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将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5． 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A′，连接A′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP =．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON °?，P 为MON Ð内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：OBAP(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB Ð等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°， ∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ONE2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．xy (1，3)(3，1)OB 'BA 'AD C4．如图，20MON°?，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA =，4OB =，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB ++ 的最小值是多少？ONMAB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中，∴1OD =，3A D '= ∴413B D '=-=，23A B ''= ∴AQ PQ PB ++的最小值是23．模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"ABl2l1A′NMABl2l1BAlM NA′A"BAld设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25， ∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．112．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.AB l 2l 1。
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
专题02 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。
利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA +PQ +QB 的值最小。
（原理用平移知识解）（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线m 同侧：如图1 如图2（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现需把A 厂的产品先运送到公路上然后再转送到B 厂，则最短路线的长是_____km ．问题探究（2）如图（2），ACB △和DEF V 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，90ACB DEF Ð=Ð=°，点A ，D 重合，点B ，F 重合，将ACB △沿直线AB 平移，得到A C B ¢¢¢△，连接QQ P【答案】（1）5km （2）存在，最小值为25（3）最短路线长为15km【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径A B ¢，再利用矩形的性质，求出BE 和A E ¢利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形CQEC ¢和AQEA ¢均为平行四边形，再利用最短路径作法得出则 AQ A Q ¢=，AQ BQ A Q ¢=\+\ 当点Q 与点P 重合时， AQ 连接AA ¢， 交l 于点C ， 过点由平移知CC AB ¢∥，CC QE ¢\∥．又 CQ EC ¢∥，\四边形 CQEC ¢是平行四边形，CC QE \¢=，CQ EC =¢由平移知CC AA ¢¢=，AA QE\¢=又n AB ∥，\四边形 AQEA ¢是平行四边形，AQ A E \=¢1A E C E AQ CQ QA CQ \+=+=+³¢¢\当点Q 与点P 重合时， A E C E ¢+¢过点C 作 1CG A A ^交 1A A 的延长线于点2AC AE ==Q ，2CG \=，13A G =例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，+的最小值为∴HG¢===GE CF【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．【答案】35【分析】连接BD与AC交于点O，延长Q四边形ABCD是菱形，AC\\=+=，由平移性质知，246OM\+=FM FD\=，DF DE AF当点A、F、M三点共线时，\+的最小值为：AMDF DE模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
将军饮马模型讲解【模型1】如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，连接AB，与直线l的交点即为所求点P.【模型2】如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小.【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为所求点P.【模型3】如图，点P为角内一点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.【作法】如图，分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P'和P"，连接P' P"，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型4】如图，P，Q为角内的两个定点，在射线l1，l2上分别找点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.【作法】如图，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q'和P'，连接Q'P'，与两射线的交点即为所求点M，N.【模型5】如图，直线m∥n，A，B分别为m上方和n下方的定点(直线AB不与m垂直)，在m，n上分别求点M，N，使得MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小.【作法】如图，将点A向下平移，使AA'=MN，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m于点M，则点M和点N即为所求.【模型6】如图，定点A，B分布在直线l的同侧，长度为a(a为定值）的线段MN在l上移动(点M在点N的左边)，在直线l上求两点M，N(点M在左)，使得MN=a，并使得AM+MN+NB的值最小.【作法】如图，将点A向右平移a个单位长度得到点A'，作点A'关于l的对称点A"，连接A"B，交直线l于点N，将点N向左平移a个单位长度得到点M，则点M和点N即为所求.典型例题典例1如图，∠AOB=30"，OC为∠AOB内部的一条射线，P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则△PMN周).长的最小值为( ).A.2B.4C.8D.4√3典例2如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB=8，△ABC的面积为20，求EF+CF的最小值.