北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟（4月份）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}11B x x =-<<，则=A B （ ）A ．{}-11x x ≤≤ B ．{}-10x x <≤ C ．{}-11x x ≤< D ．{}01x x <<2．已知复数12-=iz i（其中i 是虚数单位），则z =（ ）A ．2B C ．1D ．23．抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ） A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-4．设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．12B ．36C ．72D ．7207．已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22112x y -+-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22114x y ++-=D ．()()22114x y +++=8．已知正项等比数列{}n a 中，51927a a a =，6a 与7a 的等差中项为9，则10a =（ ） A ．729B ．332C ．181D ．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ） A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天10．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题11．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α=______________. 13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB =AC BC =4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，如下图．（Ⅰ）求证：A 1O ⊥BD ；（Ⅱ）求直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值；17．在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元. （1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 19．已知函数()ln 1af x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 20．已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.21．各项均为非负整数的数列{}n a 同时满足下列条件：①1a m = ()m ∈*N ；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（1）当5m =时，写出数列{}n a 的前五项；（2）若数列{}n a 的前三项互不相等，且3n ≥时，n a 为常数，求m 的值； （3）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．参考答案1．C 【解析】 【分析】解集合{}10A x x =-≤≤，即可求A B ⋃。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤2x}，B={x|1<x≤4}，则A∪B=()A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2.已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a=()A. 0B. 2C. −2D. 13.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)4.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)−3x]=4，则f(x)+f(−x)的最小值等于()A. 2B. 4C. 8D. 125.已知曲线C：x2k−5+y23−k=−1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()A. A33(A44)3B. A44(A33)4C. A1212A33D. A1212A447.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x−2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y−1)2=3C. (x−2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y−1)2=98.若{a n}是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A. 1或2B. 1或−2C. −1或2D. −1或−29.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时10.若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为．12.角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，则sinα为______ ．13.四棱锥S−ABCD的三视图如图所示，它的正视图，侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形及其一条对角线，则该四棱锥的体积为_____ ．14.顶点在原点，且过点(−2,4)的抛物线的标准方程是______ ．15.将函数f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图像向右平移m(m>0)个单位长度，此时函数图像关于y轴对称，则m的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE//BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2=a2+c2+ac．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=√3，S为△ABC的面积，求S+√3cosAcosC的最大值，并求出A角．18.某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：分数段[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数2a121610c频率0.040.160.240.32b d(1)求表中a ，b ，c 的值，并估计该班的平均分x ；(2)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X 为所选3人中分数在[30,50)的同学的人数，求X 的概率分布列和均值EX ．19. 已知函数，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式f(x)⩾2x +mx 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(1,0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60∘． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知数列{a n+1+a n}的前n项和S n=2n+1−2，a1=0．(1)求数列{a n+1+a n}的通项公式；(2)求a2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a=0．故选：A．3.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：先求出f(x)+f(−x)，再利用基本不等式求最值即可．解：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4，即f(x)=3x+K，令x=K，得f(K)=3K+K=4．又f(K)单调递增，所以K=1，从而f(x)=3x+1，即f(x)+f(−x)=3x+13x +2≥2√3x⋅13x+2=4，当且仅当x=0时取等号．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查椭圆的概念和方程，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据椭圆的概念和方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，即x25−k +y2k−3=1，则{k−3>05−k>0k−3>5−k，解得4<k<5，所以“4≤k<5”是“方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B．6.答案：B解析：本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．根据题意，分2步进行分析：①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列②每个小组的成员之间全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将4个小组进行全排列，有A44种排法，②每个小组的成员之间有A33种排法，有4个小组，故共有(A33)4种排法，则不同的坐法有A44(A33)4种排法；故选：B．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系，由直线与圆相切可以求出圆的半径，然后写出圆的方程，属于基础题．解：圆心到直线的距离d=22=3，由直线与圆相切，则r=d=3，所以圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故选C．8.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质．解：∵−a5,a4,a6成等差数列，∴−a5+a6=2a4,∴−a4q+a4q2=2a4,∴q2−q−2=0,∴(q+1)(q−2)=0∴q=−1或q=2．故答案选：C．9.答案：C解析：本题考查指数函数的性质及函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．属于中档题．由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解：y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，e b=192，当x=22时，e22k+b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，e b=192，当x=33时，e33k+b=(e11k)3⋅(e b)=(12)3×192=24.故选C.10.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题．化简B={x|x(4−x)<0}={x|x<0或x>4}，而图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，从而得出答案．解：图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，∵B={x|x(4−x)<0}，即B={x|x<0或x>4}，∴A∩B={5}，∵集合A={1,2,3，4，5}，∴C A(A∩B)={1,2,3，4}．故选A．11.答案：−4解析：本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．12.答案：−2√55解析：解：∵角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，∴x=−1，y=−2，r=√5，则sinα=yr =√5=−2√55，故答案为：−25√5．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：2√23解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式，属于基础题．根据题意得出该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，利用棱锥的体积公式，即可求出结果．解：由三视图知，该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，高为√2，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，所以此四棱锥的体积为：V=13×√2×√2×√2=2√23．