高一数学练习2--集合的含义与表示

专题1.1 集合的概念与表示【考点1：集合的含义】 (1)【考点2：元素与集合的关系】 (2)【考点3：集合中元素的个数】 (3)【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】 (5)【考点5：有限集与无限集】 (7)【考点6：常用数集与点集】 (9)【考点7：集合的表示方法】 (10)【考点1：集合的含义】【知识点：集合】把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．1．（2022春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误，对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确，对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，故选：B．2．（2021秋•湖北月考）判断下列元素的全体可以组成集合的是（）①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③n的近似值；④不大于5的自然数．A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】由集合元素的特征可知：集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出．【解答】解：“好学校”不具有确定性，n的近似值不具有确定性，因此①③不能组成集合；直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此②④能组成集合．故选：C．3．（2021秋•城关区校级月考）下列给出的对象中，能组成集合的是（）A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：一切很大的数，B：好心人，C：漂亮的小女孩，描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；选项D：方程x2﹣1＝0的实数根为±1，元素是确定的，具体的，是正确的．故选：D．4．（2021秋•威宁县校级月考）下列语言叙述中，能表示集合的是（）A．数轴上离原点距离很近的所有点B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生D．与△ABC大小相仿的所有三角形【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．【解答】解：对于A：数轴上离原点距离很近的所有点，元素不能确定，故A不能表示集合；对于B：太阳系内的所有行星，元素是确定的，能表示集合，故B正确；对于C：某高一年级全体视力差的学生，元素不能确定，故C不能表示集合；对于D：与△ABC大小相仿的所有三角形，元素不能确定，故D不能表示集合．故选：B．【考点2：元素与集合的关系】【知识点：元素与集合的关系】(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．1．（2022•长沙模拟）已知集合A＝{{∅}，∅}，下列选项中均为A的元素的是（）（1）{∅}；（2）{{∅}}；（3）∅；（4）{{∅}，∅}．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【分析】由元素与集合的关系逐一判断即可．【解答】解：集合A ＝{{∅}，∅}，则{∅}∈A ，∅∈A ，{{∅}}⊆A ，{{∅}，∅}＝A ，故选：B ．2．（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（ ）①12∈Q ；②√2∉R ；③0∈N *；④π∈Z ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：①12∈Q 正确，②√2∉R 不正确，③0∈N *不正确，④π∈Z 不正确． 故选：A ．3．（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（ ）A ．﹣2∈{0，1}B ．32∈ZC ．π∈RD ．5∈∅【分析】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，﹣2∉{0，1}，32∉Z ，π∈R ，5∉∅，可知C 正确． 故选：C ．【考点3：集合中元素的个数】1．（2022•全国一模）已知集合A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】由集合B 中的元素所满足的条件，用列举法写出集合B 中的所有元素，则答案可求．【解答】解：由A ＝{2，3，4，5，6}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，y ﹣x ∈A }，当x＝2时，y＝4，5，6，当x＝3时，y＝5，6，当x＝4时，y＝6，所以B＝{（2，4），（2，5），（2，6），（3，5）（3，6），（4，6）}，所以B中所含元素个数为6个．故选：D．2．（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．【解答】解：由题意知，P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6个元素，故选：D．3．（2021秋•芜湖期末）集合A＝{x∈N*|x﹣5＜0}中的元素个数是（）A．0B．4C．5D．6【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣5＜0}＝{1，2，3，4}，故集合A中有4个元素，故选：B．4．（2021秋•三元区校级月考）如果集合M＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（）A．4B．2C．1D．0【分析】当m＝0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m的值，由此得出结论【解答】解：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，可得判别式Δ＝16﹣8m＝0，解得m＝2，∴实数m的所有可能值的和为0+2＝2，故选：B．