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微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
微积分在经济中的应用
微积分是一门研究变化问题的数学学科，它是高等数学中最重要的一部分。
微积分在经济学中也有着重要的应用。
首先，微积分可以用来分析和解释经济问题的变化规律。
例如，在经济学中，经济学家常常用微积分来分析供求关系，以及供求关系对市场价格的影响。
当市场的供给量增加时，市场价格会下降；当市场的需求量增加时，市场价格会上涨。
微积分帮助经济学家理解和解释供求关系和价格变化。
其次，微积分可以用来分析经济政策的效果。
例如，当政府实施一项经济政策时，会出现一些经济效果，比如收入水平增加或减少，物价上涨或下降等。
经济学家可以利用微积分来分析经济政策的效果，以便政府采取更有效的政策。
最后，微积分也可以用来分析经济学中的有限个体行为问题。
例如，微积分可以用来分析消费者收入、物价和消费量之间的关系，以及资源分配的最优方案等问题。
经济学家可以利用微积分来研究有限个体行为，以便更好地把握经济现象。
总之，微积分在经济学中有着重要的应用。
它可以用来分析经济问题的变化规律，用来分析经济政策的效果，以及用来分析有限个体行为问题。
因此，微积分的研究对理解和解决经济问题具有重要的意义。
微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。
微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。
以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。
一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。
这些概念在经济学中都有广泛的应用。
1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。
例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。
2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。
这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。
3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。
在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。
此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。
二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。
通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。
通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。
在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。
三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。
通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。
例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。
通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。
在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究极限、导数、积分和无穷级数等概念，是分析、几何和代数等数学分支的基础。
在经济学中，微积分有着广泛的应用，它可以帮助经济学家分析经济现象、预测经济走势、优化经济政策等，为经济学领域的研究和实践提供了重要的数学工具。
微积分在经济学中的应用之一是用来分析经济现象。
经济学家常常需要通过建立数学模型来描述经济中的各种现象和规律，而微积分作为数学的重要工具，可以帮助他们进行精确的分析。
在微观经济学中，经济学家可以利用微积分来推导供求曲线、成本曲线、收益曲线等与市场供求关系相关的数学模型，从而更好地理解市场运行机制。
在宏观经济学中，微积分也可以用来建立宏观经济模型，分析国民经济的总量关系和增长趋势，为宏观经济政策的制定提供理论支持。
微积分在经济学中的应用还包括经济预测和决策优化。
在经济学研究和实践中，人们常常需要通过对经济变量的变化趋势进行预测，以便作出正确的决策。
