赤峰数学几何模型压轴题(篇)(Word版 含解析)

内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（•赤峰）有理数﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣考点：相反数．专题：计算题；压轴题．分析：根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解答：解：﹣3的相反数是3．故选A．点评：本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（3分）（•赤峰）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．解答：解：A、主视图是长方形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项错误；C、主视图是三角形，故此选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．3．（3分）（•赤峰）赤峰市开放以来经济建设取得巨大成就，全市GDP总值为1686.15亿元，将1686.15亿元用科学记数法表示应为（）A．168615×102元B．16.8615×104元C．1.68615×108元D．1.68615×1011元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：1686.15亿=1686 1500 0000=1.68615×1011，故选：D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（•赤峰）下面是扬帆中学九年八班43名同学家庭人口的统计表：家庭人口数（人） 3 4 5 6 2学生人数（人）15 10 8 7 3这43个家庭人口的众数和中位数分别是（）A．5，6 B．3，4 C．3，5 D．4，6考点：众数；中位数分析：利用众数及中位数的定义解答即可．解答：解：数据3出现了15次，故众数为3；43人的中位数应该是排序后的第22个学生的家庭人数，、故中位数为家庭人数为4人，故选B．点评：本题考查了众数及中位数的知识，解题的关键是了解其定义，难度较小．5．（3分）（•赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE=（）A．50°B．40°C．20°D．10°考点：平行线的性质；三角形的外角性质专题：计算题．分析：由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE 的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．解答：解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE=∠1=40°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°，∴∠AFE=∠AGE﹣∠A=10°．故选D．点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．6．（3分）（•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50°C．130°D．155°考点：圆周角定理；垂径定理分析：由CD⊥AB．若∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC 的度数，继而求得答案．解答：解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，∴∠AOC=2∠ADC=50°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°．故C．点评：此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（3分）（•赤峰）化简结果正确的是（）A．a b B．﹣ab C．a2﹣b2D．b2﹣a2考点：约分．分析：首先将分式的分子因式分解，进而约分求出即可．解答：解：==﹣ab．故选：B．点评：此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．8．（3分）（•赤峰）如图，一根长5米的竹杆AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹杆顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：利用勾股定理列式求出AC，再根据勾股定理列式表示出y与x的函数关系式，然后判断出函数图象即可得解．解答：解：由勾股定理得，AC===4m，竹杆顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米后，AC=4﹣x，BC=3+y，所以，y+3==，所以，y=﹣3，当x=0时，y=0，当A下滑到点C时，x=4，y=2，由函数解析式可知y与x的变化不是直线变化．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了勾股定理，列出y与x的函数关系式是解题的关键，难点在于正确区分A、B选项．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（•赤峰）化简：2x﹣x=x．考点：合并同类项．分析：利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，直接得出答案．解答：解：2x﹣x=x．故答案为：x．点评：此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．10．（3分）（•赤峰）一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是．考点：几何概率分析：根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．解答：解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，∴一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．故答案为：．点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．11．（3分）（•赤峰）下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有1个．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，可分析出答案．解答：解：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．故答案为：1．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．（3分）（•赤峰）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB=55°，求∠DAF=20°．考点：翻折变换（折叠问题）分析：：由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE=∠FAE，由∠AEB=55°，∠ABE=90°，求出∠BAE，利用∠DAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE求解．解答：解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，∴∠BAE=90°﹣55°=35°，∴∠DAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE=90°﹣35°﹣35°=20°．故答案为：20点评：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用折叠图形的角相等求解．13．（3分）（•赤峰）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于．（结果保留π）考点：反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算分析：根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形OAB的面积，又知A（1，），即可求出圆的半径．解答：解：如图，∵A（1，），∴∠AOD=60°，OA=2．又∵点A、B关于直线y=x对称，∴∠AOB=2（60°﹣45°）=30°．又∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，∴S阴影=S扇形AOB==．故答案是：．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．14．（3分）（•赤峰）如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），写出“兵”所在位置的坐标（﹣2，3）．考点：坐标确定位置分析：以“马”的位置向左2个单位，向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出兵的坐标即可．解答：解：建立平面直角坐标系如图，兵的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．点评：本题考查了坐标确定位置，确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键．15．（3分）（•赤峰）直线l过点M（﹣2，0），该直线的解析式可以写为y=x+2．（只写出一个即可）考点：一次函数的性质．专题：开放型．分析：设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，然后把点M的坐标代入求得b的值．解答：解：设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，把点M（﹣2，0）代入，得0=﹣2+b=0，解得b=2，则该直线方程为：y=x+2．故答案是：y=x+2（答案不唯一，符合条件即可）．点评：本题考查了一次函数的性质．一次函数图象上所有点的坐标都满足直线方程．16．（3分）（2014•赤峰）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是800个．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=20即可求得答案．解答：解：第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；…第n个图形有2n2个小菱形；第20个图形有2×202=800个小菱形；故答案为：800．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．三、解答题（共10小题，满分102分）17．（6分）（•赤峰）计算：（π﹣）0+﹣8sin45°﹣（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题：计算题．分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=1+4﹣8×﹣4=﹣3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（•赤峰）求不等式组的正整数解．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．解答：解：由①得4x+4+3＞x解得x＞﹣，由②得3x﹣12≤2x﹣10，解得x≤2，∴不等式组的解集为﹣＜x≤2．∴正整数解是1、2．点评：此题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．19．（10分）（•赤峰）如图，已知△ABC中AB=AC．（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图专题：作图题；证明题．分析：（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．解答：（1）解：如图所示；（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，∴AE=AC，∵AF是∠EAC的平分线，∴∠EAF=∠CAF，在△AEF和△ACF中，，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠E=∠ACF．点评：本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．20．（10分）（•赤峰）自从公布“八项规定”以来，光明中学积极开展“厉行节约，反对浪费”活动，为此，学校学生会对九年八班某日午饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种：A．饭和菜全部吃光；B．有剩饭但菜吃光；C．饭吃光但菜有剩；D．饭和菜都有剩．学生会根据统计结果，绘制了如图两个统计图，根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）九年八班共有多少名学生？（2）计算图2中B所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）光明中学有学生2000名，请估计这顿午饭有剩饭的学生人数，按每人平均剩10克米饭计算，这顿午饭将浪费多少千克米饭？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用A的人数除以相对应的百分比就是总学生数；（2）B的人数=总人数﹣A的人数﹣C的人数﹣D的人数，B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，再根据B的人数为10，补全条形统计图；（3）先求出这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600（人），再用人数乘每人平均剩10克米饭，把结果化为千克．解答：解：（1）九年八班共有学生数为：30÷60%=50（人）；（2）B有剩饭但菜吃光的人数为：50﹣30﹣5﹣5=10（人），B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，补全条形统计图如图1：（3）这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600（人），600×10=6000（克）=6（千克）．点评：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及样本估计总数，解题的关键是能把条形统计图和扇形统计图结合起来解决问题．21．（10分）（•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A飞仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在直角△CBE中利用三角函数首先求得EC的长，则OF即可求解，然后在直角△AOF 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵在直角△CBE中，∠CEB=30°，BC=11，∴EC=22，则EB==11≈19，∵在直角△AOF中，∠AFO=52°，OF=18+19+26=63，∴OA=OF•tan∠AFO≈63×1.28=81（米）．答：大明塔高约81米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（10分）（•赤峰）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元．（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）若购买以上两种牲畜50头，共需资金9.4万元，求甲、乙两种牲畜各购买多少头？（3）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若使这50头牲畜的成活率不低于97%且购买的总费用最低，应如何购买？考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用分析：（1）设甲种牲畜的单价是x元，列方程3x+2x+200=5700，求出甲种牲畜的单价，再求出乙种牲畜的单价即可．（2）设购买甲种牲畜y头，列方程1100y+（50﹣y）=94000求出甲种牲畜购买20头，乙种牲畜购买30头，（3）设费用为m，购买甲种牲畜n头，则m=1100n+240（50﹣n）=﹣1300n+120000依题意得：n+（50﹣n）≥×50，据m随n的增大而减小，求得n=25时，费用最低．解答：解：（1）设甲种牲畜的单价是x元，依题意得，3x+2x+200=5700解得：x=1100乙种牲畜的单价是：2x+200=2400元，即甲种牲畜的单价是1100元，乙种牲畜的单价是2400元．（2）设购买甲种牲畜y头，依题意得，1100y+（50﹣y）=94000解得y=20，50﹣20=30，即甲种牲畜购买20头，乙种牲畜购买30头．（3）设费用为m，购买甲种牲畜n头，则m=1100n+240（50﹣n）=﹣1300n+120000依题意得：n+（50﹣n）≥×50，解得：n≤25，k=﹣1300＜0，m随n的增大而减小，∵当n=25时，费用最低，所以各购买25头时满足条件．点评：本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．23．（12分）（•赤峰）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（﹣4，6），双曲线y=（x＜0）的图象经过BC的中点D，且于AB交于点E．（1）求反比例函数解析式和E点坐标；（2）若F是OC上一点，且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO相似，求F点的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由ABCD为矩形，D为BC中点，根据B坐标确定出D坐标，代入反比例解析式求出中k的值，确定出反比例解析式，将x=﹣4代入反比例解析式求出y的值，确定出E坐标即可；（2）如图所示，设F（0，y），根据以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO 相似，列出比例式，求出y的值，即可确定出F坐标．解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，D为BC中点，B（﹣4，6），∴D（﹣2，6），设反比例函数解析式为y=，将D（﹣2，6）代入得：k=﹣12，∴反比例解析式为y=﹣，将x=﹣4代入反比例解析式得：y=3，则E（﹣4，3）；（2）设F（0，y），如图所示，连接DF，AF，∵∠OAF=∠DFC，△AOF∽△FDC，∴=，即=，整理得：y2﹣6y+8=0，即（y﹣2）（y﹣4）=0，解得：y1=2，y2=4，则F坐标为（0，2）或（0，4）．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（12分）（•赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．考点：平行线的性质专题：阅读型；分类讨论．分析：（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；②根据图形猜想得出所求角度数即可；③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．解答：解：（1）①∠AED=70°；②∠AED=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，证明：延长AE交DC于点F，∵AB∥DC，∴∠EAB=∠EFD，∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；（2）根据题意得：点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．25．（12分）（•赤峰）阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，如：圆心在P（2，﹣1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=25（1）填空：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1；②以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3．（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣6，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC 垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC=．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．考点：圆的综合题分析：（1）根据阅读材料中的定义求解；（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O偶在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，利用正弦的定义计算出BE=10，利用勾股定理计算出OE=8，则E点坐标为（0，8），于是得到线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，然后写出以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程．解答：（1）解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1；②以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3；故答案为（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；（1）①证明：∵BD⊥OC，∴CD=OD，∴BE垂直平分OC，∴EO=EC，∴∠EOC=∠ECO，∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，∴∠BOE=∠BCE=90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在．∵∠BOE=∠BCE=90°，∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，∵B点坐标为（﹣6，0），∴OB=6，∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，∴∠BOE=∠AOC，∴sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，sin∠BOE=，∴=，∴BE=10，∴OE==8，∴E点坐标为（0，8），∴线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，∴以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=25．点评：本题了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理、圆周角定理和等腰三角形的性质；阅读理解能力也是本题考查的重点；会运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．26．（14分）（2014•赤峰）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得．（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点（0，3），∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴M（1，4）．（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC=•（3+4）•1+•2﹣4﹣•3•3=+﹣=3S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）存在，理由如下：①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，∵四边形ACQP为平行四边形，∴PQ平行且相等AC，∴△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得x=2或x=0（与C点重合，舍去），∴Q（2，﹣3）．②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP平行且相等AC，∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x=1+或x=1﹣，∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）点评：本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．。

