立体几何平行证明题

标准文档

实用文案 立体证明题（2）

1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．

（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；

（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

标准文档

实用文案 3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．

5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；

（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

标准文档

实用文案 6.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；

（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．

7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．

（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF；

（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．

8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．

（1）求证：DM⊥平面PBC；

（2）若点E为BC边上的动点，且ECBE，是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为32？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 标准文档

实用文案

9.如图，ABED是长方形，平面ABED⊥平面ABC，AB=AC=5，BC=BE=6，且M是BC的中点

（Ⅰ） 求证：AM⊥平面BEC；

（Ⅱ） 求三棱锥B﹣ACE的体积；

（Ⅲ）若点Q是线段AD上的一点，且平面QEC⊥平面BEC，求线段AQ的长．

10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB

（1）求证：EA⊥平面EBC

（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值．

标准文档

实用文案 11.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．

（1）求证：平面POB⊥平面PAD；

12.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．

（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；

（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．

13.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．

（ I）求证：BD⊥平面ACFE；

（ II）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B﹣EF﹣D的余弦角．

标准文档

实用文案 14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；

（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．

15.如图，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．

（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．

标准文档

实用文案 试卷答案

1.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）由已知中直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，且BF⊥平面ACE，我们可以证得BF⊥AE，CB⊥AE，进而由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE．

（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角，解Rt△BFG即可得到答案．

【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE

∴BF⊥AE…

∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，

∴CB⊥平面ABE

∴CB⊥AE…

∴AE⊥平面BCE．…

解：（2）连接BD与AC交于G，连接FG，设正方形ABCD的边长为2，

∴BG⊥AC，BG=，…

∵BF垂直于平面ACE，由三垂线定理逆定理得FG⊥AC

∴∠BGF是二面角B﹣AC﹣E的平面角…

由（1）AE⊥平面BCE，得AE⊥EB，

∵AE=EB，BE=．

∴在Rt△BCE中，EC==，…

由等面积法求得，

则

∴在Rt△BFG中，

故二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．… 标准文档

实用文案

2.

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明．取EF中点O，连接OP、OC．等腰三角形CEF中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE．

（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．

【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．

由AC=BC=，AB=2．

∵E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF

∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分

∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，

又AP=，OP=1，

∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分

又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，

∴OP⊥平面ABFE，…5分

又OP⊂平面EFP，

∴平面EFP⊥平面ABFE． …6分

（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分

∴，，

设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量， 标准文档

实用文案 则⇒ 取x=1，得y=2，z=﹣1

∴． …9分

同理可得，…11分

由于=0，

所以二面角B﹣AP﹣E为90°． …12分

3.

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】证明题．

【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证；

对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，

由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证． 标准文档

实用文案

【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分）

且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，

∴EF∥平面PAD（6分）

（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PA（9分）

又PA=PD=AD，

所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）

而CD∩PD=D，

∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）

【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．

4.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC，利用线面垂直的性质，可得DC⊥AB；

（2）过C作CE⊥AB于E，连接ED，可证∠CED是二面角D﹣AB﹣C的平面角．设CD=a，则BC==，从而EC=BCsin60°=，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．

【解答】（1）证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

∴DC⊥平面ABC，

又AB⊂平面ABC，

∴DC⊥AB．…

（2）解：过C作CE⊥AB于E，连接ED，