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2.6 张量函数的导数1.张量函数的定义张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。
例如()B f f =，()ij B f f = (2.6.01)()B a a =，()ijkkB a a = (2.6.02) ()BC C =，()ijk k B C C 11= (2.6.03)分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。
一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。
2.张量函数的梯度现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。
B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。
这时ij ijdB B fdf ∂∂=(2.6.04) 写成不变性形式，则有B Bd d dfdf :=(2.6.05) 根据商法则可知Bd df也是二阶张量，称之为f 的梯度。
若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。
这时在求f 的梯度时，需先在f 里用()ji ijB B+21代替ij B ，求得扩充后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。
例如()()()2211221241B B B f +==B (2.6.06) 于是()1221121221B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 121221B fB B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()212B f 直接求导，就会导致12212B B f =∂∂的错误结果。
任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。
现求它的梯度如下。
由式(1.11.07)—式(1.11.09)知ir ri βδ=1I (2.6.09)js ir rst ijt B B e e 212=I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 613=I (2.6.11)于是mn rn im ri mnrri mn B B B I δδδδ∂∂δ∂∂===11 (2.6.12) ()mnjs ir rst ijt mn B B B e e B I ∂∂∂∂212= (2.6.13) ()()sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-=21()[]nm jj mn B B -=δ221()Tmn mn jj B B -=δ (2.6.14)()mnkt js ir rst ijk mn B B B B e e B I ∂∂∂∂613= ()tn km js ir kt js sn jm ir kt js rn im rst ijk B B B B B B B e e δδδδδδ++=61kt js nst mjk B B e e 21=()()()[]kt js js kn ks jn mt jt kn kt jn ms ks jt kt js mn B B δδδδδδδδδδδδδδδ-+---=21()[]mm jj km nk km nt kk nm kt tk kk jj mn B B B B B B B B B B B B -++--=δ21()()()tn T mt T Tmn kk mn kt tk kk jj B B B B B B B B +--=δ21 (2.6.15)把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有I B =d dI 1(2.6.16) T I d dI B I B -=12(2.6.17) ()2123T T I I d dI B B I B+-= (2.6.18) 利用式凯莱—哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式：()313I B B-=T d dI (2.6.19)在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。
本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。
相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。
2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。
矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。
矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。
参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。
2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。
在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。
第二章 张量代数 §2.1 张量的加法（减法）两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减），张量相加（或相减）是相加（或相减）其同名的分量。
设i jk .A 、i jk .B 是张量，则i jk .i jk .i jk .B A C += (2.1-1)也是张量。
可以证明，i jk .A 、i jk .B 相加（相减）的结果是一个同阶同变异的张量。
今证明如下。
设坐标系由i x 作容许变换为另一新坐标系i x ,则张量i jk .A 、i jk.B 按以下法则变换：)x (A xx x x x x )x (A pqr .k j p r q i ijk .∂∂∂∂∂∂=)x (B xx x x x x )x (B pqr .k j p r q i i jk .∂∂∂∂∂∂=将上两式相加得)]x (B )x (A [xx x x x x )x (B )x (A p qr .p qr .k j p rq i i jk .i jk .+∂∂∂∂∂∂=+上式表明))x (B )x (A (p qr .p qr .+是张量，它与i jk .A 、i jk .B 服从同样的变换法则，因此，它与i jk .A 、i jk .B 是同阶同变异的张量，记为i jk .C ,即p qr .kjp r q iijk.C xx x x x x C ∂∂∂∂∂∂=由此证明，两个同阶、同变异的张量相加（或相减），其结果是一个同阶同变异的新张量（（201-1）式）。
§2.2 对称张量、反对称张量一、对称张量一般来说，ji ij C C ≠。
但在以前和以后的讨论中都可看到，对于许多张量来说，滿足如下的关系式：jiijC C = (2.2-1)这样的张量，称为二阶对称张量。
同样，ij C 也是二阶对称张量，若它们滿足以下的关系式：ji ij C C = (2.2-2)例如，基本度量张量mk g 和相伴度量张量mk g 都是对称张量，见（1.5-4）式和（1.6-3a ）式对称张量的对称性质在坐标变换时是不变的。
