高三数学一元二次不等式及其解法

1一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型

不等式是高考数学的重要内容。其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不

等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、

解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。另一方面，在解决这类数学问题的过程

中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想

对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。一

元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。

一、一元二次不等式在实数集上的恒成立

1

、不等式对任意实数恒成立⇔0

0







ab

c或0

Δ<0





a

2

、不等式对任意实数恒成立⇔0

0







ab

c或0

Δ<0





a

【注意】对于二次不等式恒成立问题，

恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；

恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．

二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子

集，

可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立

⇒，即.

三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题

2解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；

一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.

即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范

围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

1、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.

2、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.

【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】

【例1

】（2022·

重庆沙坪坝·

重庆八中校考模拟预测）使得不等式

210xax对

Rx恒成立的一个充分不必要条件是（）

专题04 常见不等式的解法

所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．

【重点知识回眸】

（一）常见不等式的代数解法

1、一元二次不等式：200axbxca

可考虑将左边视为一个二次函数2fxaxbxc，作出图象，再找出x轴上方的部分即可——关键点：图象与x轴的交点

2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x的表达式为fx，不等式为0fx）

①求出0fx的根12,,xx

② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根

④ 观察图象，0fx 寻找x轴上方的部分

0fx 寻找x轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有x的表达式称为分式，即为fxgx的形式

（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即0gx

（3）对形如0fxgx的不等式，可根据符号特征得到只需,fxgx 同号即可，所以将分式不等式转化为00fxgxgx （化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有绝对值的不等式

（1）绝对值的属性：非负性

（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：

① fxgx的解集与fxgx或fxgx的解集相同

② fxgx的解集与gxfxgx的解集相同

题目 第一章集合与简易逻辑含绝对值的不等式及一元二次不等式

高考要求

1掌握cbax与)0(ccbax型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；

2．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法

3．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

知识点归纳

1绝对值不等式

ax与)0(aax型不等式cbax与)0(ccbax型不等式的解法与解集：

不等式)0(aax的解集是axax;

不等式)0(aax的解集是axaxx或,

不等式)0(ccbax的解集为 )0(|ccbaxcx;

不等式)0(ccbax的解集为 )0(,|ccbaxcbaxx或

2解一元一次不等式)0(abax

①abxxa,0 ②abxxa,0

3韦达定理：

方程02cbxax（0a）的二实根为1x、2x，

则240bac且acxxabxx2121 ①两个正根，则需满足0002121xxxx，

②两个负根，则需满足1212000xxxx，

③一正根和一负根，则需满足0021xx

4．一元二次不等式的解法步骤

对于一元二次不等式22000axbxcaxbxca或，设相应的一元二次方程200axbxca的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象 cbxaxy2

x2x1oyx cbxaxy2=x2x1oyx cbxaxy2oyx

2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类

1、一元二次不等式的概念

一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．

注：一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意aa<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．

2、一元二次不等式的解法

（1）用因式分解法解一元二次不等式

一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).

①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．

②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．

依据是：ab>0当且仅当a>0，b>0 或a<0，b<0 ；

ab<0当且仅当a<0，b>0 或a>0，b<0.

（2）用配方法解一元二次不等式

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2

注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．

(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．

3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝𝑥2＝－b2a 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－b2a} R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∪ ∪