高考一轮复习教案九(1)圆的方程(学生)理科用

第七章圆的方程一、圆的方程1.圆的标准方程:圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是________.2.圆的一般方程:当方程x2+y2+Dx+Ey+F=0满足________时表示圆,此圆的圆心坐标为________,半径为________.二、直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:直线l:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判定方法(1)几何法:圆心O(a,b)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.若d________________r⇔直线与圆相交;若d________________r⇔直线与圆相切;若d________________r⇔直线与圆相离.(2)代数法:由直线与圆的方程联立得方程组消元后得到的关于x或y的一元二次方程的判别式为Δ,则:若Δ________0⇔直线与圆相交;若Δ________0⇔直线与圆相切;若Δ<0⇔直线与圆________.2.圆与圆的位置关系:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2| d<|r1-r2|三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系:空间直角坐标系中特殊点的坐标:(1)x轴上的点________,y轴上的点________,z轴上的点________.(2)xOy平面内的点________,xOz平面内的点________,yOz平面内的点________.2.空间两点间的距离公式:在空间中,P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)的距离|P1P2|=________________.热点一圆的方程【例1】(1)(2013·湖南学业水平考试真题)已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是( )A.(x+2)2+(y+1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=10C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=10(2)圆x2+y2-ax=0的圆心的横坐标为1,则a=________.热点二直线与圆的位置关系【例2】(1)圆x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0距离等于的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)(2015·湖南学业水平考试真题)已知直线l:x-y+2=0,圆C:x2+y2=r2(r>0),若直线l与圆C 相切,则圆C的半径r=________.热点三圆与圆的位置关系【例3】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.(1)当m为何值时,圆C1与C2相外切?(2)当m为何值时,圆C1与C2相内切?(3)当m为何值时,圆C1与C2相离?与两圆相切有关问题的处理方法在处理两圆相切问题时,首先必须准确把握是内切还是外切,若只告诉两圆相切,则必须分两圆外切和两圆内切两种情况讨论;其次,将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)来解决.热点四直线与圆的方程的综合应用【例4】(2014·湖南学业水平考试真题)已知圆C:x2+y2+2x-3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长.(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:+为定值.(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D,E两点,求直线m的方程,使△CDE的面积最大.热点五空间直角坐标系【例5】给定空间直角坐标系,若x轴上一点P,且它与点P0(4,1,2)的距离为,则点P 的坐标是( )A.(9,0,0)B.(-1,0,0)C.(0,0,0)D.(9,0,0)或(-1,0,0)一、选择题1.(考点1)(2015·湘潭学业水平模拟)圆x2+y2-4x+6y+3=0的圆心坐标是( )A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)2.(考点2)圆心在点(2,3)上,且经过点(2,6)的圆的方程为( )A.x2+y2-4x-6y+4=0B.x2+y2+4x+6y-72=0C.x2+y2-4x-6y+9=0D.x2+y2-4x+6y-68=03.(考点2)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )A.-1<a<1B.0<a<1C.a>1或a>-1D.a=±14.(考点2)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则m的取值范围是( )A.m<B.m<0C.m>D.m≤5.(考点3)(2015·郴州学业水平模拟)两圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4与C2:(x+2)2+(y-2)2=16的公切线有( )A.1条B.2条C.4条D.3条6.(考点1,3)以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是( )A.x2+y2=5B.x2+y2=25C.x2+y2=4D.x2+y2=167.(考点4)两圆C1:x2+y2-1=0和C2:x2+y2-4x-5=0的位置关系是( )A.相交B.外切C.内切D.外离8.(考点5)(2015·衡阳学业水平模拟)直线x-y+1=0与圆x2+(y+1)2=2的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.不能确定二、填空题9.(考点1)(2012·湖南学业水平考试真题)已知圆(x-a)2+y2=4的圆心坐标为(3,0),则实数a=________.10.(考点3)若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为________.11.(考点6)点P(3,4,-2)关于z轴对称的点的坐标为________.12.(考点5)(2015·郴州学业水平模拟)已知圆C:x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切,则圆C的半径r=________.三、解答题13.(考点1,3)已知圆C的圆心是直线2x+y+1=0和x+3y-4=0的交点,且圆C与直线3x+4y+17=0相切,求圆C的方程.14.(考点1,3)(2015·衡阳学业水平模拟)已知圆C:x2+y2+4y-21=0.(1)将圆C的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径;(2)求直线l:2x-y+3=0被圆C所截得的弦长.15.(考点1,5)(2015·邵阳学业水平模拟)已知圆心为(1,1)的圆C经过点M(1,2).(1)求圆C的方程.(2)若直线x+y+m=0与圆C交于A,B两点,且△ABC是直角三角形,求实数m的值.16.(考点1,2,5)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求的最大值与最小值.测评阶段效果,请进入“单元达标检测(四)”。

