求电场强度的几种常用方法

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

DCBA求线段的几种常用方法

方法1：利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系

例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。

图1

分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。

解：∵点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11

∴

∴

又∵CD＝10cm，∴AB＝96cm

对应训练

1、如图,点C分线段AB为5：3，点D分线段AB为3:5,已知CD的长是10.那么AB的长是 。

2、如图，已知AD=5cm，B是AC的中点，CD=23AC．求AB、BC、CD的长．

方法2：利用线段中点性质，进行线段长度变换

例：如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。 word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

图2

分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。

解：∵N是PB的中点，NB＝14

∴PB＝2NB＝2×14＝28

又∵AP＝AB－PB，AB＝80

∴AP＝80－28＝52（cm）

说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。

强化训练

1、如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=8，DB=6，求CD的长。

解：∵DA=8,DB=6

∴AB=

+

= +

=

∵C为线段AB的中点

∴AC=21

=

=

∴CD= —

求电场强度的六种特殊方法

一、镜像法（对称法）

镜像法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。

例1．（2005年上海卷4题）如图1，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小和方向如何(静电力恒量为k)

二、微元法

微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。

例2.如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的称轴上的一点，OP＝L，试求P点的场强。

三、等效替代法

“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。

例3． 如图3所示，一带正Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的垂直距离为为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．