典例3四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为( ).A.80°B.90°C.100°D.130°初露锋芒1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ).2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，D,E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点.当△PCE 的周长最小时，点P 的位置是( ).A.AD 与BE 的交点处B.AD 的中点处C.A 点处D.D 点处3.如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点，且OP= √3，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( ).A.3√62B. 3√32C.6D.34. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 周长的最小值是________.感受中考1.(2016江苏苏州中考真题)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( ).A.(3，1)B.(3，43) c.(3,53) D.(3,2)2.(2020贵州毕节中考模拟)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 是边BC 上的动点，点Q 是对角线AC 上的动点(包括端点A ，C ），则EP+PQ 的最小值是__________.参考答案典例1【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连接P1 P2，与OA的交点为点M，与OB的交点为点N,则PM=P1M,PN=P2N.此时，△PMN的周长最小，为PM+MN+PN=P1M +MN+P2N=P1P2.连接OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=4.又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2=OP1=4.∴△PMN周长的最小值是4.故选B.典例2【答案】5【解析】如图，作E关于BD对称交于点E'，则EF= E'F∴EF+CF= E'F+ CF∴当C E'⊥AB时，EF+CF最小.∵S△ABC= 12×AB×C E'=12×8×C E' =20C E'=5∴EF+CF的最小值为5.典例3【答案】C【解析】如图，延长线段AB到点A'使得BA'=AB，延长线段AD到点A"使得DA"=AD，连接A'A"，与BC.CD分别交于点M，N，此时△AMN的周长最小.∴点A，A'关于直线BC对称，点A，A"关于直线CD对称.∵BA=BA',MB⊥AB. ∴MA=MA'.同理，NA=NA"，∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A', ∠ANM=∠A"+∠NAD=2∠A",∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A").又∵∠BAD=130°, ∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°，∴∠AMN+∠ANM=100°.故选C.初露锋芒1. 【答案】D .【解析】根据两点之间，线段最短，作点P 关于直线L 的对称点P '，连接QP '交直线L 于点M 即可.故选D.2. 【答案】A【解析】∵EC 的长度固定，∴△PCE 的周长大小与PE+PC 的值有关， ∴当PE+PC 的值最小时，△PCE 的周长最小. 连接BE ，交AD 于点P '，如图，此时BP '+P 'E 的值最小，即BP+PE 的值最小. ∵点C 关于直线AD 的对称点为点B. ∴此时PE+PC 的值最小，∴当点P 在BE 与AD 的交点处时，△PCE 的周长最小. 故选A.3. 【答案】D.【解析】如图，分别作点P 关于射线OA. OB 的对称点C ，D ，连接CD 分别交OA ，OB 于点M ，N ，连接OC ，OD ， 则MP=MC ，NP=ND ，OC=OD=OP=√3, ∠BOP=∠BOD.∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MC+MN=DC.∠COD=∠BOP +∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴∠OCD=∠ODC=30°.作OH ⊥CD 于点H ，则CH=DH.∵∠OCH=30°. ∴OH= 12 0C= √32, ∴CH=√3OH= 32，∴CD=2CH=3, 即△PAMN 周长的最小值是3.故选D.4. 【答案】3.【解析】要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可，如图：连接AG 交EF 于M ，因为等边△ABC ，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，所以AG ⊥BC,EF ∥BC,则AG ⊥EF ，AM=MG,A 、G 关于EF 对称，即当P 和E 重合时，此时BP+PG 最小，即△PBG 的周长最小，AP =PG ，BP=BE ，最小值是：PB+ PG+ BG= AE+BE+ BG=AB+BG=2+1=3感受中考1.【答案】B【解析】如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 交AB 于点E ，此时△CDE 的周长最小.∵B(3，4)，四边形OABC 是矩形，∴A(3,0)，C(0,4).∵D 是OA 的中点，∴D( 32，0)，H( 92，0). 设直线CH 的解析式为y=kx + b ，把C(0，4).H( 92，0)代人y= kx + b , 得{4=b 0= 92k + b 解得{k =−89b =4 ∴直线CH 的解析式为y=−89x+4， 当x=3时；y= 43， ∴点E 的坐标为(3，43). 故选B.2. 【答案】3√2【解析】如图，作点B关于BC的对称点E'，作E'Q'⊥AC于点Q'，交BC于点P.∴PE=PE'.∴PQ+PE=PE'+PQ.分析知，当Q与Q'重合时，PE+PQ的值最小(垂线段最短)，∵四边形ABCD是正方形，∴∠E'AQ'=45°.∵AE'=6，∴E'Q'=3√2∴PE+PQ的最小值为3√。
将军饮马模型原理解析背景介绍将军饮马模型（也称为“Generals and the Drinking Horse”）是一个经典的分布式系统问题，用于解释在分布式系统中的一致性问题。
这个问题最早由莱斯利·兰伯特（Leslie Lamport）在1982年提出，并被广泛应用于分布式计算和共识算法研究中。
问题描述将军饮马模型是一个由多个将军组成的系统，这些将军通过发送消息来达成共识。
每个将军都可以选择发动进攻或撤退，而他们的目标是要么全体进攻，要么全体撤退。
然而，由于通信不可靠，将军之间可能无法完全互相了解对方的行动意图。
具体来说，每个将军可以发送三种类型的消息给其他将军： 1. ATTACK：表示该将军希望进攻。
2. RETREAT：表示该将军希望撤退。
3. ACKNOWLEDGE：表示该将军已经收到了另一位将军发送的消息。
所有的消息都会通过信使传递给其他的将军。
然而，由于信使可能被敌方拦截或延迟送达，所以将军无法得知他们的消息是否已经被其他将军收到。
此外，每个将军还有一个重要的限制条件：如果将军A收到了一条进攻消息，那么他必须向其他所有将军发送一条进攻或撤退的消息。
同样地，如果将军A收到了一条撤退消息，那么他也必须向其他所有将军发送一条进攻或撤退的消息。
问题是如何设计一种算法来确保所有的将军在没有完全互相了解对方行动意图的情况下达成共识。
基本原理为了解释将军饮马模型中的基本原理，我们可以使用著名的“Byzantine Generals Problem”作为一个更具体和形象化的例子。
Byzantine Generals Problem是一个扩展和推广了将军饮马模型的问题，在其中有多个叛徒（即“拜占庭将军”）可能会向其他人发送虚假信息。