故答案为2√23．14.答案：x2=y或y2=−8x解析：解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=−2p′x(p>0,p′>0)∵抛物线过点(−2,4)∴22=2p×4或42=−2p′×(−2)∴2p=1或2p′=8∴x2=y或y2=−8x故答案为：x2=y或y2=−8x．由题意设抛物线方程，代入点(−2,4)，即可求得抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：解析：本题主要考查了函数图象的应用，属于一般题．将图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值将f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数g(x)=f(2x)=2sin(2x+π3)的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数ℎ(x)的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值．16.答案：证明：(1)∵AC⊥BC，DE//BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴DE⊥平面A1DC．∵A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面BCDE ． ∴A 1C ⊥平面BCDE ．解：(2)因AD =6，CD =3，A 1C ⊥CD ，则A 1C =3√3，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(0,0，0)，A 1(0,0，3√3)，D(0,3，0)，M(0,32,3√32)，B(6,0，0)，E(4,3，0)，则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,0，3√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3√3z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，取x =1，n ⃗ =(1,23,2√33)，设CM 与平面A 1BE 所成角为θ， sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×53=45．∴CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值为45．解析：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，属于中档题．(1)推导出DE ⊥AC ，DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥A 1C .再由A 1C ⊥CD ，能证明A 1C ⊥平面BCDE ． (2)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12．又∵0<B <π，∴B =23π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，∴S +√3cosAcosC =√3(cosAcosC +sinAsinC)=√3cos(A −C)． 当A =C ，即A =π−B 2=π6时，S +√3cosAcosC 取最大值√3．解析：(I)利用余弦定理即可得出；(II)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，利用和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由统计表，得：20.04=a 0.16=10b ，解得a =8，b =0，2，∴c =50−2−8−12−16−10=2．x =40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92． (2)由题意知X 可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 83C 103=715， P(X =1)=C 21C 82C 103=715，P(X =2)=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布列为：EX =0×115+1×715+2×115=35．解析：(1)由统计表，能求出表中a ，b ，c 的值，并能估计出该班的平均分x ．(2)由题意知X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和均值EX ． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −1x 2+2，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行所以f′(1)=a −1+2=2，即a =1∴f(x)=lnx +1x +2x ，f′(x)=(x+1)(2x−1)x 2(x >0)由f′(x)<0且x >0，得0<x <12，即f(x)的单调递减区间是(0,12)由f′(x)>0得x >12，即f(x)的单调递增区间是(12,+∞)．(2)由(1)知不等式f(x)≥2x +mx 恒成立可化为lnx +1x +2x ≥2x +mx 恒成立， 即m ≤x ·lnx +1恒成立令g(x)=x ·lnx +1，g′(x)=lnx +1当x ∈(0,1e )时，g′(x)<0，g(x)在(0,1e )上单调递减． 当x ∈(1e ,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1e ,+∞)上单调递增． 所以x =1e 时，函数g(x)有最小值 由m ≤x ·lnx +1恒成立得m ≤1−1e ，即实数m 的取值范围是(−∞,1−1e ]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为m ≤x ·lnx +1恒成立，令g(x)=x ·lnx +1，根据函数的单调性求出m 的范围即可．20.答案：解：(Ⅰ)根据题意，得c =1；又bc =tan60°=√3，所以b 2=3， 且a 2=b 2+c 2=4， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为：y =k(x −1)，(k ≠0)， 代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为R(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2TR ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以直线TR 为线段PQ 的垂直平分线； 直线TR 的方程为：y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，令y =0得：T 点的横坐标t =k 23+4k 2=13k 2+4，因为k 2∈(0,+∞)，所以3k 2+4∈(4,+∞)， 所以t ∈(0,14)；所以线段OF 上存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t ∈(0,14)．解析：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目． (Ⅰ)根据题意，知c =1，再求出b 2与a 2即可；(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，得出关于x 的一元二次方程；再设出P 、Q 的坐标，表示出线段PQ 的中点R ，根据QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出TR 是线段PQ 的垂直平分线；利用直线TR 的方程，求出T 点的横坐标t 的取值范围，即可得出结论．21.答案：解：(1)设a n+1+a n =b n ，则n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n ， 当n =1时，b 1=S 1=2，满足n ≥2时b n 的形式， ∴a n+1+a n =b n =2n ；(2)由(1)可知a n+1+a n =b n =2n ，a n+2+a n+1=2n+1， 两式相减，得a n+2−a n =2n ， 又∵a 1=0，a 1+a 2=2， ∴a 2=2，∴a 2n =a 2+(a 4−a 2)+(a 6−a 4)+⋯+(a 2n−2−a 2n−4)+(a 2n −a 2n−2) =2+22+24+⋯+22n−4+22n−2 =2+22−22n−2⋅221−22=22n 3+23．解析：本题考查求数列的通项、前n 项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)当n ≥2时b n =S n −S n−1=2n ，当n =1时b 1=2满足n ≥2时b n 的形式，即得结论；(2)由a n+1+a n =b n =2n 可得a n+2+a n+1=2n+1，两式相减得a n+2−a n =2n ，利用拆项法将a 2n 写成a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2n−2−a2n−4)+(a2n−a2n−2)，计算即可．。
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么AB =( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}22．函数()f x =( ) A ．(]1,2-B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞3．已知()211i a R ai =-∈+，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-4．若双曲线()222:10y C x b b -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为( )A ．1BCD ．2 5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．126．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( )A ．210x ->B ．12x x +<-C ．sin 0x x ->D ．cos 0x x +> 7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为1,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是( )A ．122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛- ⎝⎭C ．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为( )A ．(]0,1B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（ ）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 12．在622()x x +的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______. 14．设函数()()1,0,22,0.x a a x a x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______.三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD =______；sin ABD ∠=______.四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2021年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>），它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为1F ，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值. 21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ；（Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案1．D【分析】先化简集合A ，再利用交集的定义求解.【详解】 ∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-，∴{}2A B ⋂=.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．