微积分在经济学的应用毕业论文

微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。

它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。

本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。

一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。

微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。

微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。

例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。

2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。

微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。

它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。

3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。

微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。

二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。

通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。

2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。

微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。

3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。

论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。

在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。

通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。

函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。

在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。

导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。

在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。

积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。

在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。

微积分在经济学中的应用广泛而深入。

以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。

在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。

动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。

例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。

均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。

例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。

经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。

例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。

成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。

公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。

求该公司的最小成本点。

通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。

根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。

因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。

动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。

高等数学中微积分经济的应用摘要：随着我国经济发展进程不断加快，科学技术水平不断提升，我国逐渐转向知识经济发展时代，数学科学的地位得到有效巩固，呈现逐渐上升的趋势。

信息化进程快速推进，经济理论中的定性分析方式逐渐变化为定量与定性相结合的分析方式，主要采用数据对其进行深入论证以及证明。

高等数学在经济发展进程中起着关键的推动作用。

目前，我国各大高校已经将高等数学应用于多个专业领域之中，越来越多的人意识到可以采用高等数学的方式来对经济理论进行深入解析。

关键词：高等数学微积分经济应用分析高等数学逐渐被广泛应用在经济领域中，不仅为经济研究奠定了良好的基础，还成为一种具有科学性、合理性的技术，在日常生活中起着不容小觑的作用。

数学知识不仅贯穿于人们生产生活的发展始终，还被深入应用于各大科技领域。

高等数学中的微积分应用较为宽广，可以将其应用于物理、经济、交通以及工程相关领域中。

因此，在经济飞速发展的今天，将数学价值充分发挥出来成为一项重要任务，让学生全面利用与高等数学相关的知识分析社会中存在的经济现象成为一项关键内容。

一、高等数学教学中存在的缺陷高等数学中最显著的特征是抽象性、逻辑性、应用性。

目前我国大学生普遍存在不爱学习高等的现象，没有兴趣进行以后的高等数学学习。

高校数学老师在考试前会为学生圈出重点内容，帮助学生简单了解重点内容，导致学生难以对其进行深入学习，学生经常抱着60分万岁的心态，严重缺乏积极主动性。

二、高等数学中微积分的经济应用1.采用微积分进行边际分析经济学经常会出现边际问题，主要包括边际成本、边际收益、边际利润等内容。

边际问题的实质是问题中涉及经济函数的变化率。

如果一个函数用f(x)表示，那么其导函数就可以用f'(x)表示，导函数就成为该函数的边际函数。

对边际函数中某一个点求值时，这个值就成为这个边际函数的边际值。

在实际问题中经常会给出总成本函数来求出边际成本。

边际成本的求法是对总成本函数的产量进行求导，阐释的经济内涵为：当产量为q时再生产一个单位所导致总成本增加的值；边际收益的求法是对总收益函数中的销售量来求导，表达的经济内涵是销售量为q时，再销售一个单位所导致总收益增加的量；边际利润是对总利润函数中的销售量来求导，包含的主要内容是当销售量为q时，对其销售一个单位时，总利润所增加的值。

微积分在经济学中的应用分析李博西南大学数学与统计学院，重庆 400715摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。

关键词:微积分;经济学;边际分析Calculus’s Applied Analysis in EconomicsLi boSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics.Key words: calculus; Economics; marginal analysis1.数学与经济学的紧密联系经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。

经济学应用数学有客观基础。

经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。

经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。

经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。

特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。

由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。

所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。

数学方法本身所提供的可能性。

多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂事物为对象的经济学,偏导数、全导数、全微分公式在数理经济学中是一些最基本的手段。

当这些表达一旦被赋予经济学的含义时,复杂的事物就变得如此清晰可辩,用不着任何多余的文字说明,数学方法可以使正确的经济学理论和科学的研究成果表达的更为准确和精确,可以更好的检验结论和前提是否一致或矛盾,可以更有力地增强研究成果中的结论的正确性。

微积分在经济学中的应用分析【摘要】微积分在经济学中扮演着重要的角色，它的应用范围广泛且深入。

在市场需求分析中，微积分可以帮助我们理解市场行为背后的变化规律；在生产函数分析中，微积分可以帮助我们确定最优生产方案和最大化利润；在边际分析中，微积分可以帮助我们衡量每一次决策对整体效益的贡献；在效用函数分析中，微积分可以帮助我们优化资源配置以达到最大福利；在成本函数分析中，微积分可以帮助我们降低生产成本并提高效率。