赤峰市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点为F ．（1）当抛物线经过点E （-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M 是直线EF 下方抛物线上的一动点，过点M 作平行于y 轴的直线，与直线EF 交于点N ，求线段MN 长度的最大值；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的交点为P ，请结合图象求出点P 的纵坐标的取值范围． 2．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP +的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m＝，n＝．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．x……﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1201212n4……y……2171525m8528512515217……（3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质：．（4）综合应用：已知函数y＝|715x﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x﹣815|≤21bkx．4．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，（1）该函数的解析式为，补全下表：x⋯﹣4﹣3﹣2﹣1123⋯y⋯2﹣1﹣2212⋯质：．（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．5．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．6．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m ≤x ≤3时，y ＝x 2+bx +c 的最小值为2，最大值为6，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若M 点是直线AB 下方抛物线上的一点，且S △ABM ≥3，求M 点横坐标的取值范围；（3）如图2，若点P 在第一象限，且PA ＝PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，将抛物线y ＝x 2+bx +c 平移，平移后的抛物线经过点 A 、D ，与x 轴的另一个交点为C ，试探究四边形OABC 的形状，并说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点 O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(﹣1，0)，D(5，﹣6)，P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x121 32 252 3 y 0116167161954872综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明； （3）再探究：在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积； （4）拓展延伸：在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．12．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，点E 在边CD 上，∠AEB=90°，求证：AE EB =DECB． （探究）（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠C=∠ADC=90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EF EG =AEEB，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH=GH ． （拓展）（3）如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB+∠DEC=180°，且AE EB =DEEC，过E 作EF 交AD 于点F ，若∠EFA=∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG=CG ．13．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决： [数学理解](1)点P 是线段AB 垂直平分线上的一点，则:PA PB 的值为 ； [拓展延伸](2)在平面直角坐标系xOy 中，点()6,0C ， 点Q 在x 轴上，且:O 1:2QO C =， 则点Q 的坐标为 ．(3)经小组探究发现，如图，延长线段DE 到点F ，使13EF DE =，以点F 为因心，2EF 长为半径作园，则对于OF 上任一点T ，都有2TD TE =，请你证明这个结论：[问题解决](4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河l 从码头G 到码头M ，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处H ，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河l 边上确定码头M 的位置．(请画出示意图并简要说明理由)14．（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；（类比探究）（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（拓展提升）（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．15．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1ax．（概念与理解）将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．（猜想与证明）在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．（1）填空：当x=1时，ABCD=______；当x=2时，ABCD=_______；（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．（探究与应用）①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为；②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；（联想与拓展）若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A 作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．16．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G，H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD 的中点求证：四边形EHFG是平行四边形证明：连接EF交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F分别是AB，CD的中点∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO 的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．17．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由． ②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EFAB BE=段BM 与线段AE 的数量关系．18．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．19．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AF EF =，求CD CG的值．（1）尝试探究在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，CD CG 的值是_________． （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CD CG 的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，//DC AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BC b BE =，()0,0a b >>，则AF EF 的值是________（用含a 、b 的代数式表示）． 20．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 在斜边AB 上，点D ､E ､F 分别是线段PA ､PB ､PC 的中点，易知DEF 是直角三角形．现把DEF 以点P 为中心，顺时针旋转α，其中0360α︒<<︒．连接AD ､BE ､CF ．（1）操作发现如图2，若点P 是AB 的中点，连接PF ，可以发现=AD CF ______CF BE=______； （2）类比探究如图3，Rt ABC 中，CP AB ⊥于点P ，请判断AD CF 与CF BE 的大小，结合图2说明理由； （3）拓展提高在（2）的条件下，如果30CAB ∠=︒，且4AB =，在DEF 旋转的过程中，当以点C ､D ､F ､P 四点为顶点的四边形与以点B ､E ､F ､P 四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD ､CF ､BE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．E解析：（1）①2243y x x =--；②2；（2）2(1)y x x =-->；（3）43P y -<<-【分析】（1）①把点E （-1，3）代入223y mx mx =--求出m 的值即可；②先求出直线EF 的解析式，设出点M 的坐标，得到MN 的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即可得到1G 的顶点式，进而得到1G 的顶点坐标(1,3)m m +--，即1,3x m y m =+=--，消去m ，得到y 与x 的函数关系式，再由0m >即可求得x 的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A （2，-3），函数H 的图象恒过点B （2，-4），从图象可知两函数图象的交点P 应在A ，B 之间，即点P 的纵坐标在A ，B 点的纵坐标之间，从而可得结论．【详解】解：（1）①∵抛物线2:23G y mx mx =--经过点E （-1，3）∴233m+m =-∴2m =∴抛物线的解析式为：2243y x x =--②如图，∵点F 为抛物线的最低点，∴22243=2(1)5y x x x =----∴(1,5)F -设直线EF 的解析式为：y kx b =+把E （-1，3），F （1，-5）代入得，35k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得，41k b =-⎧⎨=-⎩∴直线EF 的解析式为：41y x =--设2(,243)M a a a --，则(,41)N a a --∴22(41)243)=(22M a N a a a ------+=∵20-<∴当0a =时，MN 有最大值，最大值为2；（2）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---∴平移后的抛物线21:(1)3G y m x m m =----∴抛物线1G 的顶点坐标为(1,3)m m +--∴1,3x m y m =+=--∴132x y m +=+-=-∴2y x =--∵0,1m m x >=-∴10x ->∴1x >∴y 与x 的函数关系式为：2(1)y x x =-->（3）如图，函数:2(1)H y x x =-->的图象为射线，1x =时，123y =--=-；2x =时，224y =--=-∴函数H 的图象恒过点（2，-4）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---，当1x =时，3y m =--；当2x =时，33y m m =--=-；∴抛物线G 恒过点A （2，-3）由图象可知，若抛物线G 与函数H 的图象有交点P ，则有B P A y y y <<∴点P 纵坐标的取值范围为：43P y -<<-【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．2．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC 2246+213故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方， ∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =2114x =∴1N （114-，154），2N （114+，154） 如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去）， ∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 3．(1) y=221x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1,则y=1,∴m =1 令y =15,则x =±3, ∵2＜n ＜4,∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2.(4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.4．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x 55+15--≤x 15-+ 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【详解】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， ∴12224221b c b c -+-=-⎧⎨++-=⎩， ∴13b c =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，故答案为：y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|；当x =-4时，y =7；当x =0时，y =-1；补全表格如图， x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 01 2 3 ⋯ y ⋯ 7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯-2；（3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ，解得，1552x +=，2552x -=，观察图象可知不等式的解集为：552-≤x ≤552+； 当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ， 解得，3152x -+=，4152x --=，观察图象可知不等式的解集为：152--≤x ≤152-+； ∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集为552-≤x ≤552+或152--≤x ≤152-+．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键． 5．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点，∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴=设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭整理得：()()51820,m m --= 解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭或45252,1.55N ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．6．A解析：（1）①223y x x =-+，②11m -≤≤；（2）12x ≤≤；（3）四边形OABC 是矩形，证明见详解．【分析】（1）利用顶点P 的横坐标求出b =-2,然后把b =-2和B 点的坐标代入求出抛物线的解析式； （2）先求出A 点坐标，然后得出直线AB 的解析式，设M 点坐标为（x ，x 2-2x +3），根据S △ABM =3列出方程，并解方程，从而得出M 点坐标，再根据S △ABM ≥3求出M 横坐标的范围即可；（3）根据抛物线的图象可求出A 、P 、D 的坐标，利用抛物线与直线相交求出B 点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C 点坐标，然后求出BC 的长度，从而得出四边形OABC 是平行四边形，再根据∠AOC =90︒得出四边形OABC 是矩形.【详解】解：（1）①依题意, 121b -=⨯, 解得b =-2， 将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bxc =++，得 26323c =-⨯+，解c =3，所以抛物线的解析式为223y x x =-+，②当2236y x x =-+=，解得1,3x x =-=，当m ≤x ≤3时，y ＝x 2+bx +c 的最小值为2，最大值为6，∴11m -≤≤；（2）∵抛物线 223y x x =-+与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3)，∵ B (3, 6)，可得直线AB 的解析式为3y x ，设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，223x x -+），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图)，∴ 132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=， ∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦， 解得 121,2x x ==，∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，∵S △ABM ≥3，12x ≤≤；（3）结论是：四边形OABC 是矩形，理由如下：如图，由 PA =PO , OA =c , 可得2c PD =，∵抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为 24,24b c b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴ 2442c b c -=， ∴22b c =，∴ 抛物线2212y x bx b =++， A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）， ∴直线OP 的解析式为12y bx =-， ∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点， 令 221122bx x bx b -=++， 解得12,2b x b x =-=-， 可得点B 的坐标为（-b ，212b ）， 由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x mx b =++， 将点D (12b -，0)的坐标代2212y x mx b =++入，得32m b =， ∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++， 令y =0, 即2231022x bx b ++=， 解得121,2x b x b =-=-，依题意, 点C 的坐标为（-b ，0），∴ BC =212b ， ∴ BC = OA ，又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形，∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化． 7．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)32-）；（3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意 得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或)解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 13212x -+= 23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+得：{320k b k b =-+=-+ 解得：{33k b =-=- ∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意 得 22333x x x --+=--解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题． 8．A解析：（1）y =﹣x ﹣1，y =﹣x 2+3x +4；（2）①(2，6)；②PA 2；（3）点M 的坐标为：14314或(21414或(4，﹣5)或(﹣4，3．【分析】（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大．即当直线y=-x+m 与抛物线只有一个交点时满足条件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案； ②过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，证明△PEA 是等腰直角三角形，得出PE=EA ，设P 点坐标为（m ，n ），由题意得，m+1=-m 2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性质可得出答案； （3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【详解】（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩， 故直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大，所以P 点在与直线AD 平行并且与抛物线相切的直线上，即P 点是这两个图像的唯一交点．设P 点坐标为(x ，y )，依题意有：234y x m y x x =-+⎧⎨=-++⎩， ∴x 2-4x +m -4=0∵直线y =-x +m 与抛物线相切，即只有一个交点，∴42+4(m -4)=0∴m =8，∴x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2∴y =6由此得P 点坐标为(2，6)②过P 作PE ⊥x 轴于E 点，由直线AC 的解析式y =﹣x ﹣1，可得A (-1，0)C (0，-1)，∴OA =OC∵∠AOC =90°∴∠DAB =45°，∴当AB 平分∠DAP 时，∠BAP =∠DAB ，则∠BAP =45°，∴△PEA 是等腰直角三角形，∴PE =EA设P 点坐标为(m ，n )，依题意有m +1=﹣m 2+3m +4，∴m 1=3，m 2=-1(舍去)，∴PE =EA =4，∴PA 2（3）NC =5，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为(x ，﹣x 2+3x +4)、则点M (x ，﹣x ﹣1)，由题意得：|y M ﹣y P |=5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|=5，解得：x =20或4(舍去0)，则点M 坐标为3或(2或(4，﹣5)；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为(﹣12，2)，设点M 坐标为(m ，﹣m 2+3m +4)、则点M (n ，﹣n ﹣1)，N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点， 即：122m n +-=，2=23412m m n -++--， 解得：m =0或﹣4(舍去0)，故点M (﹣4，3)；故点M 的坐标为：3或(2或(4，﹣5)或(﹣4，3)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键．9．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数1y x =-中，∵10k =-<,∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵222131()24y x x x =-+=-+， ∴对称轴为：1x =，∴221y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小； 综合上述，21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值；由（1）可知21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有 当2x =-时，73y =， ∴m 的最大值为73； 故答案为：73． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）2222PN =，当2m =时，PN 有最大值，22． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，52852Q -⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可．【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++．（2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ． 将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩． 所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+． ∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+ ∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒．∴45PQN BQM ∠=∠=︒．∴22214222sin 4523363PN PQ m m m m ⎛⎫=︒=-+=-+ ⎪⎝⎭． 2222(2)63m =--+． ∵206-< ∴当2m =时，PN 有最大值，最大值为223． （3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得152m =252m = 此时，点52852Q -⎝⎭； ②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=． 解之，得1m =或0m =（舍）此时，点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）．综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，822Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．二、中考几何压轴题11．（1）15º或60º；（2）见解析；（3）；（4）能，30º或60º【分析】（1）分三种情况讨论：当时，当当 利用三角形的内角和定理与旋转的旋转从而可得答案；（2）先证明，得到 证明，再证明，解析：（1）15º或60º；（2）见解析；（34）能，30º或60º【分析】（1）分三种情况讨论：当CAM CMA ∠=∠时，当30,MAC C ∠=∠=︒当 ,AMC C ∠=∠利用三角形的内角和定理与旋转的旋转从而可得答案；（2）先证明ABM AFN ≌，得到,AM AN = 证明EM CN =，再证明MPE NPC ≌，得到,PE PC = 结合,AE AC = 从而可得结论；（3）先求解ABM 的面积，再证明ABM EPM ≌，结合ABM AFN ≌，从而可得重叠部分的面积；（4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN 的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP 的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF 的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN 的度数，于是可得到∠α的度数．【详解】解：（1）当CAM CMA ∠=∠时，30,C ∠=︒1803075,2CAM CMA ︒-︒∴∠=∠==︒ 907515,α∴=︒-︒=︒当30,MAC C ∠=∠=︒903060,α∴=︒-︒=︒AMC ∠＞60,B ∠=︒,AMC C ∴∠≠∠综上：当α=15︒或60︒，AMC 是等腰三角形；。