B【分析】首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 【详解】函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．A【分析】 利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 【详解】211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A.【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 4．D【分析】求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值.【详解】双曲线()222:10y C x b b -=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =. 故选：D.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．A【分析】 利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积.【详解】由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．D【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x +++++==<， 又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．C【分析】计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果.【详解】每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得cos sin 22παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以，点M '的坐标为,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．B【分析】 在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角. ∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．C【分析】设点2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围.【详解】设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C.【点睛】本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．C【分析】根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误.【详解】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =， ()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题.11．3【分析】求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值.【详解】向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3.【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.12．60【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项.【详解】 在622()x x +的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C =故答案为：60【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．()22112x y -+= 【分析】设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程.【详解】设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>， 因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切，则r ==，解得1a =，2r ，所以圆的方程为()22112x y -+=. 故答案为：()22112x y -+=. 【点睛】 本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题. 14．③④【分析】取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；当0t <时，可以否定②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论.【详解】对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x x x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()33222x x f x --=+≥=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，∴t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②，当0t <时，由于对于任意()0,220x x x f x -≥=+>,()f x t =无解； 0x <时，()()1f x a x t =+=，对任意的a ,至多有一个实数根，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >；又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),+∞a ，∴0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当2t a <<时，()f x t =有三解，故④正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.15．214【分析】由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值.【详解】如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()222222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即6sin 60ABD =∠，解得sin 14ABD ∠=.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. 【分析】（Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m nm n m n ⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同. 若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =； 以下解法均相同.【点睛】本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可； （Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．【详解】（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点， 所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.0650=； （Ⅱ）由图可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ， 所以X 的所有可能取值为0，1，2，()0224106C P X C ===，()112224213C C P X C ===， ()2224126C P X C ===， 所以X 的分布列为所以X 的期望为()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.【点睛】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）【分析】 （Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．【详解】解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b c c b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k -+=，12CD x x =-===，同理可得MN =，∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =，∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k =+()22212214212k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN的周长的最大值为 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题．20．（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.【分析】由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x-'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值． 【详解】解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x -'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1∈x 时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,∈+∞x 时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根，∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-<⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析． 【分析】（Ⅰ）由题意得，()2*42n t n -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m mm i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =，∴()2*42n tn -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥， ∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…， 若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ， 下面证明数列A 为等差数列， 当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，① 当1n t =-时，有1t t x x a --≤，② ∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列； （Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…， 不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-， ∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤； 设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素， 首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=， 再证332t x x =-，证明如下： 由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=，∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③ ∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤，∴()()2112332m mm ii i i i x x x x tm t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列． 【点睛】本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