微积分可以通过对经济数据进行分析，建立数学模型，并利用微积分的概念和方法进行推导和计算，从而实现对经济走势的预测。
微积分也可以用来对决策进行优化。
对于生产企业来说，可以利用微积分的方法对生产成本、产量、利润等多个变量进行优化，从而实现最大化利润的目标。
对于政府来说，也可以利用微积分的方法对税收政策、货币政策等进行优化，实现国民经济的稳定和发展。
微积分在交易和投资领域也有着重要的应用。
金融市场是一个充满风险和不确定性的市场，投资者需要通过对市场数据和走势的分析来做出投资决策。
微积分可以帮助投资者对金融市场的波动和变化进行量化分析，从而更好地理解市场的规律，找到投资机会并进行风险管理。
微积分也可以应用于金融衍生品的定价和风险管理，为各种金融工具的设计和交易提供数学基础。
微积分在经济学中的应用是多方面的，它不仅可以帮助经济学家分析经济现象，预测经济走势，优化经济政策，还可以帮助投资者进行风险管理和决策优化。
微积分在实际中的应用案例微积分在实际中有许多应用案例，以下是一些例子：1. 物理学的应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如计算物体在运动中的速度、加速度和位移，以及解决电磁学、光学和量子力学中的问题。
此外，在研究天文学、气象学和地球物理学等领域时，也需要用到微积分的知识。
2. 工程学的应用：在工程学中，微积分被用来解决各种实际问题，如结构设计、机械振动、热传导和流体动力学等问题。
微积分还被用于控制工程和信号处理等领域，以实现最优控制和信号传输。
3. 经济学的应用：微积分在经济学的应用非常广泛，例如计算边际成本、边际收入和边际利润等，以及进行投入产出分析和动态规划等。
此外，微积分也被用于金融学和保险精算等领域。
4. 社会学的应用：在人口统计学中，微积分被用来研究人口增长和减少的规律。
在心理学中，微积分也被用于研究人类行为的规律和预测未来的趋势。
5. 医学的应用：在医学领域，微积分被用来研究生物系统的生理变化和药物动力学等。
例如，通过微积分的方法可以模拟药物在体内的扩散和代谢过程，为新药的研发提供重要的参考依据。
6. 环境科学的应用：在环境科学中，微积分被用来研究环境污染物的扩散和传播过程，以及生态系统的平衡和可持续发展等问题。
7. 计算机科学的应用：在计算机科学中，微积分被用来优化算法和提高计算机的性能。
例如，通过微积分的方法可以优化图像处理和语音识别等算法的性能。
8. 化学工程的应用：在化学工程中，微积分被用来描述化学反应速率和传质传热等过程，并优化反应器的操作条件。
9. 生物学中的应用：在生物学中，微积分被用来描述生物体的生理特征和行为特征，如呼吸系统、消化系统和神经系统等。
此外，微积分还被用于生态学中研究种群增长和生物多样性等问题。
总之，微积分作为一门数学工具，在实际中的应用非常广泛。
无论是在科学研究还是实际生活中，微积分都发挥着重要的作用。
微积分在经济学中的应用分析微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个学科领域，其中包括经济学。
在经济学中，微积分的应用不仅帮助我们理解经济现象，还帮助我们分析经济问题和制定经济政策。
本文将从微积分在边际分析、最优化、模型建立和解决实际经济问题等方面进行分析，探讨微积分在经济学中的重要作用。
一、微积分在边际分析中的应用边际分析是微观经济学中一个重要的概念，它主要用来分析经济单元（如企业、消费者）在某一活动中产生的额外收益和额外成本。
微积分帮助我们理解和应用边际分析，通过导数来计算边际成本和边际收益。
我们来看企业的生产决策。
假设某企业的生产函数为Y=f(X)，其中Y表示产出，X表示投入。
企业在决定增加一单位投入时，产出将如何变化呢？这就涉及到边际产出的计算，即f’(X)，其中f’(X)表示对生产函数进行微分得到的边际产出。
通过计算边际产出，企业可以评估增加一单位投入所带来的额外产出，从而最大化产出与成本之间的关系。
微积分也可以用于消费者的边际效用分析。
假设某消费者的效用函数为U=g(X)，其中U表示效用，X表示消费量。
消费者在做出消费决策时，需要考虑增加一单位消费对效用的变化，即边际效用。
通过效用函数的微分g’(X)，消费者可以评估增加一单位消费所获得的额外效用，从而最大化效用与消费之间的关系。
最优化是微积分在经济学中的另一个重要应用领域，它主要用来分析在给定约束条件下，如何使某一目标函数达到最优状态。
在经济学中，最优化经常出现在生产决策、消费决策和资源配置等方面。
以生产决策为例，假设某企业的产出为Y，生产成本为C，企业的利润π为π=Y-C。
企业在决定生产量时，需要最大化利润函数π关于生产量Y的函数。
这涉及到利润函数π的微分，即π’(Y)，通过对利润函数进行微分，企业可以找到最大化利润的生产量，从而实现最优化生产决策。
三、微积分在模型建立和解决实际经济问题中的应用微积分还广泛用于经济学模型的建立和解决实际经济问题。
