC ∥BD ，EA ,EB 分别平分∠CAB ,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC +BD3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
【初中】初中最全几何辅助线做法总结，满分必备！几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或及求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16．三角形的一个内角平分线及一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学：几何常见辅助线作法口诀知识点总结在初中数学的学习中，同学们几乎都说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线到底如何添?除了把握定理和概念外，还要刻苦钻研，找出规律经验，才能更好的学好几何。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初一数学辅助线技巧
辅助线是初中数学中一个重要的概念,可以帮助我们更好地理解一些数学问题。
在初中数学辅助线技巧方面,以下是一些常见的方法和技巧,以及它们的应用场景。
1. 用辅助线表示函数图像:函数是初中数学中的重要内容之一,而函数图像则是用来描述函数的直观图形。
通过使用辅助线,我们可以更清晰地表达函数图像,并更好地理解函数的性质。
2. 用辅助线表示不等式:不等式是初中数学中常见的问题之一,而使用辅助线可以帮助我们更直观地表示不等式,并更好地理解不等式的解法和结论。
3. 用辅助线求解几何问题:几何是初中数学中的另一个重要领域,而使用辅助线可以帮助我们解决许多几何问题。
例如,通过使用辅助线,我们可以证明一些几何结论,如平行、垂直、等角等。
4. 用辅助线构建新的问题:辅助线不仅可以用于表示函数图像和不等式,还可以用于构建新的问题。
通过使用辅助线,我们可以探索新的问题,并更好地理解它们的本质和解决方法。
5. 用辅助线提高解题能力:辅助线是一种有效的解题方法,可以帮助我们更好地理解问题,并更快地解决问题。
在初中数学中,使用辅助线可以帮助我们提高解题能力,并为今后的数学学习打下坚实的基础。
在实际应用中,辅助线可以用于许多不同的数学问题。
例如,在解决函数问题时,可以使用辅助线来表示函数图像;在解决不等式问题时,可以使用辅助线来表示不等式;在解决几何问题时,可以使用辅助线来表示几何图形。
总之,辅助线是初中数学中的一个重要概念,可以帮助我们更好地理解数学
问题。
在学习过程中,我们可以使用不同的方法和技巧,来构建和表示各种数学图形,从而提高我们的数学能力和解题能力。
初中数学辅助线应用技巧总结数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而辅助线是在解决数学问题时起到辅助作用的直线。
学会灵活运用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将总结几种初中数学辅助线的应用技巧。
一、应用技巧1：利用垂直线垂直线是辅助线中最常见的一种。
在解决几何问题时，垂直线可以帮助我们确定几何图形的性质。
例如，在求解平面几何问题时，我们可以利用垂直线来证明两条直线垂直。
在作图时，通过画出垂直线可以辅助我们队几何图形进行分析。
二、应用技巧2：运用平行线平行线也是常用的辅助线之一。
在解决平面几何问题时，可以利用平行线的特性来求解未知角度、边长或形状。
例如，当我们需要求解两条直线平行时，可以通过与这两条直线交叉的另一条直线来构造平行线，从而帮助我们解决问题。
三、应用技巧3：利用等腰三角形等腰三角形是一个重要的几何图形，其辅助线的运用可以帮助我们解决关于三角形的问题。
例如，在求解三角形的面积或者角度时，我们可以构造等腰三角形，从而简化问题的解决。
另外，等腰三角形的对称性质也在解决证明问题时起到重要作用。
四、应用技巧4：利用垂直平分线垂直平分线是连接线段的中点并垂直于该线段的直线。
在解决几何问题时，利用垂直平分线可以帮助我们证明角的相等、线段的相等以及几何图形的对称性质。
例如，当我们需要证明一个四边形是矩形时，可以利用垂直平分线来证明其中的两个角相等。
五、应用技巧5：利用相似三角形相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
在解决几何问题时，我们可以通过构造相似三角形来求解未知边长或者角度。
例如，在利用勾股定理求解三角形问题时，常常需要使用相似三角形的性质进行推导和证明。
六、应用技巧6：使用角平分线角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们证明角的相等或者构造特定的几何图形。
例如，在求解两个角相等时，可以通过画出角平分线来帮助我们得出证明结果。
七、应用技巧7：利用直行线直行线是指两条相交直线间的形成的四个角中有两个是相等的。
随笔关于初中数学几何题作辅助线的方法归纳综述孙红振摘要：初中几何作为初中数学的一个重点难点，很多的学生都对初中数学中的几何无可奈何，但在初中数学中几何题占据着重要的地位，很多的学生对几何体都有着厌恶的心理，认为几何体特别难，也找不到解题的思路和方法[1]。
如何正确的解决几何难题，就需要找到好的思路，大多时候我们还需要使用到辅助线来帮助我们解题，只有作对一条辅助线，才能更好的解决难题。
关键词：辅助线；初中数学；几何题对于很多的初中生，一提到数学他们就头疼不已，对于数学中的几何稍微复杂一点的题目就无从下手。
初中数学分为两大模块：几何、代数，而几何也是初中数学中的重点，也是历年来考试的重点难点。
几何题都比较的灵活，一道题解题的方法也会出现多种，大多数的几何题在解答的过程中都需要应用到辅助线才能更好的解答题目，很多的学生一旦遇到需要做辅助线的题目便无从下手。
辅助线有什么作用？在几何中作辅助线的技巧是什么便是本文重点讨论和归纳的问题。
一、辅助线的作用在初中数学几何中，简单的几何题目，通常根据题意我们就能找到解题的思路和方法，但是较难的几何题通过题意，很多时候在解题中都无法找到思路和方法，甚至还会觉得题目给出的已知条件非常的散乱，没有办法让所有的已知条件相结合起来，帮助学生们更好的答题。
通常遇到这种题型都需要借助辅助线来帮助解题，只有作对了辅助线，那就相当于题目已经解答出了一半了。
几何辅助线的添加，等于在原题中添加了一个甚至多个已知条件，能够更好的帮助我们快速的找到解答的思路和方法。
某些时候，通过题目的已知条件，往往还不能找到证明方法和思路，总会缺少一个将已知和未知相联合起来的桥梁，缺少一个等量转换的关系，通常要将已知和未知相联合起来就只需要一条辅助线。
划对一条辅助线好似给迷路的人指了一条明路，原本僵硬找不到思路的题目瞬间就变得简单易懂。
二、画辅助线的技巧在做几何题之前，学生们应该先将辅助线的作用和使用方法总结归纳起来，科学合理的使用辅助线，才能将构建起解题的思路。