在这个问题中，我们假设有n个拜占庭将军，并且至多有m个叛徒。
每个拜占庭将军都需要向其他人发送一个确定性的值（例如进攻或撤退），并且希望建立一个共识来确保他们中大多数人都达成相同的值。
将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最 小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ， 在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使 得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
几何必备知识：将军饮马经典例题，三个动点的处理方法几何学习中，将军饮马是一道经典例题，此题中需要运用到三个动点的处理方法。
下面将详细介绍此题的解法。
将军饮马：设一个马厩和一口井分别在平面上的两个点，一匹马从马厩出发，经过一段时间后来到井边饮水，接着又返回马厩。
假设马的速度是恒定不变的，问它怎么样走，才能用最短时间走完这段路程。
解法如下：将车厩记为 A 点，水井记为 B 点，马的当前位置记为 C 点，用线段 AC 和 BC 分别表示马去往 A、B 两点的路程。
设 AB 的长度为D，求出 60 度角的正弦值常数值（即：$\frac{\sqrt{3}}{2}$），使得$\frac{sin\angle ACB}{sin\angle CAB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
马按照此方法跑的路径就是最短路径。
处理三个动点中，马是动点，马厩和水井是定点，因此需要通过数学方法求解马的运动轨迹。
首先，设马经过时间为 t，对于 AC、BC 两线段，设 s1 和 s2 分别为 AC、BC 路程中马已经走过的距离，则有s1 = vt，s2 = D - vt，其中 v 为马的速度。
设 AB 线段的长度为 d，则设 t 时间内马走过的路程为 S，则有 S = s1 + s2，即 S = vt + (D - vt) = D，此时马完成了一次来回。
接下来，需要求出点 C 到 AB 线段距离的最小值。
因为 ACB 三角形是个等边三角形，所以 $\angle ACB = 60^{\circ}$，从而得出 $\angle ACD = \angle BCD = 30^{\circ}$。
此时，可以通过数学方法推导出距离 ACB 线段最短的距离是 AB 的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 倍。
因此，将军饮马的最短路径就是按照上述方法，在 AB 线段上确定距离 C 点最近的点 D，然后在 AC、BC 线段上运用三角函数，求出距离点 D 最近的点 E，最后马在走过 DE 这条直线后，沿着 AB 线段返回到马厩。
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
将军饮马所有模型及变式——终极篇一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN＋NB 最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例2：(模型11)解析：例3：(结合勾股)解析：练习反馈：1.在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．2. 从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B 所经过的路径长．3.已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．4. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______。
《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分3别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ⊥ON 时，AQ 最小.2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
最值模型之将军饮马(11个常考模型)1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 22 ．试题分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值．答案详解：解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD=∠AFD'，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D'AF(ASA)，∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=1，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'=45°，∴AP'=P'D'，在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2=1，∴P'D'=22，即DQ+PQ的最小值为2 2．所以答案是：2 2．2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．(1)求线段AB的长；(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为(0，3)．试题分析：(1)根据题意求出a=4，b=3，可求OA、OB的长，再由勾股定理求AB即可；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，证明△ADE ≌△BAO (AAS )，可求D 点坐标；作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，用待定系数法求值直线FD 的解析式，再求P 点坐标即可．答案详解：解：(1)∵|a -4|+(b -3)2=0，∴a =4，b =3，∴A (0，4)，B (3，0)，∴OA =4，OB =3，∴AB =5；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD =90°，∴∠EAD +∠OAB =90°，∵∠EDA +∠EAD =90°∴∠OAB =∠EDA ，∵AD =AB ，∴△ADE ≌△BAO (AAS )，∴EC =OA =4，AE =BO =3，∴D (4，7)，作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，由对称性可知，BP =PF ，∴PB +PD =PF +PD ≥FD ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，∵B (3，0)，∴F (-3，0)，设直线DF 的解析式为y =kx +b ，∴-3k +b =04k +b =7，解得k =1b =3 ，∴y =x +3，∴P (0，3)，所以答案是：(0，3)．3如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是直线BC 上一动点．若AB =4，则AE +OE 的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210试题分析：本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A 关于直线BC 的对称点A '，再连接A 'O ，运用两点之间线段最短得到A 'O 为所求最小值，再运用勾股定理求线段A 'O 的长度即可．