江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程教案教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ．重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ． 引入新课问题1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？ 问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？建构教学1．圆的标准方程的推导过程：2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．3． 点P 圆O 的位置关系的判断：例题剖析例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程．例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m3的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程． （2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程．（2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C课堂小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．数学（理）即时反馈作业编号：010 圆的标准方程1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB相交时，实数a 的取值范围是 ___________3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P点，则光线所经过的路程是____________4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________6、写出满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为6： ；（2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ： ；（3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ： ；（4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ；（5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ．7、在圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点；满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切；满足 条件时，圆与两坐标轴都相切；8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程．10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -，P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程． 12．求过两点)40( ，A 和)64( ，B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程． 13．求圆1)1()1(22=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。

高考数学一轮复习 7.5 圆的方程教案●知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422FE D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1 D .1<t <2 （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131. 答案：D3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.解析：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=0 ●典例剖析【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练 夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0. 解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x+1）2+（y－3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ22sin（θ+4π），当θ=4π5，即x=－1－2，y=3－2时，x+y的最小值为3－1－22.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设xy=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-kk=3，解得k2=3.所以k max=3，k min=－3.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=3，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得2|2|b+-=3，即b=－2±6，故（y－x）min=－2－6.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+3，（x2+y2）min=｜OB｜=2－3.（θ为参数，0≤θ<2π），则x+y=3－1+2（sinθ+cosθ）=3－+18.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1， AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0. 又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20， 所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，|AM |2=|AN |2+|MN |2，∴（m +1）2=－2（n +2）（*）故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）.（2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0，于是有n ≤－2. 而圆M 半径r =12+n ≥5，∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.探究创新9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.的解，即圆心坐标为（－1，0）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解：（1）∵P 点斜坐标为（2，－2），∴OP =2e 1－2e 2.∴|OP |2=（2e 1－2e 2）2=8－8e 1·e 2=8－8×cos60°=4. ∴|OP |=2，即|OP |=2.（2）设圆上动点M 的斜坐标为（x ，y ），则OM =x e 1+y e 2.∴（x e 1+y e 2）2=1.∴x 2+y 2+2xy e 1·e 2=1.∴x 2+y 2+xy =1.故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.●教师下载中心 教学点睛1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.拓展题例【例1】 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠PAQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－21x －83=0.再求切点弦PQ 所在直线的方程.解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组 mx +ny =1y =mn x ⇒x =22n m m +，y =22n m n+.将（22n m m +，22n m n +）代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.【例2】 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y －1）2=1与直线y =2切于点A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |， 又|PQ |=|PR |=2－y ，∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2， 即22=|x |2+［22y x +－（2－y ）］2，化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0，∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.。

圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。

3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到 的距离等于 的点的集合．．．．称为圆。

我们把定点称为 ，定长称为 。

确定了圆的位置, 确定了圆的大小。

在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M 应该满足的关系式？ r MA =2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。

题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。

圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1)圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2)圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3)圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。

第三节圆的方程[最新考纲] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)假设M(x0，y0)在圆外，那么(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)假设M(x0，y0)在圆上，那么(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)假设M(x0，y0)在圆内，那么(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A ．(2,3)，3B ．(－2,3)， 3C ．(－2，－3)，13D ．(2，－3)，13D [圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.] 2．点A (1，－1)，B (－1,1)，那么以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4A [AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.]3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r .因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.]4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]考点1 圆的方程求圆的方程的2种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①假设条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，那么设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．(1)[一题多解]圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，那么圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)[一题多解]圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，那么圆C 的方程为________．(1)C (2) (x －1)2＋(y ＋1)2＝2 [(1)法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 那么圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋0－02＝54， 所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)法一：由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ，－a )． 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又圆C 在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即2a －322＋32＝2a 2， 解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，那么圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由得d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.]几何法与待定系数法是解答圆的有关问题的两种常用方法，求解圆的方程时，可采用数形结合的思想充分运用圆的几何性质，达到事半功倍的效果．1.假设不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，那么a 的值为________．7 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.]2．a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，那么圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由方程表示圆，那么a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．] 考点2 与圆有关的最值问题斜率型、截距型、距离型最值问题 与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.图1 图2 图3(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的 斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，那么△PAB面积的最大值与最小值分别是( )A ．2,2－52B ．2＋52，2－52C.5，4－ 5 D ．52＋1，52－1 B [由题意知|AB |＝－12＋－22＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，由题意知圆C 的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝2＋52，S △PAB 的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455－1＝2－52.]利用对称性求最值求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定〞，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直〞，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，那么|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17A [(图略)P 是x 轴上任意一点，那么|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，那么|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)．所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.]此题在求解中要立足了两点：(1)减少动点的个数，借助圆的几何性质化圆上任意一点到点(a ，b )的距离的最大(小)值为圆心到点(a ，b )的距离加(减)半径问题；(2)“曲化直〞，即借助对称性把折线段转化为同一直线上的两线段之和的最值问题解决．[教师备选例题](1)设点P 是函数y ＝－4－x －12图像上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a∈R )，那么|PQ |的最小值为________．(2)A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，那么|PA |＋|PQ |的最小值是________．(1)5－2 (2)2 5 [(1)函数y ＝－4－x －12的图像表示圆(x －1)2＋y 2＝4在x轴及下方的部分，令点Q 的坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，作出图像如下图，由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋－22＝5>2，所以直线x －2y－6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.(2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)， 由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.](2019·上饶模拟)一束光线从点A (－3,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是( )A ．4B ．5C ．52－1D ．26－1C [根据题意，设A ′与A 关于x 轴对称，且A (－3,2)，那么A ′的坐标为(－3，－2)，又由|A ′C |＝25＋25＝52，那么A ′到圆C 上的点的最短距离为52－1.故这束光线从点A (－3,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是52－1，应选C.]考点3 与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的4种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与点的关系，代入点满足的关系式求解．[一题多解](2019·衡水调研)直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．[教师备选例题]过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3,0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，那么线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， 线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.。

