二次函数的对称轴与顶点

二次函数对称轴和顶点
二次函数对称轴公式为x=-b/2a，顶点公式为y=a(x-h)²+k。

顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k。

当h\u003e0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。

二次函数最高次为二次的函数，二次頭函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。

开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。

抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。

本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。

一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。

为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。

1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。

对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。

而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。

2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。

对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。

令 y' = 0，解得 x = -1。

将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。

同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。

二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。

下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。

1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。

对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。

二次函数与曲线的顶点坐标求解技巧二次函数是高中数学中常见且重要的概念，它的图像是一条平滑的曲线，其中最重要的特征之一就是顶点。

顶点坐标的求解对于理解二次函数的性质和解决实际问题非常有帮助。

本文将介绍求解二次函数与曲线的顶点坐标的几种常用技巧。

一、标准式求解顶点坐标二次函数的标准式一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

通过标准式，我们可以很方便地求解二次函数的顶点坐标。

1. 顶点的横坐标：二次函数的顶点横坐标可通过下式求得：x = -b / (2a)。

这个公式是由于二次函数的横坐标是一个抛物线的对称轴，对称轴的方程可以通过对函数的一阶导数求解得到，即y' = 0，将一阶导数等于0，解得x = -b / (2a)。

2. 顶点的纵坐标：将顶点横坐标代入二次函数的标准式可求得顶点的纵坐标。

例如，二次函数的标准式为y = 3x^2 + 2x + 1，根据上述求解方法，我们可以得到顶点的横坐标 x = -b / (2a) = -2 / (2*3) = -1/3。

将顶点的横坐标代入二次函数的标准式可得顶点的纵坐标 y = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) + 1 = 4/3。

因此，二次函数y = 3x^2 + 2x + 1的顶点坐标为(-1/3, 4/3)。

二、顶点形式求解顶点坐标二次函数还可以通过顶点形式的表示来求解顶点坐标。

顶点形式的二次函数表达式为：y = a(x-h)^2 + k，其中(a≠0)。

通过顶点形式，我们可以直接读取顶点的坐标。

例如，二次函数的顶点形式为y = 2(x+3)^2 + 4，从这个式子中我们可以直接读取到顶点坐标为(-3, 4)。

三、图像特征观察法除了数学公式的运算求解，我们还可以通过观察二次函数的图像特征来估算和求解顶点坐标。

1. 面积法：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a>0时，对应的图像是一个开口向上的抛物线。

二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

参数a越大，开口越小。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

参数a越小，开口越小。

当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。

例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。

在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。

总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。

当x＞h时，随着x的增大，y会减小。

函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。

二次函数对称轴公式推导过程要推导二次函数对称轴的公式，我们首先需要了解什么是对称轴。

对称轴是指二次函数的图像关于其中一条直线对称。

设二次函数的一般式为：y = ax^2 + bx + c为了方便推导，我们可以先将一般式转化为顶点式。

通过平移变换和完成平方的方法，可以将一般式转化为顶点式。

顶点式为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)为顶点的坐标。

现在我们来推导二次函数的对称轴。

首先，我们可以观察到，二次函数的对称轴与顶点坐标存在其中一种关系。

如果顶点坐标为(h,k)，则对称轴的方程可以表示为：x=h现在我们来证明上述结论。

第一步，考虑二次函数在x=h处的取值。

根据上述顶点式，当x=h时，有：y=a(h-h)^2+ky=k也就是说，二次函数在对称轴上的任意一点处的y坐标等于顶点坐标的y坐标。

第二步，考虑二次函数在对称轴两侧的取值。

设对称轴上的其中一点坐标为(x,y)。

根据对称性质，我们可以找到对称轴上的另一点坐标为(x',y)，其中x'为x关于对称轴的对称点。

根据定义，二次函数在对称轴上任意一点处的函数值是相等的。

即：y=a(x-h)^2+ky'=a(x'-h)^2+k由于对称轴对称，有x-x'=0，即x=x'。

所以，我们可以将上面两个式子合并：a(x-h)^2+k=a(x-h)^2+k消去k，简化得：a(x-h)^2=a(x-h)^2由于a≠0(x-h)^2=(x-h)^2展开括号：x^2 - 2hx + h^2 = x^2 - 2hx + h^2消去相同项，得到：0=0这表明，对称轴上的任意一点(x,y)满足该式，也就是说，对称轴上的任意一点都满足0=0。

所以我们可以得出结论，二次函数的对称轴的方程为x=h。

这就是二次函数对称轴的公式的推导过程。

最后，我们来总结一下推导过程：1.将一般式转化为顶点式。

2.推导顶点式中的顶点坐标。

3.观察顶点坐标与对称轴的关系。

二次函数的特点和应用——研究性学习二次函数是高中数学的一个重要内容，其在数学和实际生活中具有广泛的应用。

本文将通过研究性学习的方式，探讨二次函数的特点和应用。

一、二次函数的定义及特点1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是不全为零的常数，a称为二次函数的系数，b、c为一次项和常数项。