答案详解：解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE=A'E，AE+OE=A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A'E+OE=A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴OF=FB=1AB=2，2∵A与A'关于BC对称，∴AB=BA'=4，∴FA'=FB+BA'=2+4=6，在Rt△OFA'中，OA'=FO2+FA'2=210，所以选：D．4如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为()A.35+3B.43+3C.52+3D.213+3试题分析：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，先证明△AED≌△GFE，即可得到点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，当点D，F，C三点共线时，DF+CF= DC'最小，根据勾股定理求出DC'=DF+CF的最小值为35，即可求出此时△DCF的周长为35 +3．答案详解：解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF=DE，∴∠DEA+∠FEG=∠DEA+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠FEG，又∵∠DAE=∠FGE=90°，∴△AED≌△GFE(AAS)，∴FG=AE，AD=EG，∴AD=EG=AB，即BG=AE=FG，∴∠CBF=∠GBF=45°，即点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，∴C'点在AB的延长线上，当点D，F，C三点共线时，DF+CF=DC'最小．在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=35，∴DF+CF的最小值为35，∴此时△DCF的周长为35+3．所以选：A．5如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB=2，BD=4，则PM+PN的最小值为()A.7B.2C.2+2D.1+3试题分析：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，求出NM'即为所求答案详解：解：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，∴MP=M'P，∴MP+PN=M'P+NP≥M'N，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，∵AB=2，BD=4，∴AD=23，∵AB=12BD，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵MM'⊥BD，∴∠BMM'=30°，∵M是AB的中点，∴BM=1，∴MM'=3，EM'=32，ME=3 2，∴AE=52，∴FM'=52，∵N是AD的中点，∴AN=3，∴FN=32，∴M'N=322+52 2=7，∴PM+PN的最小值为7，所以选：A．6如图，直线y=x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P 为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为()A.(-4，0)B.(-3，0)C.(-2，0)D.(-1，0)试题分析：根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．答案详解：解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．令y=x+8中x=0，则y=8，∴点B的坐标为(0，8)；令y=x+8中y=0，则x+8=0，解得：x=-8，∴点A 的坐标为(-8，0)．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C (-4，4)，点D (0，4)．∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴点D ′的坐标为(0，-4)．设直线CD ′的解析式为y =kx +b ，∵直线CD ′过点C (-4，4)，D ′(0，-4)，∴-4k +b =4b =-4 ，解得：k =-2b =-4 ，∴直线CD ′的解析式为y =-2x -4．令y =0，则0=-2x -4，解得：x =-2，∴点P 的坐标为(-2，0)．所以选：C ．7如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC =x ，PE +PB =y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点Q 的坐标可能为()A.(2，5)B.(22，35)C.(4，3)D.(42，35)试题分析：连接PD ．由B 、D 关于AC 对称，推出PB =PD ，推出PB +PE =PD +PE ，推出当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ，AD =AB =2a ，分别求出PB +PE 的最小值，PC 的长即可解决问题．答案详解：解：如图，连接PD ，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ．∴AE =EB =a ，AD =AB =2a ，∵B 、D 关于AC 对称，∴PB =PD ，∴PB +PE =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，如下图：在Rt △AED 中，DE =5a ，∴PB +PE 的最小值为5a ，∴点Q 的纵坐标为5a ，∵AE ∥CD ，∴PC PA =CD AE=2，∵AC =22a ，∴PC=22a×23=423a，∴点Q的横坐标为423a，∴Q423a，5a．结合选项可知，当a=3时，点Q的坐标为(42，35)．所以选：D．8如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为12．试题分析：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．答案详解：解：∵AB=5，PQ=2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB=AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB=AB-AM=5-2=3，BC=4，∴CM=32+42=5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7=12．所以答案是：12．9如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P为矩形内一点，满足∠ABP=∠BCP．(1)若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 161313 ；(2)若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为410-4 ．试题分析：(1)根据题意可得△ABE ∽△PCB ，所以AE BP =BE BC，再利用勾股定理可求得BE ，解方程即可求得BP ．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，可知当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值，再利用勾股定理可求得B 'O 的长，进而可得出答案．答案详解：解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABP +∠PBC =90°，∵∠ABP =∠BCP ，∴∠BCP +∠PBC =90°，∴∠BPC =90°，∴点P 是在以BC 为直径为圆上．