苏教版数学高一《三角函数的诱导公式》 同步导学案

三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程。

2．运用所学四组公式进行求值、化简与证明。

【学习重点】用联系的观点发现并证明诱导公式。

【学习难点】如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。

【教学过程】【第一课时】知识梳理1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系。

2．诱导公式一～四（1）公式一：inα＋2π＝________，coα＋2π＝________，tanα＋2π＝________，其中∈Z。

（2）公式二：in－α＝________，co－α＝________，tan－α＝________。

（3）公式三：inπ－α＝________，coπ－α＝________，tanπ－α＝________。

（4）公式四：inπ＋α＝________，coπ＋α＝______，tanπ＋α＝________。

【达标检测】一、填空题1．in 585°的值为________。

2．已知co错误!＋θ＝错误!，则co错误!－θ＝________。

3．若n为整数，则代数式错误!的化简结果是________。

4．三角函数式错误!的化简结果是______。

5．若coπ＋α＝－错误!，错误!π错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2log2 2A co α>0，32即in α＋co α>0，in α－co α>0，∴in α＋co α＝错误!，③in α－co α＝错误!，④③＋④得in α＝错误!，③－④得co α＝错误!。

13．解原式＝in错误!＋co错误!。

当为奇数时，设＝2n＋1 n∈Z，则原式＝in错误!＋co错误!＝in错误!＋co错误!＝in错误!＋错误!＝in错误!－co错误!＝in错误!－in错误!＝0；当为偶数时，设＝2n n∈Z，则原式＝in错误!＋co错误!＝－in错误!＋co错误!＝－in错误!＋co错误!＝－in错误!＋in错误!＝0综上所述，原式＝014．解由条件，得错误!①2＋②2，得in2α＋3co2α＝2，③又因为in2α＋co2α＝1，④由③④得in2α＝错误!，即in α＝±错误!，因为α∈错误!，所以α＝错误!或α＝－错误!。

图3
2
宁乡县玉潭中学高中部 数学
科导学案
为每个孩子的终身幸福奠基
例题精讲
1、利用公式求下列三角函数值：（ 2、 3、要写出求解过程，不能只写一个答 案）
1) cos 4200
解：


2） sin 13000


79 3) cos 6
2、化简： 解：
1) sin 180 0 cos sin 180 0 ; 2) sin cos 2 tan .
3 3 ， 则 sin( A) ___ 若 sin A ，则 2 2
思维拓展：
0 0 1、已知cos100 m, 则 tan80 的值是 =
2、已知 sin
4 2 sin 3 tan3 , 且 sin cos 0, 求 的值。 5 4 cos 3
3




学习小结 ：
1、诱导公式（一）、（二）、（三）、（四） 2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把 看作锐角时） 3、方法及步骤： 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600 间角 的三角函数 00~900 间角 的三角函数
课后作业：
1.sin585°的值为（ ） A. 2. sin A.
思考：公式一的作用是 什么？
练习：求下列三角函数的值
导
第一组： sin

3
____, cos
7 _____ ，sin1110°= 3
（公式一能解决吗？）
第二组： sin
8 10 5 _____, cos _____, tan( ) _____ . 3 3 3

§1.3三角函数的诱导公式（Ⅰ） 导学案学习目标：1、知识与技能：能借助单位圆，推导出诱导公式；会正确运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。

2、过程与方法：经历诱导公式的探究过程，体验从未知到已知、从复杂到简单的转化过程，培养化归思想。

3、情感、态度与价值观：感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。

学习重点：诱导公式二～四的探究；运用公式求简单三角函数式的值。

学习难点：圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。

【一】新知探究：一、π＋α的诱导公式1、在单位圆中，任意角α的三角函数是怎样定义的？（画出图形并写出文字语言）2、用三角函数定义，求ππ676和的三个三角函数值。