生活中的微积分
微积分是数学中的重要分支，但它并不仅仅存在于课本和学术领域。
实际上，
微积分在我们的生活中随处可见，它影响着我们的日常决策、工作和生活方式。
首先，微积分在经济学中扮演着重要的角色。
通过微积分，经济学家可以分析
市场供需关系、价格变动和消费者行为。
例如，通过对价格曲线的微积分计算，经济学家可以预测商品价格的变化趋势，从而帮助企业制定合理的价格策略。
此外，微积分还可以用来分析投资组合的风险和回报，帮助投资者做出更明智的投资决策。
其次，微积分在工程领域也有着广泛的应用。
在设计建筑、桥梁和道路时，工
程师需要通过微积分来计算结构的稳定性和承载能力。
在电子工程中，微积分可以用来分析电路的性能和稳定性。
在航空航天领域，微积分更是不可或缺的工具，它可以用来计算飞行器的轨迹、速度和加速度，确保飞行器的安全和稳定。
此外，微积分还在科学研究和医学领域发挥着重要作用。
在物理学中，微积分
被用来描述物体的运动和力学规律，帮助科学家理解自然界的运行规律。
在医学领域，微积分可以用来分析生物体内的化学反应和代谢过程，帮助医生诊断疾病和制定治疗方案。
总之，微积分不仅仅是一门抽象的学科，它在我们的生活中无处不在。
无论是
经济学、工程、科学研究还是医学，微积分都扮演着不可替代的角色。
因此，我们应该重视微积分的学习，深入理解它的原理和应用，从而更好地应用它来解决现实生活中的问题。
微积分在经济学中的应用分析
微积分是一门数学分析学科，旨在研究一条曲线上任何一点的斜率、切线和弧长等问题。
在经济学中，微积分也被广泛应用于对市场需求和供给的分析、最优化问题、生产函数和成本函数的研究、以及经济增长和经济周期等方面的分析。
在市场需求和供给分析中，微积分用于研究市场上的价格和数量关系。
市场需求曲线和市场供给曲线可以被看作是一组函数，它们的交点就是市场均衡价格和数量。
微积分可以被用于求解两个曲线的交点，从而计算出市场均衡的价格和数量。
同时，微积分也可以用于研究需求曲线和供给曲线在价格上的弹性，这可以帮助经济学家预测价格变化对市场规模和收益的影响。
最优化问题也是一个经济学中常见的问题，它是指在满足某些限制条件下寻找最优的决策方案。
微积分被广泛应用于求解最优化问题。
例如，在企业决策中，一个公司需要找到一个产量和成本之间的最佳平衡点。
微积分可以在考虑一系列因素的情况下，帮助公司找到最有利的产量和成本结构。
生产函数和成本函数是经济学中重要的概念，它们用于描述生产过程中的输入和输出之间的关系。
微积分可以用于对生产函数和成本函数的分析，例如研究如何最大化生产或利润等问题。
通过分析函数的导数、极值和最值，经济学家可以得出有关产量和成本的重要结论，例如变成规模报酬递增和变成规模报酬递减的情况等。
最后，微积分还可以应用于研究经济增长和经济周期等问题。
例如，微积分可以应用于衡量GDP增长率、通货膨胀率和某一国家的失业率等方面。
通过对这些数据的微积分分析，可以揭示经济增长和经济周期的规律，从而探索经济政策的制定方向。
微积分在经济生活中的应用人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系．1 导数及微分的应用导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数． 设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +∆时，成本相应改变()()C C x x C x ∆=+∆-成本的平均变化率为()()C C x x C x x x∆+∆-=∆∆ 若当0x ∆→时，0limx Cx∆→∆∆存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是：00()()()lim limx x dC C C x x C x C x dx x x∆→∆→∆+∆-'===∆∆ 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元．在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有(100)40C '=(100)50100C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本．1.1.2 边际收入边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题．设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是0()()()limx dR R x x R x R x dx x∆→+∆-'==∆ 如(15)14R '=，其经济含义是，在产量为15这一水平上再增加或减少销售一个单位，其收入增加或减少14．