通过对微积分在经济学中的广泛应用和重要性的分析，我们可以看到微积分对经济学的发展起到了至关重要的作用，也显示了微积分在决策分析中的不可或缺性。

微积分的深入运用让经济学变得更加科学和准确，为经济体系的发展提供了强有力的支持。

【关键词】微积分、经济学、市场需求分析、生产函数分析、边际分析、效用函数分析、成本函数分析、决策分析、经济学发展、广泛应用、重要性。

1. 引言1.1 微积分在经济学中的应用分析微积分在经济学中的应用分析是一个非常重要的领域。

在经济学中，微积分可以帮助经济学家更好地理解和分析市场行为、生产过程、成本结构等方面的问题。

通过微积分的工具，经济学家可以更准确地预测市场的需求、优化生产函数、分析边际变化以及确定效用最大化和成本最小化等经济问题。

微积分在市场需求分析中起着至关重要的作用。

通过微积分的方法，经济学家可以建立市场需求函数，并分析市场需求的变化趋势，从而帮助企业和政府做出合理的决策。

在生产函数分析中，微积分也扮演着重要角色。

经济学家可以利用微积分来优化生产函数，提高生产效率，从而降低生产成本，实现利润最大化。

微积分在边际分析中的重要性也不可忽视。

边际分析是经济学中非常重要的概念，通过微积分的方法可以更好地理解和运用边际变化的概念，帮助企业决策者更好地调整生产和销售策略。

在效用函数和成本函数分析中，微积分也具有重要作用。

通过微积分的工具，经济学家可以更深入地分析效用函数和成本函数的变化规律，为经济主体提供决策依据。

微积分的基本思想及其在经济学中的应用摘要：微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。

关键词：微分积分基本思想应用The basic thinking of calculus and its application in economic Abstract:Calculus is the greatest triumph of human wisdom, the basic thinking of its part, the limit for the accuracy of the is to further study of high mathematics. With continuing development of market economy, economic problems of mathematical knowledge becoming more and more important, the use of differential calculus and integral to the economic activities of the real problems on quantizing analysis for decision to provide the basis of scientific managers, this differential calculus and integral, the emphasis in economics application.Keywords: differential ,integral, basic ideas, application微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。

微积分在经济学中的应用分析【摘要】微积分在经济学中扮演着重要的角色，为经济学家提供了强大的工具和方法来分析经济现象。

本文首先介绍了微积分的基本概念，然后探讨了微积分在经济学中的应用，包括边际分析和微积分在市场需求与供给分析中的作用。

接着分析了微积分在成本与收益分析中的应用，展示了微积分的重要性和对经济学的影响。

总结了微积分在经济学中的重要性，展望了微积分在经济学领域的未来应用前景。

通过本文的探讨，读者可以更深入地了解微积分在经济学中的应用价值，并对其未来发展持乐观态度。

【关键词】微积分、经济学、应用分析、基本概念、边际分析、市场需求、市场供给、成本分析、收益分析、重要性、应用前景、总结1. 引言1.1 微积分在经济学中的应用分析微积分在经济学中的应用分析是现代经济学研究中不可或缺的工具。

微积分作为数学的一个分支，主要研究变化率与积分的关系，可以帮助经济学家分析经济变量之间的关系以及预测未来的走势。

正是由于微积分技术的运用，经济学家们能够更准确地理解市场需求与供给之间的关系，从而制定出更为有效的经济政策。

微积分还可以帮助经济学家进行成本与收益分析，帮助企业做出更为明智的经营决策。

边际分析就是微积分在经济学中的一个重要应用，通过对边际变化率的研究，经济学家能够确定最优的生产或消费水平。

微积分在经济学中的应用是丰富多彩的，对于经济学理论的发展和实践都具有重要的意义。

在未来，随着经济学研究的深入和现代技术的发展，微积分在经济学中的应用前景将会更加广阔。

微积分在经济学中的应用分析不仅扩展了微积分在数学领域的应用范围，同时也为经济学的发展带来了新的思路和方法。

2. 正文2.1 微积分的基本概念微积分是数学中的一个重要分支，主要研究变化的速率与累积量之间的关系。

在微积分中，最基本的概念包括导数和积分。

导数是函数在某一点的瞬时变化率，可以表示为函数的斜率。

导数在经济学中的应用非常广泛，比如在成本函数中，导数可以表示成本随产量增加而变化的速率。

丝 路 视 野微积分学产生以来对人们的生活产生了很大的影响，随着微积分学的发展，影响了许多领域。

微积分学与计算机、商业管理、通信、建筑工程、医药和物理等学科密切相关，这些学科需要微积分知识。

因此，了解微积分在实际生活中应用的重要性，探索微积分在实际生活中的应用方式，有助于我们更好、更快地解决实际问题。

一、微积分在经济中的应用价值想要对整体问题进行研究，就必须要在一定程度上明确微积分在经济中的具体应用价值。

在经济学中，数学知识既是基础也是核心，经济与数学息息相关，经济与数学不可分割，这也加强了微积分与经济的联系，因为微积分是数学中的重要体系，能够对经济中的价格、供给、需求等具体量化概念进行体现。