高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。

优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。

高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。

(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。

2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。

(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。

7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。

7代入，得即在离隧道中心线2。

7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

第3讲 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．高考对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)由圆的方程确定参数的值(范围)； (2)由已知条件求圆的方程．[典例引领]角度一 由圆的方程确定参数的值(范围)(2018·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，所以仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆． 【答案】 B角度二 由已知条件求圆的方程求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程．【解】 法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点， 所以|CA |＝|CB |， 即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－D 2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[通关练习]1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是() A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即（0＋a）2＋（0＋1）2>2a，所以原点在圆外．2．若圆心在x轴上，半径为5的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5解析：选D.设圆心坐标为(a，0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以5＝|a＋2×0|5，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________________．解析：设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)借助几何性质求最值问题；(2)建立函数关系求最值．[典例引领]角度一借助几何性质求最值问题已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)． 又圆心到原点的距离为 （2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.角度二 建立函数关系求最值(2018·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【解析】 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 【答案】 12求解与圆有关的最值问题的方法[通关练习]1．如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．解析：(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k 2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________． 解析：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.答案：73．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________________．解析：设点A ，B 的坐标分别为A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号．又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ， 即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0与圆有关的轨迹问题[典例引领]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x＝－1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.圆的方程选取的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．易错防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A. 2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎨⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.4．(2018·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.5．(2018·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B. 203 C ．4D.163解析：选D.由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．解析：设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. 答案：(0，4)7．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________________． 解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝28．已知点P (－2，－3)，圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，过点P 作圆C 的两条切线，切点为A ，B ，则过P 、A 、B 三点的圆的方程为________________． 解析：易知圆C 的圆心为C (4，2)，连接AC 、BC ，由题意知P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以P ，A ，B ，C 四点共圆，连接PC ，则所求圆的圆心O ′为PC 的中点，所以O ′⎝⎛⎭⎫1，－12， 所以所求圆的半径r ′＝（1＋2）2＋⎝⎛⎭⎫－12＋32＝614. 所以过P ，A ，B 三点的圆的方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝614. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝6149．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B ．[－23，4] C ．[－4，4]D ．[－4，23]解析：选B.由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)， 且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2，0)时，m ＝－23，设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎨⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________． 解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25，解得0＜k ≤6. 答案：(0，6]3.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．解：(1)由已知可知A (－3，0)，B (3，0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5，2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10，得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10， 化简得⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －322＝52. 4．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是 (x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 因为OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2， 所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

