正多边形与圆4

【本讲教育信息】一. 教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。

二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33 B.233 C.23 D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60°∴=∠==AF FG FAG sin 132233故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。

今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。

正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

正多边形和圆教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义和性质能够计算正多边形的边数和内角大小1.2 教学内容引入正多边形的概念，通过图片和实物展示让学生直观感受讲解正多边形的性质，如边数、内角大小、对称性等引导学生通过观察和推理得出正多边形的性质1.3 教学活动通过图片和实物引导学生思考什么是正多边形学生自主探究正多边形的性质，记录下来并与同学交流教师总结正多边形的性质，并给出相关例题让学生巩固第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义和性质能够计算圆的半径和直径2.2 教学内容引入圆的概念，通过图片和实物展示让学生直观感受讲解圆的性质，如半径、直径、圆心等引导学生通过观察和推理得出圆的性质2.3 教学活动通过图片和实物引导学生思考什么是圆学生自主探究圆的性质，记录下来并与同学交流教师总结圆的性质，并给出相关例题让学生巩固第三章：正多边形和圆的关系3.1 教学目标了解正多边形和圆的关系能够计算正多边形的内切圆和外接圆3.2 教学内容讲解正多边形和圆的关系，如内切圆和外接圆的概念引导学生通过观察和推理得出正多边形和圆的关系3.3 教学活动学生通过观察和推理得出正多边形和圆的关系学生自主探究正多边形的内切圆和外接圆的计算方法，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的关系，并给出相关例题让学生巩固第四章：正多边形和圆的面积计算4.1 教学目标能够计算正多边形的面积和圆的面积4.2 教学内容讲解正多边形和圆的面积计算公式引导学生通过观察和推理得出正多边形和圆的面积计算方法4.3 教学活动学生通过观察和推理得出正多边形和圆的面积计算方法学生自主探究正多边形和圆的面积计算公式，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的面积计算方法，并给出相关例题让学生巩固第五章：正多边形和圆的应用5.1 教学目标了解正多边形和圆在实际中的应用5.2 教学内容讲解正多边形和圆在实际中的应用，如几何图形、建筑设计等5.3 教学活动学生通过图片和实物观察正多边形和圆在实际中的应用学生自主探究正多边形和圆在其他领域的应用，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的应用，并给出相关例题让学生巩固第六章：正多边形的内切圆和外接圆6.1 教学目标理解正多边形的内切圆和外接圆的概念。

正多边形与圆的联系正多边形与圆之间有着紧密的联系。

在几何学中，正多边形是指所有边长和内角都相等的多边形，而圆则是一个连续的曲线，由任意一点到另一点的距离都相等。

尽管它们看起来截然不同，但实际上它们之间存在着一些有趣的关系和应用。

本文将探讨正多边形与圆的联系以及它们在数学和几何学中的应用。

首先，正多边形和圆在构造和特性上存在着一些相似之处。

正多边形可以通过在圆上连接等长的弦而构建。

例如，一个正三角形可以通过在圆上连接三个等长的弦来形成，而一个正五边形可以通过连接五个等长的弦来形成。

此外，一个正多边形的顶点也可以视作是圆的切点，这种关系在解决几何问题时非常有用。

其次，正多边形和圆在面积和周长方面也有着密切的联系。

一个正多边形的面积可以通过将其分割成等边三角形，并使用三角形的公式来计算。

而一个圆的面积可以通过应用πr²的公式来计算，其中r是圆的半径。

然而，一个有趣的事实是，当正多边形的边数越来越多时，它的面积逐渐接近于圆的面积。

这意味着，当正多边形的边数无限增加时，它将无限接近于一个圆。

此外，正多边形和圆的联系还可以扩展到三角函数和复数的领域。

在三角函数中，我们可以使用正多边形的顶点来解释正弦和余弦函数。

当我们在单位圆上绘制一个正多边形，并对应地观察顶点的纵坐标，我们会发现这些纵坐标形成了正弦曲线。

同样地，我们可以观察顶点的横坐标，发现它们形成了余弦曲线。

这个发现为我们理解三角函数的特性提供了一种直观的方式。

此外，在复数的领域，正多边形和圆也有一些有趣的应用。

复数可以表示为实部和虚部的和，可以用复平面上的点表示。

当我们在复平面上绘制一个正多边形，以原点为中心，并且把每个顶点都与原点相连，我们会发现这个多边形的顶点实际上形成了一个圆。

这个圆被称为“单位圆”，它的半径等于1。

这个联系不仅在数学上有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥着重要的作用。

综上所述，正多边形与圆之间存在着广泛而丰富的联系。

华师大版数学九年级下册27.4《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》这一节内容，主要让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。

