勾股定理典型练习题(含答案)

勾股定理典型练习题(含答案)

1.勾股定理典型练题

勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？

已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。

2.勾股定理典型练题

XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？

根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 =

4.因此，答案为C。

3.勾股定理典型练题

如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。则图中阴影部分的面积是多少？

首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为 4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。因此，阴影部分的面积为 8√2 - 2 × 2 - 2 ×

1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。

4.勾股定理典型练题

如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？

根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)²

= 6.因此，答案为C。

5.勾股定理典型练题

如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？

首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为 π × (2√2 / 2)² = 2π。又因为三角形ABC的面积为

BC × AC / 2 = 4，所以S1 + S2 = 2π - 4.由于S1和S2是对称的，所以S1 = S2.因此，答案为A。

6.勾股定理典型练题

如图所示，Rt△ABC中，∠ACB = 90°。在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆。图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2.求证：S1 + S2 = △ABC的面积。

根据勾股定理，设AC = a，BC = b，AB = c，则△ABC的面积为 ab / 2.又因为半圆的面积为 πr² / 2，所以S1 = π(a / 2)²

/ 2 = πa² / 8，S2 = π(b / 2)² / 2 = πb² / 8.因此，S1 + S2 = π(a² + b²)

/ 8.由勾股定理可知，c² = a² + b²，所以S1 + S2 = πc² / 8 = ab / 2，即S1 + S2 = △ABC的面积。因此，证毕。

7.勾股定理典型练题

如图所示，直角三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 6，以AB为直径画半圆，若阴影部分的面积S1-S2 = π / 4，则BC等于多少？

根据勾股定理，设AC = x，则BC² = AC² - AB² = x² - 36.又因为半圆的面积为 π × (6 / 2)² / 2 = 9π，所以S1 + S2 = 9π -

△ABC的面积。由于△ABC的面积为 6x / 2 = 3x，所以S1 +

S2 = 9π - 3x。因此，3x - 9π = π / 4，所以x = (9π + π) / 12 = π / 4.因此，BC = √(x² - 36) = √(π² / 16 - 36) = 3√(π² / 16 - 4)。因此，答案为3√(π² / 16 - 4)。

8.勾股定理典型练题

如图4所示，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠ABC +

∠BCD = 90°，BC = 2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为什么？请说明理由。

根据图中所示，设AD = x，BC = 2x。由勾股定理可知，AC = √(x² + 4x²) = x√5.因此，△ABC的面积为 x²√5 / 2，△BCD的面积为 2x²√5 / 2 = x²√5.因此，梯形ABCD的面积为

3x²√5 / 2.

分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3.根据图中所示，S1的边长为 x + 2x = 3x，所以S1的面积为 9x²。同理，S2的面积为 4x²，S3的面积为 x²。因此，S1 : S2 : S3 = 9x² : 4x² : x² = 9 : 4 : 1.因此，S1、S2、S3之间的数量关系式为 9 : 4 : 1. 2.在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、BC、DC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间数量的关系是S1+S2=S3.

9.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为9/2.

10.如图，以AB为直径画一个大半圆，BC=2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于4/9.

11.(a) 如图（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示S1、S2、S3则它们有S1+S2=S3关系；(b) 如图（2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示S1、S2、S3．则它们有S1+S2=S3关系；(c) 如图（3）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S1、S2、S3，则它们有S1+S2=S3关系，并选择其中一个命题证明。

12.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c。(1) 如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3；(2) 如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(3) 分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(4) 若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积。

13.如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上取两点M、N（不与A、B重合）使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，NB=n，试判断以x、m、n为边长的三角形的形状，并给予说明。

已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a+b+c+338=10a+24b+26c。现需要判断△XXX的形状。

我们可以将等式进行简化，得到9a+23b+25c=338.根据这个等式，我们可以判断三角形ABC的形状。

若a=b=c，则9a+23b+25c=57a，即a=338/57=5.93.这时三角形ABC为等边三角形。

若两边相等，即a=b≠c，则9a+23b+25c=32a+32b+25c，即7a-9b=0.这时三角形ABC为等腰三角形。

若三边不相等，则9a+23b+25c>32a+32b+25c，即7a-9b>0.这时三角形ABC为一般三角形。

因此，根据等式9a+23b+25c=338，可以判断△XXX的形状。

XXX家的菜地是一个三角形，已知两边长分别为40m和50m，第三边上的高为30m。现需要计算这块菜地的面积。

我们可以使用三角形面积公式S=1/2×底×高来计算。由于已知两边长和高，我们可以先求出底长。

通过勾股定理可得，第三边长为√(40²+50²)=√(4100)=10√41.因此，底长为10√41.

将已知数据代入公式，可得S=1/2×10√41×30=150√41.因此，XXX家的菜地面积为150√41平方米。