探究：根据上述求值的过程，寻找ππ676和的关系（1）数量关系 （2）终边关系（3）坐标关系 （4）三角函数关系3、公式的证明思考1：对于任意给定的一个α，π＋α的终边与α的终边有什么关系？思考2：设α的终边与单位圆交于点P(x,y),则π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考3：根据三角函数的定义，写出π＋α的三角函数，并与α的三角函数比较，你会得到什么结论？4、公式的应用：练习：求︒225sin 的值小结：诱导公式二的探究过程二、-α，π-α的诱导公式：思考1：对于任意给定的一个α,-α的终边与α的终边有什么关系？思考2：设α的终边与单位圆交于点P(x,y),则-α的终边与单位圆的交点坐标如何？思考3：根据定义，写出-α的三角函数，并与α的三角函数相比较，你会得到什么结论？练习：求()︒cos的值-45思考4：类比公式二、三的推导，如何推导π-α与α的三角函数之间的关系？（写出思路及简要的推导过程）练习：求︒sin的值135三、诱导公式的特征：1、写出诱导公式一：2、思考：诱导公式一～四有什么共同特征？如何记忆？【二】理论迁移：将下列三角函数转化为锐角三角函数，并求出其函数值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin )1(π () 300-c o s )2(思考：任意负角的三角函数 任意正角的三角函数π313sin )3( 1200t )4(an思考：任意正角的三角函数 0～2π的角的三角函数225cos )5( π32(6)s i n思考：0～2π的角的三角函数 锐角三角函数小结：怎样利用公式一～四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其基本思路是什么？【三】课堂小结1、本节课你学到了什么知识？2、谈谈你本节课的感想！【四】课下作业：1、阅读课本，体会诱导公式推导过程中的思想方法；2、必做题：课本P27练习 1 、2；3、选做题：课本P29 习题1.3 A 组 1 、4；。

3 ，则 x 的值为_____ 3
cot( ) sin(2 ) 1 _____ ，且 0 ，则 cos( ) tan 3 2
8.化简：
sin 2 (3 ) cos 2 ( ) sin(5 ) cos(3 ) _____ sin(5 ) cos(6 )
师生共用三角函数的诱导公式（第二课时）导学案
年级： 高一 学科： 课时及内容： 三角函数的诱导公式（第二课时） 学习目标:1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式 2.能利用诱导公式求任意角的三角函数值，化简，三角恒等式的证明. 学习重难点：
一.课前准备 姓名

2
角的正弦、余弦诱导公式的推导
3 2
3 2
例 2 已知 sin( 班级

1 x) , 且 0 x ，求 sin( x) 的值. 4 5 2 4
三.当堂检测
1.已知 sin( ) 2.已知 sin
3 ，且 是第三象限的角，则 cos( 2 ) 的值是_____ 5
sin(a 2k ) _______ 公式一： cos(a 2k ) _______ tan(a 2k ) _______ sin( a) _____ 公式三： cos( a) _____ tan( a) _____
sin( a ) _______ 2 cos( a ) _______ 2

2
x) b tan( x) ，若 f (1) 3, 则 f (1) ______ .
5.已知 f ( x)
1 x .若 x ( , ) ，化简 f (cos x) f ( cos x). 2 1 x

江苏省淮安中学高一数学《三角函数的诱导公式》学案（2） 1掌握正弦、余弦、正切的诱导公式（公式五、六）及其推导 2 进一步熟练应用六个诱导公式解题 3 掌握三角形中的某些三角恒等式及其证明 二、学习重点与难点1、 诱导公式的熟练、灵活应用2、三角形中某些三角恒等式及其证明四、学习活动与意义建构1、“三角函数诱导公式”一节公式较多，运用灵活，应用广泛，要切实记熟、 记准，可结合公式的来源，也可结合“口诀”记忆，不可死记硬背。

2、体会三角函数中“化复杂角为简单角”、“化异角为同角”、化未知为已知 的化归思想的应用。

五、重点与难点探究例1、 求证：3sin()cos 23cos()sin 23tan()cot 2πααπααπαα+=-+=+=- （公式七） 3sin()cos 23cos()sin 23tan()cot 2πααπααπαα-=--=--=（公式八） 例2、 已知1cos(75),180903αα︒+=-︒<<-︒ 求:cos(15),cos(105),sin(105)ααα︒-︒--︒的值。