四、补偿法

求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。

例4. 如图5所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

姆　黼　…　一　熬　求　定　稀蕊　◎修风光（沈阳理工大学理学院，辽宁沈阳１１０１６８）　【摘要】不定积分是高等数学中最重要的概念之一，对　于一个给定的函数，如何求出不定积分，是不定积分研究的　主要问题，也是不定积分的重点和难点．本文把高等数学中　所涉及的不定积分的计算方法进行了归纳总结，并通过若　干典型例题具体地说明每一种方法的使用过程以及注意　事项．　【关键词】不定积分；换元积分法；分部积分法；高等　数学　高等数学是培养学生掌握科学思维能力、掌握数学知　识和数学技术的重要基础课程．通常认为，高等数学是由微　积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容　所形成的一门基础学科．该课程的核心是微积分理论，而后　者是现代科学的理论基础．著名的数学家、计算机的发明者　冯诺依曼曾说过：“微积分是近代数学中最伟大的成就，对　它的重要性无论做怎样的估计都不会过分．”由此可见，微　积分在近代数学发展中的作用．　微分学解决了如何由已知函数求出它的导数或微分的　问题．而在实际问题中，存在许多与此相反的问题．例如，已　知物体的瞬时速度　＝　（ｔ）＝半，如何求出此物体的运　，　方程ｓ＝ｓ（ｔ）．这类问题很普遍，用数学方法可概括为如何　由已知函数的导数求出原来的函数，这就是积分要讨论的　中心问题．　积分学是徽积分的主要部分，在高等数学中占有重要　地位．而一元函数积分学是积分学的基础，重积分、曲线积　分与曲面积分的计算最终都要化为定积分．从某种意义上　讲，不定积分处于辅助位置，它的重要性就在于为定积分的　计算提供了一种简便快捷的工具．　下面将详细介绍一下在不定积分的计算过程中常用的　几种方法．　一、直接积分法　所谓直接积分法，就是把被积表达式化成积分表中的　形状，然后按积分性质及积分表中的公式直接写出结果．用　直接积分法求不定积分的关键是对被积表达式进行适当的　变形．　例１　ｆ＿　．　Ｊ　Ｓｌｎ　ＣＯＳ　解　原式：ｆ　：ｆ—　＋ｆ　：　Ｊ　ｓｉｎ　ＸＣＯＳ　Ｘ　Ｊ　ＣＯＳ　ｘ　Ｊ　ｓｉｎ　ｘ　ｔａｎｘ—ｃｏｔｘ＋Ｃ．　注意　导数公式表与积分公式表是进行微积分计算的　依据，是高等数学中最基本、最核心的内容，需要大家熟练　掌握．　二、第一换元法（凑微　、去Ｊ　与复合函数求导法则相对应，有第一类换元积分法．当　被积函数厂（　）比较复杂，难以直接求出积分时，如果被积函　数可以分为两个因式的乘积，其中一个因式是复合函数　．　（　）］，另一个因式是中间变量的导数　（　）（或只差一　个常数因子），那么就可以引进新的积分变量／ｔ＝妒（　），应　用第一类换元法，其基本步骤是：　（１）凑微分．这是解题的关键．“凑”得是否恰当，主要　看　）ｄｕ是否容易积出．　（２）换元．令ｕ＝　（　），使被积表达式成为　“）ｄｕ的　形式．　（３）积分．对积分变量／Ｌ求出积分Ｆ（ｕ）＋Ｃ．　（４）回代．把　＝ｐ（　）代人所得结果，换成原积分变量　学学习与研究２０１８．７　●　。　。　●　矿●　●　的函数．　第一换元法，关键是变形到凑微分这一步，故第一换元　积分法通常也称为凑微分法．　例２　ｆ　ａ．ｒｃｔａｎ，ｘ～ｄ　．　Ｊ　１＋　解ｆａ１ｒｃ．ｔａｎ。ｘｄｘ＝ｆ　ａｒｃｔａ眦）ｄ（ａｒｃｔ眦）：一（ａ丁ｒｃｔａＤ￣）ｚ＋ｃ　三、第二换元法　第二类换元法通常用于消去根号，使用这类方法的关　键是积分变量　的一个合适的代换　＝　（ｔ）．其基本步　骤是：　（１）换元．令　＝　（ｔ），使被积函数容易积出　（２）积分．对积分变量　出积分Ｆ（ｔ）＋Ｃ．　（３）回代．把　＝　（ｔ）的反函数ｔ＝　（　）代入所得结　果，换成原积分变量　的函数．　例３　解－ｆ　／南　＝２　南）　２（ｔ—ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ＝２（　一ａｒｃｔａｎ　）＋Ｃ　四、分部积分法　分部积分法的一般步骤是：　（１）“选／Ｌ，Ｙ”，即把要求的积分　）　改写成』　ｄ　．　（２）‘‘代公式”，即利用公式化出积分　ｄ“：Ｊ＿“ｄ　＝　一　ｖｄ“它与所求积分－ｆ　ｄ　相比，不过是把ｕ，　互换了位置．　（３）“微出来”，即把新积分　ｄ　中的ｄ　微出来，使其成　为　ｄｘ．　（４）‘‘算积分”，即积出ｆ＂ｖ／￣ｌｄ　．　分部积分法主要应用于被积函数是两个不同类型的函　数乘积的积分问题，尤其是被积函数是反三角函数、对数函　数或幂函数这三类函数与某一个易获得原函数的函数的乘　积的形式．如果遇到被积函数为三角函数与指数函数的乘　积，可连续进行两次分部积分，得到一个所求积分满足的恒　等式，从而可求得积分．　最后，应当指出的是，在求同一不定积分时，可能有很　多种方法，各种方法得到的结果形式上可能不一样，但实际　上最多差个常数，其结果是否正确可通过求导数，即其导数　是否与被积函数一样来验证．不定积分计算的核心是分析　被积函数的特点，联想基本积分公式，通过各种手段、不同　的处理方法，千方百计地向基本公式靠近．求不定积分比求　导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时却十　分灵活，因此，应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能　熟练掌握．　【参考文献】　［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出　版社，２００６．　［２］赵振海．高等数学学习指导与习题全解［Ｍ］．大连：　大连理工大学出版社，２００４．　［３］欧阳光中，姚允龙，等．数学分析［Ｍ］．上海：复旦大　学出版社。２００４．

求电场强度的六种特殊方法

一、镜像法（对称法）

镜像法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此

法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。

例1．（2005年上海卷4题）如图1，带电量为+q

的点电荷与均匀带电薄板相距为2d

，

点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a

点处的电场强度为零，根据对

称性，带电薄板在图中b

点处产生的电场强度大小和方向如何？(静电力恒量为k)

二、微元法

微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲

为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。

例2.如图2所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直

于圆环平面的称轴上的一点，OP

＝L

，试求P点的场强。

三、等效替代法

“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A事实出发，用另外的B事实来代替，必要时再由B而C……

直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。如以模型代实物，以合力（合运动）

替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。

例3．如图3所示，一带正Q电量的点电荷A，与一块接地的长金属板MN组成一系统，点电荷A与板MN间的

垂直距离为为d，试求A与板MN的连线中点C处的电场强度．

四、补偿法

求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这

时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条

件的差值问题。

例4.如图5所示，用长为L的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小

于r，将电量为Q的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。五、等分法

利用等分法找等势点，再连等势线，最后利用电场强度与电势的关系，求出电场强度。

例5．如图6所示，a、b、c是匀强电场中的三点，这三点边线构成等边三角形，每边长