1.1.3 边际利润由于利润函数是收入函数与成本函数的差，即()()()P x R x C x =-，因此边际利润函数为()()()P x R x C x '''=-由上面的分析我们可以得出：边际成本函数就是总成本函数对产量的导数；边际收入函数就是总收入函数对销量的导数；边际利润函数就是总利润函数对销量的导数．例1 某企业每月生产的总成本C (千元)是产量x (吨)的函数2()1020C x x x =-+如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润．解 因为利润函数为总收入减去总成本． 即22()()()20(1020)3020P x R x C x x x x x x =-=--+=-+-所以边际利润为()230P x x '=-+于是(10)2103010P =-⨯+=（千元/吨） (15)215300P '=-⨯+=（千元/吨）(20)2203010P '=-⨯+=-（千元/吨）上述结果表明，当月产量为15吨时，边际利润为0，如果再增加产量，利润不会增加反而减少，所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润．1.2 弹性问题[2](3437)P -弹性原是物理学上的概念，意指某一物体对外界力量的反应力．经济活动中的弹性是指当经济变量存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度．若两个经济变量之间的函数关系为()y f x =，设函数()y f x =在点0x 处可导，以,x y ∆∆分别表示变量,x y 的变动量，则把'000000000/limlim ()/()x x y y x x y f x x x x y f x →→∆∆=⋅=∆∆ ⑴称为函数()y f x =在点0x 处的弹性,记作x x EyEx= 或()x x Ef x Ex =若()f x 可导，则它在任意点处的弹性为：()()()Ef x xf x Ex f x '= ⑵ ⑴式为点弹性，⑵式为弧弹性．弹性的本质是相对变化率，表现因变量对自变量的相对变化所做出的反应即灵敏度．弹性的经济意义为：当自变量变化为1%时,函数变化为()[]%Ef x Ex. 设x x Ey a Ex==，即0000000//lim//x y y x dy y dy a x x dx y dx x ∆→∆=⋅==∆若0/1%x x ∆=，即0/1%dx x =，则0/1%dy y a =⨯，而dy y ≈∆，故0/%y y a ∆≈，这就是说当x 在0x 处变化（上升或下降）1%时，y 变化（上升或下降）%a ．所以弹性是()f x 对x 变化反应的灵敏度．例2 设某种商品的需求量Q 与价格x 之间的函数关系为(83)Q x x =-试求在149x =、169、2（元）的价格水平时，需求量对价格的弹性（简称需求价格弹性）． 解86(86)(83)83EQ x x x Q x Ex Q x x x-'=⋅=-⋅=-- 故149148690.414839x EQ Ex=-⨯==--⨯，表明在149元的价格水平时，价格上涨1%则需求量下降0.4%．1691x EQ Ex==-，表明在169元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降1%．22x EQ Ex==-,表明在2元的价格水平时，价格上涨1%，则需求量下降2%．在一般情况下，商品的需求量和价格是成反方向变动的，即需求价格弹性0EQEx<，故当1EQ Ex <-时，称需求是弹性的，当10EQ Ex -<<时称需求是低弹性的，当1EQEx=-时，称需求是有单位弹性的．利用需求价格弹性分析有助于作出正确的定价决策，当需求是弹性时，总收入将因价格的下调而增加;当需求是低弹性时，总收入将因价格的上调而增加；当需求是有单位弹性时，总收入取得最大值．设某商品的需求函数为()Q f x =，则总收入函数为()R Q x xf x =⋅=，因为[]()()()1()()1()()dR x f x xf x f x f x f x e x dx f x ⎡⎤''=+=+=+⎢⎥⎣⎦又()0f x ≥，所以当1EQ Ex >-时0dR dx >，即当需求是低弹性时，总收入随价格增加而增加，故此时可上调价格而使收入增加．当1EQ Ex <-时0dRdx <，即当需求是弹性的时候，总收入随价格增加而减少，故此时可下调价格而使收入增加．当1EQ Ex =-时0dRdx=，即当需求有单位弹性时，价格水平是收入函数的驻点，故R 取得最大值．例3 在上例中当149x =、169、2（元）时，应如何调整价格,才能使收入增加？调整价格后收入变化幅度有多大？解 当149x =时，因为()0.4e x =-，即需求是低弹性的，应该上调价格，此时由于[]()()()ER Exf x xxf x Ex Ex xf x '== 1()()xf x f x '=+ 110.40.6EQEx=+=-= 即价格上调1%后收入增加0.6%；当169x =时，1EQ Ex=-，此时收入最大，应该维持原价； 当2x =时，2EQEx=-，即需求是弹性的，此时应该下调价格，因为1121ER EQ Ex Ex=+=-=-故价格下调1%时，收入增加1%．