例3、 已知3tan()32πα+=3cos()2πα-的值。

例4、（1）化简2222sin (2)cos ()sec(2)sec()3cos ()cos ()sec()csc(2)22παααππαππαπαααπ-+-+---++-+-g g（2）tan(2)sin(2)cos(6)33sin()cos()22παπαπααπαπ----++例5、已知 ABC ∆的三个内角A 、B 、C ，求证：(1)cos()cos (2)sin()cos 223(3)tan tan()44A B CA B C A B C π+=-+=++=-例6、已知sin()1αβ+=，求证：tan(2)tan 0αββ++=六、作业：七、自主体验与运用1、sin(2)cos(2)2ππ---化简的结果为 （ ）A 、0B 、－1C 、2sin 2 Ｄ、－2sin 22、化简tan(27)tan(49)tan(63)tan(139)αβαβ︒-︒-︒+︒-g g g 的结果为（ ）A 、１ Ｂ、－１ Ｃ、２ Ｄ、－２ ３、已知3cos()25πα+=-，且α是第二象限角，则3sin()2πα-的结果为 （ ）A 、45 B 、45- C 、2 D 、32 4、如果A 、B 、C 为ABC V 的三个内角，则sin 2B C += （ ） A 、cos 2A - B 、sin 2A C 、sin 2A - D 、cos 2A 5、如果(sin )cos 2f x x =，那么(cos )f x 等于 （ ）A 、sin 2x -B 、sin 2xC 、cos2x -D 、cos2x6、式子22cos ()cos ()44ππαα-++= 7、化简式子：tan(37)tan(41)tan(53)tan(311)αβαβ--+-=o o o o g g g8、若tan()2πα-=，则532sin(3)cos()sin()sin()22πππαααπα+++--g g 的值为 9、已知3sin(3)2cos(),3cos()2cos()2ππαβαπβ-=+-=-+，且0,0απβπ<<<<，求sin α和cos β10、已知5cos(75),13αα+=o 是第三象限角，求 sin(195)cos(15)αα-+-o o 的值。

高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。

教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。

教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。

教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。

教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。

学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。

教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。

教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。

同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。

高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。

教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。

1.2.3 三角函数的诱导公式第1课时 三角函数诱导公式一～四诱导公式一～四(1)公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等．故有：sin(α＋2k π)＝sin_α，cos(α＋2k π)＝cos_α，tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )． (2)公式二：角α与角－α的终边关于x 轴对称，故有：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. (3)公式三：角α与角π－α的终边关于y 轴对称，故有：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α. (4)公式四：角π＋α与角α的终边关于原点O 对称，故有：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.预习交流1怎样由公式二、三推导出公式四？提示：由公式二、三可得：sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α；cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan[π－(－α)]＝－tan(－α)＝tan α.预习交流2以上诱导公式各有什么作用？提示：公式一的作用是将任意角转化为0～2π内的角求值；公式二的作用是将负角化为正角求值；公式三的作用是将角转化为0～π2内的角求值；公式四的作用是将0～2π内的角转化为0～π内的角求值．一、给角求值问题求下列三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－103π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)． 思路分析：对于负角的三角函数可先由公式二化为正角的三角函数，再将大于360°的角利用公式一化到0°～360°内的角，进而利用公式三、四化成锐角的三角函数并求得结果，也可直接利用公式一化为0°～360°内的角的三角函数，再运用公式三、四化成锐角的三角函数求之．解：(1)方法一：sin ⎝⎛⎭⎫－103π ＝－sin 103π＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝sin π3＝32； 方法二：sin ⎝⎛⎭⎫－103π＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋2π3 ＝sin 2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (2)cos 296π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)方法一：tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(720°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－(－tan 45°)＝tan 45°＝1.方法二：tan(－855°)＝tan(－3×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π6. 解：(1)sin(－1 200°)＝－sin1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos 47π6＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋11π6＝cos 11π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：(1)“负化正”——用公式一或二来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．二、给值求值问题已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 思路分析：确定α－75°所在的象限，利用同角的三角函数基本关系式及诱导公式求解．解：∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°为第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.1．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝__________. 答案：－33解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是__________． 答案：－12解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝12. ∴sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－12.对于给值求值问题，解题的基本思路是首先认真找出条件式与待求式之间的差异，主要包括函数名称及角两个方面，然后巧妙地选用公式化异为同，再代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，这些都是解决问题的关键．三、三角函数式的化简问题化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin (180°＋α)cos (－α)tan (－α). 思路分析：利用诱导公式一～四进行化简．解：(1)原式＝－sin αcos(α＋π)tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos a＝sin 2α. (2)原式＝－sin α·cos α－tan α＝sin α·cos αsin αcos α＝cos 2α.1．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝__________. 答案：－1解析：原式＝cos αtan[6π＋(π＋α)]－sin α＝cos αtan (π＋α)－sin α＝cos αtan α－sin α＝cos α·sin αcos α－sin α＝－1.2．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cos (－α－3π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π). 解：原式＝sin 2αcos αcos (3π＋α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos αcos (π＋α)－tan αcos 3α＝sin 2α(－cos α)－tan αcos 2α＝sin 2αcos αsin αcos αcos 2α＝sin α.1．sin 330°＝__________.答案：－12解析：易知sin 330°＝sin(360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12. 2．若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝__________. 答案：12解析：∵tan(π＋α)＝tan α＝－12， ∴tan(3π－α)＝tan[2π＋(π－α)]＝tan(π－α)＝－tan α＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 3．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α＝__________. 答案：17解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. 又α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos α＝1－sin 2α＝35， ∴原式＝17. 4．化简：sin 2(π＋α)－cos(π－α)cos(－α)－1＝__________.答案：0解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α－1＝sin 2α＋cos 2α－1＝1－1＝0.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π，求sin α－cos α的值． 解：sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝23，两边平方，得1＋2sin αcos α＝29， ∴2sin αcos α＝－79. ∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. 故有sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋79＝43.。