内蒙古赤峰市2024年数学（高考）部编版真题(押题卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（）A．B．C．D．第(2)题已知且，函数在上是单调函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题已知直线，，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，，则（）A．B．C．D．第(4)题下列方程关于对称的是（）A．B．C．D．第(5)题函数的最大值是：（）A．B．C．D．第(6)题曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，则下列说法正确的是（）A ．点是曲线的对称中心B．点是曲线的对称中心C ．直线是曲线的对称轴D ．直线是曲线的对称轴第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题正方体棱长为是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A．的最小值为B．的最小值为C．若为直线上一动点，则线段的最小值为D．当时，过点作三棱锥的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为第(2)题已知函数的最小正周期为，则（）A．B ．的图象在区间上存在对称轴C．在区间上单调递增D ．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象第(3)题函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线垂直C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

第13讲 解析几何解答压轴题1．（内蒙古赤峰市·高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其左，右集点为12,F F ，过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点､2MNF 的周长为．（1）求椭圆E 的标准方程：（2）过E 右焦点的直线12,l l 互相垂直，且分别交椭圆E 于,A B 和,C D 四点，求AB CD +的最小值2．（河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4．（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q ．试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．3．（天津滨海新区·高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于A 、B 两点，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程； （ii ）求证：||||||||PA MB PB MA ⋅=⋅．4．（山东泰安市·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,l l ，,PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列．5．（浙江绍兴市·高三一模）已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P ．（1）求点P 的纵坐标；（2）设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T ．记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，．（i ）求证：Q 为线段PM 的中点；（ii ）若1287S S =，求直线l 的方程．6．（江苏盐城市·高三二模）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．7．（内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 右焦点的直线12l l 、相互垂直，且分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点，求AB CD +的最小值．8．（全国大联考（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围．9．（江西八校4月联考（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>．左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点．如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．10．（天津南开区·高三一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为点A ，点E 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，延长线段1F E 交椭圆于点M ，2MF x ⊥轴．（1）求椭圆的离心率；（2）设抛物线2245y bx =的焦点为F ，B 为抛物线上一点，365BF b =，直线BF 交椭圆于P ，Q 两点，若22425AP AQ +=，求椭圆的标准方程．11．（四川成都市·高三二模（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求BEG 与BDG 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．12．（浙江温州市·高三二模）如图，过点(1,0)F 和点(4,0)E 的两条平行线1l 和2l 分别交抛物线24y x =于,A B 和,C D （其中,A C 在x 轴的上方），AD 交x 轴于点G ．（1）求证：点C 、点D 的纵坐标乘积为定值；（2）分别记ABG 和CDG 的面积为1S 和2S ，当1214S S =时，求直线AD 的方程．13．（四川成都市·高三二模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求△DEG 的面积S 的取值范围．14．（四省名校联考（文））已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，焦距为4，且C 过点)P．（1）求C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与C 交于,A B 两点，2l 与C 交于,D E 两点，记AB 的中点为,M DE 的中点为N ，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15．（辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程22143x y +=，直线:4l x =与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点．（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 中点为D ，求证：OD OM k k =． （2）设Q 点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．16．（广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P 为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ； ①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．17．（聊城市·山东聊城一中高三一模）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，离心率为216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ． （1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．18．（浙江宁波市·高三月考）如图，过椭圆2212x y +=的左右焦点12,F F 分别做直线,AB CD ，交椭圆于,,,A B C D 四点，设直线AB 的斜率为(0)k k ≠（1）求||AB （用k 表示）； （2）若直线,AB CD 的斜率之积为12-，求四边形ACBD 面积的取值范围．19．（湖北八市三月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过椭圆C 的左焦点1F 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于,M N 两点，过点M 作直线:2m x a =-的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．20．（河南新乡市·高三一模（理））已知动点P 到点(的距离与到直线x =的距离之比为（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（山西晋中市·高三二模（理））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O 为原点，点(4,0)A 是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若,M N ''满足(1)OA OM ON λμλμ''=++=，求证：直线l 经过定点．22．（辽宁高三一模（理））过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点． （1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D ． （i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值．23．（内蒙古包头市·高三期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2213x y +=的左顶点为A ，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）当P 、O 、Q 三点共线时，直线PA 、QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求AM AN ⋅的值； （2）设直线AP 、AQ 的斜率分别为1k ，2k ，当121k k =-时，证明：直线PQ 恒过一个定点R ．24．（江西上饶模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且直线OP 的斜率与直线OA 的斜率之和等于直线的PA 斜率． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为2的直线与轨迹C 相交于点B ，点()()0,0T t t >，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点E 、F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由．25．（贵州新高考联盟质检（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 焦距为椭圆C 的右顶点到点2F 的距离与它到直线:l x =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，,A B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点.D 若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值．26．（浙江丽水市·高三月考）已知抛物线2:E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x轴交于点M ．过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ．（1）求证：直线BC 过定点；（2）若1OB OM ⋅≤-，求||||AD AO 的最小值．27．（江苏南通市·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMB AMNS S △△为定值．28．（山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．29．（河南驻马店市·高三期末（文））已知A 为抛物线21:2(0)C y px p =>上异于原点O 的任意一点，当直线OA 的斜率为1时，||OA =．直线:20-+=l my x 交抛物线1C 于P ，Q 两点，射线OP ，OQ 分别交椭圆222:12y C x +=于E ，F 两点． （1）求抛物线1C 的方程；（2）记OEF 和OPQ △的面积分别为1S 和2S ，当218S S =时，求直线l 的斜率．30．（安徽名校期末联考（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C的方程；M N两点，Q为曲线C上一动点(点,O Q分别位于直线MN两侧)，求四（2）作圆O的切线交曲线C于,边形OMQN的面积的最大值．。

赤峰市七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库一、选择题1．在下列图形中，1∠与2∠是内错角的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列现象属于平移的是（）A ．投篮时的篮球运动B ．随风飘动的树叶在空中的运动C ．刹车时汽车在地面上的滑动D ．冷水加热过程中小气泡变成大气泡3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．()2,3B ．()2,3-C ．()2,3--D ．()2,3- 4．下列两个命题：①过一点有且只有一条直线和已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，其中判断正确的是（ ）A ．①②都对B ．①对②错C ．①②都错D ．①错②对 5．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB ∥CD ，∠EAB ＝80°，110ECD ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．60°D ．70°6．下列说法中正确的是( )A ．有理数和数轴上的点一一对应B ．0.304精确到十分位是0.30C ．立方根是本身的数只有0D ．平方根是本身的数只有07．如图，直线//AB CD ，E 为CD 上一点，G 为AB 上一点，BF EG ⊥，垂足为F ，若35B ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒8．如图所示，平面直角坐标系中，x 轴负半轴有一点()1,0A -，点A 先向上平移1个单位至()11,1A -，接着又向右平移1个单位至点()20,1A ，然后再向上平移1个单位至点()30,2A ，向右平移1个单位至点()41,2A ，照此规律平移下去，点A 平移至点2021A 时，点2021A 的坐标为（ ）A ．()1008,1010B ．()1010,1010C ．()1009,1011D ．()1008,1011二、填空题9．已知实数x,y 满足2x -+(y+1)2=0，则x-y 的立方根是_____．10．在平面直角坐标系中，点(,)M a b 与点(3,1)N -关于x 轴对称，则a b +的值是_____． 11．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．12．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为_____．13．如图为一张纸片沿直线AB 折成的V 字形图案，已知图中140∠=︒，则2∠=______°．14．对于有理数x 、y ，当x ≥y 时，规定x ※y =y x ；而当x <y 时，规定x ※y =y -x ，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m 的值为______．15．若点P （a +3，2a +4）在y 轴上，则点P 到x 轴的距离为________．16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是___．三、解答题17．计算．（1）()()1278---＋； （2）()202231127162⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭． 18．求下列各式中x 的值：（1）()2125x -=；（2）381250x -=．19．完成下面的证明：已知：如图，130∠=︒，60B ∠=︒，AB AC ⊥．求证：//AD BC ．证明：AB AC ⊥（已知），∵∠______90=︒（____________________）．∴130∠=︒，60B ∠=︒（已知），∵1BAC B ∠+∠+∠=__________．即∠______180B +∠=︒∴//AD BC （______________________________）．20．如图，在平面直角坐标系中，三角形OBC 的顶点都在网格格点上，一个格是一个单位长度．（1）将三角形OBC 先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度（点1C 与点C 是对应点），得到三角形111O B C ，在图中画出三角形111O B C ；（2）直接写出三角形111O B C 的面积为____________．21．如图①，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形沿虚线剪开，将剪开后的图形拼成如图②所示的大正方形，设图②所示的大正方形的边长为a ．（1）求a 的值；（2）若a 的整数部分为m ，小数部分为n ，试求式子2m a an -+的值．二十二、解答题22．已知在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．（1）计算图①中正方形ABCD 的面积与边长．（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数轴，在数轴上表示实数8和8-．二十三、解答题23．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A ，B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由；（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP 1，BP 1分别平分∠DAP ，∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由；②如图3，AP 2，BP 2分别平分∠CAP ，∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B ．（用含β的代数式表示）24．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．25．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则EAD ∠=__________︒．当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒．当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．26．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.【参考答案】一、选择题1．C解析：C【分析】根据内错角定义进行解答即可．【详解】解：A 、∠1与∠2是同位角，故此选项不合题意；B 、∠1与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；C 、∠1与∠2是内错角，故此选项符合题意；D 、∠1与∠2不是内错角，此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z “形．2．C【分析】判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．【详解】解：A. 投篮时的篮球运动，不是沿直线运动，此选项不是平移现象 ；B解析：C【分析】判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．【详解】解：A. 投篮时的篮球运动，不是沿直线运动，此选项不是平移现象 ；B. 随风飘动的树叶在空中的运动，在空中不是沿直线运动，此选项不是平移现象；C. 刹车时汽车在地面上的滑动，此选项是平移现象；D. 冷水加热过程中小气泡变成大气泡，大小发生了变化，此选项不是平移现象． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是平移的概念，掌握平移的性质是解此题的关键．3．C【分析】根据平面直角坐标系的象限内点的特点判断即可；【详解】∵盖住的点在第三象限，∴()2,3--符合条件；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系象限内点的特征，准确分析判断是解题的关键． 4．C【分析】根据平行公理及其推论判断即可．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故错误；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，平行公理及其推论，属于基础知识，要牢牢掌握． 5．A【分析】过点E 作//EF AB ，先根据平行线的性质可得100AEF ∠=︒，再根据平行公理推论、平行线的性质可得70CEF ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，过点E 作//EF AB ，80EAB ∠=︒，180100A E B E A F ∠=︒-=∴∠︒，//AB CD ，//CD EF ∴，180CEF ECD ∴∠+∠=︒，110ECD ∠=︒，18070CEF ECD ∴∠=︒-∠=︒，1007030AEC AEF CEF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．6．D【分析】根据实数与数轴、精确度、立方根及平方根的概念和性质逐项判断即可．【详解】解：A. 实数和数轴上的点一一对应，原说法错误；B. 0.304精确到十分位是0.3，原说法错误；C. 立方根是本身的数是0、±1，原说法错误；D. 平方根是本身的数只有0，正确，故选：D ．【点睛】本题考查了实数与数轴、精确度、立方根及平方根的概念和性质，熟练掌握基础知识是解题关键．7．C【分析】根据FGB 内角和定理可知FGB ∠的度数，再根据平行线的性质即可求得DEF ∠的度数．【详解】∵BF EG ⊥∴90F ∠=︒∵35B ∠=︒∴180180903555FGB F B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∵//AB CD∴55FGB DEF ∠=∠=︒．故选：C本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握相关角度计算方法是解决本题的关键．8．C【分析】由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），得出规律，利用规律解决问题即可．【详解】由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2解析：C【分析】由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），得出规律，利用规律解决问题即可．【详解】由题意，A1（-1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），……，A2n-1（-2+n，n），∵2021101121=⨯-，∴A2021（1009，1011），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．二、填空题9．【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值求x-y的立方根.【详解】解：由题意得，x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，x-y=3，3的立方根是．【点睛】本题考查的是【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值求x-y的立方根.【详解】解：由题意得，x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，3【点睛】本题考查的是非负数的性质和立方根的概念，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．10．4【分析】根据关于x 轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a 、b 的值即可求得答案.【详解】点与点关于轴对称，，，则a+b 的值是：,故答案为．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的解析：4【分析】根据关于x 轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a 、b 的值即可求得答案.【详解】点(,)M a b 与点(3,1)M -关于x 轴对称，3a ∴=，1b =，则a+b 的值是：4,故答案为4．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.11．【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数，由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．【详解】∵A解析：20︒【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数，由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．【详解】∵AF 是ABC 的高，∴90AFB ∠=︒，在Rt ABF 中，36B ∠=︒，∴90BAF B ∠=︒-∠9036=︒-︒54=︒．又∵在ABC 中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，∴18068BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422BAD CAD BAC ∠=∠=∠=⨯=︒， ∴DAF BAF BAD ∠=∠-∠5434=︒-︒20=︒．