一、自我诊断 知己知彼1. 以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（ ） A .25)4()5(22=-++y x B .16)4()5(22=++-y x C .16)4()5(22=-++y x D .25)4()5(22=++-y x 【答案】C【解析】圆的标准方程为：()()222r b y a x =-+-，圆心为()b a ,，半径为r ，所以方程为：()()16445222==-++y x ，故选C .2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______． 【答案】(x －2)2＋y 2＝10【解析】设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是 ( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B .5．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 【答案】2 2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.二、温故知新 夯实基础1．圆的定义与方程2(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.3．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).三、典例剖析 思维拓展考点一 圆的方程例1 已知点(3,2)A -，(5,4)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ． 【答案】22(1)(1)25x y ++-=【解析】根据中点坐标公式知以线段AB 为直径的圆的圆心为（-1，1），半径为152AB =,所以所求圆的方程为22(1)(1)25x y ++-=. 【易错点】中点公式易出错【方法点拨】求圆的标准方程，关键是求出圆心和半径.利用中点坐标公式求出圆心,再用两点间距离公式求出半径.考点二 直线与圆位置关系例1 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 【答案】(x －3)2＋y 2＝2【解析】方法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.方法二 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为点A (4,1)，B (2,1)都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.【易错点】利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x .(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．【方法点拨】 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．考点三 两圆位置关系例1已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是__________． 【答案】35－5【解析】两圆的圆心和半径分别为C 1（4,2），r 1＝3，C 2（－2，－1），r 2＝2，∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝(4＋2)2＋(2＋1)2－3－2＝35－5.【易错点】(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．【方法点拨】利用几何性质处理圆中的最值问题.考点四 圆的综合问题例1已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0．（1）求过点M （﹣6，﹣5）的圆C 的切线方程；（2）过点N （1，3）作直线与圆C 交于A 、B 两点，求△ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率．【答案】（1）6x =-或3420x y --=；（2）8，±．【解析】(1)圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0，即（x +2）2+（y ﹣3）2=16,表示以（﹣2，3）为圆心,半径等于4的圆．由于点M （﹣6，﹣5大于半径4,故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x =﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y +5=k （x +6），即kx ﹣y +6k ﹣5=0，，解得k =34,此时，切线为3x ﹣4y ﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x =﹣6，或3x ﹣4y ﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x =1，y△ABC 的面积S AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ﹣3=k （x ﹣1），即kx ﹣y +3﹣k =0， 圆心（﹣2，3）到直线AB 的距离d，线段AB 的长度|AB∴△ABC 的面积S =12|AB|d ()22162d d +-=8当且仅当d2=8k =±所以，△OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±【易错点】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．【方法点拨】本题主要考查了圆的切线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，其中涉及到点到直线的距离公式、基本不等式的应用、三角形的面积等知识的应用，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，解答中当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程，利用圆心(2,3)-到直线AB 的距离和线段AB 的长度表示出三角形的面积是解答的关键．属于中档试题．四、举一反三 成果巩固考点一 圆的方程1、圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = .【答案】3【解析】由已知圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得，2、若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4【答案】A【解析】∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1. 3、若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求： （1）圆的方程 （2）圆的圆心和半径【答案】（1）086622=+--+y x y x ；（2）圆心为（3,3），半径10=r .【解析】（1）设圆的一般式为022=++++F Ey Dx y x 将已知点代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++024*******F E F E F D 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=866F E D ,所以圆的方程为086622=+--+y x y x (2)3232=-=-ED ，，所以圆心为（3,3）2422FE D r -+==10考点二 直线与圆的位置关系1、直线:360l x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得弦AB 的长为． 【解析】将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5x y -+-=，利用点到直线的距离可以求2=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为=．2、以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 .【答案】9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x 【解析】试题分析：因为3r ==所以，所求圆的方程为：9)3()1(22=-+-y x ，化为一般方程为：016222=+--+y x y x 所以答案应填：9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x .考点三 两圆的位置关系1、圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含 【答案】B【解析】因)0,2(),0,0(,3,22121C C r r ==,则5||121<<C C ,故两圆相交,应选B .2.、若圆2522=+y x 与圆08622=++-+m y x y x 的公共弦的长为8，则=m ___________．【答案】55-或5.【解析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程即02586=---m y x ，根据弦长与半径5=r 以及弦心距1025862522m m d --=+--=之间的关系即可得到8222=-d r ，即可得到92=d ，从而解得55-或5. 考点四 圆的综合问题1、圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 【答案】4【解析】先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。

