一元微积分在经济上的运用

微积分在经济学中的若干应用微积分在经济学中的若干应用1微积分的基本思想微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。

以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。

1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。

直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。

在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。

它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。

这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。

1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。

蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。

因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。

现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段；②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，.（2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步：①“求和”：；②“求极限”：，其中.可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。

论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。

在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。

通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。

函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。

在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。

导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。

在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。

积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。

在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。

微积分在经济学中的应用广泛而深入。

以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。

在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。

动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。

例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。

均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。

例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。

经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。

例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。

成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。

公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。

求该公司的最小成本点。

通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。

根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。

因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。

动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。

微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。

微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。

下面将分析微积分在经济学中的应用。

1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。

导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。

例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。

生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。

假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。

假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。

成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。

在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。

因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。

积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。

例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。

某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。

从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。

净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。

由于现代化生产开展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进进经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济操纵论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。

数量经济学的目的在于探究客瞧经济过程的数量规律，以便用来明白客瞧经济实践。

应用数量经济学研究客瞧经济现象的要害确实是根基要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。

那个地点我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

复利与贴现咨询题复利公式货币所有者〔债权人〕因贷出货币而从借款人〔债务人〕手中所得之酬劳称为利息。

利息以“期〞，即单位时刻〔一般以一年或一月为期〕进行结算。

在这一期内利息总额与贷款额〔又称本金〕之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

要是在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按利率计算，这种计息方法喊单利。

在结算利息时，要是将前一期之利息于前一期之末并进前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这确实是根基所谓的复利。

通俗讲法确实是根基“利滚利〞。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A0，年利率r=p%，假设以复利计息，t年末A0将增值到A t，试计算A t。

假设以年为一期计算利息：一年末的本利和为A1=A0〔1+r〕二年末的本利和为A2=A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r=A0〔1+r〕2类推，t年末的本利和为A t=A0〔1+r〕t〔1〕假设把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率能够认为是rm，轻易推得0(1)mtt rA Am=+〔2〕公式〔1〕和〔2〕是按离散情况——计息的“期〞是确定的时刻间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t的复利公式。

假设计息的“期〞的时刻间隔无限缩短，从而计息次数m→∞，这时，由于因此，假设以连续复利计算利息，其复利公式是例1A0＝100元，r=8%，t＝1，那么一年计息1期1100(10.08)108()A=⨯+=元一年计息2期210.08100(1)108.16()2A =⨯+=元 一年计息4期410.08100(1)108.243()4A =⨯+=元一年计息12期1210.08100(1)108.300()12A =⨯+=元一年计息100期10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元连续复利计息0.081100108.329()A e==元 实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。

经济数学一一元微积分教学设计前言经济学是一门非常重要的学科，而微积分更是经济学中必不可少的一部分。

本文将就如何设计一堂经济数学一一元微积分课程进行讨论。

教学目标经过学习本课程，学生应该能够：1.了解微积分的基本概念与方法；2.理解微积分的应用场景，如经济学中的边际效应等；3.能够运用微积分的方法进行经济学问题的求解。

教学内容第一部分：微积分基础1.微积分的基本概念，如导数、微分、积分等；2.常见微积分公式的推导与运用；3.隐函数求导等高阶微积分概念的引入。

第二部分：微积分在经济学中的应用1.边际效应的概念与解析；2.经济学中优化问题的微积分求解；3.积分在经济学中的应用，如消费者剩余等。

教学方法1.讲授式教学：通过PPT等多媒体工具讲解相关微积分概念及其应用；2.课堂练习：针对每个小节的内容提供相关的练习，以帮助学生掌握所学知识；3.实例分析：通过实际经济问题进行分析，引导学生进行思考与求解。

教学评估方式1.课堂测试：在每个小节学习内容后进行测试，以便及时纠正学生的理解问题；2.课后作业：针对每个小节的内容布置相关的作业，确保学生对本节内容进行掌握；3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握程度。

教学资源1.课堂教学PPT；2.经济学相关案例资源；3.智能互动平台。

教学安排第一周1.微积分的基本概念；2.导数的求法及其应用。

第二周1.微积分的基本定理；2.隐函数求导的方法。

第三周1.边际效应的概念及其解析；2.优化问题的微积分求解。

第四周1.积分的概念及其性质；2.消费者剩余的应用。

结语本教学设计通过讲授微积分基础、微积分在经济学中的应用、实例分析等方式，旨在帮助学生快速掌握微积分概念及其在经济学中的应用。

同时，通过课堂测试、课后作业、期末考试等方式进行教学评估，以确保学生掌握本课程中的重点内容。

一、经济分析中常用的函数【2（一）需求函数和供给函数】1.需求函数。

需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。

我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q（p）（Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。