经济是一种事物的规律，而这种规律则需要通过使用数量进行说明，使人们能够在市场的具体处境当中对自身的价值进行判断。

在不同的情况下，利用微积分知识可以带来最大的利益。

很多数学知识都能够运用于经济中，对不同的经济发展效果进行分析。

数学中的一些相关理论也可以在最优的经济中找到原型。

经济的发展过程中往往会涉及一些较为复杂的因素，用一般的数学知识无法对其进行研究，就必须要应用多变微积分的知识来进行分析。

全微分公式是经济学中的基础部分，将其应用于经济学能够让一些事物及现象变得更加清晰，不需要通过冗余的文字对其进行说明，由此看出微积分在经济中的应用价值。

为促进研究成果的准确表达，并明确得出的结论与前提条件是否存在矛盾关系或一致性，需要通过微积分进行检验，只有这样才能保证研究成果的准确。

二、微积分在经济中的应用（一）微积分理论应用在金融领域的发展过程中，一些问题设计有比较多的数量，这个过程中得到的结果不能满足其正确性的要求，这就需要进行科学的转换，探求近似值，用微分方程对此进行求解，可以得到更合理的结果。

具体应用微分方程时，由于使用难度相对较高，包含多个内容，相关人员需要慎重，以免遗漏任何信息。

（二）极限知识在经济中的应用微积分中最基础的是极限知识。

微积分的应用论文（微积分在物理化学数学经济方面的应用）原创微积分的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。