教材通过引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已有了一定的几何知识基础，如对图形的认识，对多边形的性质等。

但学生对正多边形和圆的概念可能还比较陌生，因此，教师在教学中应注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的学习兴趣。

四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义，正多边形的性质，圆的定义和性质。

2.难点：正多边形和圆的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识正多边形和圆。

2.自主探究法：引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，解决问题，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、正多边形和圆的模型。

2.学具：学生用书、练习本、彩笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的正多边形和圆的实例，如足球、篮球、硬币等，引导学生认识正多边形和圆，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现正多边形和圆的定义和性质，引导学生初步理解正多边形和圆的概念。

3.操练（10分钟）教师引导学生观察正多边形和圆的模型，让学生通过自主探究，发现正多边形和圆的性质。

4.巩固（10分钟）教师通过实例，让学生应用正多边形和圆的性质解决问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系。

正多边形和圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

以下是关于正多边形和圆的知识点：
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。

当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

以上知识点仅供参考，可以查阅教材或者咨询数学老师，以获取更全面更准确的信息。

探讨正多边形和圆周的关系正多边形和圆周之间有着密切的关系。

在本文中，将探讨正多边形和圆周的性质、特点以及它们之间的关联。

通过对它们进行比较和分析，我们可以更好地理解它们之间的联系和相互作用。

正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

最常见的正多边形是三角形、四边形和五边形，分别对应着等边三角形、正方形和正五边形。

正多边形具有以下特点：边数相等、角度相等、对称性强等。

在正多边形中，所有的边都相等。

这意味着正多边形的边长也是相等的。

以正五边形为例，五个边的长度都相等，这使得正多边形具有一种美观的对称性和几何上的完美性。

正多边形的角度也是相等的。

以正六边形为例，每个角都是120度。

正多边形的角度与边数有一定的关系，可以通过公式 (n-2) × 180 / n 来计算出每个角的度数，其中 n 表示边的个数。

我们可以发现，随着边数增多，正多边形的角度也会趋近于180度，这使得正多边形逐渐接近于圆形。

那么，正多边形和圆周之间有着怎样的关系呢？通过分析可以发现，正多边形可以被视为圆周上一系列等距离的点。

以正五边形为例，五个顶点恰好可以组成一个正圆，每个顶点处于圆周上，并且相邻两个顶点之间的弧长相等。

通过进一步研究，我们可以发现正多边形和圆周之间的联系更进一步。

正多边形的内接圆和外接圆是与之密切相关的概念。

内接圆是正多边形的内切圆，即内切于正多边形的圆。

外接圆则是正多边形的外接圆，即与正多边形的每个顶点都相切的圆。

正多边形的内接圆与外接圆有一定的关系。

通过观察可以发现，正多边形的内接圆的半径和边长之间存在一个比例关系，这个比例关系可以表示为半径 r 内接圆与边长 s 之间的比值为r = s / 2sin(π / n)，其中n 表示边数。

同样，正多边形的外接圆的半径和边长之间也存在一个比例关系，这个比例关系可以表示为半径 R 外接圆与边长 s 之间的比值为R = s / 2sin(π / n)cos(π / n)。