一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数（如图一）。

右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。

当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。

2.供给函数。

一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S（p），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg。

一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。

（如图二）供给函数特征：横轴S 为供给量，纵轴P 为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。

当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。

（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S 即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S 时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。

（三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。

一般来说，价格是销售量的函数。

在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多 就可以把价格讲得越低。

例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。

一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。

在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。

本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。

一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。

在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。

更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。

当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。

这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。

导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。

其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。

这些规则使得求导变得更加容易和直观化。

二、微分微分是导数的一种表达方式。

函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。

微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。

三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。

在数学中，积分可以看作是导数的反运算。

给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。

也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。

积分的符号表示为∫，读作“积分”。

它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。

这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。

四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。

它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。

以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。

数学在经济学中的应用数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程、数值分析等进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常称为数量经济学。

应用数量经济学方法研究客观经济现象的关键就是要把考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。

本文介绍了数学的一些分支在经济学中的应用。

[关键词]弹性系数；消费者均衡；不动点；瓦尔拉斯一般均衡数学与经济学的关系在今天可以说是息息相关，任何一项经济学的研究、决策几乎都不能离开数学的应用。

因为如何有效配置和合理利用稀缺的经济资源从而最大限度满足人类欲望始终是经济学研究的主题。

这不可避免会涉及到效率和最优化问题，而有关效率和最优化问题的研究不仅有定性分析，更重要的要有定量分析。

数学作为定量分析的重要工具，以其严密性、客观性正好适应了这一要求。

因此，在经济学中引入数学工具，可以更好地表述经济学原理，将经济问题转化为具体的数学模型，可以使分析变得具体，从而把研究从初步的想法推进向深入的探索，推动经济学走向精密化、正确化。

比如，在客观经济学中的综合指标控制、价格控制都有数学问题，在微观经济中数理统计的“实验设计”、“质量控制”、“多元分析”等对提高产品的质量往往能起到重要的作用。

当今，在经济学中使用数学方法的趋势越来越明显，领域越来越广泛。

自从1969年诺贝尔经济学奖创立以来，利用数学工具分析经济问题的理论成果获奖不断。

事实上，从1969到1998年的30年中，有19位诺贝尔经济学奖的获得者都以数学作为主要研究方法，占总人数的63.3%，而几乎所有的获奖者都运用数学方法来研究经济理论。

可以说，没有数学的广泛应用，就没有经济学快速繁荣发展的今天。

本文就数学的一些分支在经济学中的应用做一初步讨论。

1 一元微积分在经济学中的应用1.1 弹性系数当经济变量之间存在相互影响关系时，西方经济学通常用弹性来表示一个变量相应于另一个经济变量变动的反映程度。

一元和多元函数的微积分学微积分学是数学中的一个重要分支，其理论和方法在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。

