一元一次方程的应用——等积变形和行程问题
一、教学目标
1.通过分析图形问题中数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；
2.理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.通过实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学的应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
二、教学重难点
1.教学重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
2.教学难点：分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系.
三、教学方法
启发式、精讲精练
四、教学过程
（一）导入新课
【情景引入】一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？
（二）讲授新课
1.等积变形问题
例1：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积高线长.计算时取3.14.要求结果误差不超过1mm）？
【想一想】
问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？
已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）
未知：圆钢的高
设未知数：设应截取圆钢x毫米
问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？
等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积
问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得： 200
x
90
300 300 9030030022002x
解方程，得：258x
答：应截取258mm长的圆柱体钢.
【点拨】等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变.
1 一元一次方程的应用等积变形问题
【学习目标】
1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程
2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；
3.情感态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；
重点：找相等关系，设未知数列方程．
难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。
一．自主探究（前置性学习）
探究活动（一）
本课内容必备：
圆柱体积公式：
长方体体积公式：
如图，已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)
（二 ）知识盘点：（三）学习中还有哪些疑问没有解决？
二．合作探究
（一）交流展示
1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？
2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？
2 （二）体验成功
1、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？
2、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？
小结：解决此类问题中的等量关系是：
跟踪训练：
1、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
第1页/共8页 一元一次方程解应用题的几种常见题型
列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。因此，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程(组)解应用题大有帮助。因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来，如下：
(1)和、差、倍、分问题。
此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
(2)等积变形问题。
此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变;②原料体积=成品体积。
(3)调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
①既有调入又有调出;
②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变;③只有调出第2页/共8页 没有调入，调出部分变化，其余不变。
(4)行程问题。
要掌握行程中的基本关系：路程=速度×时间。
相遇问题(相向而行)，这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题(同向而行)，这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
②同地不同时;甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
船(飞机)航行问题：相对运动的合速度关系是：
抚松外国语七年级数学“一元一次方程的应用等积变形问题〞师生共用导学稿
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【学习目标】
1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程
2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；
态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；
重点：找相等关系，设未知数列方程．
难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。
一．自主探究〔前置性学习〕
探究活动〔一〕
本课内容必备：
圆柱体积公式：
长方体体积公式：
如图，圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)
〔二 〕知识盘点：〔三〕学习中还有哪些疑问没有解决？
二．合作探究
〔一〕交流展示
〔二〕体验成功
1、用直径为4cm的圆钢〔截面为圆形的实心长条钢材〕铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，那么需要截取多长的圆钢？
2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？
3、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？
4、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？
5、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？假设装不下，那么瓶内水面还有多高？假设未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