1.3 偏弹性在经济函数中，影响一个经济量的因素是多种多样的，例如，商品的需求量受到商品价格、消费者的爱好、每个人的收入等因素的影响．也就是说，商品的需求量是一个多元函数．又如，产出量与投入的劳力、资本、土地、能源等因素有关，或者说产出是诸多元素的多元函数．与一元函数的导数类似，多元函数的偏导数在经济学中表示边际经济量．边际经济量的经济含义是：当其中一个的经济量变化一个微小单位时，（其他经济量需保持不变），总经济量的变化量．我们以生产函数(,)G f K L =（其中K 表示资本，L 表示劳力）为例引入偏弹性的概念．称比值GK G K∂∂为产出G 对资本K 的偏弹性．它的经济意义是：当资本K 增加001时，产品增加的百分数；称比值GL G L∂∂为产出G 对劳力L 的偏弹性，它的经济意义是：当劳力L 增加001时，产品增加的百分数．例4 证明D C -生产函数中的参数α是产出G 对劳力L 的偏弹性，参数β是产出G 对资本K 的偏弹性①．证明 由D C -生产函数G AL K αβ=得11;G GA L K A L K L Kαβαβαβ--∂∂==∂∂． 于是，产出G 对劳力L 的偏弹性为1GA L KL L G AL K L αβαβαα-∂∂=⋅=， 产出G 对资本K 的偏弹性为1GA L K K K G AL K Kαβαβββ-∂∂=⋅=． 1.4 最大利润与最小成本[3](5056)P -利润取得最大值的必要条件是：()0P x '=充分条件是：()0P x ''<如果生产原料有两种，总利润为(,)P x y ，其中,x y 分别表示两种原料的数量．则取得最大值的必要条件是：00P P x y∂∂==∂∂且 充分条件是：设00000022222(,)(,)(,),,x y x y x y PP P A B C xx yy∂∂∂===∂∂∂∂满足20A C B ⋅->．例5 设某企业生产q 个单位产品的总成本函数是: 32()1050C q q q q =-+，求使得平均成本()C q 为最小的产量;并计算出最小平均成本解 3221050()1050q q qC q q q q-+==-+， 那么()210C q q '=-， 令()0C q '=， 5q =， 又(5)20C ''=>， 所以()C q 在5q =取得极小值点， 所以理论上()C q 的最小值是存在的，5q =时平均成本()C q 为最小．最小平均成本2min (5)51055025C =-⨯+=．例6 某公司在生产中使用I 和II 两种原料，已知I 和II 两种原料分别使用x 单位和y 单位可生产u 单位的产品，且有：22(,)8324046u x y xy x y x y =++--，并且第一种原料每单位的价值为10美元，第二种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的售价为40美元啊，求该公司的最大利润？解 生产(,)u x y 单位的产品的总成本为104x y +，总收入为40(,)u x y ，从而利润函数为22(,)40(,)10432012701596160240P x y u x y x y xy x y x y =--=++--，再由32012703200P y x x ∂=+-=∂，32015964800Px y y∂=+-=∂ 解得驻点为：00(,)(21.9,17.9)P x y =，又00000022222(,)(,)(,)320,320,480x y x y x y P PP x x yy∂∂∂=-==-∂∂∂∂，2512000A C B ⋅-=>．故P 在此点达到最大值，即该公司的最大利润为(21.9,17.6)28189()P ≈美元．2 连续复利——e 的应用[4](159164)P -利息是银行对储蓄（或借款）所支付（或收取）除本金以外的货币．银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示：单位时间的利率=单位时间的利息/存入本金 例如，存入1000元，年利息是80元，则年利率为8%． 一般地，单位时间取年或月． 2.1 单利设本金为0A （可指投资、存款等），年利率是r ，所谓单利是指仅按本金来计算利息．例如0A 的投资时间为t 年，那么t 年后可得单利0I A rt =本利和是0000(1)A A I A A rt A rt =+=+=+例7 1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利10000.065300I =⨯⨯=（元）本利和是10003001300A =+=（元）2.2 复利所谓复利是指经过一年时间，将所生成利息加入本金再生利息，逐期滚算．