9.3 圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是____和____． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中______为圆心，____为半径长． 特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________． 3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当____________时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当____________时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当____________时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧① ，② ，③ .4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：____________________； (2)点在圆外：____________________； (3)点在圆内：____________________.1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )． A.14＜m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜14 D ．m ＜14或m ＞12．圆心在y 轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －3)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝1D ．(x ＋2)2＋y 2＝13．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±14．圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝__________.一、求圆的方程【例1－1】圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0【例1－2】 已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解．请做演练巩固提升1二、与圆有关的最值问题【例2】 若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx ＋1的最大值为__________，最小值为__________．方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．请做演练巩固提升3三、与圆有关的轨迹问题【例3】 如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．方法提炼1．解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法——直接根据题目提供的条件列出方程；定义法——根据圆、直线等定义列方程；几何法——利用圆的几何性质列方程；代入法——找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．2．求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线．请做演练巩固提升4易忽视斜率不存在的直线而致误【典例】 (12分)从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线方程． 规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.(2分)∵圆心为(1,1)，半径长r ＝1， ∴|k －1＋3－2k |k 2＋－2＝1，∴k ＝34.(6分) ∴所求切线方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.(8分)当切线斜率不存在时，因为切线过点P (2,3)，且与x 轴垂直，此时切线的方程为x ＝2. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.(12分)答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．(2012安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1] B．[－1, 3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )．A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B． (x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．定点 定长 集合 圆心 半径2．(a ，b ) r x 2＋y 2＝r 23．(1)D 2＋E 2－4F ＞0 (2)D 2＋E 2－4F ＝0 (3)D 2＋E 2－4F ＜0 (4)①A ＝C ≠0②B ＝0 ③D 2＋E 2－4AF ＞04．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2基础自测1．D 解析：方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是(4m )2＋(－2)2－4×5m＞0，即m ＜14或m ＞1.2．B 解析：设圆心(0，b )，半径为r ，则r ＝1.∴x 2＋(y －b )2＝1.又圆过点(－1,2)，代入得b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．A 解析：∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 由|－2|1＋1＝a ，∴a ＝ 2.∴x 2＋y 2＝2.5．3 解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心为C (1,2)， 所以圆心C 到直线的距离为 |3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.【例1－2】 解：设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.【例2】 22 －22 解析：∵y x ＋1＝y －0x －(－1)，∴1y x +表示过点P(-1,0)与圆(x -2)2+y 2=3上的点(x ，y )的直线的斜率．由图象知1yx +的最大值和最小值分别是过P 与圆相切的直线PA ，PB 的斜率．又∵k PA =||||CA PA 2，k PB =－||||CB PB =2-，即1y x +的最大值为2，最小值为2-. 【例3】 解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. 演练巩固提升1．D 解析：∵D ＝－4，E ＝6， ∴圆心坐标为(2，－3)．2．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.3．A 解析：如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，则直线l 0与l 1的距离为2－1，所以平移的最短距离为2－1.4．A 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．解：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.。

圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理 1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中圆心为___________________，半径r ＝____________________________.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2____r 2. 自我检测1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14 D ．m <14或m >12．(2011²南平调研)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝04．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0外，则a 的取值范围是________________．5．(2011²安庆月考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为________．探究点一求圆的方程例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程．(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，3)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．探究点二圆的几何性质的应用例2(2011²滁州模拟)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q 两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．变式迁移2如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．探究点三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．变式迁移3 如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求y x的最大值与最小值．1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d 与圆半径r 的关系．d <r 时，点在圆内；d ＝r 时，点在圆上；d >r 时，点在圆外．3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011²重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 22．(2011²合肥期末)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a 、b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝3B ．a ＝0，b ＝－3C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝－2，b ＝15．(2011²三明模拟)已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010²天津)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________________．7．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)、B (3，0)两点，则圆的方程为______________．8．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.10．(12分)(2011²舟山模拟)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值； (2)求y x的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．11．(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度|AB |＝20米，拱高|OP |＝4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01米)(825≈28.72)．学案49 圆的方程自主梳理1．定点 定长 集合 2.圆心 半径 3.(a ，b) r4．D 2＋E 2－4F>0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2 D 2＋E 2－4F 25．(1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组 (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程 6.(1)＝ (2)> (3)<自我检测1．D 2.A 3.A4．(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)5．(x －2)2＋(y －1)2＝5 课堂活动区例1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.由k CB ²k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③解①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二 设圆的圆心为C ，则CB⊥l，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②由①②联立后，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q 的坐标为(a ，b)，圆Q 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝42，又∵OQ＝6，∴联立方程⎩⎨⎧0－a 2＋ 0－b 2＝62－1－a 2＋ 3－b 2＝16， 解得a ＝－3，b ＝33，所以所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －33)2＝16. (2)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心(0,0)到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.例2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题利用方程思想求m 值，即“列出m 的方程”求m 值． 解 方法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP⊥OQ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∴9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，∴9－6³4＋5³12＋m5＝0，∴m＝3，此时1＋36－3³4>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52. 方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M⊥PQ， ∴kO 1M ＝2.又圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，x ＋2y －3＝0，解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2.∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，MQ 2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1M 2＋MQ 2＝O 1Q 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋ －6 2－4m 4.∴m＝3.∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. 变式迁移2 解 (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ， 连接MA ，NC ，OM ，则MA⊥x 轴，NC⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O，M ，N 三点共线．由Rt △OAM∽Rt △OCN 可知，|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.例3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a)2＋(y －b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解 (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 2－0 2＋ 0－0 2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 变式迁移3 解 设P(x ，y)，则P 点的轨迹就是已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝6. 而yx 的几何意义就是直线OP 的斜率， 设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx. 当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k 2＋1，所以当|3k －3|k 2＋1＝6， 即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切． 即yx的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 课后练习区1．B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD 恰以E(0,1)为中心，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD＝210－ 5 2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC²BD＝10 2.]2．D 3.A 4.B 5.A6．(x ＋1)2＋y 2＝2 7.(x －2)2＋(y －1)2＝2 8.0 9．解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.(3分) ∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.(6分)(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.① ② (8分)又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(12分)10．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋ －3 －t|2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1， 最小值为－2－1.(4分) (2)y x 可视为点(x ，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k － －3 |1＋k2＝1， 解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(8分)(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5，即[x － －1 ]2＋ y－2 2，其最值可视为点(x ，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.(12分)11．解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由于圆心在y 轴上，所以D ＝0，那么方程即为x 2＋y 2＋Ey ＋F ＝0.(3分)下面用待定系数法来确定E 、F 的值．因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组⎩⎪⎨⎪⎧42＋4E ＋F ＝0，102＋F ＝0，(7分)解得F ＝－100，E ＝21.∴这个圆的方程是x 2＋y 2＋21y －100＝0.(10分) 把点P 2的横坐标x ＝－2代入这个圆的方程，得(－2)2＋y 2＋21y －100＝0，y 2＋21y －96＝0. ∵P 2的纵坐标y>0，故应取正值，∴y＝－21＋212＋4³962≈3.86(米)．所以支柱A 2P 2的高度约为3.86米．(14分)。