三角函数的诱导公式学习目标:能借助单位圆，推导出四组诱导公式，能正确运用四组诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，并能解决有关三角函数求值问题学习重点：诱导公式的发现、证明及运用，即借助单位圆推导诱导公式，特别是在点的对称性与角终边对称性中，发现问题，提出研究方法，从而解决问题学习难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数的联系，引导学生寻找解决问题的突破口，诱导公式的灵活运用。

学习过程：一探究新知给定一个角a，角π+a，π-a的终边与角a的终边有什么关系，它们的三角函数之间有什么关系？角-a的终边与角a的终边有什么关系，它们的三角函数之间有什么关系？角0.5π-a的终边与角a的终边有什么关系，它们的三角函数之间有什么关系？如图，①π+a的终边与角a的终边关于对称，如图(1)；②-a的终边与角a的终边关于对称，如图(2)；③π-a的终边与角a的终边关于对称，如图(3)；④0.5π-a的终边与角a的终边关于直线对称，如图(4)设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，（1）根据任意角的三角函数的定义：sina=， cosa=，tana=；（2）点P(x,y)关于原点，x轴，y轴对称的三个点P1，P2，P3点的坐标分别是诱导公式诱导公式一二三四可用口诀“函数名称不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把a看成锐角时等式左边三角函数值的符号．公式一二三四的应用：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为00到3600间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于900的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．我们可以用下面一段话概括公式一二三四：a+k²2π（k∈Z），-a，π a的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.如图，设任意角a 的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x ，y ），由于角0.5π-a 的终边与角a 的终边关于直线y=x 对称，角0.5π-a 的终边与单位圆 的交点P2与点P1关于直线y=x 对称，因此P2的坐标是（y ，x ），于是我们有 cosa=x ，sina=y ，cos （0.5π-a ）=y ，sin （0.5π-a ）=x思考：（1）锐角α的终边与απ-2的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与απ-2的终边与单位圆交点P ，P ′的坐标．（3）任意角α与απ-2呢？由正弦函数、余弦函数的定义可知：=αsin ；=αcos ；=αtan ；=-)2sin(απ； =-)2cos(απ；=-)2tan(απ．很自然地，我们能得到诱导公式五：sin(0.5π-a)=cosa ，cos （0.5π-a ）=sina 思考：（1）锐角α的终边与απ+2的终边位置关系如何？ （2）写出α的终边与απ+2的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与απ+2呢？由正弦函数、余弦函数的定义可知：=αsin ；=αcos ；=αtan ；=+)2sin(απ； =+)2cos(απ；=+)2tan(απ．因为0.5π+a=π-（0.5π-a ），由公式四及公式五得到诱导公式六：sin （0.5π+a ）=cosa ，cos （0.5π+a ）=-sina 二 课内自测1.若cos100°= k,则tan ( 80°)的值为（ ）A － D2.⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A 21 B 21- C23 D 23-3.已知sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（ ）A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 4.已知f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值等于（ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）0.5 （D ）0 5.化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A. sin 2cos 2+B. cos 2sin 2-C. sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2-6.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并将结果填在题中横线上： （1）0210cos = （2）53sin π⎛⎫- ⎪⎝⎭= （3）176tan π=7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒ = .8.运用公式完成下列表格9.求下列三角函数值：(1)sin960° (2)cos(－43π6) （3）()420cos - （4）76sin π⎛⎫- ⎪⎝⎭10.将下列三角函数化为锐角三角函数：（1）139cos π （2）5sin π⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．12.已知sina ＝－3／5，且a 是第四象限角，求tana [cos(3π-a)－sin(5π+a)]的值13.化简：(1) sin(－a)cos(－a －π)tan(2π＋a)； (2))2tan()(cos )tan()cos()(sin 32πππππ-----++a a a a a14.已知0sin 75=，求00cos15,cos165.15.已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -16.已知a 是第三象限角，f(a)＝)cos()23tan()2cos()sin(ππππ--+---a a a a . (1)若cos （a-1.5π）＝1／5，求f(a)的值； (2)若a ＝－1860°，求f(a)的值17.若sin(3π＋θ)＝1／4，求[]1)cos(cos )cos(-++θπθθπ+)cos()cos()2cos()2cos(θπθπθπθ-+++-18.求证：①)(sin 211)21cos()23sin(22θππθπθ+--+-=1)tan(1)9tan(-+++θπθπ ②)23cos()23sin()6cos()23cos()2tan(πππππ++---a a a a a ＝－tana三 课堂达标1.已知sin(π+θ)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是（ ）A sin θ<0,cos θ>0B sin θ>0,cos θ<0C sin θ>0,cos θ>0D sin θ<0,cos θ<0 2.sin585°的值为（ ）A -2／2 B 2／2 C -3／2 D 3／23.若sin(π+a)=-0.5，则cosa 的值为（ ） A.±0.5 B.0.5 C. 3／2 D. ±3／24.在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）A sin （α+π）=sin βB sin(α-π)=sin βC sin(2π-α)=-sin βD sin(-α)=sin β 5.已知4log )sin(81=-απ且)0,2(πα-∈，则αtan 等于（ ）A522 B -552 C ±552 D 256.已知32)sin(=-πα，则)2cos(πα-的值是（ ）A -5／3 B 5／3 C ±5／3 D 2／3 7.sin315°-cos135°+2sin570°的值是_______. 8.=+-⋅--)2cos()2sin()sin()cos(αππααππα9.已知cos1000=m ，则tan800的值是 10.已知sin （π+a ）=／5，且sinacosa ＜0，求)3cos(4)3tan(3)sin(2πππ--+-a a a11.求证：ααπsin )23cos(-=-，ααπcos )23sin(-=-。

