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奇偶性问题一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k＋1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数。
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：结果的奇偶性只与式子中奇数的个数有关三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a、b有a＋b与a－b同奇或同偶。
能力巩固提升1．一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页．这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始．如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？2．甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球．小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面．如果摸出的两个球颜色相同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不同，小强就将白球放回甲袋．小强就这样从甲袋中摸了2995次后甲袋中还剩几个球？它们各是什么颜色？3．在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。
如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？4．在10个容器中分别装了1，2，3，4，5，6，7，8，9，10毫升的水，每次操作中由水多的甲容器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量．问：能否在若干次操作后，使5个容器都装有3毫升的水，其余容器分别装有6，7，8，9，10毫升的水？如果能，请说明操作顺序；如果不能，请说明理由．5．一个图书馆分东西两个阅览室。
小学四年级数学思维发展训练数学是一门培养孩子思维发展的重要科目，对小学四年级的学生来说，数学思维的培养尤为重要。
在这个关键时期，如何有效地进行数学思维训练，对于学生的数学学习和思维能力发展至关重要。
本文将从几个方面来介绍小学四年级数学思维发展训练的方法和技巧。
一、培养逻辑思维逻辑思维是数学思维的基础，培养学生的逻辑思维能力是数学思维训练的首要任务。
可以通过培养孩子的分析、综合、判断和推理等能力，来提高他们的逻辑思维水平。
例如，在解决问题时，可以引导学生按照逻辑顺序进行思考和分析，分析问题的关键点，找到解决问题的有效方法。
二、强化计算能力数学的计算是数学思维训练的重要环节。
小学四年级学生要掌握加、减、乘、除等基本运算的方法和技巧，并能够灵活运用于实际问题中。
为了提高学生的计算能力，可以通过一些游戏和练习来进行训练，例如口算比赛、计算速度挑战等。
同时，还可以通过做一些综合计算题，来培养学生解决复杂问题的能力。
三、拓展空间思维空间思维是数学思维中的重要组成部分，它可以培养学生的观察力、想象力和创造力等。
在教学中可以通过一些拼图、拼凑、折纸等活动来锻炼学生的空间思维能力。
例如，给学生一些几何图形让他们进行拼图，或者让学生观察一个物体的各个侧面，然后画出该物体的正视图和侧视图等。
这样可以培养学生的空间想象力和几何图形的认识能力。
四、培养问题解决思维在数学思维训练中，培养学生的问题解决能力是非常重要的。
学生在解决数学问题时，需要通过整合已有知识和运用问题解决方法，来找到解决问题的策略。
在教学中可以通过引导学生提出问题并解决问题的方式，来培养他们的问题解决思维。
例如，教师可以提出一个与日常生活相关的数学问题，让学生展开讨论和思考，找到解决问题的方法和策略。
综上所述，小学四年级的数学思维训练是培养学生数学思维发展的重要环节。
通过培养逻辑思维、强化计算能力、拓展空间思维和培养问题解决思维等多方面的训练，可以有效提高学生的数学思维水平。
小学四年级学习中的数学思维训练数学是一门既有挑战性又有趣味性的学科，对培养学生的思维能力有着重要的作用。
在小学四年级学习中，数学思维训练尤为重要。
本文将从问题解决能力、逻辑思维和创造力三个方面，探讨小学四年级学习中的数学思维训练。
问题解决能力是数学思维的重要组成部分。
在小学四年级，学生开始接触更为复杂的数学问题，需要运用所学的知识解决实际问题。
例如，如果有一个篮子里有10个苹果，小明拿走了4个苹果，那么篮子里还剩下几个苹果？这个问题需要学生将已知条件与问题要求相结合，进行简单的数学运算，从而得出正确答案。
通过解决问题，学生能够培养逻辑思维和分析问题的能力，提高他们的数学思维水平。
逻辑思维是数学思维的重要基础。
在解决问题时，学生需要运用逻辑思维进行推理和判断。
例如，当学生遇到一个关于数列的问题时，他们需要观察数列中的规律，并通过推理和判断找出下一个数。
通过这样的训练，学生能够提高他们的逻辑思维能力，培养他们发现规律和推理的能力，使他们能够更好地解决数学问题。
创造力在数学学习中也起着重要的作用。
数学并不仅仅是一门机械的运算，它也需要学生的创造力。
例如，在学习几何图形时，学生需要根据已知条件构建一些新的图形，从而发现新的数学规律。
通过这样的练习，学生能够培养他们的想象力和创造力，为日后解决更复杂的数学问题打下基础。
除了问题解决能力、逻辑思维和创造力，小学四年级数学学习中还需注重培养学生的数学思维方法。
数学思维方法对学生发展数学思维至关重要。
例如，在学习加减法时，学生可以尝试使用分解法、逆运算法等不同的思维方法，从而提高他们解决问题的能力。
通过培养正确的数学思维方法，学生能够更加灵活地运用所学的知识，解决各类数学问题。
总之，小学四年级学习中的数学思维训练是培养学生数学思维能力的关键时期。
通过问题解决能力、逻辑思维、创造力和正确的数学思维方法的训练，学生能够提高他们的数学思维水平，培养他们的思维能力，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
