四川省成都市树德中学２016-２０17学年高二数学上学期期末考试试题
文
一、选择题(每小题5分,共60分)
１、设ａ∈R ，则“ａ＝1”是“直线l １:ax +2y -1＝０与直线l 2：x +(a +1)y +4＝0平行”的（ ) A ．充分不必要条件 ? ?B.必要不充分条件 Ｃ.充分必要条件 ?
?
D.既不充分也不必要条件
2、已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为y ＝±2x ，则其离心率为（ ）
A.5 ???
B.
?
?C ．
?? Ｄ．
３、设某高中的学生体重y(单位：kg)与身高x （单位:c ｍ)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ,y i ）(ｉ=1,2,…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -８5．71，则下列结论中不正确．．．
的是（ ） A.y 与ｘ具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x ,y ）
C.若该高中某学生身高增加1cm,则其体重约增加0．85kg
D.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为5８.7９kg 4、下列说法正确的是 （ )
A ．命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >,则1≤x ”
Ｂ.命题“若2
00,1x R x ?∈>”的否定是“2
,1x R x
?∈<”
C.命题“若x y =,则y x cos cos =”的逆否命题为假命题
D.命题“若x y =,则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( ) A.
8
5
B ．1311 C.错误! D.错误!
6、已知变量,x y 满足约束条件22
2441x y x y x y +≥??
+≤??-≥-?
，则目标函数3z x y
=-的取值范围是 ( )
A ．3[,6]2-
B ．3[,1]2
-- Ｃ.[1,6]- D.3[6,]2- 7、在长为１0 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于ＡC ，CB 的长,则该矩形面积不．小于．．9 cm 2
的概率为（ ） A ．
910? B ．45? C.23? D ．12
8、直线y=ｋｘ+3与圆(ｘ﹣２)2
＋(y ﹣３）2
＝4相交于Ｍ、N 两点，若|M Ｎ|≥2,则直线倾斜角
的取值范围是（ ) Ａ.566ππ??????
，?B ．20,3
3ππ
π?
????????
???， C ．50,66πππ????????????，? D.233ππ??
????
， ９、已知集合240(,)
00
x y x y x y x y ?
+-≤???
?
?
+≥?????
?-≥??
?表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(ｘ，y),则点P 的坐标满足不等式2
2
2x y +≤的概率为( ） Ａ．
316π? B.16
π Ｃ.
32
π
? D ．
332
π
10、点M 是抛物线y ２
＝ ｘ上的点，点N 是圆C:()2
231x y -+=上的点,则|MN|的最小值是（ )
Ａ．?
B.?
C.2? ?? D ．
11、已知椭圆
的左焦点为Ｆ，点P 为椭圆上一
动点，过点P 向以F 为圆心,1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形P ＭＦN 面积的最大值为（ ) A ．２? B ．?
C ．
D.5
１2、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出
的S 等于 ( )
A.2４ Ｂ.２6 C.３0 D.32
二、填空题(每小题5分,共20分)
１3、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_＿_运动员的发挥更稳定．(填“甲”或“乙”)
１4、已知圆Ｏ1:x 2
＋y ２
＝1与圆O 2： （ｘ＋4)2
＋(y －a )2
＝25内切，则常数a =___＿＿＿ 15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且122
F PF π
∠=,椭圆和双曲线
的离心率分别为1e 、2e ，则2212
11
e e +=_____
16、已知y =a x
(ａ＞０且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A;椭圆
22
=163
x y +上存在关于直线ｙ=x ＋m 对称的不同两点,记m 的所有可能取值构成集合Ｂ.若随机地从集合Ａ,Ｂ中分别抽出一个元素1λ,2λ，则1λ＞2λ的概率是____＿
三、解答题
１7、(10分）设命题p ：点(1，1）在圆2
2
2
22240x y mx my m +-++-=的内部；命题q :直线m
ｘ-y ＋1＋2m =0（k ∈R )不经过第四象限,如果ｐ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．
18、（12分)某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数）分成六段[４0,５0)，[50,60)，…，[９０,1０0]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题：
(1)求分数在［７0,8０）内的频率; (2）估计本次考试的中位数；(精确到0.1）
（３）用分层抽样(按[60,70)、[70，８０)分数段人数比例）的方法在分数段为［60,８0)的学生中抽取一个容量为 ６ 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取２人，求恰有１人在分数段[7０,80)的概率.
1９、（12分)已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.
（１)若椭圆22
:14x y C n
'+=与抛物线C 有共同的焦点,求椭圆C '的方程； (2）设抛物线C 与(1)中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.
20、（12分）已知圆C:x 2
+y 2
﹣4x ＋３=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；
(2)直线l 过点3122N ?? ???
，且被圆Ｃ截得的弦长最短时,求直线l 的方程;
(3)过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ,直线5()2
y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.
21、(12分）已知抛物线x 2
＝2py (ｐ>0）,其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD,且M ，N 分别是AB ，ＣD 的中点．设直线AB 、C Ｄ的斜率分别为1k 、2k . (1)若AB CD ⊥,且11k =,求△ＦMN 的面积； （2）若12
11
1k k +=，求证：直线MN 过定点,并求此定点．
２2、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点,动点(),P x y 与定点F （－１，０）的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.
(1）求动点Ｐ的轨迹C 的方程；
（2)过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.