【考点4：集合中元素的确定性、互异性、无序性】【知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性】（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．1．（2021秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0B．1或﹣27C．1D．﹣27【分析】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．【解答】解：依题意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故选：B．2．（2021•南充模拟）若集合S＝{a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．故选：D．3．（2021秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，√5}B．{﹣2，−√5}C．{±2，±√5}D．{2，−√5}【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合．【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．由x2﹣3≠2解得x≠±√5．∴x不能取得值的集合为{±2，±√5}．故选：C．4．（2021•郓城县校级一模）在集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中，a的值可以是（）A．0B．1C．2D．1或2【分析】对于集合A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三个元素必须互不相同，由此限定参数a的取值范围，即利用集合中元素的互异性即可解决本题．【解答】解：当a＝0时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，当a＝1时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，当a＝2时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互异性知：选A．故选：A．5．（2022•江西）定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．6【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6；故选：D．6．（2021秋•市中区校级期中）含有三个实数的集合可表示为{a，ba，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2009+b2009的值为（）A．0B．﹣1C．1D．±1【分析】对于{a，ba，1}，根据集合元素的互异性，可得a≠1，a≠0；进而由集合相等，可得b＝0；代入两个集合中，可得a的值，由此可得答案．【解答】解：根据题意，对于{a，ba，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则有a＝0或ba=0；又由a≠0；故b＝0；代入集合中．可得{a，1，0}＝{a2，a，0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝﹣1；则a2009+b2009＝﹣1，选B．【考点5：有限集与无限集】1．（2021秋•覃塘区校级月考）下列集合中有限集的个数是（）①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A．1B．3C．2D．4【分析】分析给定四个集合中个数是否有限，进而可得答案．【解答】解：①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集；②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集；③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集．④所有小于2的整数构成的集合为无限集，故选：B．2．（2021秋•青羊区校级期中）以下集合为有限集的是（）A．由大于10的所有自然数组成的集合B．平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P组成的集合C．由24与30的所有公约数组成的集合D．由24与30的所有公倍数组成的集合【分析】由集合的定义，对于一些比较简单的命题，可用简单的列举法进行排除，即可得到正确答案【解答】解：对于A：大于10的所有自然数：11、12、13…，一直到+∞，有无数个满足条件的自然数，所以A不合题意对于B：满足题意点的轨迹是以点O为圆心，以l为半径的圆，即满足条件的点，是圆上的点，而圆上有无数个点，所以B不合题意对于C：24与30的公约数有：1、2、3、6．有有限个，所以C满足题意对于D：设m＝240×n（n∈N+），则m都可以是24与30的公倍数，所以24与30的公倍数有无数个，D不合题意故选：C．3．（2021秋•兴宁市校级月考）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】由于面积为1的矩形有无数个，而面积为1的正三角形只有一个，易得结果．【解答】解：由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集，而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集．故选：C．4．（2021•涿鹿县校级开学）设集合M＝{大于0小于1的有理数}，N＝{小于1050的正整数}，P＝{定圆C的内接三角形}，Q＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是（）A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论．