1.3《三角函数的诱导公式一》导学案整体设计三维目标1.通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:三个诱导公式的推导和四个组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:四组诱导公式的灵活运用.教学过程导入新课思路1.①利用单位圆定义任意角的正弦值、余弦值和正切值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.通过公式一我们可以将任意角的三角函数值转化到[0,2π〕以内，我们解决了形如sin750°，如果遇到sin150°，sin210°，sin330°。

我们又该怎样求解呢？推进新课新知探究1由公式一我们知道sin750°=sin〔720°+30°〕=sin30°=2提出问题①锐角α的终边与 απ+、-α、π-α角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ ③任意角α与απ+、-α、π-α呢？活动:以απ+为例，在单位圆中作出α、π+α的终边，并标出终边与单位圆的交点P 、P ´，如图1.ααπααπtan )tan(cos )cos(==+-=-=+x yx学生活动：参照公式二的推导过程，在以下第一个单位圆中分别画出α和-α终边，并标出α终边与单位圆交点，-α终边与单位圆交点P ´，写出-α与α三角函数的关系.参照公式二的推导过程，在以下第二个单位圆中分别画出α和π-α终边，并标出α终边与单位圆交点，π-α终边与单位圆交点P ´，写出π-α与α三角函数的关系.请结合单位圆中三角函数的定义通过上图中各角终边与单位圆交点坐标写x出-α、π-α的三角函数值，观察找出他们与α角三角函数值的关系。

sin(a) _____ 公式二： cos(a) _____ tan(a) _____ sin( a) _______ 公式四： cos( a) _______ tan( a) _______
sin( a ) _______ 2 cos( a ) _______ 2
sin(a 2k ) _______ 公式一： cos(a 2k ) _______ tan(a 2k ) _______ sin( a) _____ 公式三： cos( a) _____ tan( a) _____
sin( a ) _______ 2 cos( a ) _______ 2
师生共用三角函数的诱导公式（第二课时）导学案
年级： 高一 学科： 课时及内容： 三角函数的诱导公式（第二课时） 学习目标:1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式 2.能利用诱导公式求任意角的三角函数值，化简，三角恒等式的证明. 学习重难点：
一.课前准备 姓名