一、自我诊断 知己知彼1. 以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（ ） A .25)4()5(22=-++y x B .16)4()5(22=++-y x C .16)4()5(22=-++y x D .25)4()5(22=++-y x 【答案】C【解析】圆的标准方程为：()()222r b y a x =-+-，圆心为()b a ,，半径为r ，所以方程为：()()16445222==-++y x ，故选C .2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______． 【答案】(x －2)2＋y 2＝10【解析】设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是 ( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B .5．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 【答案】2 2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.二、温故知新 夯实基础1．圆的定义与方程2(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.3．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).三、典例剖析 思维拓展考点一 圆的方程例1 已知点(3,2)A -，(5,4)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ． 【答案】22(1)(1)25x y ++-=【解析】根据中点坐标公式知以线段AB 为直径的圆的圆心为（-1，1），半径为152AB =,所以所求圆的方程为22(1)(1)25x y ++-=. 【易错点】中点公式易出错【方法点拨】求圆的标准方程，关键是求出圆心和半径.利用中点坐标公式求出圆心,再用两点间距离公式求出半径.考点二 直线与圆位置关系例1 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 【答案】(x －3)2＋y 2＝2【解析】方法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.方法二 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为点A (4,1)，B (2,1)都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.【易错点】利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x .(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．【方法点拨】 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．考点三 两圆位置关系例1已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是__________． 【答案】35－5【解析】两圆的圆心和半径分别为C 1（4,2），r 1＝3，C 2（－2，－1），r 2＝2，∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝(4＋2)2＋(2＋1)2－3－2＝35－5.【易错点】(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．【方法点拨】利用几何性质处理圆中的最值问题.考点四 圆的综合问题例1已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0．（1）求过点M （﹣6，﹣5）的圆C 的切线方程；（2）过点N （1，3）作直线与圆C 交于A 、B 两点，求△ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率．【答案】（1）6x =-或3420x y --=；（2）8，±．【解析】(1)圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0，即（x +2）2+（y ﹣3）2=16,表示以（﹣2，3）为圆心,半径等于4的圆．由于点M （﹣6，﹣5大于半径4,故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x =﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y +5=k （x +6），即kx ﹣y +6k ﹣5=0，，解得k =34,此时，切线为3x ﹣4y ﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x =﹣6，或3x ﹣4y ﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x =1，y△ABC 的面积S AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ﹣3=k （x ﹣1），即kx ﹣y +3﹣k =0， 圆心（﹣2，3）到直线AB 的距离d，线段AB 的长度|AB∴△ABC 的面积S =12|AB|d ()22162d d +-=8当且仅当d2=8k =±所以，△OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±【易错点】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．【方法点拨】本题主要考查了圆的切线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，其中涉及到点到直线的距离公式、基本不等式的应用、三角形的面积等知识的应用，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，解答中当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程，利用圆心(2,3)-到直线AB 的距离和线段AB 的长度表示出三角形的面积是解答的关键．属于中档试题．四、举一反三 成果巩固考点一 圆的方程1、圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = .【答案】3【解析】由已知圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得，2、若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4【答案】A【解析】∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1. 3、若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求： （1）圆的方程 （2）圆的圆心和半径【答案】（1）086622=+--+y x y x ；（2）圆心为（3,3），半径10=r .【解析】（1）设圆的一般式为022=++++F Ey Dx y x 将已知点代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++024*******F E F E F D 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=866F E D ,所以圆的方程为086622=+--+y x y x (2)3232=-=-ED ，，所以圆心为（3,3）2422FE D r -+==10考点二 直线与圆的位置关系1、直线:360l x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得弦AB 的长为． 【解析】将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5x y -+-=，利用点到直线的距离可以求2=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为=．2、以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 .【答案】9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x 【解析】试题分析：因为3r ==所以，所求圆的方程为：9)3()1(22=-+-y x ，化为一般方程为：016222=+--+y x y x 所以答案应填：9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x .考点三 两圆的位置关系1、圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含 【答案】B【解析】因)0,2(),0,0(,3,22121C C r r ==,则5||121<<C C ,故两圆相交,应选B .2.、若圆2522=+y x 与圆08622=++-+m y x y x 的公共弦的长为8，则=m ___________．【答案】55-或5.【解析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程即02586=---m y x ，根据弦长与半径5=r 以及弦心距1025862522m m d --=+--=之间的关系即可得到8222=-d r ，即可得到92=d ，从而解得55-或5. 考点四 圆的综合问题1、圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 【答案】4【解析】先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。