第09讲圆内接四边形与正多边形（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．二．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【核心考点精讲】一．圆内接四边形的性质（共6小题）1．（2022•澄城县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°2．（2021秋•金东区期末）在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为．3．（2022•定海区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．4．（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是（）A．80°B．120°C．135°D．140°5．（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°6．（2021秋•丽水期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，若∠D＝120°，则∠B的度数是．二．正多边形和圆（共7小题）7．（2021秋•鄞州区期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°，则该正多边形边数是．8．（2022•嘉定区二模）正八边形的中心角等于度．9．（2021秋•吴兴区期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（）A．72°B．70°C．60°D．45°10．（2021秋•丽水期末）如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（）A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm 11．（2022•陈仓区一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ODC的度数是．12．（2021秋•海曙区期末）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（）A．B．C．D．13．（2020秋•武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•东平县一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠BOD的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．160°2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°3．（2022•长兴县模拟）如图，CD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝20°，则∠A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°4．（2021秋•仙居县期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（）A．2B．C．D．45．（2021秋•诸暨市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C的度数为（）A．130°B．100°C．80°D．50°6．（2021秋•辛集市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（）A．4B．C．D．二．填空题（共4小题）7．（2022春•长兴县月考）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且的度数为50°，∠ACD＝60°，则∠E的度数是°．8．（2021秋•余姚市期末）四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠C的度数为．9．（2022•吴兴区一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是．10．（2022•黄冈二模）如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF 交于点G，则∠CGF＝°．三．解答题（共5小题）11．（2019•海宁市一模）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．12．（2021秋•瑞安市月考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径．连结BD，若．（1）求证：∠1＝∠2．（2）当AD＝4，BC＝4时，求△ABD的面积．13．（2021秋•上城区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，AE＝4．（1）求证：；（2）求EC的长．14．（2021•永嘉县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．15．（2018秋•下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．。

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。

外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180Rn L π= 5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形 注意：因为扇形的弧长180Rn L π=。

所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。

如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。

人教版数学九年级上册24.3《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24.3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了圆的概念和性质的基础上进行学习的，主要让学生了解正多边形的定义、性质及其与圆的关系。

通过本节内容的学习，学生能够理解正多边形的对称性，掌握正多边形的计算方法，并为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，逐步理解正多边形的性质，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握正多边形的定义、性质及其与圆的关系，能够运用正多边形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质及其与圆的关系。

2.难点：正多边形的计算方法及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现正多边形的性质及其与圆的关系。

2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会运用正多边形的性质解决实际问题。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。

2.教学素材：准备一些关于正多边形的实际问题，用于巩固和拓展。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的正多边形，如正方形、正三角形等，引导学生关注正多边形，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍正多边形的定义和性质，引导学生通过观察、思考，发现正多边形的特点。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析一些实际问题，运用正多边形的性质解决问题。

27.4第7讲正多边形和圆目标导航1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.知识精讲知识点01 正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．【微点拨】判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).【即学即练1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°知识点02 正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.【微点拨】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.【即学即练2】如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°图1 图2知识点03 正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

正多边形和圆【内容概述】正多边形的定义、正多边形的相关概念、正多边形的性质、正多边形的有关计算、正多边形与圆【知识透析】知识点1：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．知识点2：正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心角；（2）正多边形的中心o；（3）正多边形的半径R；（4）正多边形的边心距r知识点3：正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；（2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心．知识点4：正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒．例1．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个多边形是__________边形例2．一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________知识点5：正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆； （2）用尺规等分圆对于一些特殊的正n 边形，可以用圆规和直尺作图．例1：画一个边长为2cm 的正六边形。

如图1，2，以2cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于︒=︒606360的圆心角它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到6个等分点，顺次连接各等分点，即可得出正六边形。

图1 图2 知识点6：圆与正多边形（1）正多边形的外接圆以及相关要素； （2）正多边形的内切圆以及相关要素． 【典型例题】1．填写下列表中的空格错误！未指定书签。

正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长 面积3 234 1 6 2 n2．有一边长为4的正n 边形，它的一个内角是120°，则其外接圆的半径为_________ 3．正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________4．同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________ 5．正九边形的半径为R ，则它的边长是_____ 6．一个正n 边形的中心角是它的一个内角的15，则n ＝_________. 7．如图，已知⊙O 和⊙O 上一点A①用尺规作正六边形，使得⊙O是这个证六边形的外接圆，且点A是正六边形的一个顶点②若这个证六边形的边长为2cm，这个正六边形的面积是cm2AO8．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形9．正n边形的一个外角等于20°，则n ．10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝°．11．已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．12．已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的边长．13．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．O14．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．OEFA BCDM15．已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点， =CDBD ，AC 是四边形ABCD 的对角线。