2.特点：（1）顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。

（2）开口方向：二次函数的开口方向可由a的正负确定。

当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

（3）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。

（4）零点：二次函数的零点就是方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，有时也称为根。

二次函数可能有0、1或者2个零点。

（5）平移变换：对二次函数进行平移变换可以通过改变函数的系数实现。

平移可以使二次函数的顶点、对称轴位置发生变化。

二、二次函数的应用1.物理学中的应用（1）自由落体问题：当物体自由下落时，它的高度与时间之间的关系可以用二次函数表示。

（2）抛物线轨迹：抛体运动的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数描述。

2.经济学中的应用（1）成本函数和利润函数：企业的成本和利润函数往往是二次函数，通过对函数进行分析可以最优化企业的经营策略。

（2）供需曲线：市场的供需关系可以通过二次函数来表示，通过解方程可以求得市场的均衡价格和数量。

3.工程学中的应用（1）弹簧的伸长：弹簧的伸长与所加力的关系可以用二次函数表示。

（2）飞行器轨迹：飞行器的轨迹通常是一个抛物线，可以用二次函数描述。

4.生物学中的应用（1）物种数量的变化：一些物种数量的变化可以用二次函数来描述，通过分析可以预测物种的生态变化趋势。

（2）生物发育曲线：生物的发育过程往往可以用二次函数来表示，如种子发芽过程、昆虫蛹化过程等。

二次函数的对称轴二次函数是代数学中的一个基础概念，它的图像形状为抛物线。

在研究二次函数时，我们常常关注其对称轴，它对于确定抛物线的形状和性质至关重要。

本文将详细介绍二次函数的对称轴及其相关内容。

一、什么是二次函数的对称轴？二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

对于这样的二次函数，其对称轴是垂直于x轴的一条直线，将抛物线分为左右对称的两部分。

对称轴上有一个特殊的点，称为顶点，它在对称轴上的纵坐标为抛物线的最高点或最低点。

二、如何确定二次函数的对称轴？要确定二次函数的对称轴，需要找到它的顶点坐标。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴的横坐标可以通过下面的公式计算得到：x = -b/(2a)这个公式可以通过将二次函数的一阶导数与零相等得出。

一阶导数等于零时，表示抛物线的斜率为0，即为对称轴的斜率。

三、二次函数对称轴的性质与应用1. 关于对称轴的性质（1）对称轴将抛物线分为两部分，左右对称。

（2）对称轴上的点为抛物线的顶点，具有最值。

（3）对称轴上任意一点到抛物线上的点的距离相等。

（4）抛物线在对称轴上的对称点关于对称轴对称。

2. 利用对称轴求顶点坐标对称轴的横坐标即为顶点的横坐标，将横坐标代入二次函数，即可求得对应的纵坐标。

顶点的坐标表示抛物线的最高点或最低点。

3. 利用对称轴绘制抛物线图形在已知对称轴和顶点坐标的情况下，可以很方便地绘制出二次函数的图像。

首先确定对称轴的位置，然后绘制对称轴，再将对称轴上的点与对称点对称绘制，最后连接所有的点，即可得到抛物线。

4. 利用对称轴解决二次函数相关问题对称轴的概念在解决二次函数相关问题时非常有用。

例如，可以利用对称轴和顶点坐标来确定二次函数的开口方向、最值等。

同时，对称轴还可以作为解题的思路，通过确定对称轴的坐标并代入二次函数，来求解满足一定条件的未知量。

四、实例演示为了加深对二次函数的对称轴的理解，我们举个例子来演示。

二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果
解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 24a
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .
3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原
点的距离为( )
5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx
＋c( )
A.开口向上，对称轴是y 轴
B.开口向下，对称轴是y 轴
C.开口向下，对称轴平行于y 轴
D.开口向上，对称轴平行于y 轴
6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14
的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .
7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的
图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0.
11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。