四年级下册奥数思维训练四年级下册奥数思维训练相关参考内容：一、直观思维训练1. 图形变换：通过图形的旋转、反转、平移等操作，培养学生对空间图形的观察和认知能力。
2. 图形拼接：给出若干小图形，要求学生将它们合理拼接成一个大图形，锻炼学生的空间想象力和逻辑推理能力。
3. 排列组合：给出一定数量的物体，要求学生按照特定的规则进行排列和组合，培养学生的排序和组合思维能力。
二、逻辑思维训练1. 推理推断：给出一组信息，要求学生根据这些信息进行推理和推断，找出逻辑关系，解答问题，锻炼学生的推理和分析能力。
2. 数字推理：给出一组数字序列，要求学生找出其中的规律并预测下一个数字，培养学生的数字逻辑思维能力。
3. 迁移思维：给出一组问题，要求学生将已有的解决方法应用到新的问题上，培养学生的迁移思维和创新能力。
三、创造性思维训练1. 数学游戏：通过一些趣味的数学游戏，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的主动学习和解决问题的能力。
2. 反证法：给出一个假设，要求学生通过反证法来证明假设的真实性，培养学生的逆向思维和证明能力。
3. 数学释疑：给学生一些经典的数学问题，要求学生自己提出疑问并寻找解决方法，培养学生的批判性思维和质疑精神。
四、综合思维训练1. 数学建模：给学生一个实际问题，要求学生运用数学知识和方法，解决问题，培养学生的实际应用能力和综合思维能力。
2. 逆向思维：给出一个目标，要求学生从目标出发，逆思维来寻找实现目标的方法，锻炼学生的逆向思维和创新能力。
3. 多元思考：给出一个问题，要求学生从多个角度进行思考和解答，培养学生的多元思维和综合分析能力。
以上是四年级下册奥数思维训练的参考内容，希望可以帮助学生们提高数学思维能力。
四年级下册奥数思维训练
四年级下册奥数思维训练是一种针对小学四年级学生的数学思
考和推理训练。
通过此训练，学生可以学习到如何用逻辑思维和数学知识解决问题，提高自己的数学能力。
以下是四年级下册奥数思维训练的几个重要方面：
1. 推理思维训练：通过一些有趣的数学推理题目，让学生锻炼自己的逻辑思维能力，提高自己的推理能力。
2. 创造性思维训练：通过一些创新性的数学问题，让学生学会用自己的思维和创造力去解决问题，培养自己的创造性思维。
3. 策略思维训练：通过一些策略性的数学问题，让学生学会用科学的方法去解决问题，提高自己的策略思维能力。
4. 实践思维训练：通过一些实践性的数学问题，让学生学会把理论知识应用到实际问题中，提高自己的实践能力。
通过四年级下册奥数思维训练，学生可以更好地理解数学知识，提高自己的数学思维能力，为以后的学习打下坚实的基础。
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数学思维培养之路小学四年级数学全册思维训练数学思维培养之路——小学四年级数学全册思维训练在小学四年级的数学学习中，培养良好的数学思维是至关重要的。
数学思维不仅仅是为了解决问题，更是为了培养学生的逻辑思维、创造力和问题解决能力。
本文将就小学四年级数学全册思维训练的重要性和方法进行探讨。
一、为何培养数学思维数学思维是一种基本的思维能力，它不仅可以应用于数学问题，还可以在其他学科和生活中发挥作用。
培养数学思维可以促进学生的综合能力发展，培养学生的逻辑思维和推理能力，使其具备解决问题的能力。
数学思维还可以促进学生的创造力和创新能力的培养，培养学生的思辨和探究能力，使其成为有独立思考能力的人。
二、培养数学思维的方法1. 提供多样化的问题在数学教学中，教师要善于提供多样化的问题，引导学生思考。
通过多样化的问题，激发学生对数学的兴趣，培养他们的观察力和发散思维。
例如，可以提出一道有关顺序比较的问题，让学生分别比较两个数的大小，从而引导学生思考数的大小关系。
2. 引导学生学会归纳和推理在数学课堂上，教师应该引导学生学会从具体问题中归纳总结出数学规律，并通过推理验证规律的正确性。
例如，在学习加减法时，可以通过具体实例让学生总结出加法的交换律和结合律，然后通过推理和计算验证这两个规律的正确性。
3. 培养学生的解决问题的能力解决问题是培养数学思维的重要途径。
教师可以通过提供问题情境和设置探究环节的方式，引导学生主动思考、分析和解决问题。
例如，在学习面积时，可以提出一个问题：如何用方块计算一个不规则图形的面积？学生可以通过实际操作和尝试，逐步发现和掌握计算面积的方法。
4. 培养学生的创造力数学思维的培养还需要培养学生的创造力。
教师可以给学生提供一些启发性的问题，激发学生的创造力和思维活跃性。
例如，可以提出一个问题：如何用8根火柴摆出4个正方形？学生可以通过不同摆放方式，发现并摆出不同的正方形。
5. 注重思维的训练和巩固除了注重知识的传授，更应注重数学思维的训练和巩固。
专题05数字谜算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算式中有一些数字“残缺”，需要我们根据运算法则进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。
研究和解决算式谜问题，有利于培养学生的观察、分析、归纳、推理等思维能力。
竖式数字谜问题，常常把已知的数字作为解答的突破口，结合数字的特点和数位知识以及计算法则解答1．1ABCDE ×3＝ABCDE 1，A ＝ ，B ＝ ，C ＝ ，D ＝ ，E ＝ ．2．m 537表示一个四位数，那么m 537＝m × +537＝m 53× +73．下面的乘法算式中，每个字母都是1～9中的数字，且不同的字母代表不同的数字，已知E ＝4，P ＝5，四位数ABCD ＝ ．4．如图算式中的汉字各代表什么数字？我＝ ；是＝ ；中＝ ；国＝ ；人＝ ．5．用“4、3、7、9”算24，我是这样算的： ．能力巩固提升6．竖式中的●、▲均大于5，它们各是几？●＝▲＝7．将数字1～6填入下面算式的6个方框中，能得到的最大结果是。
8．如图中的乘法算式是．．9．图中除法竖式的除数是被除数是。
10．在0、2、5、8、9五个数中，随意选出四个数字，可组成四位数，把其中能被3整除的选出来从小到大排列，排在第五位的是．11．将1﹣﹣9这九个数字填入下面算式的横线里，使算式成立．÷ ﹣＝；× +＝．12．把35、36、37、38这4个数填入算式中，+﹣＝。
13．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别填在横线里。