特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。

有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。

航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。

微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。

微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。

从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。

从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。

“变”这个字是微积分最大的奥义。

因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。

微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。

微积分在经济学的应用毕业论文目录标题 (1)中文摘要 (1)1 引言 (1)2 微积分在经济学的应用 (1)2.1 边际分析 (1)2.2 弹性分析 (3)2.2.1 弹性的概念 (3)2.2.2 需求弹性 (3)2.2.3 需求弹性与总收入的关系 (4)2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用 (5)2.3.1 边际经济量 (5)2.3.2 偏弹性 (6)2.3.3 偏导数求极值 (8)2.4 积分在经济分析中的应用 (9)2.4.1 边际函数求原函数 (9)2.4.2 消费者剩余与生产者剩余 (9)2.4.3 收益流的现值与未来值 (10)2.5 实际问题探索 (12)2.5.1 经济批量问题 (12)2.5.2 净资产分析 (13)2.5.3 核废料的处理 (14)3结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)外文页 (19)微积分在经济学的应用武亚南摘要本文从边际分析、弹性分析、多元函数偏导数在经济分析的应用、积分在经济分析中的应用、实际问题探索五方面来讨论微积分在经济学的应用.其中实际问题探索是利用微积分去解决实际问题，为本文讨论的重点.关键词微积分边际分析弹性分析实际问题1 引言微积分的产生是数学史上伟大的成就，它不仅仅是从社会生产和理论科技中产生的，反过来，它应用到我们生活中的社会和科学技术中去.如今，微积分已是广大科学工作者和科技人员必不可少的工具.微积分是微分学和积分学的总称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.并且它的产生与科学地继承和发展数学上的长期积累的研究成果是分不开的.以我国古代来说，三国时期魏人刘徽（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”用正多边形逼近圆周.这是极限论思想的成功运用.微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题.积分概念是求某些面积、体积和弧长而引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积.阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽.通过前人的研究成果，十七世纪末英国物理学家兼数学家牛顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646-1716）创立了微积分学.它的产生并不是偶然的.那时候，建筑工程的盛兴、河道堤坝的修建、造船事业的发展等提出了很多计算不同形状物体的面积、体积、重心、器壁上液体压力等静力学的与流体力学的问题.所以微积分的产生是由于社会经济的发展、生产技术的进步所促使产生的.2 微积分在经济学的应用2.1 边际分析在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变化率就是函数的增量与自变量的增量之比，瞬时变化率就是函数对自变量的导数，在经济学中也将瞬时变化率即导函数称为边际函数.一般，称()()xx f x x f x y ∆-+=∆∆00为函数()x f y =在)(x x x ∆+00,内的平均变化率，它表示函数()x f y =在)(x x x ∆+00,内的平均变化速度. 函数()x f y =在0x x =处的导数()()()x x f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000'limlim称为函数()x f y =在点0x 的变化率，也称为()x f 在点0x x =处的边际函数值，它表示()x f 在点0x x =处的变化速度.在经济学中边际函数定义如下定义1 设函数()x f y =在x 处可导，则称导数()x f '为()x f 的边际函数.()x f '在0x 处函数值()0'x f 为边际函数值.简称为边际.根据边际函数的定义，可知边际成本、边际收入、边际收益、边际需求，是成本函数、收入函数、需求函数的导函数.例1 罐头厂生产的草莓罐头每瓶售价5.4元，如果每周销售量（单位：千瓶）为Q 时，每周总成本为()210040002400Q Q Q C ++=(元).设价格不变，求（1）可以获得利润的销售量范围；（2）每周销售量为多少瓶时，可以获得最大利润？解 总收益()Q Q R 5400= 总利润()()()Q C Q R Q L -=240014001002-+-=Q Q ()24141002+--=Q ()()122100---=Q Q当122<<Q 时，()0>Q L ，即当销售量在2000瓶至12000瓶之间可以获得利润.令()01400200'=+-=Q Q L ，得7=Q0200)("<-=Q L故7=Q 时，()Q L 取得极大值，因极值唯一，即为最大值，所以当销售量为7000瓶时，可获得最大利润.上述结果表明销售量为每周7000瓶时此时获得最大利润，当销售量为每周70002000<<Q 瓶时，再增加一瓶，利润将增加，当销售量为每周120007000<<Q 瓶时，再增加一瓶，利润将减少.