分组分解法例题

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. 因式分解·提公因式法

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1. 把下列各式因式分解

（1）axabxacxaxmmmm2213

（2）aababaabba()()()32222

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：axabxacxaxaxaxbxcxmmmmm221323()

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，()()()()abbaabbannnn222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解：aababaabba()()()32222

)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223bbababaabbaababaabaabbaabaa

2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算1368987521136898745613689872681368987123

分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987

98713681368987

因式分解经典例题

一、提取公因式法

例1：分解因式ax + ay。

解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。

例2：分解因式3x^2-6x。

解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。

例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。

解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。

二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式

例4：分解因式x^2-9。

解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。

例5：分解因式16y^2-25。

解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。

例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。

解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x +

p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。 三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式

例7：分解因式x^2+6x + 9。

解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。

例8：分解因式4y^2-20y+25。

解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。

例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。

解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。

四、综合运用多种方法分解因式

例10：分解因式x^3-2x^2+x。

解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。

例11：分解因式2x^2-8。

解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。

代数专题11 因式分解常用方法技巧

一、 知识导航

因式分解的一般步骤：

（1

）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式

（2

）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式、十字相乘法来分解

（3

）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项来分解

（4

）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解.

总结：看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

二、 典型例题

题型一 用“提公因式法”分解因式

例1

分解因式：

（1）2

82mnmn+=

（2）3a（x﹣y）＋2b（y﹣x）＝

变式训练1 因式分解：

（1）

39axyyx-+-

（2）2

(23)23mnmn--+

把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分

解，也叫作分解因式。因式分解是初中代数阶段一个非常重要的内容，掌

握好因式分解的常用方法和技巧，对于学好初中数学是至关重要的存在。题型二 用“公式法”分解因式

例2 因式分解：2

2xx-=__________；2

449x-=__________；2

288xx-+=_________．

变式训练2 把下列各式分解因式：

（1

）2

44xx-+ （2）22

4()()-+-axybyx

（3）4224

817216aabb-+ （4）

314xx-++

题型三 用“十字相乘法”

分解因式“提公因式法”分解因式归纳总结：

1. 先确定公因式，一次把公因式全部提干净；

2. 提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1不

可丢掉；

3. 提取的公因式带“—”号时，多项式的各项要变号.

“公式法”分解因式归纳总结：

分解因式与整式的乘法互为逆变形，如果把乘法公式反过来，那么就可以

用来把某些多项式分解成因式。常用公式如下：

平方差公式：

完全平方公式：

立方差公式：

立方和公式：

22ababab-=+-

2

222abaabb=+



3322ababaabb-=-++

初二数学因式分解的八种常见方法，你学会了就是学霸

因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。

下面通过例题一一介绍。

一.提取公因式法

(一)公因式是单项式的因式分解

1.分解因式

确定公因式的方法

①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂. 注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).

(二)公因式是多项式的因式分解

2.因式分解

15b(2a一b)²+25(b一2a)²

解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)

二.公式法

(一)直接用公式法

3.分解因式

(1).(x²+y²)²一4x²y²

(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81

解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²

(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=

(二)先提再套法

4.分解因式

(三)先局部再整法

5.分解因式

9x²一16一(x十3)(3x+4)

解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)

(四)先展开再分解法

6.分解因式

4x(y一x)一y²

解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²