故答案为：20︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高线、及三角形的角平分线等知识，难度中等． 12．40°【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∴∠1＝∠3＝50°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，故答案为：40°．解析：40°【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∴∠1＝∠3＝50°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．70【分析】根据∠1+2∠2=180°求解即可．【详解】解：∵∠1+2∠2=180°，，∴∠2=70°．故答案为：70．【点睛】本题考查了折叠的性质，角的和差计算，由图得出∠1+2∠解析：70【分析】根据∠1+2∠2=180°求解即可．【详解】解：∵∠1+2∠2=180°，140∠=︒，∴∠2=70°．故答案为：70．【点睛】本题考查了折叠的性质，角的和差计算，由图得出∠1+2∠2=180°是解答本题的关键． 14．或．【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．【详解】解：4※（-2）=；（-1）※1=[（-1）※1]※m=解析：6m =-或38m =．【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．【详解】解：42>-∴4※（-2）=()42=16-； 11-<∴（-1）※1=()11=2--∴[（-1）※1]※m=2※m=36当2m ≥时，原式可化为236m =解得：6m =±6m ∴=-；当2m <时，原式可化为：236m -=解得：38m =；综上所述，m 的值为：6m =-或38m =；故答案为：16；6m =-或38m =．【点睛】本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键．15．2【分析】点在y 轴上，则横坐标为0，可求得a 的值，然后再判断点到x 轴的距离即可．【详解】∵点P(a+3，2a+4)在y 轴上∴a+3=0，解得：a=－3∴P(0，－2)∴点P 到x 轴的距离解析：2【分析】点在y 轴上，则横坐标为0，可求得a 的值，然后再判断点到x 轴的距离即可．【详解】∵点P(a +3，2a +4)在y 轴上∴a +3=0，解得：a =－3∴P(0，－2)∴点P 到x 轴的距离为：2故答案为：2【点睛】本题考查坐标点与坐标轴的关系，注意，点到坐标轴的距离一定是非负的．16．（64，4）【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0解析：（64，4）【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．则n列共有()12n n+个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为1+2+3+…+63=2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．因而第2021个点的坐标是（64，4）．故答案为：（64，4）．【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．三、解答题17．（1）3；（2）【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；（2）根据平方根与立方根的定义先化简，然后合并求解即可．【详解】解：（1）原式（2）原式【点睛】本题考查有理数解析：（1）3；（2）3 2 -【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；（2）根据平方根与立方根的定义先化简，然后合并求解即可．【详解】解：（1）原式12783=-++=（2）原式11342⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭1342=-+- 542=- 32=- 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，以及实数的混合运算等，掌握基本的运算法则，注意运算顺序是解题关键．18．（1）或；（2）【分析】（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴或；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题主解析：（1）6x =或4x =-；（2）52x =【分析】（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．【详解】解：（1）∵()2125x -=，∴15x -=±，∴15x =±，∴6x =或4x =-；（2）∵381250x -=， ∴31258x =， ∴52x =．【点睛】本题主要考查了利用求平方根和求立方根的方法解方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．BAC ，垂直的定义，180°，BAD ，同旁内角互补，两直线平行．【分析】根据垂直的定义和已知证明∠BAD ，即，由同旁内角互补，两直线平行即可得出结论．【详解】证明：∵（已知），∴∠BAC （解析：BAC ，垂直的定义，180°，BAD ，同旁内角互补，两直线平行．【分析】根据垂直的定义和已知证明∠BAD 180B +∠=︒，即1180BAC B ∠+∠+∠=︒，由同旁内角互补，两直线平行即可得出结论．【详解】证明：∵AB AC ⊥（已知），∴∠BAC 90=︒（垂直的定义）．∵130∠=︒，60B ∠=︒（已知），∴1BAC B ∠+∠+∠=180°即∠BAD 180B +∠=︒∴//AD BC （同旁内角互补，两直线平行）故答案为：BAC ，垂直的定义，180°，BAD ，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了垂直定义和平行线的判定，证明∠BAD 180B +∠=︒是解题关键． 20．（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据平移的性质先确定O 、B 、C 的对应点O1、B1、C1的坐标，然后顺次连接O1、B1、C1即可；（2）根据的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积解析：（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据平移的性质先确定O 、B 、C 的对应点O 1、B 1、C 1的坐标，然后顺次连接O 1、B 1、C 1即可；（2）根据111O B C 的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，111O B C 即为所求；（2）由题意得：11111143421313=5222O B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△． 【点睛】本题主要考查了平移作图，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握平移作图的方法． 21．（1）；（2）1【分析】（1）分析图形得到大正方形的面积，从而得到边长a ；（2）估算出a 的范围，得到整数部分和小数部分，代入计算即可．【详解】解：（1）由题意可得：，∵a ＞0，∴；解析：（152）1【分析】（1）分析图形得到大正方形的面积，从而得到边长a ；（2）估算出a 的范围，得到整数部分和小数部分，代入计算即可．【详解】解：（1）由题意可得：25a =，∵a ＞0， ∴5a =（2）∵459， ∴253<<，∴m =2，n 52， ∴2m a an -+ =)225552=()()-+-252552=254525-+-=1【点睛】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是能估算出的范围．二十二、解答题22．（1）正方形的面积为10，正方形的边长为；（2）见解析【分析】（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；（2）根据（1）的方法画解析：（1）正方形ABCD的面积为10，正方形ABCD的边长为10；（2）见解析【分析】（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形ABCD的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结论．【详解】×3×1=10解：（1）正方形ABCD的面积为4×4－4×12则正方形ABCD的边长为10；×2×2=8，所以该正方形即为所求，如图建立（2）如下图所示，正方形的面积为4×4－4×12数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点∴8∴弧与数轴的左边交点为8888【点睛】此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键．二十三、解答题23．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=1 1802β︒-．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【详解】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P=2∠P1；理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，∴∠P=2∠P1．②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2=12∠CAP，∠EBP2=12∠EBP，∴∠AP2B=12∠CAP+12∠EBP，= 12（180°-∠DAP）+ 12（180°-∠FBP），=180°- 12（∠DAP+∠FBP），∠APB，=180°- 12β．=180°- 12【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．24．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥解析：（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．25．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2EAD αβ∠=-． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．【详解】（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°，∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．∵AE 平分BAC ∠， ∴1502EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ，9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时，∵30B ∠=︒，60C ∠=°，∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵AE 平分BAC ∠， ∴1452EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；当50B ∠=︒，60C ∠=°时，∵50B ∠=︒，60C ∠=°，∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．∵AE 平分BAC ∠， ∴1352EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；当60B ∠=︒，60C ∠=°时，∵60B ∠=︒，60C ∠=°，∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵AE 平分BAC ∠， ∴1302EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；当70B ∠=︒，60C ∠=°时，∵70B ∠=︒，60C ∠=°，∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵AE 平分BAC ∠， ∴1252EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时，∵B α∠=，C β∠=，∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，1()2EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ； 当B C ∠>∠ 时，即αβ>时，∵B α∠=，C β∠=，∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，90ADC ∴∠=︒ ，9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，1()2EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ； 综上所述，当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2EAD αβ∠=-． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．26．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．【分析】[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，证明见解析．【分析】[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．【详解】[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD ，∵AE 是角平分线，∴∠CAF=∠DAF ，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD ，∠CEF=∠DAF+∠B ，∴∠CEF=∠CFE ；[变式思考]相等，理由如下：证明：∵AF 为∠BAG 的角平分线，∴∠GAF=∠DAF ，∵∠CAE=∠GAF，∴∠CAE=∠DAF，∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,∴∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，∴∠CEF=∠CFE；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．。

内蒙古自治区赤峰市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析内蒙古自治区赤峰市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020怀化.中考模拟) 李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟.（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由.~~第2题~~(2020扬州.九上月试) 直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是________.~~第3题~~(2020赤峰.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N. ，AD =4.（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM________ ∠EPN；②的值是________；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.~~第4题~~(2019赤峰.中考真卷) （问题）如图1，在中，，过点作直线平行于．，点在直线上移动，角的一边始终经过点，另一边与交于点，研究和的数量关系．（1）（探究发现）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点移动到使点与点重合时，通过推理就可以得到，请写出证明过程；（2） （数学思考）如图3，若点是上的任意一点（不含端点），受（1）的启发，这个小组过点作 交于点，就可以证明，请完成证明过程；（3） （拓展引申）如图4，在（1）的条件下，是边上任意一点（不含端点），是射线上一点，且，连接 与交于点，这个数学兴趣小组经过多次取 点反复进行实验，发现点在某一位置时的值最大．若，请你直接写出的最大值．~~第5题~~(2019赤峰.中考模拟) 如图，在平面鱼角坐标系xOy 中，A （﹣3，0），点B 为y 轴正半轴上一点，将线段AB 绕点B 旋转90°至BC 处，过点C 作CD 垂直x 轴于点D ，若四边形ABCD 的面积为36，则线AC 的解析式为________.~~第6题~~(2019赤峰.中考模拟) 如图，直线y ＝ x +a 与x轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ， 抛物线y ＝ x +bx +c 经过点A ， B． 点M （m ， 0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ， N ．（1） 填空：点B 的坐标为，抛物线的解析式为；2（2） 当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合），①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值；②求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；（3） 若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．~~第7题~~(2018赤峰.中考真卷) 已知抛物线 的图象如图所示：（1） 将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为．（2） 判断△ABC 的形状，并说明理由．（3） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．~~第8题~~(2017赤峰.中考真卷) 如图，二次函数y=ax +bx+c （a≠0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为2？若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．~~第9题~~(2017宁城.中考模拟) 已知二次函数y=ax +bx ﹣3经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，22（1）求二次函数解析式及对称轴方程；（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；（3）在y轴上是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大？若存在，求出点H坐标；若不存在，说明理由．~~第10题~~(2016赤峰.中考真卷) 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．内蒙古自治区赤峰市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：~~第3题~~答案：解析：~~第4题~~答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：~~第7题~~答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

赤峰市七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库一、选择题1．下列所示的四个图形中，1∠和2∠不是同位角的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2．下列图案可以由部分图案平移得到的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，下列点中位于第四象限的是（ ） A ．()0,3B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()1,1--4．下列四个命题：①9的平方根是3±；②5是5的算术平方根；③经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中真命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）A ．30°B ．25°C ．35°D ．40°6．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2-与2B ．2-与12-C ．()23-与23-D ．38-与38-7．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠．使顶点C ，D 分别落在点C '，D 处，C E '交AF 于点G ，若70CEF ∠=︒，则GFD '∠=（ ）A ．30B ．40︒C ．45︒D ．60︒8．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P 的坐标是（ ）A ．(2022，1)B ．(2021，0)C ．(2021，1)D ．(2021，2)二、填空题9．36的平方根是______，81的算术平方根是______．10．将点()14P -,先关于x 轴对称，再关于y 轴对称的点的坐标为_______． 11．三角形ABC 中，∠A=60°，则内角∠B ，∠C 的角平分线相交所成的角为_____． 12．如图，已知AB ∥CD ，如果∠1＝100°，∠2＝120°，那么∠3＝_____度．13．如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在点A 1、D 1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B ＋∠C ＝___°．14．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___15．已知，(0,4)A ，0()2,B ﹣，1(3,)C ﹣，则ABCS ＝________．16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，…，那么点2021A 的坐标为__________．三、解答题17．计算下列各式的值： （1）23(7)-- （2）313(3)83+-18．求下列各式中x 的值 （1）2280x -= （2）()352125x -=-19．如图，点D ，F 分别是BC 、AB 上的点，//DF AC ，FDE A ∠=∠．（1）对//DE AB 说明理由，将下列解题过程补充完整． 解：//DF AC （已知）A ∴∠=________（________________________） A FDE ∠=∠（已知）FDE ∴∠=___________（________________________）//DE AB ∴（______________________________）（2）若AED ∠比BFD ∠大40︒，求BFD ∠的度数． 20．已知点P （﹣3a ﹣4，a +2）． （1）若点P 在y 轴上，试求P 点的坐标；（2）若M （5，8），且PM //x 轴，试求P 点的坐标； （3）若点P 到x 轴，y 轴的距离相等，试求P 点的坐标． 21．例如∵479.即273<，∴7的整数部分为272，仿照上例回答下列问题；（117介于连续的两个整数a 和b 之间，且a ＜b ，那么a ＝ ，b ＝ ； （2）x 172的小数部分，y 171的整数部分，求x ＝ ，y ＝ ； （3）求(17)y x 的平方根．二十二、解答题22．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a ，b 的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．二十三、解答题23．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数．24．如图，AB ⊥AK ，点A 在直线MN 上，AB 、AK 分别与直线EF 交于点B 、C ，∠MAB+∠KCF =90°．（1）求证：EF ∥MN ；（2）如图2，∠NAB 与∠ECK 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数；（3）如图3，在∠MAB 内作射线AQ ，使∠MAQ =2∠QAB ，以点C 为端点作射线CP ，交直．线．AQ 于点T ，当∠CTA =60°时，直接写出∠FCP 与∠ACP 的关系式． 25．如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B=450,∠C=730． （1） 求DAE ∠的度数；（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．26．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．（1）AOB ∠= ︒；（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结FA 、FB ，E 是射线FA 上的一点，若MAE ∠=n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．【参考答案】一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：选项A 、B 、D 中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 选项C 中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C ． 【点睛】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．2．C 【分析】根据平移的定义，逐一判断即可．【详解】解：、是旋转变换，不是平移，选项错误，不符合题意； 、轴对称变换，不是平移，选项错误，不符合题意； 、是平移，选项正确，符合题意； 、图形的大解析：C 【分析】根据平移的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A 、是旋转变换，不是平移，选项错误，不符合题意；B 、轴对称变换，不是平移，选项错误，不符合题意；C 、是平移，选项正确，符合题意；D 、图形的大小发生了变化，不是平移，选项错误，不符合题意．故选：C ． 【点睛】本题考查平移变换，解题的关键是判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变． 3．