∵点B ，P ，E 在同一条直线上，∴△ABE ∽△PCB ，∴AE BP =BE BC，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 为AD 的中点，∴AE =4，BE =AB 2+AE 2=62+42=213．∴4BP=2138，∴BP =161313．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，则BE +PE =B 'E +PE ．∴当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值．∴B 'P =B '0-OP ．在Rt △OBB '中，B 'O =BB '2+BO 2=122+42=410．∴B 'P =410-4．∴BE +PE 的最小值为410-4．10如图，正方形中，AB =2，连接AC ，∠ACD 的平分线交AD 于点E ，在AB 上截取AF =DE ，连接DF ，分别交CE ，AC 于点G ，H ，点P 是线段GC 上的动点，PQ ⊥AC 于点Q ，连接PH ．下列结论：①CE ⊥DF ；②DE +DC =AC ；③EA =2AH ；④PH +PQ 的最小值是22．其中所有正确结论的序号是①②③．试题分析：①先证△DEC≌△AFD，可得∠ADF=∠DCE，由∠ADF+∠CDG=90°，可得∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，则①正确；②由①可知∠CGD=90°，易证△CDG≌△△CHG，可得CD=CH，∠CDG=∠CHG，由AB∥CD，可得∠CDG=∠AFH，而∠AHF=∠CHG，则∠AFH=∠AHF，即AH=AF，从而可得②正确；③由于AD=CD=AH=2，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而AH=DE，所以EA 可求，即可得出③正确；④由①②可得DG=GH，CG⊥DH，即H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的长，从而可得④不正确．答案详解：解：①∵在正方形ABCD中，DE=AF，∠CDE=∠DAF=90°，CD=AD，∴△DEC≌△AFD，∴∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDG=90°，∴∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，∴CE⊥DF，∴①正确．②由①可知∠CGD=∠CGH=90°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACG=∠DCG，∵CG=CG，∴△CDG≌△△CHG，∴CD=CH，∠CDG=∠CHG，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AFH，∵∠AHF=∠CHG，∴∠AFH=∠AHF，即△AFH为等腰三角形，∴AH=AF，∴DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC．∴②正确．③由②可知，AH=AF=DE，CD=CH，∵AB=2，∴AC=22，∴AH=22-2，∴EA=2-(22-2)=4-22，∴EA AH =2，∴③正确．④由①②可得DG =GH ，CG ⊥DH ，∴点H 关于CE 的对称点是点D ，过点D 作GQ ⊥AC ，交CE 于点P ，此时PH +PQ 取得最小值，最小值即为DQ 的长，在等腰直角三角形ADQ 中，AD =2，∴DQ =2，∴PH +PQ 的最小值为2，∴④不正确．所以答案是：①②③．11如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点(点Q 在点P 的右边)．①若连结AP 、PE ，则PE +AP 的最小值为10；②连结QE ，若PQ =3，当CQ = 53 时，四边形APQE 的周长最小．试题分析：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，在Rt △EMN 中，根据勾股定理求出EM 的长即可解答；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，此时GQ +QE 的值最小，根据题意可知AE ，PQ 的值是定值，要使四边形APQE 的周长最小，只要GQ +EQ 的值最小即可，然后根据A 字模型相似三角形证明△FCQ ∽△FDG ，利用相似三角形的性质，即可解答．答案详解：解：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，∴AP =PM ，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，∴AP +PE =PM +EP =EM ，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，∠ABC =∠BCD =90°，∴∠MBC =∠BCN =90°，∵∠MND =90°，∴四边形BMNC 是矩形，∴BM =CN =4，BC =MN =8，∵E 为CD 的中点，∴EC =12CD =2，∴EN =EC +CN =6，∴ME =MN 2+EN 2=82+62=10，∴PE +AP 的最小值为10，所以答案是：10；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，∴EQ =FQ ，∴GQ +EQ =GQ +FQ =FG ，此时GQ +QE 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∵AG =PQ =3，∴四边形APQG 是平行四边形，∴AP =GQ ，∴GQ +EQ =AP +EQ =FG ，∵AE ，PQ 的值是定值，∴要使四边形APQE 的周长最小，只要AP +EQ 的值最小即可，设CQ =x ，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠D ，∠CQF =∠DGF ，∴△FCQ ∽△FDG ，∴CQ DG =CF DF ，∴x 5=26，∴x =53，∴当CQ =53时，四边形APQE 的周长最小，所以答案是：53．12如图，扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =60°，点C 是AB 上的一个定点(不与A ，B 重合)，点D ，E 分别是OA ，OB 上的动点，则△CDE 周长的最小值为33 ．试题分析：如图，连接OC ，作点C 关于OA ，OB 的对称点T ，P ，连接OT ，OP ，PT ，PT 交AO 于点D ，交OB 于点E ，连接CD ，CE ，此时△CDE 的周长最小，最小值=线段TP 的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．答案详解：解：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO 于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值=线段TP的长．过点O作OH⊥PT于点H．∵OC=OA=OP=OT=3，∠AOC=∠AOT，∠BOC=∠BOP，∴∠POT=2∠AOB=120°，∵OH⊥PT，OP=OT，∴TH=PH，∠TOH=∠POH=60°，∴TH=PH=OT•sin60°=332，∴PT=2TH=33，∴△CDE的周长的最小值为33．所以答案是：33．13如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．(1)求证：CM=BM．(2)若AD=23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．试题分析：(1)连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB=60°，再利用切线的性质可得∠ODM =90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM=∠BOM =30°，进而可得AC∥OM，即可解答；(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出OE的长，从而求出DE的长，最后证明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．