由此亦说明，并非生产的产品数量越多，利润越高，通过对边际利润的分析，可以减少工厂投资的盲目性，减少投资损失. 2.2 弹性分析我们在边际分析中，讨论的函数变化率属于绝对数范围的讨论.在经济问题中，仅仅用绝对数的概念是不足以深入分析问题的.例如：某超市甲商品的单价是5元，降价1元；乙商品单价200元，也降价1元，结果，甲商品的需求量变化较大，这是为什么呢？原因是甲降价幅度即相对增量()%20比乙降价的幅度()%5.0大.为此我们有必要研究一下函数的相对改变率. 2.2.1 弹性的概念定义2 设函数()x f y =在点0x 处可导，函数的相对改变量()()()0000x f x f x x f y y -∆+=∆与自变量的相对改变量0x x∆之比00x x y y∆∆，称为函数()x f 从0x x =到x x x ∆+=0两点间的平均相对变化率，或称两点间的弹性.当0→∆x 时，00x x yy ∆∆的极限称为()x f 在0x x =处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性.记作()0ExE或,0x f Ex Ey x x =即()()000'0x f x x f Ex Eyx x ==由定义可知函数()x f 在点x 处的弹性反映了x 的变化幅度x x∆对于()x f 变化幅度yy ∆的大小影响，根据弹性函数公式推导可知，两点之间的弹性有正负之分. 2.2.2 需求弹性在定义2中已介绍过弹性函数，由此可知需求弹性反映了当商品价格变动时需求变动的强度，由于需求函数()P f Q =为递减函数，所以()0'≤P f ，从而()()000'P f P P f 为负数.经济学家一般用正数表示需求弹性，因此采用需求函数相对变化率的相反数来定义需求弹性.定义3 设某商品的需求函数为()P f Q =，则称()000,Q P P Q P P P ∆∆-=∆+η为该商品从0P P =到P P P ∆+=0两点间的需求弹性.若()P f '存在，则称()()()000'0P f P P f P -=η为该商品在0P P =处的需求弹性.在经济学上，当1=η时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等.当1>η时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化.当1<η时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化.利用同样的方法，也可以求出供给弹性、收益弹性，但是，这样我们只是求出了弹性函数，并且分析出当自变量变动时，因变量变化的强度，而在市场经济中，企业经营者关心的是商品涨价或降价对企业的总收入的影响程度. 2.2.3 需求弹性与总收入的关系在经济学上总收入 ()P f P Q P R ⋅=⋅= 边际总收入 ()()P f P P f R ''⋅+=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=P f P f PP f '1 ()()η-=1P f（1）若1<η时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时边际总收入大于零，即总收入函数为递增函数，也就是当价格上涨，总收入增加，价格下跌时，总收入减少；（2）若1=η时，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时边际总收入等于零，即总收入在此时取得最大值；（3）若1>η时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时边际总收入小于零，即总收入函数为递减函数，也就是当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.通过分析上述需求弹性与总收入的关系，可推导出涨价未必增收，降价未必减收，从而能够在市场经济中为企业或经营者提供有利的条件，为他们的决策提供了有利的分析方法和新思路.例2 设某商品的价格与需求量的函数关系为Q P 2515-=，当商品价格处于哪种价格时，厂商可以用适当降价或涨价的办法提高总收入.解 由Q P 2515-=，解出()2515PP f Q -== 设需求弹性为η，边际需求()251''-==P f Q由需求弹性定义可知()()PP PPP f P P f -=-=-=152515251'η再由需求弹性与总收入的关系可知 （1）当115<-PP 时，此时215<P ，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即当价格上涨时，总收入增加，价格下跌，总收入减少. （2）当115=-PP 时，此时215=P ，此时没有影响.（3）当115>-PP 时，此时215>P ，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.由上述分析可知，若企业对该商品进行价格调整时，参照以上分析法，当2150<<P 时，通过提升价格来提高总收入，当时215>P ，通过降低价格来提高总收入.那么该企业则会获得较高的利润，不会因为盲目的降低价格而使企业的总收入降低. 2.3 多元函数偏导数在经济分析中的应用在上述的分析中，我们只是对一元函数进行了探讨，但是在市场经济中，并不是由一种元决定 商品的销售策略，有时由多种元素来决定，这就要我们对其多元函数来进行分析. 2.3.1 边际经济量设某企业生产某种产品的产量Q 取决于投资的资本K 和劳动力L ，一般满足生产函数10,10,,c ,<<<<=βαβαβα是正常数，且其中L cK Q由偏导数的定义可知，K QL K c K Q ααβα==∂∂-1表示在劳动力投入保持不变的情况下，资本投入变化时，产量的变化率称为资本的边际产量.LQL K c L Q βββα==∂∂-1 表示在资本投入保持不变的情况下，劳动力投入变化时，产量的变化率称为劳动力的边际产量. 2.3.2 偏弹性由一元函数的弹性概念可知，()()000'x f x x f 为在点0x 的弹性，由此可以推知在多元函数中的弹性.设二元函数()y x f z ,=，则函数对x 的偏弹性()()y x f x xy x f x x z Ex Ez ,z,∂∂=∂∂=，表示若y 保持不变，x 的相对变化率.