C 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、(0,3)在y 轴上，故本选项不符合题意； B 、(2,1)-在第二象限，故本选项不符合题意； C 、(1,2)-在第四象限，故本选项符合题意； D 、(1,1)--在第三象限，故本选项不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-．4．B 【分析】根据算术平方根的概念、平方根的概念、平行公理、平行线的性质判断即可． 【详解】解：3=，3的平方根是5的算术平方根，正确，是真命题，符合题意；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意．真命题只有②， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．B 【分析】根据AB ∥CD ，∠3＝130°，求得∠GAB ＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE ＝180°﹣∠GAB ＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可． 【详解】解：∵AB ∥CD ，∠3＝130°， ∴∠GAB ＝∠3＝130°， ∵∠BAE +∠GAB ＝180°，∴∠BAE ＝180°﹣∠GAB ＝180°﹣130°＝50°， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝12∠BAE ＝12×50°＝25°． 故选：B ． 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键． 6．C 【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得． 【详解】A 、B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意；C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-- 故选：C ． 【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键． 7．B 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出EFG ，再根据平角的定义求出EFD ∠，然后根据折叠的性质可得EFD EFD '∠=∠，进而即可得解． 【详解】解：∵在矩形纸片ABCD 中，//AD BC ，70CEF ∠=︒，70EFG CEF ∴∠=∠=︒， 180110EFD EFG ∴∠=︒-∠=︒，∵折叠，∴110EFD EFD ∠'=∠=︒，GFD EFD EFG ∴∠'=∠'-∠11070=︒-︒40=︒．故选：B ． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据两直线平行，内错角相等求出EFG 是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．8．C 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P 的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原解析：C 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P 的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点（1，1）， 第2次接着运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次接着运动到点（4，0）， 第5次接着运动到点（5，1）， …按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环， 所以2021÷4＝505…1， 所以经过第2021次运动后，动点P 的坐标是（2021，1）． 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．二、填空题 9．±6 9． 【解析】 ∵(±6)2=36, ∴36的平方根是±6; ∵92=81,∴81的算术平方根是9.解析：±6 9． 【解析】 ∵(±6)2=36, ∴36的平方根是±6; ∵92=81,∴81的算术平方根是9.10．(1,-4) 【分析】直角坐标系中，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】设关于x 轴对称的点为 则点的坐标为解析：(1,-4) 【分析】直角坐标系中，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此即可求解． 【详解】设()14P -,关于x 轴对称的点为P' 则P'点的坐标为(-1,-4) 设点P'和点''P 关于y 轴对称 则''P 的坐标为(1,-4) 故答案为：(1,-4) 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．11．120°和60°【详解】试题分析：因为三角形的内角和是180度，所以∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°，又因为∠DFE=∠BFC，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB），解析：120°和60°【详解】试题分析：因为三角形的内角和是180度，所以∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°，又因为∠DFE=∠BFC，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB），因为角平分线CD、EF相交于F，所以∠FBC+∠FCB=（∠B+∠C）÷2=120°÷2=60°，再代入∠DFE=∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB），即可解答．试题解析：∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°，又因为∠DFE=∠BFC，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB），因为角平分线CD、EF相交于F，所以∠FBC+∠FCB=（∠B+∠C）÷2=120°÷2=60°，∠DFE=180°-（∠FBC+∠FCB），=180°-60°，=120°；∠DFE的邻补角的度数为：180°-120°=60°．考点：角的度量．12．40【分析】过作平行于，由与平行，得到与平行，利用两直线平行同位角相等，同旁内角互补，得到，，即可确定出的度数．【详解】解：如图：过作平行于，，，，，即，．故答案为：40．【解析：40【分析】过F作FG平行于AB，由AB与CD平行，得到FG与CD平行，利用两直线平行同位角相∠的度数．等，同旁内角互补，得到1100∠+∠=︒，即可确定出3EFGGFC∠=∠=︒，2180【详解】解：如图：过F 作FG 平行于AB ，//AB CD ，//FG CD ∴，1100EFG ∴∠=∠=︒，2180GFC ∠+∠=︒，即60GFC ∠=︒，31006040EFG GFC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．13．115【分析】先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN+∠DNM= =115°．∵∠A+∠解析：115【分析】先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN +∠DNM 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN +∠DNM =3601302︒-︒ =115°． ∵∠A +∠D +（∠AMN +∠DNM ）=360°，∠A +∠D +（∠B +∠C ）=360°，∴∠B +∠C =∠AMN +∠DNM =115°．故答案为：115．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．14．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列解析：3- 【分析】 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数， ∵1994493÷=……，即1，2，3，6中第三个数 ：3，∴3的相反数为3-故答案为3-．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．15．11【分析】根据三角形的面积等于正方形面积减去三个小三角形面积解答即可．【详解】解：如图示，根据，，三点坐标建立坐标系得：则．故答案为：11【点睛】此题考查利用直角坐标系求三角形的解析：11【分析】根据三角形的面积等于正方形面积减去三个小三角形面积解答即可．【详解】解：如图示，根据(0,4)A ，0()2,B ﹣，1(3,)C ﹣三点坐标建立坐标系得：则1115524351511222ABC S ．故答案为：11【点睛】此题考查利用直角坐标系求三角形的面积，关键是根据三角形的面积等于正方形面积减去三个小三角形面积解答．16．【分析】由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A5，A6，A7，A8，…，归纳出点An 的一般规律，从而可求得结果．【详解】∵，，，∴根据点的平移规律，可分别得：，，，，，，，，…，，，解析：()1010,1【分析】由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A 5，A 6，A 7，A 8，…，归纳出点A n 的一般规律，从而可求得结果．【详解】∵1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A∴根据点的平移规律，可分别得：()52,1A ，()63,1A ，()73,0A ，()84,0A ，()94,1A ，()105,1A ，()115,0A ，()126,0A ，…，()4322,1n A n --，()4221,1n A n --，()4121,0n A n --，()42,0n A n∵2021=505×4+1∴2021A 的横坐标为2×505=1010，纵坐标为1即2021(1010,1)A故答案为：()1010,1【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的规律问题，点平移的坐标特征，体现了由特殊到一般的数学思想，关键是由前面若干点的的坐标寻找出规律．三、解答题17．（1）；（2）【分析】（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．【详解】解：（1）【点睛】本题考解析：（1）4-；（2）2.【分析】（1）先求绝对值，同时利用()20a a =≥计算2，再合并即可； （2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解8的立方根，再合并即可．【详解】解：（1）23--37 4.=-=-（2312=+-2.=【点睛】本题考查的是实数的运算，考查()20a a =≥，求一个数的立方根，绝对值的运算，掌握以上知识是解题的关键． 18．（1）；（2）【分析】（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x 的方程，解之可得．【详解】解：（1）∴即（2）解得，解析：（1）122,2x x ==-；（2）35x =- 【分析】（1）先移项，再根据平方根的性质开平方即可得；（2）方程变形后，再根据立方根的性质开立方可得关于x 的方程，解之可得．【详解】解：（1）2280x -=22=8x∴2x =±即122,2x x ==-（2）()352125x -=- 525x -=- 解得，35x =- 【点睛】本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的性质．19．（1）∠BFD ；两直线平行，同位角相等；∠BFD ；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A ＝∠BFD ，求出∠BFD ＝∠FDE ，根据平行线的判定得出即可解析：（1）∠BFD ；两直线平行，同位角相等；∠BFD ；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A ＝∠BFD ，求出∠BFD ＝∠FDE ，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠A +∠AED ＝180°，∠A ＝∠BFD ，再求出∠AED ﹣∠A ＝40°，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵DF //AC （已知），∴∠A ＝∠BFD （两直线平行，同位角相等），∵∠A ＝∠FDE （已知），∴∠FDE ＝∠BFD （等量代换），∴DE //AB （内错角相等，两直线平行）；故答案为：∠BFD ；两直线平行，同位角相等；∠BFD ；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）解：∵DF //AC ，∴∠A ＝∠BFD ，∵∠AED 比∠BFD 大40°，∴∠AED ﹣∠BFD ＝40°，∴∠AED ﹣∠A ＝40°，∴∠AED ＝40°+∠A ，∵DE //AB ，∴∠A +∠AED ＝180°，∴∠A +40°+∠A ＝180°，∴∠A ＝70°，∴∠BFD ＝70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．20．（1）P （0，）；（2）P （-22，8）；（3）P （，）或P （-1，1）．【分析】（1）根据y 轴上的点的坐标特征：横坐标为0列方程求出a 值即可得答案； （2）根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相解析：（1）P （0，23）；（2）P （-22，8）；（3）P （12，12）或P （-1，1）． 【分析】（1）根据y 轴上的点的坐标特征：横坐标为0列方程求出a 值即可得答案；（2）根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出a 值即可得答案；（3）根据点P 到x 轴，y 轴的距离相等可得|34||2|a a --=+，解方程求出a 值即可得答案．【详解】（1）∵点P 在y 轴上，∴340a --=， ∴43a =-， ∴422233a +=-+= ∴P （0，23）． （2）∵PM //x 轴，∴28a +=，∴6a =，此时，3422a --=-，∴P （-22，8）（3）∵若点P 到x 轴，y 轴的距离相等，∴|34||2|a a --=+，∴342a a --=+或34(2)a a --=-+， 解得：32a =-或1a =-， 当32a =-时，﹣3a ﹣4=12，a +2=12， ∴P （12，12），当1a =-时，﹣3a ﹣4=-1，a +2=1，∴P （-1，1），综上所述：P （12，12）或P （-1，1）．【点睛】本题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质． 21．（1），;（2）；（3）【分析】（1）根据的范围确定出、的值；（2）求出，的范围，即可求出、的值，代入求出即可；（3）将代入中即可求出．【详解】解：（1），，，，故答案是：，；（解析：（1）4a =，5b =;（2）4,3x y =；（3）8±【分析】（1a 、b 的值；（221的范围，即可求出x 、y 的值，代入求出即可；（3）将4,3x y ==代入)y x 中即可求出．【详解】解：（1）1617<45∴<<，4a ∴=，5b =，故答案是：4a =，5b =；（2）4175<，627∴<，314<<，2264-，1的整数部分为：3；故答案是：4,3x y =；（3）174,3x y ==，3)464y x ∴==，)y x ∴的平方根为：8=±．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用、求平方根，解题的关键是读懂题意及求出45<．二十二、解答题22．（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析【分析】（1）设长为3x ，宽为2x ，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可； （2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程解析：（1）长为，宽为2）正确，理由见解析【分析】（1）设长为3x ，宽为2x ，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a 即可得到大正方形的面积．【详解】解：（1）设长为3x ，宽为2x ，则：3x •2x =30，∴x∴3x =，2x =答：这个长方形纸片的长为（2）正确．理由如下：根据题意得：()()2504230a b a b a b ⎧⎡⎤++=⎪⎣⎦⎨+-=⎪⎩， 解得：105a b =⎧⎨=⎩， ∴大正方形的面积为102=100．【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．二十三、解答题23．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可； （3）设∠DBE=a ，则∠BFC=3解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．【分析】（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明；（2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．【详解】（1）证明：∵//AM CN ，∴C BDA ∠=∠，∵AB BC ⊥于B ，∴90B ∠=︒，∴90A BDA ∠+∠=︒，∴90A C ∠+∠=︒；（2）证明：过B 作//BH DM ，∵BD MA ⊥，∴90ABD ABH ∠+∠=︒，又∵AB BC ⊥，∴90ABH CBH ∠+∠=︒，∴ABD CBH ∠=∠，∵//BH DM ，//AM CN∴//BH NC ，∴CBH C ∠=∠，∴ABD C ∠=∠；（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD =∠C =2a ，又∵AB ⊥BC ，BF 平分∠DBC ，∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=12∠DBC=a+45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a，∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，又∵AM//CN，∴∠AFC+∠NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．【详解】解：（1）∵AB⊥AK∴∠BAC=90°∴∠MAB+∠KAN=90°∵∠MAB+∠KCF=90°∴∠KAN=∠KCF∴EF∥MN（2）设∠KAN=∠KCF=α则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α∠KCB=180°－∠KCF=180°－α∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK∴∠GAN=12∠BAN=45°＋12α，∠KCG=12∠KCB=90°－12α∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋12α过点G作GH∥EF∴∠HGC=∠FCG=90°＋12α又∵MN ∥EF∴MN ∥GH∴∠HGA=∠GAN=45°＋12α∴∠CGA=∠HGC －∠HGA=（90°＋12α）－（45°＋12α）=45°（3）①当CP 交射线AQ 于点T∵180CTA TAC ACP ∠+∠+∠=︒∴180CTA QAB BAC ACP ∠+∠+∠+∠=︒又∵=60,90CTA BAC ∠︒∠=︒∴30QAB ACP ∠+∠=︒由（1）可得：EF ∥MN∴FCA MAC ∠=∠∵FCP FCA ACP ∠=∠+∠∴FCP MAC ACP ∠=∠+∠∵MAC MAQ QAB BAC ∠=∠+∠+∠，2MAQ QAB ∠=∠∴()390=330901803MAC QAB ACP ACP ∠=∠+︒︒-∠+︒=︒-∠∴1803FCP ACP ACP ∠=︒-∠+∠即∠FCP +2∠ACP=180°②当CP 交射线AQ 的反向延长线于点T ，延长BA 交CP 于点GFCP FCA ACP ∠=∠-∠，由EF ∥MN 得MAC FCA ∠=∠∴FCP MAC ACP ∠=∠-∠又∵TAG QAB ∠=∠，180BAC CAG ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒∴18090CAG BAC ∠=︒-∠=︒90CAT CAG TAG QAB ∠=∠-∠=︒-∠∵180CAT CTA ACP ∠+∠+∠=︒，60CTA ∠=︒∴120CAT ACP ∠+∠=︒∴90120QAB ACP ︒-∠+∠=︒∴30QAB ACP ∠=∠-︒由①可得390MAC QAB ∠=∠+︒∴()=330903MAC ACP ACP ∠∠-︒+︒=∠∴32FCP MAC ACP ACP ACP ACP ∠=∠-∠=∠-∠=∠综上，∠FCP =2∠ACP 或∠FCP +2∠ACP=180°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．25．（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE 的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE 即可求出∠DAE解析：（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE 的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．（2）求出∠ADE 的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．（3）利用AE 平分∠BEC ，AD 平分∠BAC ，求出∠DFE=15°即是最好的证明．【详解】（1）∵∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD=31°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，∵AE ⊥BC ，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．（2）同（1），可得，∠ADE=76°，∵FE ⊥BC ，∴∠FEB=90°，∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．（3）DAE ∠的大小不变.DAE ∠=14°理由：∵ AD 平分∠ BAC ，AE 平分∠BEC∴∠BAC=2∠BAD ，∠BEC=2∠AEB∵ ∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360°∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°∴∠BAD+∠AEB=121°∵ ∠ADE=∠B+∠BAD∴∠ADE=45°+∠BAD∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD ）=135°-121°=14°【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 26．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如图：过O 作OP//MN ，由MN//OP//GH 得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB解析：（1）100；（2）75°；（3）n =3．【分析】（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ； （2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =641n n ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠FAK ，得144606411n n n n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 【详解】解：（1）如图：过O 作OP //MN ，∵MN //GHl∴MN //OP //GH∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°∵∠NAO =116°，∠OBH =144°∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒， ∴58NAC ∠=︒，又∵MN //GH ，∴58CEF ∠=︒；∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒ ∵BD 平分OBG ∠，∴18DBF ∠=︒，又∵,CDB ∠=︒35∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒； ∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）设FB 交MN 于K ，∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641n MAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△FAK 中，64601n BKA FKA F n ∠=∠+∠=⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．。

