2020年北京东城区高三一模数学试卷

东城区2019-2020学年度第二学期教学统一检测高三化学参考答案及评分标准2020.5注：学生答案与本答案不符时，合理答案给分。

选择题（共42分）题号1234567答案B D A A C A D 题号891011121314答案ADDBDCB综合题（共58分）15.（11分）（1）铁比铜活泼（2）①O 2＋4e －＋2H 2O =4OH－4Fe(OH)2＋O 2=4FeOOH ＋2H 2O②6：2：1③铁质文物在潮湿环境中表面生成疏松的FeOOH ，水、氧气能通过孔隙使铁继续发生吸氧锈蚀；在干燥空气中形成致密的Fe 2O 3，隔绝了铁与水和氧气的接触，阻碍锈蚀（3）①Fe 2O 3＋6NaCl ＋3H 2O =6NaOH ＋2FeCl 3（Fe 2O 3+H 2O ====2FeOOH ）②氯、溴、碘同主族，形成的阴离子随电子层数增加半径增大（或体积增大），穿透能力减弱（4）HNO 3和AgNO 3（5）16.（13分）（1）羰基羟基（2）（3）（4）保护—CH 2OHCl —（5）（6）（7）水解反应、消去反应17.（10分）（1）CO 32-＋H 2OOH -+HCO 3-（2）Cu 2(OH)2CO 3＋4CH 3COOH =2(CH 3COO)2Cu ＋3H 2O ＋CO 2↑（3）醋酸铜的溶解度随温度变化较大，温度越高溶解度越大，温度降低溶解度减小（4）2Cu 2+＋4I -=2CuI↓＋I 2（5）因为CuSCN 不吸附I 2，通过反应CuI(s)＋SCN-CuSCN(s)＋Cl -，使CuI 吸附的I 2释放出来与Na 2S 2O 3反应。

（6）6.4bv/a %18.（11分）（1）氧化（2）（3）H 2（4）Cu ＋NO 3-=NO 2—＋CuO 或H 2＋NO 3-======NO 2—＋H 2O（5）①Pd 表面单位面积吸附的2NO -数目减小②增大2NO 2—＋6H =N 2＋4H 2O ＋2OH -（6）先调节溶液的pH 到12，待NO 3—几乎完全转化为NO 2—后，调节pH 到419.（13分）（1）Ag +＋223S O -=Ag 2S 2O 3↓（2）H +、24SO -Pd-Cu/TiO 2得到的24SO -是氧化产物，必然要生成其他还原产物（3）22322S O + 2H S + SO + H O-+↓ （4）过量Ag +与223S O -结合，使c (223S O -)降低，Ag 2S 2O 3＋3S 2O 32-2[Ag(S 2O 3)2]3-逆向移动，析出沉淀（5）逐滴滴加AgNO 3时，Ag 2S 2O 3的溶解速率大于分解速率；迅速混合时部分Ag 2S 2O 3来不及溶解即发生分解，分解产物不能再溶于Na 2S 2O 3（6）Na 2S 2O 3和AgNO 3物质的量之比大于2:1，在不断搅拌下将AgNO 3溶液缓缓加入到Na 2S 2O 3溶液中。

北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可． 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50）， 此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3， 可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号， 故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误； 对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1）， 设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)； 取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)． 则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33． 由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围． 从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同． 若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6） ＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1， 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1， 解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ； 即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π， 且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1； 以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)， 则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值． 解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0， 由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0， 可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0， 设菱形CDMN 的周长为l ， 则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①， 所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

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………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) asin(2x π) cos2(x π) 1
6
6
asin(2x π) cos(2x π) 1
6
3
asin(2x π) cos[(2x π) + π] 1
6
62
(a 1)sin(2x π) 1 6
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