【解答】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集，N＝{小于1050的正整数}，是有限集，P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集，Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集，故选：B．5．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【分析】集合A：周长为4cm的正方形的边长1cm，这样的正方形只有1个，是有限集；集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，是无限集．【解答】解：集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．6．（2021秋•杨浦区校级期中）若整数集Z的子集S满足条件：对任何a，b∈S，都有a﹣b∈S，就称S是封闭集．下列命题中错误的是（）A．若S是封闭集且S≠{0}，则S一定是无限集B．对任意整数a，b，S＝{n|ax+by，x，y∈Z}是封闭集C．若S是封闭集，则存在整数k∈S，使得S中任何元素都是k的整数倍D．存在非零整数a，b和封闭集S，使得a，b∈S，但a，b的最大公约数d∉S【分析】由封闭集定义可分析出A，B，C正确．【解答】解：由封闭集定义可得0∈S，若非零整数k∈S，则0﹣k即﹣k∈S，进一步得k﹣（﹣k）＝2k∈S和﹣k﹣k＝﹣2k∈S，从而±3k，±4k，±5k，…都在S中，可知A，C正确，对于B，由ax1+by1∈S，ax2+by2∈S，可得（ax1+by1）﹣（ax2+by2）＝a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）∈S，可知B正确，故选：D．【考点6：常用数集与点集】1．集合M＝{（x，y）|xy＞0，x+y＜0，x∈R，y∈R}是（）A．第一象限的点集B．第二象限的点集C．第三象限的点集D．第四象限的点集【分析】利用不等式的性质可得：x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．进而判断出集合的意义．【解答】解：由x +y ＜0，xy ＞0，⇔x ＜0，y ＜0．故集合M ＝{（x ，y ）|xy ＞0，x +y ＜0，x ∈R ，y ∈R }是第三象限的点集．故选：C ．2．（2021秋•安康月考）方程组{x +y =1x −y =3的解集是（ ）A ．{2，﹣1}B ．{x ＝2，y ＝﹣1}C ．{（x ，y ）|（2，﹣1）}D ．{（2，﹣1）}【分析】先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．【解答】解：由{x +y =1x −y =3得{x =2y =−1，即方程组构成的集合为{（2，﹣1）}，故选：D ．3．（2021秋•西城区期末）方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}【分析】解原方程组得出x ，y 的值，然后写出原方程组的解集即可．【解答】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．故选：C ．4．（2021秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}，则下列表示正确的是（） A ．{x ＝﹣1，y ＝3} B ．{（﹣1，3）} C ．{3，﹣1} D ．{﹣1，3}【分析】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答】解：{2y −x =7x +y =2，解得{x =−1y =3，所以A ＝{（x ，y ）|{2y −x =7x +y =2}＝{（﹣1，3）}．故选：B ．【考点7：集合的表示方法】【知识点：集合的表示方法】列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系1．（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈N∗|63−x∈N∗}用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】根据x∈N*，63−x∈N∗可得出x的取值分别为1，2，从而得出A＝{1，2}．【解答】解：∵x∈N*，63−x∈N∗，∴A＝{1，2}．故选：B．2．（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【分析】化简集合，将元素一一列举出来即可．【解答】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故选：D．3．（2021秋•桂林期末）下列集合表示正确的是（）A．{2，4}B．{2，4，4}C．（1，2，3）D．{高个子男生}【分析】根据集合的表示，及元素的特性，即可得出结论．【解答】解：根据集合的表示，B不满足互异性，C应写在花括号内，D中元素不确定，故选：A．4．（2022春•南关区校级期末）集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x﹣3＜2}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．故选：A．5．（2021秋•宜春期末）在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是（）A．{x|x≤﹣3或x≥3}B．{x|﹣3≤x≤3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|x≥3}【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足|x|≤3的x的集合．【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足|x|≤3的x的集合，解绝对值不等式可得：{x|﹣3≤x≤3}，故选：B．。