()y x f z ,=对y 的偏弹性()()y x f y yy x f y y z Ey Ez ,z,∂∂=∂∂=，表示若x 保持不变，y 的相对变化率.设有A 和B 两种商品，并且它们的价格分别为A P 和B P ，它们各自的需求量为A Q 和B Q ，因此，它们的需求函数可表示为()B A A P P f Q ,= ()B A B P P g Q ,=⑴ 需求的自身价格弹性，即A A A A A A Q P P Q EP EQ ∂∂= BBB B B B Q P P Q EP EQ ∂∂= ⑵ 需求的交叉价格弹性，即A B B A B A Q P P Q EP EQ ∂∂= BAA B A B Q P P Q EP EQ ∂∂= ⑶ 两种商品的相互关系当0>B A EP EQ 或0>ABEP EQ 时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其一个需求量增加，另一个需求量减少，此时这两种商品就是替代商品，当0<B A EP EQ 或0<ABEP EQ 时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其需求量A Q 和B Q 增加，则这两种商品为互补商品，当0=B A EP EQ 或0=ABEP EQ 时，则称这两种商品相互独立. 例3 某一种数码相机的的销售量A Q ，除了与它自身的价格A P 相关外，还与彩色喷墨打印机的价格B P 有关，具体相关函数为210250120B B AA P P P Q --+= 求5,50==B A P P 时（1）A Q 对A P 的弹性； （2）A Q 对B P 的交叉弹性. 解 （1）A Q 对A P 的弹性为A AA A A A Q P P Q EP EQ ∂∂=2210250120250B B AAA P P P P P --+-=()210250120250BB A A P P P P +-+-= 当5,50==B A P P 时，()10125505025050120250-=+-+⋅-=A A EP EQ （2）A Q 对B P 的交叉弹性为A B B A B A Q P P Q EP EQ ∂∂=()210250120210BB ABB P P P P P --++-=当5,50==B A P P 时，225505120520-=--+-=B A EP EQ 由上述例子反映了商品之间的相关性，当交叉弹性大于零时，这时这两种商品是替代商品，也就是这两种商品之间存在着竞争关系；当交叉弹性小于零时，这时这两种商品是互补商品，也就是说两种商品之间存在着互补的关系，不存在着竞争，这两种商品必须同时使用才能满足消费者的某种需求，这样的结果也为企业的经营者提供了有利的决策条件. 2.3.3 偏导数求极值假设某公司生产的产品有许多种，那么如何进行生产，才能使公司获得最大利润以及成本最低，这就需要用到偏导数求极值与最值.例4 某能源公司同时销售煤气和电力，设每月销售煤气为()34m 10单位：x ，电力()kW y 单位：的总成本函数为()2501213474321,22+++-+=y x xy y x y x C 其中y x ,满足364=+x y ，试求煤气和电力的销售量各为多少时，总成本最低？解 构造拉格朗日函数()()()364,,,-++=x y y x C y x F λλ()364250121347432122-+++++-+=x y y x xy y x λ 解方程组041347=++-=∂∂λy x xF① 012723=++-=∂∂λx y y F ②由①②可知0364=-+=∂∂x y Fλ③再由③④可知 0861329=+-y x ④12.17,72.4≈≈y x依题意()y x C ,的最小值存在，所以当煤气和电力的销售量分别为()34m 1072.4，kW 12.17时，可使总成本最低，且最低成本为().2.75312.17,72.4=C 2.4 积分在经济分析中的应用积分是微积分学的重要组成部分，同时在经济学中有着重要的作用，而且内容非常丰富，我们可以通过积分来解决有关的经济问题. 2.4.1 边际函数求原函数积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出原函数. 设某个经济应用函数()x μ 的边际函数为()x 'μ，则有()()()00'μμμ-=⎰x dx x x则()()()⎰+=xdx x x 0'0μμμ2.4.2 消费者剩余与生产者剩余在经济管理中，一般来说，商品的价格越低，需求量越大；反之，商品的价格越高，需求量就越低，因此需求函数()P f Q =是有关价格P 的单调递减函数.同时商品的价格越低，生产者就不愿意生产，导致供给量也就减少；反之，商品的价格越高，生产者就愿意生产，导致供给量增加，因此供给函数()P g Q =是有关价格P 的单调递增函数.由于()P f Q =和()P g Q =两者都是单调函数，故两者都存在反函数，需求函数()P f Q =的反函数()Q fP 1-=也是需求函数，供给函数()P g Q =的反函数()Q g P 1-=也是供给函数.需求函数()Q fP 1-=和供给函数()Q g P 1-=的交点()**,P Q A 称为平衡点，在此点表示生产者愿意卖、消费者愿意买的价格.若消费者因以平衡价格购买了某种商品而没有以比他们本来打算的价钱较高的价格购买这种商品而节省下来的钱的总数称之为消费者剩余.若生产者因以平衡价格出售了某种商品而没有他们本来打算比较低一些的售价售出这些商品而获得的额外收入称之为生产者剩余.假设所有消费者都是以他们打算支付的最终价格购买某种商品，其中包括所有打算以比*P 高的价格支 付商品的消费者确实支付了他们所情愿支付的，那么，现考虑区间[]*,0Q ，如上图，选取[]Q Q Q ∆+,，消费者的消费量()Q Q f∆≈-1.消费者消费总量()⎰==-*10Q dQ Q f 到*Q 之间需求曲线下的面积.现在，如果所有商品都以平衡价格出售，那么消费者实际上的消费额为**Q P ，为两条坐标轴及直线**,P P Q Q ==围成的矩形的面积.于是消费者的剩余可以从下面的公式计算出来.消费者剩余()⎰=-=-***1Q Q P dQ Q f 需求曲线以下直线*P P =以上的面积.同理**Q P 是生产者实际售出商品的收入总额，()⎰-*1Q dQ Q g 是生产者愿意售出商品的收入总额，因此，生产者剩余如下：生产者剩余=()⎰=--*1**Q dQ Q g Q P 供给函数与直线*P P =之间区域的面积.