树德中学高２0１5级第三期期末考试数学试题(文科）
参考答案
一、选择题 ADDDCA ＢＣDA ＡD
二、填空题
13、乙 １４、０ 15、2 １6、34
三、解答题
1７、解：命题p 11m ?-<<，…………3分 命题q 0m ?≥……………6分
① ｐ真ｑ假时，10m -<<；②p 假q 真时,1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥ 0
18、解:(１）分数在[7０,80)内的频率为:
1-(０.010+０．015＋０.０15+0.0２5+0．0０5)×１0=１－０.７=0.３………3分 (2)中位数1
73
73.33
≈…………6分 (3)由题意,[６0,70）分数段的人数为:0.15×60＝９(人);[7０，80)分数段的人数为:0.3×６0=18(人).
∴需在[6０,７0)分数段内抽取2人,分别记为a ，b ； 在[70,８０）分数段内抽取4人，分别记为c ,d ，ｅ,ｆ.
设“从样本中任取２人,恰有1人在分数段［70,80）内”为事件A ，所有基本事件有(ａ，b )，（ａ，
c ）,(ａ，
d ）,(ａ，
e ),（a ，
f )，（b ,c )，(ｂ，ｄ)，(b ,e )，(b ,f ),(c ,d ),(c ,e ),(c ,f )，(d ,e ），
(ｄ，f )，(e ，f ),共１５个…………8分
其中事件Ａ包含（a ，c ),(a ,d )，(a ，e ),(a ，f ),(b ,c ),(b ,d ），(ｂ，e )，(b ,f )，共8个．……10分
∴P (A ）=＼f （８,15）………１２分
１9、解:（１)椭圆22
:14x y C n
'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为
22
143
x y +=……...．6分 （2）由22
2143
4x y y x
?+
=???=?
，消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222
(6),(,6)3333
A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为2
2
6(0)x y λλ-=≠.
由点(1,)P m 在抛物线2
:4C y x =上,解得2
4,(1,2)m P =±………………．..……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,
故所求双曲线方程为: 2
2
312
y x -=……………………………………….…………．．１2分
20、解:(1）3x =或3410x y --=………３分
（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分
（3)设点P(x ，y ），∵点Ｐ为线段A Ｂ的中点，曲线C 是圆心为Ｃ（2，0)，半径ｒ=1的圆，∴ＣP
⊥A Ｐ，CP AP=0?∴化简得2
23124x y ?
?-+= ??
?………9分
由于点P 在圆内，去除点(1，0）,所以1C ：2
23124x y ?
?-+= ???（1x ≠） 0
3
0k =………12分
2１、解：(１）抛物线的方程为ｘ2
＝2ｙ,设AB 的方程为12
y x =+
联立2122y x x y
?
=+???=?
，得x 2
﹣２x ﹣１=０,31,2M ?? ???,同理31,2N ??- ???
∴Ｓ△FMN =错误!|ＦM ｜·|F Ｎ|＝错误22=1 △ＦMN 的面积为1. ……....5分
(2）设A(x 1，y 1），Ｂ（x 2，y 2),C （ｘ3,y 3)，D （x 4,y 4），设ＡＢ的方程为11
2
y k x =+
联立1
2122y k x x y
?
=+???=?
,得21210x k x --=，2111,2M k k ??+ ???,同理2221,2N k k ??+ ??? (7)
k MN ＝22121212
1122k k k k k k ????+-+ ? ?
????
=+-
∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ??-+=+- ???，即()12121
2
y k k x k k =+-+，……...．10分 又因为
12111k k +=所以1212k k k k +=，∴ＭN 的方程为121212y k k x k k =-+即()121
12
y k k x =-+ ∴直线MN 恒过定点112??
???
，．……..．.12分
22、解:（１)由已知,得
()
2
2
122
2
x y x ++=
+． 两边平方,化简得＼f (x ２
,2)＋y 2
＝1．故轨迹C 的方程是
．…(３分)
(2)因AB 不垂直于y 轴,设直线ＡＢ的方程为x ＝ｍｙ－１，A (x 1,y １)，B (x ２,y ２), 由错误!得（m 2
+2)y 2
－2my －1=0.
y 1+y ２=＼f (2m ，m 2＋2)，y １y 2=错误!. x 1＋x 2=m (y 1+y ２）-２＝错误!，于是AB 的中点为Ｍ错误!,
故直线ＰQ 的斜率为-＼f （ｍ,2),P Ｑ的方程为y =-错误!x ，即mx ＋2y ＝0,…..．.５分
2
2212
m y x x y ?=-????+=??整理得:x 2
=,|ＰQ |22
2
2
4
=222
m x y m ++=+….．..７分 方法一:设点A 到直线P Ｑ的距离为d ，则点B 到直线ＰQ 的距离也为d ，所以2d =错误!．因为点A ，
B 在直线ｍx +2y ＝０的异侧，所以（m ｘ1+2y １)(m ｘ2＋２y 2)<０，于是|mx 1+2ｙ1|+｜mx 2＋２y 2|=|mx 1+
２ｙ1-m ｘ2－2y ２｜,从而2d ＝错误!.又因为｜y １－y 2｜＝错误!=错误!,所以2d =错误! (10)
故四边形ＡP ＢQ 的面积S =＼f （１,2)|PQ |·2ｄ＝222222142211
2222224
m m m m m m +++??=+++＝2
≥2
即0m =时,min 2S =.…．...12分
方法二：P(
,
),Q （
,
)，
Ｐ到直线A Ｂ的距离d １=,Q 到直线ＡＢ的距离
d 2=,
∵P,Q 在直线A Ｂ的两侧，且关于原点对称,
∴S APBQ =丨ＡB 丨（d 1＋ｄ2）=??（ +
）=， (10)
∴S APBQ ==２≥２,
即0m =时,min 2S = (12)