（每个数只能用1次）+＝+＝+＝+＝+14．A、B、C、D分别代表四个不同的数字，依下列除式代入计算：结果余数都是4，如果B＝7，C＝1．15．算24点是我国传统的扑克游戏，这里有4张扑克牌，红桃3，黑桃5和梅花9，用它们凑成“24点”的算式是．16．有一个算式，上边□里都是整数，答案只写出了四舍五入后的近似值 ．+≈1.3717．如图的算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，战＝ ，胜＝ ，新＝ ，冠＝ 。
四年级下期第一讲 加减混合运算的简算例 1 计算：(1) 3205＋8749－6749 (2) 9143－6287＋5287 解：(1) 观察发现, 加数 8749 与减数 6749 的末三位数字相同,如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。
因为加数大减数小, 抵消后的数还是加数, 所以 3205＋8749－6749 ＝3205＋(8749－6749) ＝3205＋2000 ＝5205 (2) 观察发现, 减数 6287 与加数 5287 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。
因为减数大加数小, 抵消后的数还是减数, 所以 9143－6287＋5287 ＝9143－(6287－5287) ＝6143－1000 从上面两题可以发现：加减混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在加号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在减号后面添上括号, 括号里面的数必须改变运算符号, 由加变成减, 由减变成加。
简单地说就是, 在添上括号时：加号后面添括号, 原来加减不变号； 减号后面添括号, 原来加减要变号。
有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。
简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是加号, 原来加减不变号；括号前面是减号, 原来加减要变号。
例 2 计算：(1) 1524＋(3476－1584)(2) 7369－(4369－1055)解：(1) 1524＋(3476－1583)＝1524＋3476－1583 ＝5000－1583＝3417(2) 7369－(4369－1055)＝7369－4369＋1055＝3000＋1055＝4055上面的例题，再一次印证了认真观察、善于思考的重要性，希望同学们能有意识、有目的地养成这种好习惯。
练 习 一 1. 在○里填运算符号, 在横线上填数。
(1) 564－496＋196＝564－( ○ ) (2) 397＋748－548＝397＋( ○ ) (3) 843－567＋967＝843＋( ○ ) (4) 638＋293－593＝638－( ○ ) 2. 用简便方法计算下面各题。
牛吃草问题1、英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。
后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”。
2、“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。
“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。
3、解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变每头牛每天的食草量不变草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值新生的草量=每天生长量×天数4、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”⑵草的生长速度=(对应牛的头数×较多天数−对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数−较少天数) ⑶原来的草量=对应牛的头数×吃的天数−草的生长速度×吃的天数⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数−草的生长速度)⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度5、“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
1．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？2．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。
开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。
池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。
如果能力巩固提升把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。
专题04优化问题有的放矢一、在日常生活或企业管理中经常会遇到这样的问题：在某一段时间内做好几件事或完成各项任务，怎样省时、省力、效率高；在生产中急样才能使原材料的消耗少，运费尽量低等。
这类问题经常披称为“统筹规划”，我们可以运用优化策略进行解决。
二、合理支配时问题1、烙饼问题节省时间的最佳方案是每一次尽可能地让锅里按要求放上最多的饼，这样既没有铺张资源，又节省时间。
(1）在每次只能烙两张饼，两面都要烙的状况下:①烙3张饼:先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最终烙2，3号饼的反面。
②烙多张饼:假如要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了;假如要烙的饼的张数是单数，可以先2个2个的烙，最终3张饼按①的方法烙，最节省时间。
