初二数学教案示例：分组分解法

因式分解专题 1

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）

1 基本方法

1.1提公因式法☆☆☆

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式

1.2 公式法☆☆☆

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 因式分解专题 2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

补充公式:

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

初二数学——分解因式

一、 考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()ababab

（2）完全平方公式：2222()aabbab

（3）立方差公式：3322()()ababaabb

（4）立方和公式：3322()()ababaabb

（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）

①二次三项式：

把多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx、

为一次项，c为常数项．例如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式.

在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；

如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是

关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

②十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式qpxx2，如果能把

常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以

运用公式

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．

注意：公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,ccaa，使aaa21，ccc21，且bcaca1221，

第04讲 因式分解

温故知新

回忆：因式分解的一般方法：

1、提公因式法

2、公式法

3、十字相乘法

智慧乐园

课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。

一、巧拆项

在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

二、巧添项

在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。

三、巧换元

在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。

四、展开巧组合

若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。

五、巧用主元

对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。

知识要点一

因式分解 1、因式分解的定义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

2、因式分解与整式乘法的关系

如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。

3、公因式的定义：

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

4、确定公因式的方法：

确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符

号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系

数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都

含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。

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因式分解

1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.

多项式的分解因式与整式乘法互为逆运算；

例1：下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）

（1）22))((yxyxyx （2）)(223xxxxxx

（3）2)3(232xxxx （4）)1)(1(1yxyxxy

（5）)11(12xxxxx （6）2222)1(xyyxxxy

例2：把aabb2222分解因式的结果是（ ）

A. ()()()abab22

B. ()()abab2

C. ()()abab2 D. ()()abba2222

注意事项：

①分解因式是多项式的恒等变形，被分解的式子必须是一个多项式；

②因式分解的结果必须是以乘积的形式表示；

③结果中的每一个因式都必须是整式；

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2、因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等；

2.1提公因式法

★★公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式；

公因式的提取方法：各项系数的最大公因数为公因式的系数，

相同字母（或因式） 的最低次幂的积；

例、因式分解：

（1）2)(2)(2)(2)(2)(2yxyxyyxxxyyyxx

（2）)93(2)1862(186222323mmmmmmmmm

（3）)123(4)4812(481222323323tsstststtsststts

（4）)3()(3)(9)(39)(333434qpqpqpqppqqp

2.2公式法

（1）平方差公式：))((22bababa

条件：①有且只有两项；②两项异号；③都是平方项；

（2）完全平方公式：首平方，尾平方，首尾两倍在中央