高一数学集合知识点总结集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。

数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。

比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。

a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作dA。

有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R①列举法：{a,b,c……}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。

例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。

解：____，A=B注意：该题有两组解。

(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。

高一数学集合知识点总结（二）集合的分类(1)按元素属性分类，如点集，数集。

(2)按元素的个数多少，分为有/无限集关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

高一数学集合的含义及其表示试题1.已知2a∈A，a2﹣a∈A，若A含2个元素，则下列说法中正确的是（）A．a取全体实数B．a取除去0以外的所有实数C．a取除去3以外的所有实数D．a取除去0和3以外的所有实数【解析】根据集合A的元素的性质知，2a与a2﹣a都在集合A中，根据A含2个元素，得2a≠a2﹣a进行求解即得．解：已知2a∈A，a2﹣a∈A，若A含2个元素，则2a≠a2﹣a∴a≠0且a≠3．故选D．点评：本题考查了元素与集合的关系，主要根据集合元素的特征进行求解，对于存在型的问题，需要先假设存在有条件列出不等式进行求解说明，考查了逻辑思维能力．2.若方程x2﹣5x+6=0和方程x2﹣x﹣2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】根据一元二次方程的解法，分别给出方程x2﹣5x+6=0和方程x2﹣x﹣2=0解的集合，再求它们的并集可得M={﹣1，2，3}，共3个元素，得到本题答案．解：∵方程x2﹣5x+6=0的解为x1=2，x2=3∴方程x2﹣5x+6=0解的集合为{2，3}同理可得方程x2﹣x﹣2=0解的集合为{﹣1，2}因此，集合M={2，3}∪{﹣1，2}={﹣1，2，3}，共3个元素故选：C点评：本题给出两个一元二次方程，求由它们的解组成的集合M共几个元素．着重考查了集合的定义与表示、集合元素的性质等知识，属于基础题．3.由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}【解析】先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．故选D．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．4.下列四个关系式中，正确的是（）A．∅∈a B．a∉{a}C．{a}∈{a，b}D．a∈{a，b}【解析】根据元素与集合的关系是“∈”和“∉”关系进行判断，即集合中有此元素则是“∈”关系，否则是“∉”关系．解：A、应该是a∉∅，故A不对；B、应是a∈{a}，故B不对；C、元素与集合的关系，应是{a}⊆{a，b}，故C不对；D、因集合{a，b}中有元素a，故D正确．故选D．点评：本题的考点是元素与集合的关系的判定，主要根据集合中是否有此元素进行判断，注意特殊情况即空集：不含任何元素．5.下列表示同一集合的是（）A．M={（1，2）}，N={（2，1）}B．M={1，2}，N={2，1}C．M={y|y=x﹣1，x∈R}，N={y|y=x﹣1，x∈N}D．M={（x，y）|=1，x∈Z}，N={（x，y）|y﹣1=x﹣2}【解析】主要根据集合相等的本质即：两个集合中的元素应一样进行判断．解：根据集合相等知，两个集合中的元素应一样：A、（1，2）和（2，1）是不同元素，故A不对；B、根据集合元素具有互异性，故M=N，故B正确；C、因为M中的元素y是任意实数，而N中的元素是大于等于﹣1的整数，故C不对；D、因M中的元素中x≠2，；而N有一个元素是（1，2），故不对．故选B．点评：本题考查了集合相等的定义，利用集合中的元素相同去判断，注意元素具有互异性的特点以及元素的形式．6.集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则有（）A．a+b∈PB．a+b∈QC．a+b∈RD．a+b不属于P、Q、R中的任意一个【解析】根据集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈Z}，我们易判断P，Q，R表示的集合及集合中元素的性质，分析a+b的性质后，即可得到答案．解：由P={x|x=2k，k∈Z}可知P表示偶数集；由Q={x|x=2k+1，k∈Z}可知Q表示奇数集；由R={x|x=4k+1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；当a∈P，b∈Q，则a为偶数，b为奇数，则a+b一定为奇数，故选B点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据集合元素的确定性，即满足集合性质的元素一定属于集合，不满足集合性质的元素一定不属于集合，分析元素是否满足集合性质，进而得到元素与集合的关系是解答本题的关键．7.集合{x|x∈N*，x＜5}的另一种表示法是．【答案】{1，2，3，4}．【解析】集合{x|x∈N*，x＜5}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，看出描述法所表示的数字，在集合中列举出元素．解：∵集合{x|x∈N*，x＜5}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，∵{x|x∈N*，x＜5}={1，2，3，4}故答案为：{1，2，3，4}．点评：本题考查集合的表示方法，是一个基础题，解题的关键是看清题目中所给的元素的表示，是正的自然数．8. 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=的所有值为元素组成集合是 ． 【答案】{0，4，﹣4}．【解析】分别讨论a ，b ，c 的不同取值，确定x 的取值，然后利用列举法表示集合．解：若a ，b ，c 都为正数，则x=1+1+1+1=4．若a ，b ，c 都为负数，则x=﹣（1+1+1+1）=﹣4．若a ，b ，c 中两正一负，不妨设a ＞0，b ＞0，c ＜0，则abc ＜0，所以x=1+1﹣1﹣1=0． 若a ，b ，c 中一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则abc ＞0，所以x=1﹣1﹣1+1=0． 