(2）烙饼的时间计算:总时间=饼数×烙每面的时间2、彻茶问题解决合理支配的问题需要明确以下内容:①完成一项工作要做哪些事情②每项事情各需要多少时间③合理支配工作的挨次，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。
三、竞赛中的策略在与对方进行竞赛时，要具体地分析自己与对方的状况，反复争辩各种策略，在全部可能实行的策略中，选择一·个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得成功。
田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。
三场两胜，田忌胜出。
力气巩固提升1．四名棋手两名选手都要竞赛一局，规章规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分。
竞赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？2．李明晚上的时间是这样的支配．整理书包：6分钟刷牙：3分钟听音乐：15分钟洗脸：5分钟读英语：15分钟洗脚：15分钟李明怎样合理支配做这些事情，所用时间最少？最少用多少分钟？请说明支配的方法。
13．姐姐要出门，出门之前她要完成以下几件事。
怎样支配最合理？姐姐最少过多少分钟就可以出。
14．星期六，爸爸送小明去学校参与课外活动，他还要去菜市场买菜．上面是他们行走路线和所用时间，他们办完这些事回到家，至少需要多长时间？15．四（1）班有31人参与假日小队活动，为了环保出行，如何租车最省油？小轿车限乘客4人耗油30升商务车限乘客9人耗油50升综合拔高拓展16．小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。
四年级下期第一讲定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。
为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。
(1)求4△3，3△4。
(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。
(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5△b＝1，求b。
解：像这样的题目叫做“定义新运算”。
这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。
弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。
仍然要先做括号里面的。
所以：(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。
3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。
(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。
(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。
17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。
(4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。
(5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。
通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。
在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。
例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。
“*”的意义显然是求a、b的平均数。
因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。
例3 规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。
(1)求1＆100的值；(2)已知x＆10＝75，求x。
解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1)＝1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)×100÷2＝101×100÷2＝5050。
(2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝7510x＋(1＋2＋…＋9)＝7510x＋45＝7510x＝75－4510x＝30x＝30÷10x＝3例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。
这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
运算的结果或者是羊，或者是狼。
那么求下式的结果：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。
解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)＝羊△羊★羊△狼＝羊★羊△狼＝羊△狼＝狼练习一1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。
试计算：(1)5△6； 6△5。
2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。
3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。
5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。
6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。
求(1)10△6； (2)7△(4△8)。