2
角的正弦、余弦诱导公式的推导
Байду номын сангаас

2
x) b tan( x) ，若 f (1) 3, 则 f (1) ______ .
5.已知 f ( x)
1 x .若 x ( , ) ，化简 f (cos x) f ( cos x). 2 1 x
五.学后反思： ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________

《三角函数的诱导公式》导学案一、学习目标1、理解三角函数的诱导公式的推导过程。

2、掌握三角函数的诱导公式，并能熟练运用它们进行三角函数的求值、化简和证明。

3、通过诱导公式的学习，体会数学中的化归思想和数形结合思想。

二、学习重难点1、重点（1）诱导公式的推导和记忆。

（2）运用诱导公式进行三角函数的化简和求值。

2、难点（1）诱导公式的灵活运用。

（2）诱导公式中角的变化规律的理解和掌握。

三、知识回顾1、任意角三角函数的定义设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，r ＝√（x²＋ y²) ，则sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）。

2、终边相同角的三角函数值的关系终边相同的角的同名三角函数值相等，即：sin(α ＋ k·360°）＝sinα ，cos(α ＋ k·360°）＝cosα ，tan(α ＋ k·360°）＝tanα （k ∈ Z）。

四、诱导公式推导1、公式一sin(α ＋2kπ) ＝sinα ，cos(α ＋2kπ) ＝cosα ，tan(α ＋2kπ) ＝tanα （k ∈ Z）推导：因为终边相同的角的同名三角函数值相等，角α与角α ＋2kπ（k ∈ Z）终边相同，所以它们的三角函数值相等。

2、公式二sin(π ＋α) ＝sinα ，cos(π ＋α) ＝cosα ，tan(π ＋α) ＝tanα推导：设角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则角π ＋α的终边与单位圆交于点 P'（x, y)。

所以sin(π ＋α) ＝ y ＝sinα ，cos(π ＋α) ＝ x ＝cosα ，tan(π ＋α)＝ y/（x) ＝tanα 。

3、公式三sin(α) ＝sinα ，cos(α) ＝cosα ，tan(α) ＝tanα推导：设角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则角α的终边与单位圆交于点 P'（x, y)。

1.3三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。

2.掌握3,22ππαα±±这四种形式的角的三角函数与角α的三角函数间的关系； 能初步应用公式解决一些简单的问题。

学习重点、难点：重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用。

难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系。

学习过程：一、预习完成部分：复习回顾，引出新知公式一 公式二： =+=+=+)tan()cos()sin(απαπαπ 公式三： 公式四： =-=-=-)tan()cos()sin(ααα =-=-=-)tan()cos()sin(απαπαπ它们的记忆技巧是： .二．合作探究：1、诱导公式五：问题1：如图单位圆中，你能画出角 （2π —α）的终边吗？问题2：假设点1p 的坐标为),(y x ，你能说出⎪⎭⎫⎝⎛-απ2的终边与单位圆的交点2p 坐标吗？问题3:请用三角函数的定义写出角⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2的三角函数值（诱导公式五）： 诱导公式（五）sin(),2cos(),2tan().2παπαπα-=-=-=) sin(2)_____,cos(2)_____,tan(2)_____.k k k k z απαπαπ+=+=+=∈（）思考：1.公式两边函数名称是否改变？2. 公式两边函数符号是否改变？预习检测1：1、化简（1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin （2） )27cos(απ-2、诱导公式六： 思考：同学们，角（2πα+）与角α又有怎样的关系呢？你仍然是画图研究吗，还是用已学的公式来探究呢？请试着写出你的推导诱导公式六过程：诱导公式六sin(),2cos(),2tan().2παπαπα+=+=+= 思考：1.公式两边函数名称是否改变？2. 公式两边函数符号是否改变？预习检测2： 求值：3(1)cos()23ππ- 5(2)sin 6π思考5：对角32πα±呢？ 三、当堂达标： （一）、典型例题：例1、证明：31)sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ααπsin 23cos )2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-33)sin +cos 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 34)cos +sin 2παα⎛⎫= ⎪⎝⎭例2：化简： 11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+例3、已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -（二）学习小结 ：1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.四、课后作业：1、化简：1）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-；2) ()()αππααππα--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos 3）()()()ααα-+--sin 360tan cos 022、计算：1）()()0000660cos .330sin 750cos .420sin --+2）⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sin πππ3、已知():,21sin 计算-=+απ （1）3cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭()2tan 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭。