答案详解：(1)证明：连接OD，OM，∵∠BAC=30°，∴∠DOB=2∠A=60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM=90°，∵∠ABC=90°，OD=OB，OM=OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM(HL)，∴∠DOM=∠BOM=12∠DOB=30°，∴∠A=∠BOM，∴AC∥OM，∵OA=OB，∴BM=CM；解法二：连接BD，∵DM，BC都是⊙O的切线，∴MD=MB，∴∠MBD=∠MDB，∵∠C+∠CBD=90°，∠CDM+∠BDM=90°，∴∠C=∠MDC，∴MC=MD，∴CM=MB．(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE=D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AD=23，∠DAB=30°，∴BD=AD•tan30°=23×33=2，∴AB=2BD=4，∴OA=OB=OD=12AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB•tan30°=4×33=433，∴CM=BM=12BC=233，∵∠DOB=60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE=EB=12OB=1，∴DE =3OE =3，∴DE =D ′E =3，∵∠D ′EP =∠CBP =90°，∠MPB =∠EPD ′，∴△MBP ∽△D ′EP ，∴BM D 'E =BP EP ，∴2333=BP 1-BP ，∴BP =25，∴AP =AB -BP =185，∴AP 的长为185．解法二：以B 为原点，构造平面直角坐标系．作点D 关于x 轴的对称点F ，连接FM 交AB 于点P ，连接PD ，此时PD +PM 的值最小．由方法一可知F (-1，-3)，M 0，233，设直线FM 的解析式为y =kx +b ，则有-k +b =-3b =233，∴直线FM 放解析式为y =533x +233，令y =0，可得x =-25，∴AP =AB -PB =185．14如图，抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A (-3，0)，抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)．(1)求出该抛物线的函数解析式；(2)如图1，线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD，CD 与抛物线相交于点E ，求点E 的坐标．(3)如图2，点M ，N 是线段AC 上的动点，且MN =2，求△OMN 周长的最小值．试题分析：(1)设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；(2)过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，所以∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于D ，则∠BFC =90°，先求出点B 、C 的坐标，得到BF =3，CF =1，再证△BCF ≌△CGD (AAS )，得到CG =BF =3，DG =CF =1，即可求出点D 的坐标，即可用待定系数法求出直线CD 的解析式，再与抛物线解析式联立求得点E 的坐标；(3)先求得直线AC 的解析式，然后设点M 的坐标为(m ，-m -3)，进而得到点N 的坐标为(m +1，-m -4)，再由两点间的距离公式求得OM +ON 的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得OM +ON 的最小值，最后得到△OMN 的周长最小值．答案详解：解：(1)∵抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)，即顶点坐标为(-1，-4)，设抛物线的解析式为y =a (x +1)2-4，把点A (-3，0)代入解析式，得4a -4=0，∴a =1，∴抛物线的解析式为y =(x +1)2-4=x 2+2x -3．(2)当y =0时，x 2+2x -3=0，解得：x =-3或x =1，∴B (1，0)，如图1，过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，∴∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于F ，则∠BFC =90°，∵线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD ，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠DCG +∠BCF =90°，∴∠D =∠BCF ，又∵∠BFC =∠DGC =90°，∴△BCF ≌△CGD (AAS )，∴BF =CG ，CF =DG ，∵B (1，0)，C (0，-3)，∴BF =3，CF =1，∴CG =BF =3，DG =CF =1，∴BF -DG =2，∴D (-3，-2)，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =-2b =-3 ，解得：k =-13b =-3，∴直线CD 的解析式为y =-13x -3，由y =-13x -3y =x 2+2x -3，解得：x =-73y =-209或x =0y =-3 ，∴点E 的坐标为-73，-209．(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =0b =-3 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设点M 的坐标为(m ，-m -3)，则点N 的坐标为(m +1，-m -4)，∴OM +ON =(m -0)2+(-m -3)2+[m -(-1)]2+(-m -4)2，∴OM +ON 表示点(m ，-m )到点P (0，3)和点Q (-1，4)的距离之和，点(m ，-m )在直线y =-x 上，如图2，作点P (0，3)关于直线y =-x 的对称点P '，连接P 'Q ，与直线y =-x 的交点即为点(m ，-m )，此时，OM +ON 取得最小值即为P 'Q 的值，∵直线y =-x 是第二、四象限的角平分线，∴∠POH =∠P 'OH =45°，由对称得，PP '⊥OH ，∴∠PHO =∠P 'HO =90°，∴△PHO 和△P 'HO 都是等腰直角三角形，∴OP '=OP =3，∴P '(-3，0)，∴P 'Q =[-1-(-3)]2+(4-0)2=25，∴OM +ON 的最小值为25，∴△OMN 的最小值为25+2．15(1)如图①，点A 、点B 在直线l 同侧，请你在直线l 上找一点P ，使得AP +BP 的值最小；(不需要说明理由)(2)如图②，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内一定点，OP =5，点E ，F 分别在OA ，OB 上，△PEF 的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；(3)如图③，已知四边形OABC 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，BC =2，OC =1033，点H 为OA 边上的一点且OH =4，点P ，F 分别在边AB ，OC 上运动，点E 在线段OH 上运动，连接EF ，EP ，PF ，△EFP 的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP 周长最小值和此时OE 的长，若不存在，请说明理由．