八年级因式分解培优
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知识梳理 1、整式乘法
(a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
2、整式乘法的分类:单项式义单项式
单项式义多项式 多项式义多项式
3、因式分解
概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做〜
例：a2 — b2 = (a + b)(a — b)
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b )2
a 2 一 2ab + b2 = (a 一 b)2
4、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算
5、因式分解的常用方法介绍
①提公因式法②公式法 ③十字相乘法
第一种：提公因式法 典型例题
因式分解：2a(b+c) -3 (b+c)
总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的 第一项系数是负的一般要提出“－"号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式 后得到的另一个因式必须按降幂排列。
练习巩固
1、把下列各式因式分解
(1) 2(x - y)2-(x - y)3 (2) m(a - b)-n(b - a)
第二种：公式法
典型例题1：用平方差公式进行因式分解
⑴ m2 - 9n2 ⑵ 4m2 - 25n2
(3) m4 - n4 (4) -1 +16m4
总结:能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式。注意多项式
有公因式时，首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.
练习巩固 6(x -2) + x(2 -x)
(3) 3(y - x)2 + 2(x - y) (4) m(a -b)2 + n(b - a)2
(5) mn(a -b) - m(b - a)2 (6) 2x(x + y)2 + (x + y)3 典型例题2：用完全平方公式进行因式分解
(1) (p - q)2 - 2(p - q) +1 ( 2 )
(m + n)2 一 2(m2 一n2) + (m-n)2
总结:整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代
公式中字母。还要注意分解到不能分解为止。
练习巩固
(1) — + a 2 + a 4 (2) 14 X -1- 49 X 2
4
(3) a4 -8a2b2 +16b4 (4) a6 + 2a3b3 + b6
第三种：十字相乘法(5)(X +1)4 -2(X +1)2 +1 (6)(m 一 2n)2 一 2(m 一 2n) +1 十字相乘法方法总结
1 .用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问
题:
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：
在十字相乘式中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a,c1c2=c；在上式中， 斜向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行
两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项;在下一行的两个数中，
a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利 用恒等变形把它转化为正数)，只需把经分解在两个正的因数。
2 .形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3 .凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以
用十字相乘法分解因式。
请计算：(x+p)(x+q)=
典型题析1：将下列各式化简
(1)(x+2)(x+3) (2) (x-5)(x-6)
(4) (x-3)(x+4)
(6) (3x -1)(x + 2)(3)(x - 3)(x - 4)
(5) (2x-3)(x+2) 典型题析2:将下列各式因式分解（都是加号）
典型题析3：将下列各式因式分解（加减号）
典型题析4：把下列各式因式分解（最高次项的系数不为一）
(1) x 2 + 3 x + 2 (2) x2 + 2x +1
(3) x2 + 9x + 8 (4) x2 + 6x + 5
(1)x 2 一 5 x + 6 (2) x2 —5x—6 (3)
(1)- x2+2 x+15 (2)2x2-7x+3 (3) -7x2-18
(4) 6x2-7x-5 (5) 5x2 +6xy -8y2 (6) x2 -5xy +6y2
典型题析5:分组分解法
(1) 4 x 2 — 4 xy + y 2 — z 2 ； (2) a 3 - a + 2 b - 2 a 2 b
(3 ) x2 — 2xy + y2 + 2x — 2y — 3
巩固练习
1．用十字相乘法分解因式:
(1)2x2 +3x+1 (2)2y2 +y-6 (3)6x2 -13x+6
2、已知2—6=1,则代数式2a-2b—3=( )
A -1 B 1 C —5 D 5
3、若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m的值等于。
4、x2 + x + m - (x - n)2 则U m =n =
5、2x3y2与12x6y的公因式是—
6、若xm - yn = (x + y2)(x- y2)(x2 + y4)，则 m=, n=。
7、在多项式m2 + n2,-a2 -b2,x4 + 4y2,-4s2 + 9t4中，可以用平方差公式分解因 式的
有 _______________________ ,其结果是 _____________________ 。
8、若x2 + 2(m-3)x-16是平方差形式，则m=。
9、.已知 a-b=5, ab=3, 求代数式 a3b—2a2b2+ab3 的值
10、已知 a2+2ab+b2=0, 求代数式 a(a+4b)-(a+2b) (a—2b)的值 课后作业
1 x 2 + () x + 2 = (x + 2)( x +)
3、若9x2 + k + y2是完全平方式，则k=
4、若x2 + 4x-4的值为0,则3x2 +12x-5的值是。
5、多项式 一 a(a - x)(x - b) + ab(a - x)(b - x)的公因式是()
B、 一 a（a 一 x）（x - b） C、 a（a - x） D、 一 a（x 一
a）
6、若 mx2 + kx + 9 = （2x 一 3）2，则 m, k 的值分别是（ ） (4)3a 2 -7a-6 (5)6x 2 -11xy +3y2 (6)4m2 +8mn +3n2
2、 x2 + 6x + (__)= (x + 3)2 , x 2 + (__ )+ 9 - (x-3)2
A、一a、 A、m=—2,k=6, B、m=2,k=12, C、m=—4,k=—12、D m=4, k=12、
7、因式分解下列式子
x4 一 2x3 - 35x2
25（x 一 2y）2 一 4（2y — x）2
提高题
1
8、已知 2x 一 y = 3，xy = 2，求 2x4y3 一 x3y4 的值。
9、若x、y互为相反数，且(x + 2)2 - (y +1)2 = 4，求x、y的值
100、已知 a + b = 2，求(a2 一b2)2 一8(a2 + b2)的值 x 2 一 4 xy - 1 + 4 y 2