12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。

二次函数关于顶点，原点，x 轴,y 轴的对称式
探讨：一般式：
例如：y =－2x 2+12x-16 关于x 轴的对称式：y ′=2x 2－12x+16 y=0 与横坐标的截点式：
(x-4)(-2x+4)=0 (注)两根相同 (x-4)(2x-4)=0 （x 1,2=2或4） 顶点式： y=-2(x-3)2+2 顶点（3，2） y ′=2(x-3)
2-2 顶点（3，-2）
对称轴：平行x 轴的直线与抛物线只有一个截点，即：使二次项为0的x 值 如图所示：
观察可知：顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
顶点决定抛物线的位置， 顶点（h,k ）二次项里的h 为左右，常数k 为上下
抛物线关于x 轴对称的特点：（即顶点关于
x 轴对称，开口相反）
平行于y 轴的直线（x 值）与对称图形的截点互为相反数，即当x 一定时，函数值y 与y ′互为相反数
22－12x+20
a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=
当
顶点在x 轴上，二者相同 顶点式：以y=-2(x-3)2+2为标准对象
顶点对称，顶点坐标(h,k)不变，开口(a)单变
X 轴对称，顶横(h)不变，开口(a),顶纵(k)符号双变
Y 轴对称，顶纵(k)不变, 开口(a)不变，顶横(h)变
原点对称，开口(a)变，顶横(h)变， 顶纵(k)变
第二形式理解，对比找出易于自己理解的一种：顶点式y=a(x-h)2+k y=2(x-3)2+2（标准式）(以第1象限为标准)
改全身改两头（双变）（注：a为开口方向可以不考虑a，减少思考步骤）
系图上，x轴上a，即y轴对称，开口a不变(其余图开口a都变) 22。

专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x -h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h. 3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标. 专项训练一、单选题1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ） A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣32．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）A ．2123y x x =--B ．2123y x x =-+C ．2123yx xD ．2123y x x =+3．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；①()()2242a c b +<；①若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；①抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（ ） A ．4b = B ．240b c -≤C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值D ．若0c <，则当2x =时，0y >6．点P (m ，n )在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ） A ．154B ．4C ．﹣154D ．﹣1747．二次函数y ＝ax 2﹣4ax +2（a ≠0）的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，那么tan①CBA 的值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．348．已知二次函数y ＝（2﹣a ）23a x -，在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则a 的值为（ ）A B ．C D ．09．抛物线y=x 2﹣2x ﹣15，y=4x ﹣23，交于A 、B 点（A 在B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E 再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ）A．B ．C ．D ．10．已知抛物线c ：y=x 2+2x ﹣3，将抛物线c 平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（ ）A ．将抛物线c 沿x 轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B ．将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线c′C ．将抛物线c 沿x 轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D ．将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+6x +c 的对称轴与x 轴交于点A ，在直线AB ：y ＝kx +3上取一点B ，使点B 在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形，则c 的值为________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则ba的值是____．13．如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________14．已知点A 、B 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上（A 在B 右侧），且关于图像的对称轴直线x ＝2对称，若点A 的坐标为（m ，1），则点B 的坐标为_______．（用含有m 的代数式表示） 15．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题16．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,且经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线l ：34y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B ，C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且()23CP t BP t =⋅≤≤． ①试探求n 与t 的数量关系；①求线段BC 的最大值，以及当BC 取得最大值时对应m 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ． （1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．18．已知一条抛物线顶点为(),2P m m -，且与x 轴交于点()2,0A m （0m >） （1）当2m =时； ①求二次函数解析式；①直线l ：y kx b =+（0k >）过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点（B 在C 右侧），连接BP 、CP ，若PBC S △，求直线l 的解析式；（2）若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且OH 交对称轴于点M ，点N ，M 关于点P 对称，求证：N ，A ，H 三点共线．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于点A (﹣1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D 与点C 关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若①BPD ＝90°，求点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边三角形时，请直接写出点M 的坐标．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，﹣4）三点． （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M 是抛物线对称轴上的一点，求①MBC 周长的最小值；（3）如图2，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD //AC ，交BC 于点D ，连接CP ，求①PCD 面积的最大值，并判断当①PCD 的面积取最大值的时，以P A 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C -．。

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

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具体情况 当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位得到; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

⼆次函数顶点公式的求法 ⼆次函数的顶点式⽅程可以通过配⽅法求出 假设这个⼆次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进⾏配⽅，⽅法如下： 1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c; 2、配⽅，配⼀次项系数的⼀半的平⽅，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a; 3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a)); ⼆次函数的基本表⽰形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数中像的顶点性质和性质二次函数中顶点的性质和性质一直是数学学习中的重要内容之一。