假定本金为0A 元，年利率为r ，那么一年后的利息是0A r ，此时本金就成了000A A r A r +=（1+）．再经过一年又得复利[]0r A t （1+），本金成了 2000A r rA r A r （1+）+（1+）=（1+）以此类推，t 年后本金()A t 就成了0()tA t A r =（1+）例8 如果例7按年计算复利，那么5年后本金就成了5(5)10001000 1.338231338.23(A ⨯=⨯==（1+0.06）元）利息是338.23元．设年利率为r ，如果一年计算m 次复利(m 是正整数)，那么t 年就计算tm 次，每次的利率算作r m． 设本金为0A 元，年利率为r ，每年计算m 次，那么t 年后本金为0()mtr A t A m=（1+） 例9 如果例7每年计算复利4次，那么5年后本金是45200.06(5)10001000 1.0151000 1.346861346.86()4A ⨯=⨯=⨯==（1+）元 利息是346.86元． 2.3 连续复利从上面例子可以看出，计算复利的次数越多，既周期越短，利息就越高，我们自然会问，如果利息按连续复利计算，既计算复利的次数m 趋于无穷大时，t 年后本金（既本利和）是多少？此时可按如下公式计算000()lim lim rtmmt rt rm m r r A t A A A e m m →∞→∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=（1+）（1+） 这种计利方法称为连续复利．例10 如果例7按连续复利计算，那么5年后本金是0.0650.3(5)100010001349.86A e e ⋅=⋅=⋅=（元）连续复利的计算公式在其他许多问题中也常有应用．例如细胞分裂、树木生长等问题．3 定积分的应用[5](2327)P -3.1 由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()baR b R a R x dx '-=⎰ (1)()()()baC b C a C x dx '-=⎰ (2)()()()baP b P a P x dx '-=⎰ (3)例11 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/吨），边际成本为5（万元/吨），求产量x 从250吨增加到300吨时销售收入()R x ，总成本()C x ，利润()P x 的改变量（增量）．解 首先求边际利润()()()0.082550.0820P x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式(1)、式(2)、式(3)，依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰150=（万元） 300300250250(300)(250)()5C C C x dx dx '-==⎰⎰250=（万元）300300250250(300)(250)()(0.0820)P P P x dx x dx '-==-+⎰⎰100=-（万元）3.2 由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率．例12 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[]0,2内的平均利息率．解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈（年）．例13 某公司运行t （年）所获利润为()P t（元）利润的年变化率为()310P t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[]3,8内年平均变化率．解 由于3885852333()310210(1)3810P t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰（元/年）所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083P t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元．4 条件极值[6](58)P -如果在极值问题中自变量x 与y 之间还要满足一定的约束条件(,)g x y c =，这种在(,)g x y c =条件下函数(,)f x y 的极值称为条件极值．求条件极值的问题需用到拉格朗日乘数法．例14 某工厂集资ω元，拟建一个长方体无盖水池，已知侧面的单位面积造价为a 元，底面的单位面积造价为b 元，如何选择水池的尺寸，能使水池的容积最大？解 设水池的长、宽、高分别为,,x y z 依题意就是求函数 V xyz = (0,0,0)x y z >>>在条件约束(22)a xy yz b xy ω=⋅++⋅下的条件极值． 