课题：圆的方程编制人： 审核： 下科行政：学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程【课前预习案】一、基础知识梳理1、圆的定义：平面内与 的距离等于 的点的集合（或轨迹）叫做圆，定点叫 定长叫确定圆的要素是2、圆的标准方程：圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的方程为3、圆的一般方程：二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=配方得：（1）当 时，表示圆的方程，其圆心为 半径为（2）当 时，表示一个点（3）当 时，方程不表示任何图形4、0=0A C B =≠且是方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的 条件5、点和圆的位置关系已知点00(,)M x y ，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>（1）当 时，点M 在圆C 上（2）当 时，点M 在圆C 外（3）当 时，点M 在圆C 内二、练一练、1、方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ） （A ）114m << （B ）1m > （C ）14m < （D ）114m m <>或 2、若点（1，1）在圆22()(+)4x a y a -+=的内部，则实数a 的范围是（ ）（A ）11a -<< （B ）01a << （C ） 11a a ><或 （D ）1a =±3、圆222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离为4、已知圆C 的圆心与点(1,2)M -关于直线10x y -+=对称，则圆C 与10x y -+=相切，则圆C 的方程为【课内探究案】一、讨论、展示、点评、质疑探究一 圆的方程的求解例1（1）求经过点A （5，2），B （3，-2），且圆心在直线230x y --= 上的圆的方程（2）求经过点A （-2，-4），且与直线:3260l x y +-=相切于点B （8， 6）的圆的方程（32y x =上，被直线0x y -=截得的弦长为的圆的方程探究二、与圆有关的最值问题例2、已知实数,x y 满足方程224+10x y x +-= （1）求y x的最大值和最小值 （2）求y x -的最大求值和最小值 （3）22x y +的最大值和最小值例3（1）在圆22260x y x y +--=内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（2）圆心在曲线2=(0)y x x>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（3）*已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A,B 为切点，则PA PB u u u r u u u r 的最小值为总结提升：1、 数学知识方面2、数学思想方面。