例5 已知某蔬菜市场的需求函数为Q P -=10，供给函数为Q P 5.07+=，求消费者剩余与生产者剩余.解 先求出市场的均衡价格*P 和均衡产量*Q ：由8,2,5.0710**==+=-=P Q Q Q P 得由消费者剩余和生产者剩余公式可知消费者剩余()282102=⨯--=⎰dQ Q生产者剩余()15.07822=+-⨯=⎰dQ Q2.4.3 收益流的现值与未来值复利计息方式的基本思想：利息收入自动计入下一期的本金，就像常说的“利滚利”. 定义4 设初始本金为0A （元），银行年利率为r ，第一年末的利息为r A 0，本利和为()r A r A A A +=+=10001第二年末的利息为()r r A +10，本利和为()()()20002111r A r r A r A A +=+++=以此类推，可知，第n 年末的本利和为()nn r A A +=10这就是以年为期的复利计算公式.定义 5 由于资金周转过程是不断连续进行的，若一年中分n 期计算，年利率仍为r ，则一年后的本利和为nn r A A ⎪⎭⎫⎝⎛+=101则由此可知t 年后的本利和为ntt n r A A ⎪⎭⎫⎝⎛+=10如果计息期数∞→n 时，即每时每刻计算复利（称为连续复利），则t 年后的本利和为rtrtr nn nt n t A r n A n r A A e 11lim 1lim 000=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→ 这就是连续复利公式.由连续复利的公式可知，若以连续复利率r 计息，一笔0A 元人民币从现在起存入银行，则t 年后的价值（将来值）rt A B e 0=若有一笔收益流的收益流量为()t P （元/年），考虑从现在开始（0=t ）到T 年后这一段时间段.利用元素法，在区间[]T ,0内，任取一小区间[]dt t t +,，在[]dt t t +,内将()t P 近似看做常数，则所应获得的金额近似等于()dt t P （元）.从现在（0=t ）算起，()dt t P 这一金额是在t 年后的将来而获得，因此在[]dt t t +,，收益流的现值()[]()dt t P dt t P rt rt --=≈e e从而总现值()⎰-=Trtdt t P 0e在计算将来值时，收入()dt t P 在以后的()t T -年期间获息，故在[]dt t t +,内，收益流的将来值()[]()()()dt t P dt t P t T r t T r ----=≈e e将来值()()⎰--=Tt T r dtt P 0e例6 一位城镇居民想要购买一栋别墅，现在价值为300万元，假若以分期付款的方式，必须每年付款21万元，并且还必须在20年内付清，并且银行的存款年利率为4%，若按照连续复利的方式计息，请你帮这位购房者提供一个决策：是采用一次付款合算还是分期付款合算？解 将20年分期付款总量的现值与别墅现价相比较，即可作出选择. 由于每年分期付款为21万元，所以收益流的变化率()21=t P ，于是分期付款的现值为2002004.004.0e 04.021e 21│⎰---=t t dt ()3001.289e -15258.0<==-所以分期付款合算. 2.5 实际问题探索在市场经济分析中，我们经常会解决一些 “产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等问题.除了这些以外，我们经常把现实生活中的问题抽象简化为一个简单的数学问题来进行解决.2.5.1 经济批量问题例7 某商场每年销售某商品A 件，分为y 批采购进货.已知每批采购费用为B 元，而未售商品的库存费用为C 元／年·件.设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？（A ，B ，C 为常数且A ，B ，C 0>）.解 显然，采购进货的费用为()By y W =1因为销售商品是均匀的，所以平均库存的商品数应为每批进货的商品数yA的一半y A 2，因而商品的库存费用()yACy W 22=总费用()()()yACBy y W y W y W 221+=+= ()0>y 令()022'=-=y ACB y W 得BACy 2=.又 ()03''>=yACy W所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B AC W 2为()y W 的一个最小值.从而当批数y 取一个接近于B AC2的自然数时，才能使采购与库存费用之和最省. 2.5.2 净资产分析对于一个公司来说，它的资产的运营，大致简单的可以分为两个方面.一方面，它的资产可以像银行的存款一样获得利息；另一方面，它的资产用于发放职工工资.显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营状况将越来越糟，而当利息的盈取超过付给职工的工资总额时，公司将维持良好的经营状况.若假设利息是连续盈取，并且工资也是连续支付的.例8 假设某一公司的净资产在营运过程中，像银行的存款一样.以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加，同时，公司必须每年连续的支付200百万元人民币为职工的工资.()1列出描述公司净资产W 的微分方程()2假设公司的初始净资产为0W ，求公司的净资产. ()3描述当0W 分别为3000,4000,5000时公司的情况.解 若存在一个初值0W ，使公司的净资产不变，则利息盈取的速率=工资支付的速率即4000,20005.000==W W因此，如果净资产为4000，那么此时的净资产不变，此时达到一个平衡，则4000是一个平衡解.但是若40000>W ，则利息盈取超过工资支付，净资产增加，此时利息也会增长的快，从而净资产也会增长的快；若40000<W ，则利息盈取低于工资支付，公司的净资产将减少，利息的盈取也会减少，从而净资产减少的速率越来越快，这样一来，在不久的将来公司将面临破产的危险.净资产的增长速率=利息盈取的速率-工资支付的速率建立微分方程有20005.0-=W dtdW① 即()400005.0-=W dt dW② dt W dW05.04000=- ③两边同时积分，得出⎰⎰=-dt dW W 05.040001④t Ce W 05.04000+= ⑤依照题意知，令0=dtdW，得出平衡解40000=W .