顶点是二次函数的关键特征之一，它不仅能帮助我们了解函数的形状和性质，还可以在解决实际问题中发挥重要作用。

本文将对二次函数中顶点的性质和性质进行探讨。

一、顶点的定义顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是函数曲线的转折点。

在一般形式的二次函数y=yy^2+yy+y中，顶点的横坐标为y=−y/2y，纵坐标为y=y(−y/2y)。

二、顶点的性质1. 函数的最值：顶点是二次函数图像的最高点或最低点，因此具有最值性质。

当二次函数开口朝上时，顶点为最低点，函数的最小值就是顶点的纵坐标；当二次函数开口朝下时，顶点为最高点，函数的最大值就是顶点的纵坐标。

2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

以顶点为中心，x轴是对称轴，即顶点的左右两侧图像相同。

这一性质在解题和绘制函数图像时非常有用。

3. 奇偶性：二次函数的奇偶性与a的正负相关。

当y为偶数时，函数的图像关于y轴对称，即具有偶对称性；当y为奇数时，函数的图像关于顶点对称，即具有奇对称性。

三、顶点的应用1. 最优化问题：顶点性质在最优化问题的解决中有重要作用。

例如，若要在给定边界条件下求解二次函数的最大或最小值，可以通过分析顶点来得到最优解。

2. 函数图像绘制：顶点性质使得绘制二次函数的图像更加简单。

我们只需计算出顶点的坐标，再确定其他点的位置，就能很好地绘制出函数的图像。

3. 方程求解：通过顶点的坐标，我们可以得到二次函数的标准或一般形式。

从而能够更容易地求解二次函数的解、根、交点等问题。

综上所述，二次函数中顶点的性质和应用非常重要并且广泛。

掌握了顶点的定义和性质，我们能更好地理解二次函数的图像、方程和应用，更加灵活地解决相关问题。

在数学学习中，我们应该深入研究和探索顶点的性质，并灵活运用到实际问题中。

这样，我们才能全面提高自己的数学素养和解决问题的能力。

二次函数的周期性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，它具有独特的特点和周期性。

一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a控制函数的开口方向和抛物线的开口程度，b控制抛物线的位置，c则表示抛物线在y 轴上的截距。

二、二次函数的对称轴和顶点对称轴是与抛物线关于y轴对称的直线，它的方程可以通过函数的式子直接得出，即x = -b/(2a)。

顶点是抛物线的最低或最高点，其横坐标即为对称轴的x坐标，纵坐标可以通过代入得出。

三、二次函数的开口方向和周期性1. 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

2. 周期性：一般情况下，二次函数是不具备周期性的，因为它是一个曲线。

然而，当a ≠ 0时，二次函数的图像可能具有"镜像周期性"特征。

如果抛物线关于某一直线L对称，那么抛物线相对于L的左右两侧的图像是相似的，形成周期性。

四、二次函数的周期和频率如果二次函数存在周期性，那么可以通过求解相关的方程得到周期和频率。

1. 周期：设函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像在区间[a, b]上具有周期T，则有f(x) = f(x+T)，即在周期内，函数值相等。

通过解方程f(x+T) = f(x)，可以求出函数的周期T。

2. 频率：频率指在单位时间内所发生的周期数。

它的倒数即为周期，即频率f = 1/T。

频率越高，周期越短，表示周期性变化更为频繁。

五、二次函数的周期性分析示例假设有二次函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们来分析其周期性。

1. 开口方向：由于a > 0，所以抛物线开口向上。

2. 对称轴和顶点：对称轴的横坐标为x = -b/(2a) = -4/(2*2) = -1，纵坐标为f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = -1。

二次函数一般式的顶点二次函数是一种常见的函数形式，它的一般式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a≠0。

在这个函数中，我们可以通过一些方法来确定它的顶点。

顶点是二次函数的最高点或最低点，也是函数图像的转折点。

在二次函数一般式中，顶点的坐标可以通过一些简单的计算得到。

首先，我们需要注意到二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过顶点。

对称轴的方程可以通过将x的系数的相反数加上顶点的横坐标得到，即x = -b/2a。

通过对称轴的方程，我们可以得到顶点的横坐标。

然后，我们将这个横坐标代入二次函数的表达式中，计算出对应的纵坐标。

这样，我们就得到了顶点的坐标。

举个例子来说明。

假设我们有一个二次函数y = 2x^2 + 4x + 1。

首先，我们可以计算出对称轴的方程为x = -4/2(2)，即x = -1。

然后，我们将x = -1代入函数表达式中，得到y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。

因此，这个二次函数的顶点坐标为(-1, -1)。

通过这个例子，我们可以看到确定二次函数顶点的方法。

但是，我们也可以通过其他的方法来找到二次函数的顶点。

其中一个方法是使用完成平方的方法。

完成平方是一种将二次函数转化为平方的方法，它可以帮助我们找到二次函数的顶点。

具体步骤如下：1. 将二次函数的表达式写成完全平方的形式。

这可以通过将二次项的系数的一半平方，然后加上一个常数来实现。

例如，对于函数y = ax^2 + bx + c，我们可以将它写成y = a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a的形式。

2. 通过观察完全平方形式的表达式，我们可以得到顶点的坐标。

顶点的横坐标为-x的系数的一半，即-b/2a。

顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入完全平方形式的表达式中计算得到。

通过完成平方的方法，我们可以更快速地找到二次函数的顶点。

这种方法在解决一些特定问题时非常有用。