§1.3.1 三角函数的诱导公式（1）1. 借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，2. 能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，3. 并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题一、课前准备（预习教材P 23~ P 24，找出疑惑之处）复习下列三角函数值：1．=030sin ，= 30cos ，=30tan ，=060sin ，= 60cos ，= 60tan 2. =0150n si = 150cos ，= 150tan =0120sin ，= 120cos ，= 120tan 二、新课导学※ 预习探究探究任务一：给定一个角α1. 角α-与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？在图(1)中画出α-的终边2. 角απ-与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？在图(2)中画出απ-的终边3. 角απ+与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？在图(3)中画出απ+的终边探究任务二：1.诱导公式二：2. 诱导公式三:3. 诱导公式四:※ 预习检测利用诱导公式写出下列各三角函数值:1.= 210sin ;2.=-)30cos( ;3.= 135tan ;4.若,55=αsin 则=-)sin(απ.对于本节预习，你还有疑问或问题吗？请将你的疑问和问题填写到征集表中。

※ 典型例题=-=-=-)tan()cos(()sin(ααα=+=+=+)tan()cos(()sin(απαπαπ=-=-=-)tan()cos(()sin(απαπαπ(1) (2) (3)例1. 利用诱导公式写出下列各三角函数值:例2：化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα----++※基础过关1. 代数式 210cos 120sin 的值是（ ） A.43- B.43 C.23- D.41 2.已知α是第二象限角，且53)=-απ（sin ，则=αcos （ ） A.54 B.53 C. 54- D. 53- 3.若πβα=+，则下列各等式不成立的是（ ）A.βαsin =sinB.0cos cos =+βαC.0tan tan =+βαD.βαcos sin = 4.计算下列各值：（1）)1560sin( - （2） 1380cos（3）)1410tan( -（4）43cos()6π- 5.已知,80k = cos 则=100cos ； )2040cos()4();316sin()3(;311sin )2(;225cos 1--ππ）（6.已知πβα=+，k =αcos ，则=βcos 7. 已知πβα=+，k =αsin ，则=βsin8. 求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ．9. 化简)(cos )tan()3(sin )cos(32απαπαπαπ--+++10. 设()f θ=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值．※能力提升11. 已知sin()4πα+=，则3sin()4πα-值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 12. cos (π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 13. 已知)2(32)cos()sin(παπαπαπ<<=+--，求：ααcos sin -;※能力突破14. 在ABC ∆中，已知）B A --=-ππsin(2)2sin(，)cos(2cos 3B A --=π。

（3） ___________
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式口诀：
三、典型例题
例1求证： ， .
练习：已知 ，则 ______ ,
例2已知 ，且 ，
求 .
练习：已知 ，且 ，求 的值.
【当堂练习】
1、已知 ，求 的值.
2、已知 ，求 .
【课堂小结】
【课后作业】
执笔人：姚东盐审核人：***2011年月日
三角函数1.2.3三角函数的诱导公式（二）第1课时
【教师活动】
【教学目标】
1、借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；
2、解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
【教学重难点】
六组诱导公式以及这六组公式的综合运用
【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】
【学Байду номын сангаас活动】
【学习目标】
1、借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；
2、解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
【课时安排】
1课时
【课堂探究】
一、问题情境
二、师生互动
复习：化简求值：
（1） =______
（2） _____________

