《信号与系统》讲义教案第5章 连续时间信号与系统的复频域分析

第5章 连续时间信号与系统的复频域分析

5.0 引言

通过前两章的学习我们已经看到，在信号与系统的研究中，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。

傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，即jte和nje,基于这一原理，也可以将一个信号分解为复指数信号ste和nz，从而得到拉普拉斯变换和Z变换。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面,这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。

本章将介绍拉氏变换的基本内容，从下面的分析可以看出，拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它的特例。

5.1 双边拉普拉斯变换

5.1.1 双边拉普拉斯变换的定义

复指数信号ste是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则系统对ste产生的响应是：

其中

当js时，就是傅里叶变换。

下面给出拉普拉斯变换的定义：

(5.1)

称为)(tx的双边拉氏变换 ，其中sj。

若js,0，则dtetxjXtj)()(就是)(tx的傅里叶变换。

表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在0或是在j轴上的特例。

由于

()()tjtXsxteedt

(5.2)

所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，)(tx的拉氏变换就是tetx)(的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入te后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这说明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。

5.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域

我们首先来看几个常用信号的例子。

例5.1 分析右边信号()()atxteut的拉普拉斯变换。

由拉普拉斯变换的定义 ，有 (5.3)

当Re[]sa时上式收敛，当0a时，)(tx的傅里叶变换存在：

(5.4)

显然，在0a时，使拉氏变换收敛的区域Re[]sa（如图所示），包括了0即（j轴）。

比较)(sX和)(jX，显然有：

(5.5)

当0a时，()()()atxteutut 可知：

， (5.6)

图5.1 收敛域（例5.1） 图5.2 收敛域（例5.2）

例5.2 分析右边信号 ()()atxteut的拉普拉斯变换。

由拉普拉斯变换的定义 ，有 ， (5.7)

将例5.1与例5.2进行比较，其拉氏变换的表达式完全相同，但收敛域不同，所以对应的原始信号也不同。可以看出当拉氏变换表达式完全相同时并不能唯一地确定原始信号，必须结合收敛域才能唯一确定一个原始信号。

由以上例子，总结如下：

1、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。

2、使拉氏变换积分收敛的那些复数 S 的集合，称为拉氏变换的收敛域 ROC（Region

ofConvergence），常用S平面的阴影部分表示。拉氏变换的 ROC 是非常重要的概念。

3、不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。

4、只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。

5、如果拉氏变换的ROC包含j轴，则有

。 (5.8)

5.1.3拉氏变换的几何表示：零极点图

若)(sX是有理函数：

(5.9)

我们把分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将)(sX的全部零点（用“○”标示）和极点（用“×” 标示）表示在 S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个)(sX，最多与真实的)(sX相差一个因子M。因此， 用)(sX在S平面的零点和极点来表示)(sX，它结合收敛域给出了拉氏变换的完整描述。 例5.3 分析2()()()ttxteuteut 的拉氏变换及收敛域。

其拉氏变换为

图5.3 ()teut对应的收敛域 图5.4 2()teut对应的收敛域

可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。

例5.4 求信号241()()()()33ttxtteuteut的拉氏变换及收敛域。

解：

零点：1s 极点：2,1ss

图5.5 例5.4的收敛域

5.1.4收敛域的特征

通过上面的分析可以归纳出ROC的以下性质：

1、ROC是 S 平面上平行于j轴的带状区域。

2、在ROC内无任何极点。

3、时限信号的ROC是整个 S平面。

4、右边信号的ROC是 S平面内某一条平行于j轴的直线的右边。

5、左边信号的ROC是S平面内的一条平行于j轴的直线的左边。

6、双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于j轴的带形区域。

例5.5 分析其它00)(Ttetxat的拉氏变换。

解：

)(sX有极点as。考查零点，令1)(Tase，得：kTjas2 显然在as也有一阶零点，零极点相抵消，致使整个 S 平面上无极点。所以收敛域为整个S平面。

例5.6 分析双边信号tbetx)(的拉氏变换及收敛域。

解：

当0b时，上述ROC有公共部分：

，。

收敛域如图所示。

当0b时，上述ROC无公共部分，表明)(sX不存在。

图5.6 例5.6收敛域

当)(sX是有理函数时，其 ROC 总是由)(sX的极点分割的。

ROC 必然满足下列规律：

1、右边信号的 ROC 一定是)(sX最右边极点的右边。

2、左边信号的 ROC 一定是)(sX最左边极点的左边。

3、双边信号的 ROC 可以是任意两相邻极点之间的带状区域。

下面通过一个例题来看一下收敛域的分布情况。 例5.7 分析2111231)(2sssssX对应信号的特征。

可以形成三种 ROC :

(1) ROC ：1]Re[s，此时)(tx是右边信号。

(2) ROC ：2]Re[s，此时)(tx是左边信号

(3) ROC ：1]Re[2s，此时)(tx 是双边信号。

5.2双边拉普拉斯变换的性质

拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于 ROC 的讨论。

1、线性：

若 ，；

，

则

)()()()(2121sbXsaXtbxtax， ROC 至少是：21RR。

(5.10)

当1R与2R无交集时，表明)(sX不存在。

例5.8 )()()(1tettxt，)()(2tetxt

，；

， 而 1)()()(21ttxtx ,ROC 为整个S平面

2、时移性质

若 ，

则 00()()stxttXse， ROC 不变。 (5.11)

3、S域平移

若 ，

则 ，。 (5.12)

表明：)(0ssX的 ROC 是将)(sX的 ROC 平移了一个]Re[0s。

例5.9 已知)()(tetxt,11)(ssX,1，

则 ,

显然：

图5.7()()txteut和tetx2)(对应的收敛域

4、时域尺度变换

若 ， 则

1()(),:||sxatXROCaRaa (5.13)

当R时，)(sX收敛；

当Ras]Re[，)(asX收敛，所以aRs]Re[。

例5.10 已知1()()()1txteutXss，1(5.14)则/2()()2ttxeut的拉普拉斯变换为

121(),:12122XsROCss (5.15)

即，若信号在时域尺度变换，拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。

特例： ，。 (5.16)

5、共轭对称

若 ，

则 ，(5.17)

当)(tx为实信号时，)()(sXsX； 如果)(tx是实信号且)(sX在0s有极点(或零点)，则)(sX一定在0s也有极点（或零点）。表明实信号的拉氏变换其复数零极点必共轭成对出现。

6、卷积性质

若 ，；

， 则 1212()()()()xtxtXsXs，:ROC包括21RR(5.18)

例5.11 11(),11Xss；

21(),2(2)(3)sXsss；

则收敛域的交集为 12{1}RR

故 )3)(2(1)()(21sssXsX，2

ROC 扩大 。

7、时域微分

若 ，

则 ()()dxtsXsdt, ROC 包括R，有可能扩大。(5.19)

8、S域微分

若 ，

则 ()()dXstxtds，(5.20)

例5.12 已知2)(1)(assX，aROC:，求)(tx。

解：因为asdsdas1)(12，所以()()atxtteut。