§圆的方程2022 高考会这样考 1 考察圆的方程的形式及应用； 2 利用待定系数法求圆的方程．复习备考要这样做 1 娴熟掌握圆的方程的两种形式及其特色； 2 会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的会合叫圆．2．确立一个圆最基本的因素是圆心和半径．3．圆的标准方程222－ a ＋－ b ＝ r r >0，此中 a， b 为圆心， r 为半径．2＋2＋D＋ E＋ F＝0表示圆的充要条件是 D2＋ E2－4F>0，此中圆心为错误!，半径 r ＝错误!5．确立圆的方程的方法和步骤确立圆的方程主要方法是待定系数法，大概步骤为：1依据题意，选择标准方程或一般方程；2依据条件列出对于 a， b， r 或 D、 E、F 的方程组；3解出 a、 b、 r 或 D、 E、 F 代入标准方程或一般方程．6．点与圆的地点关系点和圆的地点关系有三种．圆的标准方程－a2＋－ b2＝ r 2，点 M0，01点在圆上： 0－a2＋ 0－b2＝r2；2点在圆外： 0－a2＋ 0－b2>r2；3点在圆内： 0－a2＋ 0－b24F0时，圆心为错误!，半径r＝错误!②当 D2＋ E2－4F＝0时，表示一个点错误!③当 D2＋ E2－4F2a2a0，∴3a2＋4a－44F0 ，圆心坐标为错误 ! ，半径r＝错误 ! [12 分]方法二如下图，设弦1M1M1M1M＝错误!2＋3－22＋5∴m＝3[9分]∴半径为错误 ! ，圆心为错误 ! [12 分 ]方法三设过＋λ ＋2－3＝0[2分]由 O－3λ＝0，即 m＝3λ[4分]∴圆系方程可化为2＋2＋－ 6＋ 3λ＋λ＋ 2λ－ 3λ＝0即2＋ 1＋λ＋2＋ 2λ－ 3＝ 0[6 分 ]∴圆心 M错误!，又圆心在＝3[9分]∴圆心为错误 ! ，半径为错误 ! [12 分 ]温馨提示 1 在解决与圆相关的问题中，借助于圆的几何性质，常常会使得思路简捷明了，简化思路，简易运算．2 此题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法环绕“列出m的方程”求m值．3 此题的易错点：不可以正确建立对于m的方程，找不到解决问题的打破口，或计算错误．方法与技巧1．确立一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指依据题设条件恰入选择圆的方程的形式，从而确立此中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形联合，充足运用圆的几何性质，简化运算．失误与防备1．求圆的方程需要三个独立条件，因此无论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外必定点，求圆的切线，应当有两个结果，若只求出一个结果，应当考虑切线斜率不存在的状况．A 组专项基础训练时间： 35 分钟，满分：57 分一、选择题每题 5 分，共20 分1．若圆2＋ 2－2a＋3b＝0的圆心位于第三象限，那么直线＋a＋ b＝0必定不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D分析圆 2＋2－2a＋3b＝0的圆心为错误!，则 a＝－错误!－错误!，＝－错误! >0，－错误! >0，直线不经过第四象限．2．若点1,1在圆－a2＋＋ a2＝4的内部，则实数 a 的取值范围是A．－ 11或 a1 3分析令＝ 0，可得2＋ 2m＋m＋6＝ 0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即错误 !解得－ 636．以直线 3－4＋ 12＝ 0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________ ．答案分析＋22＋错误 ! 2＝错误 !直线 3－ 4＋ 12＝ 0 与两坐标轴的交点分别为A－4,0、 B0,3，因此线段AB的中点为 C错误!，| AB|＝5故所求圆的方程为＋22＋错误 ! 2＝错误 ! 27．已知点M1,0是圆C：2＋2－4－2＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________ ．答案＋－ 1＝0分析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：2＋2－4－2＝0的圆心为C2,1，∵CM＝错误!＝1，∴最短弦所在直线的方程为－ 0＝－ 1－1，即＋－ 1＝ 0 三、解答题共 22 分8． 10 分依据以下条件求圆的方程：1 经过点5a－ 4＝ 0 上存在两点对于直线－＋3＝ 0 对称，则实数m的值为A． 8B．－ 4C． 6D．没法确立答案C分析圆上存在对于直线－＋3＝ 0 对称的两点，则－＋3＝0过圆心错误! ，即－错误!＋3＝ 0，∴m＝ 63．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线3＋ 4＋4＝ 0 相切，则圆的方程是A．2＋2－4＝0B．2＋2＋4＝0C．2＋2－ 2－ 3＝ 0D．2＋2＋ 2－ 3＝0答案A分析设圆心为Cm,0m>0，由于所求圆与直线3＋4＋4＝0相切，因此错误 ! ＝ 2，整理得： |3 m＋ 4| ＝ 10，解得m＝2或 m＝－错误!舍去，故所求圆的方程为－22＋2＝ 22，即2＋ 2－4＝0，应选A二、填空题每题 5 分，共15 分4．已知圆2＋ 2＋2－4＋a＝0对于直线＝2＋b成轴对称，则a－ b 的取值范围是________ ．答案－∞， 1分析圆的方程化为＋12＋－ 22＝5－a，∴其圆心为－1,2 ，且 5－a>0，即a<5又圆对于直线＝2＋b成轴对称，∴2＝－ 2＋b，∴b＝4∴a－b＝a－ 4<15．若 1,2 ，则直线＝－ 1∵OM＝ 2，∴ 1，错误 ! ，则四边形ABCD的面积的最大值为________．答案5分析如图，取 AC的中点 F， BD的中点 E，则 OE⊥ BD， OF⊥ AC又 AC⊥ BD，∴四边形OEMF为矩形，设 | OF| ＝d1， | OE| ＝d2，∴ d错误!＋d错误!＝| OM|2＝3又| AC| ＝2错误 ! ， | BD|＝2错误 ! ，∴ S 四边形ABCD＝错误! | AC|·|BD|＝2错误 ! ·错误 ! ＝2错误 !＝2错误 !∵0≤d错误 ! ≤3∴当d错误 ! ＝错误 ! 时，S有最大值是 5四边形 ABCD三、解答题7． 13 分圆C 经过不一样的三点P,0， 2,0 ， 0,1 ，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求QR圆 C的方程．解设圆 C的方程为2＋2＋ D＋ E＋F＝0，则、 2 为2＋D＋F＝ 0 的两根，∴＋ 2＝－D,2＝F，即D＝－＋ 2，F＝2，又圆过 R0,1，故1＋E＋ F＝0∴ E＝－2－1故所求圆的方程为2＋2－＋ 2－ 2＋1＋ 2＝ 0，圆心坐标为错误 !∵圆 C在点 P 处的切线斜率为1，∴CP＝－1＝错误!，∴＝－3∴D＝1， E＝5， F＝－6∴所求圆C的方程为2＋2＋＋5－6＝0。