微积分学包括一元函数微积分学和多元函数微积分学两个部分，下面将对它们进行介绍。

一元函数微积分学一元函数微积分学主要研究的是只涉及一个自变量的函数及其相关概念和方法。

其中最基本的概念是导数和定积分，它们分别对应着函数的局部变化率和全局面积。

导数具有局部性质，可以用来刻画函数的变化趋势和极值点，而定积分则具有全局性质，可以用来求解曲线下的面积、质量、重心等物理量。

在具体的计算中，需要运用导数和定积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、分部积分法等等。

通过这些方法，我们可以计算给定函数的导函数和不定积分，从而求出函数的局部极值和定积分的值。

此外，还可以运用微积分学的理论和方法来研究曲线的几何性质，如弧长、曲率半径、切线、法线等等。

在实际应用中，一元函数微积分学常常被用来描述物理、经济、工程等领域中的过程和现象。

例如，在物理中，我们可以用速度函数的积分来求出物体的位移、用牛顿第二定律和微积分方法来研究物体的运动轨迹、用曲率和法线来描述曲线道路等等。

在经济学中，我们可以用边际收益和边际成本的分析方法来研究市场的供求变化、用利润函数和成本函数的微分来研究企业的经营策略等等。

多元函数微积分学多元函数微积分学则研究的是涉及多个自变量的函数及其相关概念和方法。

在多元函数中，函数的取值不仅仅依赖于一个自变量，而是依赖于多个自变量，例如三维空间中的坐标系中的点映射到现实生活中物体的形态或函数的变化。

这就需要我们引入偏导数和重积分的概念。

偏导数对应多元函数在某个自变量上的变化率，而重积分对应多元函数在一定区域内的累积值。

在具体计算中，我们需要运用偏导数和重积分的基本性质和公式，如连续性、极限运算法则、积分换元法、重积分交换积分次序法等等。

在实际应用中，多元函数微积分学同样有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过研究多元函数的偏导数来探索多维空间中的物理规律、用重积分来求解质心、转动惯量等物理量；在经济学中，我们可以将多元函数应用于市场的分析、企业的决策等问题中、运用它来预测消费者对某个产品的接受程度等等。

微积分在经济中的应用数学在经济学理论分析中的重要作用是与数学研究的内容和特点分不开的。

数学是研究现实世界数量关系的学科，在经济现象中更加广泛，投入量、产出量、成本、效用、价格、价值、利率、商品量、生产量、产值、利润、消费量等。

这种数量关系的分析很大程度上依赖于高等数学中的函数，导数定积分。

微积分是高等数学的一个基础学科，是微分学和积分学的总称,微积分在经济学的分析中有着重要的地位。

微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识。

这篇文章便主要是讨论微积分在经济中的应用。

1.边际分析西方经济学中涉及边际经济变量时都是用增加某一个经济变量一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少来进行分析。

如边际利润、边际成本、边际收益、边际替代率等等，这些概念都是经济学中非常重要的概念。

而在这些经济学概念中，几乎都要用到数学导数的概念，它们的数学表达式也几乎可以用导数来表示。

经济学的边际成本定义为增加一个单位产品引起总成本价的变化。

边际收益定义为附加销售一个商品引起总收益的变化。

总成本和总收益都是产量Q的函数，所以边际成本和边际收益在数学上可以表达为各自总函数的导数。

边际概念的实质就是经济函数的导数。

例如：1、边际需求与边际供给：设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q ’=f ’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。

类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。

2、边际成本]1[：若成本函数C(q)当产量达到q时, 再各生产一个单位产品时所增加的成本,即为MC =TCq∆∆或MC =dqdTCqTCq=∆∆→0lim[2]3、边际收益]1[: 收益函数TR(q), 当销售量达到q时, 再多销售一个单位产品时所增加的销售收益,即为边际收益MR =TRq∆∆或MR =lim→qTRq∆∆ =dTRdq。

用微积分知识解决的经济问题第 一 章 常见经济函数1. 需求函数与供给函数需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Q d 表示。

影响需求的因素很多，主要有:商品的价格P ，与此商品有关的其他商品的价格P 1， P 2 ，…,P n ，个人的收入M ,消费者对未来商品价格的预期p e ，个人的偏好h 等等。

若除商品的价格P 外,影响需求的其他因素不变，则Q d 是P 的一元函数 Q d = f (P )它通常是一个单调减函数，常见的需求函数有)0,(>-=b a bP a Q d)0,(>=-b a aP Q bd有时，也把Q d = f （P ）的反函数)(1d Q f P -=称为需求函数。

如果影响需求的各种因素均变化,则Q d 是各因素的多元函数 ),,,(21h M p P P P P f Qe n d ；；；； =供给量是指在特定时间内，厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Q s 表示。

影响供给的主要因素有：商品的价格P ,与此商品有关的其他商品的价格P 1， P 2 ，…，P n ,厂商对未来商品价格的预期P e ,生产投入的的要素成本C 及厂商的技术状况ρ等。

若除了商品的价格P 外，影响供给的其他因素均不变，则Q s 是P 的一元函数Q s = g （P )它通常是一个单调增函数,)0,(>+-=b a bP a Q s)0,(>=b a aP Q bs 如果影响供给的各种因素均变化，则Q s 是各因素的多元函数 )ρ,,,(21；；；；C P P P P P g Q e n s =当Q d =Q s 时，市场的供需处于平衡状态,此时的价格P 称为均衡价格,需求（或供给)量称为均衡数量(如图1—1所示).当商品由某厂商独家生产时,厂商是价格的制定者,它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产,其产量即需求量，价格与产量(需求量）的关系由需求函数确定,称该商品市场为完全垄断市场;当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时,各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态,此后商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量图1—1或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场。