内蒙古赤峰市翁牛特旗重点中学2024届中考数学押题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（）A．2 B．2（x﹣1）C．（x﹣1）2D．2（x﹣2）2．如图1，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE.设AP=x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（）A．PD B．PB C．PE D．PC3．某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25销售量/双 1 3 3 6 2则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（）A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，244．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个5．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.46．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称为可入肺颗粒物，将25微米用科学记数法可表示为（）米．A．25×10﹣7B．2.5×10﹣6C．0.25×10﹣5D．2.5×10﹣57．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（）A．210πcm C．25πcm B．220πcm15πcm D．28．某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（）A．50.5～60.5 分B．60.5～70.5 分C．70.5～80.5 分D．80.5～90.5 分9．如图，抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2，若关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-510．如图，在下列条件中，不能判定直线a 与b 平行的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠3=∠5D ．∠3+∠4=180°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．如图，直线123y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在x 轴的正半轴上，OD OA =，过点D 作CD x ⊥轴交直线AB 于点C ，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点C ，则k 的值为_________________．12．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝50°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．13．如图：图象①②③均是以P 0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P 1P 2P 3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018=_____个单位长度．14．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC 于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE＝_____．15．菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=33，则AP的长为_____．16．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD 上，且DE=EF，则AB的长为_____．17．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图所示：△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）垂直平分线l交AC于点D，求证：AB=2DH．19．（5分）分式化简：（a-22ab b a-）÷a b a - 20．（8分）如图，点B 在线段AD 上，BC DE ，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.21．（10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=1．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？22．（10分）某市为了解市民对已闭幕的某一博览会的总体印象，利用最新引进的“计算机辅助电话访问系统”（简称CATI 系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16～65岁之间的居民，进行了400个电话抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对博览会总体印象感到满意的人数绘制了下面的图（1）和图（1）（部分）根据上图提供的信息回答下列问题：（1）被抽查的居民中，人数最多的年龄段是 岁；（1）已知被抽查的400人中有83%的人对博览会总体印象感到满意，请你求出31～40岁年龄段的满意人数，并补全图1．注：某年龄段的满意率=该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%．23．（12分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.求证：AD平分∠BAC；若∠BAC=60∘，OA=4，求阴影部分的面积(结果保留π).24．（14分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示．求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．求乙组加工零件总量a的值．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】原式分解因式，判断即可．【题目详解】原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年内蒙古赤峰市高中数学人教A 版 必修二第八章 立体几何专项提升(9)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）24612 1. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 102. 如图，已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧棱AA 1长为4，且AA 1与A 1B 1 ， A 1D 1的夹角都是60°，则AC 1的长等于（ ）A. B. C. D.π2π3π3. 将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 一定存在唯一的平面a 经过点E ，使得平面a ∥平面PAC4. 在三棱锥P-ABC 中，E 为线段AB （不包括端点）上一点，则错误的是（ ）A.一定存在唯一的平面a 经过点E ，使得平面a ⊥平面PAC一定存在唯一的平面a 经过点E ，使得平面a ⊥PA在平面ABC 内，一定存在唯一的直线l 经过点E ，使得l ∥平面PACB. C. D. 340π440π4600π6600π5. 如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m ，圆锥的高是0.24m ．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（）克A. B. C. D. 1个2个3个4个6. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题有（ ）①若m ⊂α，n ⊂β，α⊥β，则m ⊥n ；②若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ．A. B. C. D. 平行于同一个平面的两个平面平行平行于同一条直线的两个平面平行平行于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两个平面平行7. 在空间中，下列命题中正确得是（ ）A. B. C. D. ①②①④①③②④8. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题：①若，，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则 .其中真命题是（ ）A. B. C. D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交一个平面与两个平行平面相交，交线平行平行于同一平面的两个平面平行平行于同一直线的两个平面平行9. 在空间中，下列命题错误的是（ ）A. B. C. D.若 ， 则若则若l与的所成角相等，则若l 上有两个点到α的距离相等，则10. 若是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）A. B. C. D.一条线段一段圆弧一个球面区域两条平行线段12. 如图，已知正方体的棱长为1， 分别是棱 ， 上的动点，若 ，则线段 的中点 的轨迹是（ ）A. B. C. D. 13. 已知m ，n ，l 是直线，α、β是平面，下列命题中，正确的命题是 ．（填序号）①若l 垂直于α内两条直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行；③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β；④若m ⊥n ，n ⊥l 则m ∥l ；⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l ．14. 圆台的两底面半径分别为和 ，母线长是 ，则它的轴截面面积为 ．15. 如图所示，为水平放置的 的直观图，其中， ，则 的面积是 ．16. 已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为 ，则正三棱锥 的体积为 .17. 如图，在四凌锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，SA ⊥CD ，AB ⊥平面SAD ，M 是SC 的中点，且SA=AB=B C=2，AD=1．(1) 求证：DM∥平面SAB；(2) 求四棱锥S﹣ABCD的体积．18. 如图，在三棱锥中，，，， .(Ⅰ)求证: ；(Ⅱ)求直线与面所成角的正弦值.19. 如图所示，三棱锥V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2 ，VC=1，线段AB的中点为D．(1) 求证：平面VCD⊥平面ABC；(2) 求三棱锥V﹣ABC的体积．20. 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，．把△ABE沿BE折起，使得，得到四棱锥A﹣BCDE．如图2所示．(1) 求证：面ACE⊥面ABD；(2) 求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．21. 如图，三棱柱中，四边形和四边形均为菱形，，，．(1) 求证：；(2) 求直线和平面所成角的正弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。

八年级上册赤峰数学压轴题期末复习试卷（Word版含解析）一、压轴题1．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b，0)满足：--++-=．a b a b222110（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若SΔABC=16，求点D 的坐标；（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图(2)所示，P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接OP，PE平分∠OPB，交x轴于点M，且满足∠BCE=2∠ECD．求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．2．已知ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM ＝BM，连接AD．（1）如图①，求证：DAM≌BCM；（2）已知点N是BC的中点，连接AN．①如图②，求证：ACN≌BCM；②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE．3．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A =44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A =x °，∠EPC =y °，求变量 y 与 x 的关系式； （3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．4．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．（1）①点(3,1)-的限变点的坐标是________；②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围． 6．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）7．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．9．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ； （3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）10．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．11．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．12．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）A （0，3），B （4，0）；（2）D （1，－265）；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求解；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．首先求出点E 的坐标，再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标，利用平移的性质得到点D 坐标；（3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证； 【详解】（1）∵222110a b a b --++-=， ∴220,2110a b a b --=+-=，∴2202110a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，∴34a b =⎧⎨=⎩，∴A （0，3），B （4，0）；（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．∵CD//AB ， ∴S △ACB =S △ABE ， ∴12AE×BO=16， ∴12×AE×4=16， ∴AE=8， ∴E （0，-5），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（4，0）代入解析式中得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为y=334x -+， ∵AB//CD ，∴直线CD 的解析式为y=34x c -+， 又∵点E （0，－5）在直线CD 上，∴c=5，即直线CD 的解析式为y=354x --， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上，∴m=115， ∴C （-3，115）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3， 115）， ∴直线AB 向下平移了265个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，∴点D 的坐标为（1，－265）； （3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于点M ．∵AM ∥CD ， ∴∠DCM=∠M ， ∵∠BCE=2∠ECD ， ∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，∵∠M=∠PEC-∠MPE ，∠MPE=∠OPE ， ∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE ）． 【点睛】考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．2．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．【详解】解：（1）∵点M是AC中点，∴AM=CM，在△DAM和△BCM中，∵AM CMAMD CMBDM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAM≌△BCM（SAS）；（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，在△BCM和△ACN中，∵CM CNC CBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCM≌△ACN（SAS）；②证明：取AD中点F，连接EF，则AD=2AF，∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，由（1）知，△DAM ≌△BCM ， ∴∠DBC=∠ADB ， ∴AD ∥BC ， ∴∠EAF=∠ANC ， 在△EAF 和△ANC 中，AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△ANC （SAS ）， ∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠DFE=90°， ∵F 为AD 中点， ∴AF=DF ， 在△AFE 和△DFE 中，AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DFE （SAS ）， ∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°， ∴BD ⊥DE ． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点． 3．（1）56°；（2）y=454x +；（3）36°或1807°. 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果； （3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454x+解出x 即可. 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°， ∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°， ∵CD ⊥AB ，∴∠BDC=90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD =90-34=56°；（2）∵∠A =x °，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +； （3）①若EP=EC ，则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902x -，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454x +， ∴902x -+902x --（454x +）=90°， 解得：x=36°；②若PC=PE ，则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=1807°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.4．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）①()3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】【分析】（1）利用限变点的定义直接解答即可；（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．【详解】解：（1）①∵32a =，∴11b b ==-='，∴坐标为：()3,1，故答案为：()3,1； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，∵()2,2满足2y =，∴这个点是B ，故答案为：B ；（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，∵点D的坐标为(2,2)-，∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：当2x ≥时：1b x '=--，当02x <<时：b x x '=-=，当0x ≤时，b x x '==-，图像如下：通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，当2x <时，0b '≥，∴0m =，∴()033s m n =-=--=；（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，，∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩， 图象如下：当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，当b '＝5时，x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，当b ′＝1时，x ﹣4＝1，解得：x ＝5，∵ 25b '-≤≤，∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．6．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥， ∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．7．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【解析】【分析】（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标； （3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，把D （0，2），C （6，10）分别代入，得 2610b k b =⎧⎨+=⎩， 解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2； （2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，10）； （3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 1228627-=∴AP 17P 1（6，7）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3E=228627-=，∴AP 3=AE+EP 3=27+2，即P 3（6，27+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，27+2）或（6，10-27）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF∆与EDC∆中AFD ECDDF CDADF EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()ADF EDC ASA∆∆≌∴AD＝DE；（2）结论：AD＝DE.证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F ∵ABC∆是等边三角形∴AB＝BC，60B BAC BCA∠∠∠︒＝＝＝∵DF∥AC∴BFD BAC BDF BCA∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF∠∠∠︒＝＝＝∴BDF∆是等边三角形，120AFD∠︒＝∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等边ABC∆的外角平分线∴120DCE AFD∠︒∠＝＝∵∠ADC是ABD∆的外角∴60ADC B FAD FAD∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD＝∠CDE在AFD∆与DCE∆中AFD DCEAF CDFAD EDC∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴()AFD DCE ASA∆∆≌∴AD＝DE；（3）如下图，ADE∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD ∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.9．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.10．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．11．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=DA=PB ，∴DA=PB=-，∴OD=OA−DA=8-，∴点D 的坐标为(8，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．12．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由见解析；（3）272【解析】【分析】（1）根据偏差三角形的定义，即可得到C 的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；（2）在AD 上取一点H ，使得AH=AB ，易证△CAH ≌△CAB ，进而可得∠D=∠CHD ，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；（3）延长CA 至点E ，使AE=BD ，连接BE ，由SAS 可证∆BDC ≅∆EAB ，得EA=BD ，点B 到直线EA 的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）∵当AC=AB 时，△OAB 与△OAC 是偏差三角形，A (3，2)，B (4，0)，∴点C 的坐标为（2，0），如图1，∵AC=AB ，∴∠ACB=∠ABC ，∵∠OCA+∠ACB=180°，∴∠OBA+∠OCA=180°，故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC 与△ACD 是偏差三角形，理由如下：如图2中，在AD 上取一点H ，使得AH=AB ．∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAH=∠CAB ，又∵ AC=AC，∴△CAH≌△CAB（SAS），∴CH=CB，∠B=∠AHC，∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，∴∠D=∠CHD，∴CH=CD，∴CB=CD，∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，∴△ABC与△ACD是偏差三角形；（3）如图3中，延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，∴∠BDC=∠BAE，又∵AB=CD，∴∆BDC≅∆EAB（SAS），∴EA=BD，∵点C到直线BD的距离是3，∴点B到直线EA的距离是3，∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙（AC+EA）×3 =12∙（AC+BD）×3 =12×9×3=272．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。