试题分析：(1)作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交直线l 于点P ，即为所求；(2)作点P 关于OA 和OB 的对称点P '和P ''，连接P 'P ''，交OA 和OB 于点E 、F ，此时△PEF 的周长最小，连接OP '、OP ''，然后根据等腰三角形的性质求得P 'P ''的长即为△PEF 的周长最小值；(3)作点E 关于AB 和OC 的对称点E '和E ''，连接EE ''交OC 于点Q ，连接E 'E ''，交AB 和OC 于点P 、F ，此时△PEF 的周长最小，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，过点B 作BN ⊥CG 于点N ，从而利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BC 、AG 、OG 的长，即可得到OA 、OH 的长，设OE =x ，得到AE、EQ、AE'、EE''的长，过点E''作E''M⊥OA于点M，然后得到EM、E''M、E'M的长，再根据直角三角形的勾股定理求得E'E''2的大小，进而利用二次函数的最小值求得E'E''2的最小值，最后得到△PEF的周长最小值和OE的长．答案详解：解：(1)如图①，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，即为所求．(2)△PEF的周长存在最小值，理由如下，如图②，作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，交OA和OB于点E、F，此时△PEF的周长最小，连接OP'、OP''、OP，由对称得，OP'=OP=OP''=5，∠P'OA=∠POA，∠POB=∠P''OB，∴∠P'OP''=∠P'OA+∠AOB+∠P''OB=∠AOB+∠POA+∠POB=∠AOB+∠AOB=60°+60°=120°，∴∠OP'P''=30°，过点O作OH⊥P'P''于点H，则P'H=P''H，∠OHP'=∠OHP''=90°，∴OH=12OP'=12×5=52，∴P'H=OP'2-OH2=52-52 2=532，∴P'P''=2P'H=2×532=53，∴△PEF周长最小值为53．(3)△EFP周长存在最小值，理由如下，如图③，作点E关于AB和OC的对称点E'和E''，连接EE''交OC于点Q，则∠EQO=90°，连接E'E''，交AB和OC于点P、F，此时△PEF的周长最小，过点C作CG⊥OA于点G，过点B作BN⊥CG于点N，则∠BNC=∠ABN=90°，四边形ABNG是矩形，∴BN=AG，∵∠ABC=150°，∠OAB=∠OCB=90°，∴∠CBN=150°-90°=60°，∠AOC=30°，∴∠BCN=30°，∵BC=2，OC=1033，∴BN=12BC=12×2=1，CG=12OC=12×1033=533，∴AG=1，OG=OC2-CG2=10332-533 2=5，∴OA=AG+OG=1+5=6，设OE=x(0≤x≤4)，则AE=OA-OE=6-x，∵∠AOC=30°，∴EQ=12OE=12x，∠E''EM=60°，由对称的性质得，AE'=AE=6-x，EQ=E''Q=12 x，∴EE''=EQ+E''Q=12x+12x=x，过点E''作E''M⊥OA于点M，则∠E''ME=90°，∴∠EE''M=30°，∴EM=12E''E=12x，∴E''M=E″E2-EM2=x2-x2 2=32x，E'M=E'A+AE+EM=6-x+6-x+12x=12-32x，∴E'E''2=E'M2+E''M2=12-32x2+32x2=3x2-36x+144=3(x-6)2+36，∴当0≤x≤4时，E'E''的值随x的增大而减小，∴当x=4时，E'E''2最小值=3×(4-6)2+36=48，∴OE的长为4时，△EFP周长最小值为43．16问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 125 ；问题探究(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决(3)某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．(路面宽度忽略不计)试题分析：(1)过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积法可得BP=AB⋅BCAC =3×45=125；(2)作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC对称，可知PB+PE=PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，根据∠B =90°，AB =BC =2，点E 是BC 的中点，可得CE =CE '=1，∠BCE '=90°，再用勾股定理可得答案；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，由C ，N 关于AB 对称，C ，M 关于AD 对称，CE =NE ，CF =MF ，又N ，E ，F ，M 共线，知此时CE +EF +CF 最小，根据∠A =60°，∠ABC =90°，∠BCD =150°，可得∠ADC =60°，∠MCD =∠CMD =30°，即得DH =12CD =500米，CH =MH =3DH =5003米，CM =10003米，由∠ADC =60°，∠A =60°，知△ADG 是等边三角形，从而CG =DG -CD =1000米，同理可得CG =NG =1000米，∠BNG =∠BCG =30°，即得BG =12CG =500米，BC =BN =3BG =5003米，故CN =10003米=CM ，知∠CNM =∠CMN =30°，在Rt △BNE 中，BE =BN 3=50033=500米，在Rt △MHF 中，FH =MH 3=50033=500米，即得DF =FH +DH =1000米．答案详解：解：(1)过B 作BP ⊥AC 于P ，如图：由垂线段最短可知，BP ⊥AC 时，BP 的值最小，∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，∵2S △ABC =AB •BC =AC •BP ，∴BP =AB ⋅BC AC =3×45=125，所以答案是：125；(2)作E 关于直线AC 的对称点E '，连接CE '，EE '，BE '，BE '交AC 于P ，如图：∵E ，E '关于直线AC 对称，∴PE =PE '，∴PB +PE =PB +PE '，∵B ，P ，E '共线，∴此时PB +PE 最小，最小值为BE '的长度，∵∠B =90°，AB =BC =2，∴∠ACB =45°，∵点E 是BC 的中点，∴CE =1，∵E ，E '关于直线AC 对称，∴∠ACE '=∠ACB =45°，CE =CE '=1，∴∠BCE '=90°，在Rt △BCE '中，BE '=BC 2+CE '2=22+12=5，∴PB +PE 的最小值为5；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE=NE，CF=MF，∴CE+EF+CF=NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A=60°，∠ABC=90°，∠BCD=150°，∴∠ADC=60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH=∠CDH=60°，∠CHD=∠MHD=90°，CD=MD=1000米，∴∠MCD=∠CMD=30°，∴DH=12CD=500米，CH=MH=3DH=5003米，∴CM=10003米，∵∠ADC=60°，∠A=60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG=AD=2000米，∴CG=DG-CD=1000米，∵∠BCD=150°，∴∠BCG=30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC=90°，∴C，B，N共线，CG=NG=1000米，∠BNG=∠BCG=30°，∴BG=12CG=500米，BC=BN=3BG=5003米，∴CN=10003米=CM，∴∠CNM=∠CMN，∵∠BCD=150°，∠MCD=30°，∴∠NCM=120°，∴∠CNM=∠CMN=30°，在Rt△BNE中，BE=BN3=50033=500(米)，在Rt△MHF中，FH=MH3=50033=500(米)，∴DF=FH+DH=500+500=1000(米)，答：BE的长为500米，DF的长为1000米．