由当0=t 时，40000=W ，代入⑤ 中可得40000-=W C则()t e W W 05.0040004000-+=若40000=W ，则4000=W 为平衡解，并且此时净资产不变.若50000=W ，则t e W 05.010004000+=，此时净资产是增加的. 若30000=W ，t e W 05.010004000-=，此时净资产是减少的，并且当0=W 时，7.27≈t ，这说明，该公司在28年后将破产. 2.5.3 核废料的处理若干年以前，美国原子能委员会决定将放射性核废料在密封的圆桶里面扔到水深m 14.91的的海底（圆桶的质量kg m 240=,体积3208.0m V =，海水的密度为3/1026m kg =ρ）.当时的一些科学家是持反对意见的.科学家们用实验得出结论：圆桶下沉所受的阻力与圆桶的方位无关，而与圆桶的速度成正比，并且比例系数为s kg k /17.1=；圆桶到达海底时的速度如果超过s m /2.12，那么圆桶就会因碰撞而破裂，进而引起核污染.但是美国原子能委员会却不认为存在上述可能性，那么圆桶到达海底时的速度为多少呢？这是一个我们值得探究的问题.如果设海平面为x 轴，y 轴的正向沿铅直向下.设在时间t 圆桶的位置为()t y y =，速度为()t v v =，进而得知()()00,00==v y .圆桶在下沉过程中所受的重力为()()N N mg G 23528.9240=⨯== 圆桶所受海水的浮力为()(),20918.9208.01026N N Vg F =⨯⨯==ρ海水的阻力为v kv f 17.1==圆桶在下沉过程中所受的合力为v v f F F 17.126117.120912352G -=--=--=合由于加速度为dt dva =，根据牛顿第二定律可知ma F =合，kv F G dtdv m--=，即 mkv F G dt dv --= 又由于dydv v dt dy dy dv dt dv == 故mkvF G dy dv v--= 分离变量得出mdykv F G vdv =--两边同时积分可得()C m ykv B G kF G k v +=-----ln 2由()()00,00==v y ，可得()F G kFG C ---=ln 2此时可得方程为⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛------=26117.1261ln 17.126117.1240ln 22v v y F G kv F G k F G k v m y若假设此时速度为临界速度s m v /2.12=，则此时的圆桶的位置由方程可得m y 71≈说明此时还没有到达海底.但是问题是海水的阻力会不会使其减速呢？由于加速度mkvF G dt dv a --==如果海水的阻力使其减速，那么它的加速度就会小于零，假设0<a ，那么此时0<--kv F G ，即017.1261<-v ，此时s m v /223>，也就说只能在s m v /223>时才能减速，那么当s m v /2.12≥时2/03.12402.1217.1261s m m kv F G <⨯-<--也就说圆桶的速度大约每秒提升约s m /1，到海底还有约m 20需要近s 2，因此必定会在s m /14左右碰壁而破裂.3结束语本文前面部分先给出了有关微积分的发展历史，然后介绍了微分在经济学的应用的边际分析以及弹性分析，再讨论了多元微分学在经济中的应用，之后又给出了积分在经济学上的应用，紧接着又利用研究的结果应用到现实中的生活实际问题进行了探索与研究.使微积分在现实生活中更有意义，不再是一门枯燥的学科，所得的结论也具有十分重要的理论意义和很高的应用价值，并且为某些企业经营者提供了很好的有利决策.参考文献[1] 苏德矿，金蒙伟.微积分[M].北京：高等教育出版社，2004.7.[2] 张琳，马祥玉主编.经济应用数学[M].上海：上海交通大学出版社，2015.[3] 黎诣远主编.经济数学基础[M].北京：高等教育出版社，1998.7.[4] 林益，刘国钧，徐建豪等.微积分[M].武汉：武汉理工大学出版社，2006.[5] 吴传生主编.经济数学—微积分[M].北京：高等教育出版社，2003.6.[6] 贾晓峰.微积分与数学模型（上）[M].北京：高等教育出版社，1999.8.[7] 张银生，安建业.实用微积分[M].北京：中国人民大学出版社.[8] 张又林主编.微积分典型题解析及自测试题[M].西安：西北工业大学出版社，2000.8.[9] 上海交通大学数学系微积分课程组编.大学数学·微积分[M].北京：高等教育出版社，2010.致谢我的毕业论文（设计）撰写工作自始至终都是在张庆老师全面、具体的指导下进行的.张庆老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘.老师严谨的治学态度和对工作兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作.感谢我的指导教师张庆对我的关心、指导和教诲！感谢分析组老师们的关心和帮助！感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助！The Application of Calculus in Economics Wu Yanan Directed by Prof.Zhang QingAbstract This paper from the marginal analysis , elastic analysis, the application of multivariate function partial derivative and integral in economic analysis, actual problem exploration five aspects to discuss the application of calculus in economics . The actual problem exploration is to solve practical problems by making full use of calculus, which is the key point of this paper.Key words calculus marginal analysis elastic analysis the actual problem。