根据拉格朗日乘数法，作辅助函数()()bxy ayz axz xyz z y x F ---+=22,,,ωλλ由 ()02=--+='by az yz F x λ ①()02=--+='bx az xz F y λ ②()022=--+='ay ax xy F z λ ③ 022=---='bxy ayz axz F ωλ ④①÷② (先移项) 得 y x = ①÷③ (先移项) 得 bx az =2 将它们代入④式，得 bx 3ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=舍去b x 3ω又有 by 3ω=，ωb az 361=根据具体问题本身知道，水池容积的最大值是存在的，且最小值为零．所以，当水池的长、宽、高分别为 ωb b x 331=，ωb b y 331=，ωb az 361=时，水池的容积最大，最大容积为ωωb ab318．由上例可以看出，求解条件极值的关键是通过拉格朗日乘数法作辅助函数()λ,,,z y x F ，条件极值存在的必要条件就是函数()λ,,,z y x F 取得极值的必要条件．5 级数的应用[7](1115)P -随着住房的私有化，个人住房抵押贷款成了人们生活中的一项重要的经济生活．下面用级数的知识来讨论个人住房贷款中人们常选择的按月还款方式的月还款额．设贷款额为0B ，月还款为m ，贷款后第k 个月时欠款余额为k B ，则由第k 个月到第1k +个月中，除月还款m 外还有什么因素参与？无疑是月息，设月利率为r ，则有：1(1)k k B r B m +=+-， 0,1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑴ 即：1(1)k k B r B m -=+-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑵ 由⑴式减去⑵式，得递推公式：11(1)()k k k k B B r B B +--=+- 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑶ 令 1()k k k A B B -=-， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑷ 则⑶式变为：1(1)k k A r A +=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑸于是有 11(1)k k A r A -=+， 1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑹由⑷式和⑹式可知：012k k B B A A A -=++⋅⋅⋅+111(1)(1)k A r r -⎡⎤=+++⋅⋅⋅++⎣⎦10(1)1()k r B B r+-=- 0(1)1()k r rB m r+-=- 00(1)(1)1k k m B r B r r⎡⎤=+--+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ 从而得到 0(1)(1)1k k k m B B r r r ⎡⎤=+-+-⎣⎦，1,2,3,k =⋅⋅⋅ ⑺ 设第个n 月已还清贷款，则0n B =，代入⑺式得0(1)(1)1nn rB r m r +=+- ⑻ 因此，若某人贷款0B ，月利率为r ，共贷款n 个月，则每月需还贷款公式为⑻式．此式也适用于购车贷款等的按月还款．下面举例说明⑻式的应用．例15 某人贷款8万元用于购买汽车，设贷款月利率为0.402%，贷款期限为10年，试计算此人每月还款额是多少？解 1012120n =⨯=，由公式⑻得：1201200.402%80,000(10.00402)520.4748672841.66(10.00402)10.618392m ⨯⨯+===+-（元） 这说明此人每月需还款841.66（元）．通过上面的论述，我们会发现微积分已经广泛的应用于经济生活中，而且随着金融市场和现代企业制度的建立，微积分越来越多地渗透到会计、审计、财务管理、市场营销、财政、税务、金融、工商管理等各个经济领域．经济定货量模型、经济生产量模型、敏感分析等都是应用微积分解决经济问题的一些典范，微积分在经济生活中的地位越来越重要．注释：①D C -生产函数是数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的，被认为是一种很有用的生产函数．一般形式为：G A L K αβ=⋅⋅，G 为产量，L 和K 分别为劳动和资本投入量，A 、α和β为3个参数， 0,1αβ<<．当1αβ+=时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额．若1αβ+>，则为规模报酬递增；若1αβ+=，则为规模报酬不变；若1αβ+<，则为规模报酬递减．。
