立体几何(平行关系的证明)

1 立体几何 直线与平面平行的判定与性质

一、知识梳理

1． 直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义 定理

图形

条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b

注意：

1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．

2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．

3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线

二、例题分析

1． 已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)．

2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则 ( )

A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交

3.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.

提示：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

2

4. 已知：直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b.

求证：a∥b.

三、课堂练习

1．下列命题正确的是 （ ）

题型一：利用三角函数证明垂直或求边长

题型二：利用向量证明垂直或求边长

3. （2010年新课标理 18.）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

（1） 证明：PEBC

（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

（第一次测验）19.(本小题满分12分)如图5,三棱柱111ABCABC中,侧面11AACC侧面11ABBA,12ACAAAB,1160AAC,1ABAA,H为棱1CC的中点,D在棱1BB上,且1AD平面1ABH.

(Ⅰ) 求证:D为1BB的中点；

(Ⅱ) 求二面角11CADA的余弦值.

ABCA1B1C1DH图5

立体几何

一、空间位置关系的证明

(一)平行关系的证明

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

3.重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(4)几何体中线面平行的证明常利用平行四边形的定义、性质或三角形中位线

(二)垂直关系的证明

1．直线与平面垂直

(1)定义：:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

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高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

（一）立体几何中平行问题

证明直线和平面平行的方法有：

①利用定义采用反证法；

②平行判定定理；

③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法

在使用判定定理时关键是确定出面内的

与面外直线平行的直线.

常用具体方法：中位线和相似

例1、 P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

证明：如图，连结AC交BD于点O.

∵ABCD是平行四边形，

∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，

且OQ是△APC的中位线，

∴PC∥OQ.

∵PC在平面BDQ外，

∴PC∥平面BDQ.

例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：

(1)E、F、B、D四点共面；

（2）面AMN∥面EFBD. 2

证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如图，

则由正方体性质得 B1D1∥BD.

∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，

∴EF∥21B1D1.∴EF∥21BD.

∴E、F、B、D对共面.

（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.

∵M、N为A1B1、A1D1的中点，

∴MN∥EF，EF面EFBD.

∴MN∥面EFBD.

∵PQ∥AO,

∴四边形PAOQ为平行四边形.

∴PA∥OQ.

而OQ平面EFBD，

∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN面AMN，

∴平面AMN∥平面EFBD.

例3如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.

求证：AF//平面PEC；