（3）应用拓展：
如图3， 为四边形 的准中位线， ，延长 分别与 ， 的延长线交于点 ，请找出图中与 相等的角并证明．
2．如图：两个菱形 与菱形 的边 在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在 上，点M为 的中点．
（1）观察猜想：如图①，线段 与线段 的数量关系是______________．
（2）拓展探究：如图②， ，将图①中的菱形 绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接 ，
一、中考几何压轴题
1．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：
如图1，四边形 中， 为 的中点， ， 是 边上一点，满足 ，试判断 是否为四边形 的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：
如图2， 中， ， ， ，动点 以每秒1个单位的速度，从点 出发向点 运动，动点 以每秒6个单位的速度，从点 出发沿射线 运动，当点 运动至点 时，两点同时停止运动． 为线段 上任意一点，连接并延长 ，射线 与点 构成的四边形的两边分别相交于点 ，设运动时间为 ．问 为何值时， 为点 构成的四边形的准中位线．
（1）①如图1，若 、 都是直角，把 绕点 逆时针旋转90°至 ，使 与 重合，直接写出线段 、 和 之间的数量关系____________________；
②如图2，若 、 都不是直角，但满足 ，线段 、 和 之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，若 ，求 的长．
（3）（拓展）如图3，点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴向点 运动，同时，点 从原点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴向上运动，设运动时间为 （ ），过点 ， ， 三点的圆，交第一象限角平分线 于点 ，当 为何值时， 有最小值，求出此时 ，并探索在变化过程中 的值有变化吗？为什么？

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD=" BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE ．（3）△DEF 为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ．∴∠DBF=∠FAE ．∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF （AAS ）．∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF 为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE ，故由AAS 证△ADB ≌△CEA ，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE ．（2）成立，仍然通过证明△ADB ≌△CEA ，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD ． （3）由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，由△ABF 和△ACF 均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA ，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，即∠DBF=∠FAE ，所以△DBF ≌△EAF ，所以FD=FE ，∠BFD=∠AFE ，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=︒是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．()1当点E 在线段AD 上时，①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD【解析】【分析】（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ∆是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到120AFB ADC ∠=∠=︒，推出ABF ACD ∆∆≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解】（1）①证明：AB AC=B C∴∠=∠,60DF DE ADB=∠=︒，且E与A重合，ADF∴∆是等边三角形60ADF AFD∴∠=∠=︒120AFB ADC∴∠=∠=︒在ABF∆和ACD∆中AFB ADCB CAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF ACD∴∆∆≌BF DC∴=②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，∵∠ADB＝60°DE＝DF∴△DEF为等边三角形∵AG∥EF∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°∴∠DAG＝∠AGD∴DA＝DG∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF由①易证△AGB≌△ADC∴BG＝CD∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，BF CD BF BG GF AE ∴+=+==故BF AE CD =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．综合实践如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，2.5, 1.7AD cm DE cm ==．（1）求BE 的长；（2）将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ∆中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE ，证明见解析．【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．【详解】解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD与CBE△中，ADC E aACD BCEAC BC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE≅∴,AD CE CD BE==又∵ED EC CD=+∴ED AD BE=+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．6．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC∆中，90BAC︒∠=,AB AC=,直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点,D E，试写出线段,BD DE和CE之间的数量关系为_________________．（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC∆中, ,,,AB AC D A E=三点都在直线l上，并且BDA AEC BACα∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图（3），,D E是,,D A E三点所在直线m上的两动点，（,,D A E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF∆与ACF∆均为等边三角形，连接,BD CE，若BDA AEC BAC∠=∠=∠，试判断DEF∆的形状并说明理由．【答案】（1）DE=CE+BD；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF为等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而根据AAS证明△ABD与△CAE全等，然后进一步求解即可；（2）根据BDA AEC BACα∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，根据AAS证明二者全等从而得出AE=BD，AD=CE，然后进一步证明即可；（3）结合之前的结论可得△ADB与△CEA全等，从而得出BD=AE，∠DBA=∠CAE，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF与△EAF全等，在此基础上进一步证明求解即可.【详解】（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ABD与△CAE中，∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD，故答案为：DE=CE+BD；（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：∠=∠=∠=，∵BDA AEC BACα∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE，即：DE=CE+BD，∆为等边三角形，理由如下：（3）DEF由（2）可知：△ADB≌△CEA，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF与△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF与△EAF中，∵FB=FA，∠FDB=∠FAE，BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.7．如图，在ABC∆中，5BC=，高AD、BE相交于点O,23BD CD=，且AE BE= .(1)求线段AO的长;(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ∆的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC上的一点且CF BO=.是否存在t 值，使以点,,B O P为顶点的三角形与以点,,F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24QD t=-，t的取值范围是12t<<；②当点Q在射线DC上时，42QD t=-，，t的取值范围是152t<≤；（3）存在，1t=或53.【解析】【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2时；（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；【详解】解：（1）∵AD是高，∴90ADC∠=∵BE是高，∴90AEB BEC∠=∠=∴90EAO ACD∠+∠=，90EBC ECB∠+∠=，∴EAO EBC∠=∠在AOE∆和BCE∆中，EAO EBCAE BEAEO BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE ∆≌BCE ∆∴5AO BC ==；（2）∵23BD CD =，=5BC ∴=2BD ，=3CD ， 根据题意，OP t =，4BQ t =，①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，∴21(24)22S t t t t =-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-， ∴21(42)22S t t t t =-=-，t 的取值范围是152t <≤ （3）存在．①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴5-4t ═t ，解得t=1，②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴4t-5=t ，解得t=53． 综上所述，t=1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________；②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1) ①AB=AE ；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF ，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，由ABC 是等边三角形，得AB=AC ，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解； （2）作∠FCG=60°交AD 于点G ，连接BF ，易证∆FCG 是等边三角形，得GF=FC ，再证∆ACG ≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF ，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AB 和AE 关于射线AD 的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE ；②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ，∴AE=AB ，∠BAF=∠EAF=α，∵ABC 是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCF CG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.9．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；（2）求证：AC +BC ＜2BD ；（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DCDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），∴CM＝CN，∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，又∵AM＝BN，∴AC+BC＝2BN，∵BN＜BD，∴AC+BC＜2BD．（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴DP＝DC，∠DPC＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。

【最新】数学《平面解析几何》期末复习知识要点(1)一、选择题1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或6【答案】B 【解析】4AF BF +=1212442422p px x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，所以121132px p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．33⎛-⎝⎭B ．,44⎛-⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．4．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-． 所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D【答案】D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.6．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤,在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn ABAFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B 两点，且5AB =C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-. 如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目.9．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．5B ．3C ．3D ．5【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 则5c =，则焦距为2c=25；故选A ．10．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）A ．12B ．642+C ．8D ．6【答案】A 【解析】 【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==， Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ．【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．已知曲线()2222:100x y C a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=︒则双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．7C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得124,2PF a PF a == ，由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒ ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7ce a==.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．15．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.16．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．17．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为3M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】由直线的斜率为tan 603k ︒==3y x b =+. 圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：圆心(0,2)到直线3y x b =+的距离为2222232122r d l ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎪⎝，即|2|12b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0)，直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故点M 的个数为3.故选：C. 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.18．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.19．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.20．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||23MN ≥．则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q∴弦心距CD ==，又2||||3MN DN DN 厖?，∴由勾股定理可得2222223DN CN CD ⎛⎫=-=-…，2231|31|(31)1(43)004k k k k k k ⇒+++⇒+⇒-剟剟答案选A 【点睛】圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

内蒙古赤峰市（新版）2024高考数学部编版能力评测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝，点P 满足＝λ，λ∈R ，若·＝－3，则λ的值为( )A．B ．－C ．D ．－第(2)题已知集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题下列叙述错误的是（ ）A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈l .B ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面.C ．三点A ，B ，C 确定一个平面.D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l α.第(5)题若，则（ ）A ．B ．C ．0D ．2第(6)题某同学投篮命中的概率为，且各次投篮是否命中相互独立，他投篮次，至少连续2次命中的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(8)题已知平面，，直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ）A．水的体积为B．水的体积为C．图甲中的水面高度为D．图甲中的水面高度为第(3)题已知三棱柱的棱长均相等，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为____________.(用，表示)第(2)题在区域内任取一点，使点落在区域内的概率为__________.第(3)题已知向量，，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量（单位：）和使用了新技术后的年产量的数据变化，得到表格如下：未使用新技术的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量30323040403536454230使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量40403550554542505142已知该基地共有20亩地，每亩地有50棵脐橙树.（1）估计该基地使用了新技术后，平均1棵脐橙树的产量；（2）估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少？（3）由于受市场影响，导致使用新技术后脐橙的售价由原来（未使用新技术时）的每千克10元降为每千克9元，试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.第(2)题为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.第(3)题已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，．(1)证明：，，成等差数列；(2)试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第(4)题过点作圆的切线，两切线分别与轴交于点，.以，为焦点的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆的另一个交点为，求直线被椭圆截得的线段长.第(5)题在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.。