17如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．试题分析：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．答案详解：解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0 c=3，解得b=2 c=3 ，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0 b=3，解得k=-1 b=3 ，∴y=-x+3，设P (t ，-t +3)，则M (t ，-t 2+2t +3)，N (2-t ，-t 2+2t +3)，∴PM =|t 2-3t |，MN =|2-2t |，∵PM =12MN ，∴|t 2-3t |=12|2-2t |，解得t =1+2或t =1-2或t =2+3或t =2-3，∴P 点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)过Q 点作QG ∥BC ，∵C (0，3)，D 点与C 点关于x 轴对称，∴D (0，-3)，令y =0，则-x 2+2x +3=0，解得x =-1或x =3，∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴AQAP =AG BA，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34 ，∴Q 54，34，∴DQ =5104．18在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1，0)和点B (0，3)，顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP +ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用配方法得到y =-(x -1)2+4，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，根据旋转性质得∠PDC =90°，DP =DC =t ，则P (1+t ，4-t )，然后把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +4得到关于t 的方程，从而解方程求出t ，即可得到点P 的坐标；(3)P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为(1，-1)，找出点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF 的解析式，即可得到点M 的坐标．答案详解：解：(1)把A (-1，0)和点B (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得-1-b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；(2)∵y =-(x -1)2+4，∴C (1，4)，抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，∴P (1+t ，4-t )，把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +3得：-(1+t )2+2(1+t )+3=4-t ，整理得t 2-t =0，解得：t 1=0(舍去)，t 2=1，∴P (2，3)；(3)∵P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，∴E 点坐标为(1，-1)，∴点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF的值最小，设直线PF 的解析式为y =kx +n ，∴2k +n =3-k +n =-1，解得：k =43n =13 ，∴直线PF 的解析式为y =43x +13，∴点M 的坐标为0，13 ．19如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(-1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b，把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4，把问题转化为解方程求解即可．答案详解：解：(1)把A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx+4，得到a-b+4=016a+4b+4=0 ，解得a=-1 b=3 ，∴y=-x2+3x+4；(2)在y=-x2+3x+4中，令x=0，则y=4，∴C(0，4)，设BC的解析式为y=kx+b，∵B(4，0)，C(0，4)，∴b=44k+b=0 ，∴k=-1 b=4 ，∴直线BC的解析式为y=-x+4．(3)如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接PA ，此时PA +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=42+42=42，此时P 32，52．(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4或-4，对于抛物线y =-x 2+3x +4，当y =4时，x 2-3x =0，解得x =0或3，∴N 1(3，4)．当y =-4时，x 2-3x -8=0，解得x =3±412，∴N 23+412，-4 ，N 33-412，-4 ，综上所述，满足条件的点N 的坐标为(3，4)或3+412，-4或3-412，-4 ．20已知反比例函数y =k x 和一次函数y =x -1，其中一次函数图象过(3a ，b )，3a +1，b +k 3两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y =13x ，y =3x 的图象分别与函数y =k x(x >0)图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得△ABP 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中，列出方程组进行计算即可解答；(2)作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，先求出A ，B 两点坐标，从而求出AB 的长，再根据点B 与点B ′关于y 轴对称，求出B ′的坐标，从而求出AB ′的长，进而求出△ABP 周长的最小值．答案详解：解：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中可得：b =3a -1b +k 3=3a +1-1，解得：k =3，∴反比例函数的关系式为：y =3x；(2)存在，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，由题意得：y =3x y =3x ，解得：x =1y =3 或x =-1y =-3 ，∴B (1，3)，由题意得：y =3xy =13x，解得：x =3y =1 或x =-3y =-1 ，∴A (3，1)，∴AB =22，∵点B 与点B ′关于y 轴对称，∴B ′(-1，3)，BP =B ′P ，∴AB ′=25，∴AP +BP =AP +B ′P =AB ′=25，∴AP +BP 的最小值为25，∴△ABP 周长最小值=25+22，∴△ABP 周长的最小值为25+22．。
