高中数学《等比数列的前n项和》导学案

第1课时 等比数列的前n项和

1.求和公式及基本方法

2．等比数列的前n项和的性质

(1)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)．

(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(m，n∈N*)．

(3)在等比数列{an}中，公比为q，若项数为2n，用S奇、S偶分别表示奇数项与偶数项的和，则有S偶S奇＝□04q.若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝□05q.

(4)若数列{an}前n项和公式为Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0，且A＋B＝0)，则{an}为等比数列．

(5)若等比数列{an}的前n项的积为Tn＝an1·q，则连续m项的积仍为等比数列，即Tm，T2mTm，T3mT2m，…是等比数列，公比为□06qm2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝a11－qn1－q来求．( )

(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，知Sn，an，a1可以求公比q.( ) (3)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n－1＝1×1－2n1－－2.( )

(4)若等比数列{an}共100项，且公比q≠±1，则该数列的偶数项之和S＝a21－q501－q.( )

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．做一做

(1)等比数列12，－14，18，－116，…的前7项和为______．

(2)(教材改编P56例1(2))等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是________．

(3)等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝8，则S5＝______.

答案 (1)43128 (2)211 (3)248

探究1 等比数列前n项和的基本计算

例1 在等比数列{an}中，

(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；

(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；

(3)若a3＝32，S3＝92，求a1和公比q. 解 (1)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1qn－1以及已知条件，得 189＝a1－2an1－2＝a1－2×96－1，96＝a1·2n－1，

∴a1＝3.

又∵2n－1＝963＝32，∴n＝6.

(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得

 a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，

即 a11＋q2＝10，a1q31＋q2＝54. ①②

∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即q＝12，

∴a1＝8.

∴a4＝a1q3＝8×123＝1，

S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.

(3)当q＝1时，S3＝3a1，a3＝a1＝32.

∴3×32＝S3＝92，∴a1＝32，q＝1.

当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝92，

a3＝a1·q2＝32， ∴32q2(1＋q＋q2)＝92，∴q＝－12，q＝1(舍去)，

∴a1＝6.

综上所述： a1＝6，q＝－12或 a1＝32，q＝1.

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等比数列思想方法的应用

(1)方程思想：等比数列中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现．

(2)分类讨论思想：由等比数列前n项和公式、an与Sn的关系等知识可知，解答数列问题时常常要用到分类讨论思想．

(3)特别注意，等比数列前n项和的计算，优先讨论公比q＝1的情况．

【跟踪训练1】 (1)在等比数列{an}中，S3＋S6＝2S9，则公比q＝________；

(2)在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，则an＝________________；

(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.

答案 (1)－312 (2)2n－2 (3)3

解析 (1)由题意知{an}的公比q≠1，

∴a11－q31－q＋a11－q61－q＝2a11－q91－q，

∴2q9＝q3＋q6，∴2q6＝q3＋1，

∴q3＝－12或q3＝1(舍去)，∴q＝－312.

(2)由题意知{an}的公比q≠1，

由S3＝72，S6＝632知 a11－q31－q＝72，①a11－q61－q＝632，② ②÷①，得q6－9q3＋8＝0，

∴q3＝8或q3＝1(舍去)，∴q＝2，

代入①得a1＝12，

∴an＝12×2n－1＝2n－2.

(3)由a1＝1，S6＝4S3，当q＝1时，不符合S6＝4S3；当q≠1时，∵a11－q61－q＝4·a11－q31－q，∴1－q6＝4(1－q3)，得q3＝3，故a4＝a1q3＝1×3＝3.

探究2 等比数列前n项和性质的应用

例2 (1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式；

(2)在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30.

解 (1)设此数列{an}的公比为q，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，∴S奇＝3S偶，∴q＝S偶S奇＝13.

又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝a31q3＝64，

∴a1q＝4.又q＝13，∴a1＝12，

∴an＝a1qn－1＝12×13n－1.

(2)解法一：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则 a11－q101－q＝10，a11－q201－q＝30.

两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.

∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20) ＝10×(1＋2＋4)＝70.

解法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，

又∵S10＝10，S20＝30，

∴S30－30＝30－10210，即S30＝70.

[变式探究] 本例(2)中条件不变，能否求a21＋a22＋…＋a30的值呢？

解 由题可知a21＋a22＋…＋a30＝S30－S20，由例题可知S30＝70，S20＝30，所以a21＋a22＋…＋a30＝70－30＝40.

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等比数列前n项和性质的应用

等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法．

【跟踪训练2】 (1)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数；

(2)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．

解 (1)设此等比数列为{an}，其公比为q，项数为2n(n∈N*)．

若q＝1，则S奇＝S偶，与已知矛盾，故q≠1，

∴ 1－q2n1－q2＝85，q1－q2n1－q2＝170. ①②

②÷①，得q＝2.

把q＝2代入①，得1－4n1－4＝85，

∴4n＝256＝44，∴n＝4.

∴公比q＝2，项数为8. (2)解法一：∵S99＝a11－q991－q＝56，

∴a3＋a6＋a9＋…＋a99

＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)

＝a1q21－q3331－q3

＝a1q2·1－q991－q1＋q＋q2

＝q21＋q＋q2a11－q991－q

＝41＋2＋4×56＝32.

解法二：设T1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97.

T2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，

T3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，

则T1q＝T2，T2q＝T3且T1＋T2＋T3＝56，

∴T1(1＋q＋q2)＝56，

∴T1＝561＋2＋4＝8，T3＝T1q2＝32，

即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.

探究3 等比数列前n项和的实际应用问题

例3 借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)

解 解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则

a0＝10000，

a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，

…

a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.

由题意，可知a6＝0，

即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，

a＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，

所以a≈1.061×1021.061－1≈1739.

故每月应支付1739元．

解法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为

S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．

另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为

S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a

＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．

由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.

以下解法同解法一，得a≈1739.故每月应支付1739元．

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解数列应用题的注意点

在数列的实际应用中，把数学问题背景中的数列知识挖掘出来(投入资金数列和收入资金数列)，然后用数列的知识进行加工和整理是常见的解题方法，应注意合理安排，解题中要明确数学问题的实际意义，以便进行合理取舍．

【跟踪训练3】 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x 套旧设备．