202X赤峰市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．(1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(﹣1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线y＝ax2﹣2x+3(a＜0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB 上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求直线AC 及抛物线的解析式，并求出D 点的坐标；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）若点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线1∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．小明对函数2(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y k =与函数2y a x bx c =++有三个交点，则k = ；②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．5．已知抛物线2:23G y mx mx =--有最低点为F ．（1）当抛物线经过点E （-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M 是直线EF 下方抛物线上的一动点，过点M 作平行于y 轴的直线，与直线EF 交于点N ，求线段MN 长度的最大值；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线1G ．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线1G 顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的交点为P ，请结合图象求出点P 的纵坐标的取值范围． 6．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP +的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究如图1，已知抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，作直线BC ，点C 关于x 轴的对称点是点C '．（1）求点C '的坐标和直线BC 的表达式；（2）如图2，点M 在抛物线的对称轴上，N 为平面内一点，依次连接BM ，C M '，C N '，NB ，当四边形BMC N '是菱形时，求点M 坐标；（3）如图3，点P 是抛物线第一象限内一动点，过P 作x 轴的平行线分别交直线BC 和y轴于点Q 和点E ，连接PC '交直线BC 于点D ，连接QC '，PB ，设点P 的横坐标为m ，△QC D '的面积为1S ，△PBD 的面积为2S ，求12S S -的最大值． 8．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP ⊥x 轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12 0121 2 n 4 ……y……21715 25m85285 12515 217…… 质： ．（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x ﹣815|≤21bkx +．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点 O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF 交AC 于点O ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．又∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝CF ． 又∵AB ∥CD ， ∴∠EAO ＝∠FCO ． 又∵∠AOE ＝∠COF , ∴AOE COF ≅．请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．． （探究）如图①，在ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将DEF 绕点O 旋转180°得到DGF △，若四边形DEFG 的面积为8，则ABC 的面积为 ．（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．12．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，E 是AC 上的一点，且2CE =，过E 作ED BC ⊥于D ，取AE 中点F ，连接BF ，则BF 的长为_______（请直接写出答案） 小明采用如下的做法：延长AB 到H ，使AB BH =，连接EH ，B 为AH 中点，F 为AE 的中点，BF ∴是AEH ∆的中位线……请你根据小明的思路完成上面填空；（2）迁移应用：将图1中的CDE ∆绕点C 作顺时针旋转，当CE AC ⊥时，试探究BF 、AC 、CE 的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当A 、C 、D 三点共线时，直接写出线段BF 的长． 13．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB ∆的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求PQB ∆的面积． 14．综合与实践问题情境：△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是射线AD 上的一个动点(不与点A 重合)将线段AE 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF ，连接CF 交线段AB 于点G ，交AD 于点H 、连接EG ．特例分析:(1)如图1，当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：①求证：AF=CD；②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：_______；拓展探究:(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证明；(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，EGCF的值为_______；推广应用:(4)当点E在射线AD上运动时，AE mAD n，则EGCF的值为______用含m.n的式子表示)．15．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．16．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE =31-，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题． 17．（问题探究）（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明． ②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长． （拓展延伸）（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．18．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BCBN的值． 19．综合与实践背景阅读：“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形ABCD 中，点O 是线段BC 上的一个动点，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．设旋转角为α（0180α<<︒）．操作猜想：（1）如图1，若点O 是BC 中点，在正方形ABCD 绕点旋转过程中，连接AA '，BB '，DD '，则线段AA '与DD '的数量关系是_______；线段AA '与BB '的数量关系是________． 探究验证：（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形ABCD 绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '，B ．判断四边形''BB CC 的形状，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图3，若2BO CO =，在正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转的过程中，设直线BB '交线段AA '于点P ．连接OP ，并过点O 作OQ BB '⊥于点Q ．请你补全图形，并直接写出OPOQ的值． 20．综合与实践 动手操作利用旋转开展教学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．如图1，将等腰直角三角形ABC 的AB 边绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B '，90ACB ∠=︒，1AC =，连接A C '，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ．思考探索 （1）在图1中：①求证：ABC A BH '≌△△； ②A BC '的面积为______； ③tan A CB '∠=______． 拓展延伸（2）如图2，若ABC 为任意直角三角形，90ACB ∠=︒．BC 、AC 、AB 分别用a 、b 、c 表示．请用a 、b 、c 表示： ①A BC '的面积：______； ②A C '的长：______；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，AB A B '⊥，10AB =，12BC =，5A B '=，连接A C '．①A BC '的面积为______；②点D 是BC 边的高上的一点，当AD =______时，A D DB '+有最小值______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =23922t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315(,)24-，拓展：2a ≤-. 【分析】（1）由待定系数法易求解析式；（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()2,23t t t --+，由PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值. 【详解】探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -， ∴()()203233a =--⨯-+，解得1a =-.∴抛物线的表达式为223y x x =--+.（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，∴点P 的坐标为()2,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +，∴()2233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--，∴()21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=--⋅ 23922t t =--. ②∵23922S t t =--，∴当9323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当32t =-时，2331523224p y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点， 即a+5≤3； ∴2a ≤-； 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．2．F解析：（1）连线见解析，二次函数；（2）22；（3）m=0或m=4 3【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK （AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【详解】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG=DH，∵直线AC的解析式为y=﹣83x+4，∴x=0时，y=4，∴A （0，4）， 又∵B （﹣2，0），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∴204k b b ⎧-+=⎨=⎩， 解得24k b ， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4， 过点F 作FR ⊥x 轴于点R ， ∵D 点的横坐标为m ， ∴F （﹣m ，﹣2m +4）， ∴ER =2m ，FR =﹣2m +4， ∵EF 2=FR 2+ER 2，∴l =EF 2=8m 2﹣16m +16=8（m ﹣1）2+8， 令﹣83x+4=0，得x =32， ∴0≤m ≤32．∴当m =1时，l 的最小值为8， ∴EF 的最小值为22．（3）①∠FBE 为定角，不可能为直角．②∠BEF =90°时，E 点与O 点重合，D 点与A 点，F 点重合，此时m =0． ③如图3，∠BFE =90°时，有BF 2+EF 2=BE 2．由（2）得EF 2=8m 2﹣16m +16， 又∵BR =﹣m +2，FR =﹣2m +4，∴BF 2=BR 2+FR 2=（﹣m +2）2+（﹣2m +4）2=5m 2﹣20m +20， 又∵BE 2=（m +2）2，∴（5m 2﹣20m +8）+（8m 2﹣16m +16）2=（m +2）2， 化简得，3m 2﹣10m +8=0，解得m 1=43，m 2=2（不合题意，舍去），∴m =43．综合以上可得，当△BEF 为直角三角形时，m =0或m =43．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．3．D解析：（1）y =3x +3，y =﹣x 2+2x +3，顶点D 的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC 的面积的最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)；（3）点Q 的坐标为(2，3)或(13)或(13)． 【分析】（1）先求出点C 坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC 及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D 点的坐标；（2）先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，设点P 的横坐标为p ，然后根据S 四边形PMAC =S △OAC +S梯形OMPC即可得出S 四边形PMAC 与p 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可；（3）由题意得PQ ∥AC 且PQ =AC ，设点P 的坐标为(x ，0)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，把点Q 的坐标代入抛物线的解析式即可求出x ，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可． 【详解】（1）∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与y 轴交于点C ， ∴点C (0，3)，设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)． ∵点A (﹣1，0)，点C (0，3)，∴11103k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：1133k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3．∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，∴309330a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3． ∵y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4， ∴顶点D 的坐标为(1，4)； （2）设直线BD 的解析式为y =kx +b ． ∵点B (3，0)，点D (1，4)，∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y =﹣2x +6． ∵P 为线段BD 上的一个动点， ∴设点P 的坐标为(p ，﹣2p +6)． ∵OA =1，OC =3，OM =p ，PM =﹣2p +6，∴S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 111326322p p =⨯⨯+-++⨯（）=﹣p 292+p 32+=﹣(p 94-)210516+，∵1＜p ＜3， ∴当p 94=时，四边形PMAC 的面积取得最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)； （3）∵直线l ∥AC ，以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ ∥AC 且PQ =AC ．设点P 的坐标为(x ，0)，由A (﹣1，0)，C (0，3)， 当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)， 此时，﹣(x +1)2+2(x +1)+3=3， 解得：x 1=﹣1(舍去)，x 2=1， ∴点Q 的坐标为(2，3)；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)， 此时，﹣(x ﹣1)2+2(x ﹣1)+3=﹣3， 整理得：x 2﹣4x ﹣3=0， 解得：x 1=27x 2=27-∴点Q 的坐标为(173)或(17，﹣3)，综上所述：点Q 的坐标为(2，3)或(17+3)或(17，﹣3)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和一元二次方程的解法等知识，综合性强、具有一定的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用相关知识是解题的关键．4．（1）243y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤． 【分析】（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤． 【详解】解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠， 得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩2|4|3y x x ∴=--，故答案为2|4|3y x x =--． （2）如图：函数关于直线2x =对称，（3）①当2x =时，1y =，1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，故答案为1；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3， 结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤， 故答案为0x =或35x ≤≤． 【点睛】本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．5．E解析：（1）①2243y x x =--；②2；（2）2(1)y x x =-->；（3）43P y -<<- 【分析】（1）①把点E （-1，3）代入223y mx mx =--求出m 的值即可；②先求出直线EF 的解析式，设出点M 的坐标，得到MN 的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （2）写出抛物线G 的顶点式，根据平移规律即可得到1G 的顶点式，进而得到1G 的顶点坐标(1,3)m m +--，即1,3x m y m =+=--，消去m ，得到y 与x 的函数关系式，再由0m >即可求得x 的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A （2，-3），函数H 的图象恒过点B （2，-4），从图象可知两函数图象的交点P 应在A ，B 之间，即点P 的纵坐标在A ，B 点的纵坐标之间，从而可得结论． 【详解】解：（1）①∵抛物线2:23G y mx mx =--经过点E （-1，3） ∴233m+m =- ∴2m =∴抛物线的解析式为：2243y x x =--②如图，∵点F 为抛物线的最低点，∴22243=2(1)5y x x x =----∴(1,5)F -设直线EF 的解析式为：y kx b =+把E （-1，3），F （1，-5）代入得，35k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得，41k b =-⎧⎨=-⎩∴直线EF 的解析式为：41y x =--设2(,243)M a a a --，则(,41)N a a --∴22(41)243)=(22M a N a a a ------+=∵20-<∴当0a =时，MN 有最大值，最大值为2；（2）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---∴平移后的抛物线21:(1)3G y m x m m =----∴抛物线1G 的顶点坐标为(1,3)m m +--∴1,3x m y m =+=--∴132x y m +=+-=-∴2y x =--∵0,1m m x >=-∴10x ->∴1x >∴y 与x 的函数关系式为：2(1)y x x =-->（3）如图，函数:2(1)H y x x =-->的图象为射线，1x =时，123y =--=-；2x =时，224y =--=-∴函数H 的图象恒过点（2，-4）∵抛物线2:(1)3G y m x m =---，当1x =时，3y m =--；当2x =时，33y m m =--=-；∴抛物线G 恒过点A （2，-3）由图象可知，若抛物线G 与函数H 的图象有交点P ，则有B P A y y y <<∴点P 纵坐标的取值范围为：43P y -<<-【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．6．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC 2246+213 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =2114x = ∴1N （114154），2N （114154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去）， ∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 7．A解析：（1）(0,4)C '-，y ＝－x ＋4；（2）M （1，－1）；（3）12S S -的最大值是4．【分析】（1）先求得点A ，B ，C 的坐标，即可求得C '的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的表达式；（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ． 证明△OMB ≌△O MC '，即可得∠MOB =C OM ∠'．再求得∠MOB =C OM ∠'=45°；由此求得OH MH =． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M 的坐标；（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．易求122S S QP -=，再求得PQ 的最大值，即可求得12S S -的最大值．【详解】（1）∵抛物线与x 轴相交于点A ，B ，当y ＝0时，21402x x -++=，解，得122,4x x =-=； ∴B （4，0）∵抛物线与x 轴相交于点C ，∴当x ＝0时，y ＝4，∴C （0，4），(0,4)C -'∴．设BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，将B ，C 两点坐标分别代入得404k b b +=⎧⎨=⎩，解，得14k b =-⎧⎨=⎩． 直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4 ；（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ．∵四边形BMC N '是菱形，∴BM =MC '，∵B （4，0），C （0，4），∴OB ＝OC ，∵OM=OM ，∴△OMB ≌△O MC '，∴∠MOB =C OM ∠'．∵∠BO C '＝90°，∴∠MOB =C OM ∠'=45°；∵MH ⊥y ，OH MH ∴=．∵抛物线的对称轴为直线11122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 1OH MH ∴==． ∴M （1，－1）．（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．∵PQ //x 轴，∴∠IEO ＝90°90IEO EOB BIE ∠∠∠===，∴四边形EOBI 是矩形．BI OE ∴=．12ΔΔΔΔΔΔ1)11(2222QDC QD QPD QD QPC QPB P P S S S S S S S S QP C E QP BI QP C O QP ''∴-=-=''++-=⋅-⋅=⋅= ，∵点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ，∴点P 的纵坐标为2142m m -++． ∵PQ //x 轴， ∴点Q 的纵坐标为2142m m -++，将其代入y ＝－x ＋4， ∴点Q 的横坐标为212m m -． ∵点P 是抛物线第一象限内，∴点P 在点Q 右侧，2221112(2)2222PQ m m m m m m ⎛⎫∴=--=-+=--+ ⎪⎝⎭．102-<， ∴当m ＝2时，PQ 的最大值是2，∴12S S -的最大值是4．【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键． 8．A解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（4EC ＝ED ；（3）3(,0)2P -【分析】（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．【详解】解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，∴ 当x ＝0时，y ＝4．∴ C （0，4）．当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，∴ A （﹣4，0），B （1，0）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b +=⎧⎨=⎩解得：14k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．（2）设点P 的运动时间为t 秒，∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴ OP ＝t ．∴ P （﹣t ，0）．∵ A （﹣4，0），C （0，4），∴ OA ＝OC ＝4．∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC ＝．∵ DP ⊥x 轴，在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AEAP 4﹣t ）．∴ EC ＝AC ﹣AE．∵ E ，P 的横坐标相同，∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．∵ EC ＝DE ，∴﹣t 2+4t ．解得：t ＝0或t ＝4∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．（3）存在．P 的坐标为（﹣32，0）． 在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，∴ AP ＝EP ．∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．∵ AB ＝5，∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．当BE ⊥AC 时，BE 最小．在Rt △AEB 中，∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，∴ PB ＝12AB ＝52． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32． ∴ P （﹣32，0）． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 9．(1) y=221x ;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1,则y=1,∴m =1 令y =15,则x =±3, ∵2＜n ＜4,∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2.(4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意 得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或) 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 132x -= 232x -= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x。