第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式 (第一课时)学 习 目 标1.熟悉熟记应用诱导公式一~四.2.理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.3.通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.4.渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想.学 习 过 程一、课前完成部分【模块一】复习引入(预习课本P 23~28,找出疑惑之处,并作记号)问题1:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：sin α= ，cosα= ，tanα= ，(α≠ )问题2:回忆公式一，公式一的用途有哪些?sin(α+k·2π)= ;cos(α+k·2π)= ;tan(α+k·2π)= .（k ∈ ）问题3:求下列三角函数值: :(1)sin 150°;(2) cos （-30°）;(3) tan 225°.二、课堂完成部分【模块二】质疑解惑，探究新知探究2: (1) π4角与5π4角有何内在联系？角的终边有什么关系？(2)π4角与5π4角终边与单位圆的交点坐标有什么关系？值关系如何?结论：探究3: 7π6角与π6有上述探究2的关系吗？探究4：(1)若α为锐角，则（π，3π2）范围内的角可以怎样表示？ (2)对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？设α与(π+α)的终边分别交单位圆于P ,P',设点P (x ,y ),那么点P'坐标怎样表示?探究5 (3)sinα与sin(π+α),cosα与cos(π+α)以及tanα与tan(π+α)关系分别如何?即时应用，巩固新知 例1：求下列三角函数的值（1）cos225°； （2）sin 4π3 ； （3）tan 7π6 ；【模块三】合作探究，深化理解探究6:给定一个任意角α.角-α和角α的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?探究7: 利用π-α＝π+（-α），结合公式二、三，你能得到什么结论？【模块四】即时应用，巩固新知(一)典型例题: 例2：利用公式求下列三角函数值.(1) sin 11π3 ； (2) sin （-11π3）; (3) cos (-2040°)例3：化简. 例4：已知，求sin 6π5，cos 4π5，tan （-π5）的近似值。

跟踪训练3（1），且，则_______.
[解析]因为，所以，又因为，则，又，则.故答案为.
（2）已知，且，求的值.
解因为，所以，所以.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用诱导公式求三角函数值
例1（1）__，____;
[解析]..
（2）计算：___.
1
[解析]原式.
规律方法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
跟踪训练1（1）的值是()
B
A.B.C.D.
[解析]，由诱导公式得，又，故.故选B.
（2）已知角的终边经过点.
跟踪训练2 化简：
（1）;
解.
（2）.
解原式.
【题型三】给值（或式）求值问题
例3已知，求的值.
解因为，，所以.
规律方法 解决给值（或式）求值问题的策略 1.解决给值（或式）求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
解因为，则，所以，，.
①求的值；
解.
②求的值.
解原式.
【题型二】利用诱导公式化简三角函数式
例2 化简下列各式：
（1）;
解原式.
（2）.
解原式.
规律方法三角函数式化简的常用方法1.合理转化：（1）将角化成，的形式，其中是锐角，.（2）依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数.2.切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式一、二、三、四

高中数学7.2.3 三角函数的诱导公式同步教案教案名称：高中数学7.2.3 三角函数的诱导公式同步教学教案教学目标：1. 理解三角函数的诱导公式及其应用。

2. 掌握三角函数的基本概念和性质。

3. 能够独立解决相关问题。

教学重点：1. 三角函数的诱导公式。

2. 三角函数之间的基本关系。

教学难点：1. 理解三角函数之间的基本关系。

2. 掌握三角函数的诱导公式及其应用。

教学过程：Step 1：引入概念（5分钟）三角函数，并通过实例演示，让学生理解并掌握如何求出不同角度下的三角函数值。

Step 2：基本概念与性质（15分钟）介绍正弦、余弦、正切等常见三角函数的定义和性质。

讲解如何根据图像特点确定它们在不同象限中的取值范围，并通过具体例子演示，让学生掌握三角函数之间的基本关系。

Step 3：诱导公式（20分钟）详细讲解三角函数的诱导公式及其应用。

通过演示和讲解，让学生深入理解三角函数之间的关系，并能够独立进行推导和运用。

同时，教师可以提供一些实例，让学生通过观察、分析和推理来确定三角函数值的大小和变化。

Step 4：应用分析（20分钟）提供一些实际问题案例，让学生应用所学知识进行分析和解决。

例如，在一个角度求正弦或余弦值的问题中，引导学生利用所学知识进行推理和分析。

通过实例演示，让学生掌握如何运用所学知识解决实际问题，并能够独立应用于其他情境。

Step 5：练习与巩固（10分钟）提供一些涉及三角函数的练习题目，让学生独立或小组合作完成。

教师可以给予指导和反的能力。

Step 6：拓展与应用（10分钟）引导学生思考更复杂情境下的应用问题。

例如，在一个三角函数的应用问题中求出角度、边长等参数。

让学生探究并应用所学知识解决这些拓展性问题，提高他们的数理思维和逻辑推理能力。

Step 7：总结与归纳（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结三角函数的基本概念、性质和诱导公式，并掌握三角函数在实际问题中的应用方法。

提供一些简单且有实际意义的问题，让学生运用所学知识进行推理和分析，并进行讨论和答案解析。