DCB A作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．EDF CBA（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________. 2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小.3：如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE .E D CB A中考应用以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．CDBACCBA（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB =2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD =BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AC ∥BD ，EA ,EB 分别平分∠CAB ,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC +BD3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ +AQ =AB +BP4：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证：0180=∠+∠C AP21CB A5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC中考应用（三）、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为A P，△EBC周长记为B P.求证B P＞A P.CB2：如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD =CE ，求证：AB +AC >ADE D CB A（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD ,CE 相交于点O ，求证：OE =OD2：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥，DF ⊥AC 于F . （1）说明BE =CF 的理由；（2）如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.中考应用如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：EDGFCBAAFED CBA（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（五）、旋转1：正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE +DF =EF ，求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN ,DM ,DN 分别交BC ,CA 于点E ,F 。
（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE =DF 。
（2） 若AB =2，求四边形DECF 的面积。
3.如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，(第23题图)OP AM作E B CD F AE F B D 图①图② 图③以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；CNMA中考应用1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？2、已知:P A 2PB =4,以AB 为一边作正方形ABCD ,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. (1)如图,当∠APB =45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.（图1） ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD =DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN =x ，则Q = （用x 、L 表示）．圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102时间：2020.12.13（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。
②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。
图1（上）图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
例题1：如图，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数ACO 1P=21（弧AD +弧BC ）的度数。
一、造直角三角形法 1.构成Rt △,常连接半径例1. 过⊙O 内一点M ,最长弦AB = 26cm ,最短弦CD = 10cm ,求AM 长; 2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于A ,CB 交⊙O 于D ,过D 作⊙O 的切线,交AC 于E . 求证:CE = AE ;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB 交⊙O 于C 、D ,且AC =BD ,AE 切⊙O 于E ,BF 切⊙O 于F . 求证:∠OAE = ∠OBF ;4.遇有公切线,常构造Rt △(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例4 .小 ⊙O 1与大⊙O 2外切于点A ,外公切线BC 、DE 分别和⊙O 1、⊙O 2切于点B 、C 和D 、E ，并相交于P ，∠P = 60°。
求证：⊙O 1与⊙O 2的半径之比为1：3； 5．正多边形相关计算常构造Rt △例5.⊙O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 于F .(1)求证:EC = DF ; (2)若AE = 2,CD =BF =6,求⊙O 的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例7. AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB ,M 是AC 上一点,AM 延长线交DC 延长线于F . 求证: ∠F = ∠ACM ; 四、切线的综合运用1．已知过圆上的点，常_________________例8.如图， 已知：⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AC 是过P 点的割线交⊙O 1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB⊥BC于B.求证：BC与⊙O2相切.例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF 延长线于D点，且交AB于C点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10. 如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN 与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。