8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。
9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。
计算：(1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。
11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。
计算2000◇6。
12．如果“＋、－、×、÷、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。
第二讲图形问题(一)例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16÷4＝4(厘米)，所以图中正方形B的面积是4×4＝16(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(80－16)÷2＝32(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32÷4＝8(厘米)，面积是8×8＝64(平方厘米)。
例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。
解法一：图形的总面积是40×40＝1600(平方厘米)。
每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800(平方厘米)。
解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40÷2＝800(平方厘米)。
例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500(平方厘米)。
一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30(厘米)。
在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图这个新正方形的面积是30×30＝900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900－500)÷2＝200(平方厘米)。
例4 如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD 的是多少？BC解：如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a＋1，左上角正方形的边长就是a＋1＋1，右上角正方形的边长就是a＋1＋1＋1。
因为CD＝AB，所以a＋a＋(a ＋1)＝(a＋1＋1)＋(a＋1＋1＋1)，即3×a＋1＝2×a＋5，于是a＝4。
从而，CD＝a＋a＋(a ＋1)＝13，AD＝(a＋1)＋(a＋1＋1)＝11。
因此，矩形ABCD的面积是13×11＝143。
练习二1．已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？甲3 乙15 82．把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？3．一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。
原来正方形的面积是多少平方厘米？4．下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？5．一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。
已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6．四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？7．如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？8．有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。
2239．如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？10．将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。
那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11．在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？12．如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。
现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？第三讲枚举与计数例1 数列A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，……。
把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，……。
(1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？(3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？解：(1)数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。
所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9＋180＋3＝192个数。
(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100－9＝91，而91＝2×46－1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9＋46＝55，它的第一位（十位）数字是5。