综上x=0，4，﹣4．所以所求的集合为{0，4，﹣4}．故答案为：{0，4，﹣4}．点评：本题考查了利用列举法表示集合，考查了分类讨论的数学思想，解答的关键是正确讨论a ，b ，c 的各种取值情况．9. 用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合； ②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； ③所有周长等于10cm 的三角形组成的集合； ④方程x 2+x+1=0的实数根组成的集合．【答案】①由题意可知：由所有非负奇数组成的集合为{x|x=2n ﹣1，n ∈N *}，是无限集．②由题意：描述法表示“平面直角坐标系第三象限内的所有点”构成的集合为：{（x ，y ）|x ＜0，y ＜0}；是无限集．③所有周长等于10cm 的三角形组成的集合{x|x 是周长等于10cm 的三角形}；是无限集． ④方程x 2+x+1=0没有实数根，即其组成的集合∅，是有限集．【解析】本题考查的是集合的表示问题．在解答时：①利用非负奇数的特点处理，然后用描述法即可写出集合； ②首先通过平面直角坐标系内所有第三象限的点的特征，然后用描述法即可写出所要的集合，注意元素是点．③利用描述法表示所有周长等于10cm 的三角形组成的集合； ④根据方程x 2+x+1=0没有实数根，即其组成的空集，即可得出结果．解：①由题意可知：由所有非负奇数组成的集合为{x|x=2n ﹣1，n ∈N *}，是无限集．②由题意：描述法表示“平面直角坐标系第三象限内的所有点”构成的集合为：{（x ，y ）|x ＜0，y ＜0}；是无限集．③所有周长等于10cm 的三角形组成的集合{x|x 是周长等于10cm 的三角形}；是无限集． ④方程x 2+x+1=0没有实数根，即其组成的集合∅，是有限集．点评：本题考查的是集合的表示问题．在解答的过程当中，描述法、列举法表示集合在本题中也得到了充分的体现．值得同学们体会和反思．10. 集合A={x|x=a+b ，a 、b ∈Z}，x 1∈A ，x 2∈A ，求证：x 1x 2∈A ．【答案】见解析【解析】设x 1="m+n" ，m ，n ∈Z ，x 2="c+d" ，c ，d ∈Z ，经过计算可判断出x 1x 2属于集合A ．证：设x 1="m+n" ，m ，n ∈Z ，x 2="c+d" ，c ，d ∈Z ，则x 1x 2=（m+n ）（c+d ）=mc+2nd+（md+cn ） ， ∵（mc+2nd ），（md+cn ）∈Z ， ∴x 1x 2∈A ．点评：本题考查了元素与集合之间的关系，正确理解和化简是解决问题的关键．。

高中数学集合的含义及其表示练习题(含解析)数学必修1(苏教版)1．1 集合的含义及其表示一位渔民专门喜爱数学，但他如何也不明白集合的意义，因此他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家专门难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家专门兴奋，快乐地告诉渔民：“这确实是集合！”你能明白得数学家的话吗？基础巩固1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64，14组成的集合有7个元素答案：C2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个答案：C3．下列四个关系中，正确的是()A．a{a，b} B．{a}{a，b}C．a{a} D．a{a，b}答案：A4．集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．答案：D5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B6．集合M中的元素差不多上正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素能够是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．答案：B7．下列集合中为空集的是()A．{xN|x2 B．{xR|x2－1＝0}C．{xR|x2＋x＋1＝0} D．{0}答案：C8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝()A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a ＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．a＝－3或2.答案：C9．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A．a＋bPB．a＋bQC．a＋bMD．a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．答案：①④⑤11．若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________．解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.答案：aA12．集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______．解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313．一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M的元素个数最多为________．答案：7个14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}．答案：③能力提升15．已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，现在A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意．(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，现在A＝－34，符合题意．综上所述，a＝1或53.16．若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2021＋b202 1的值．解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝1.17．设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”．(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)如此的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}．(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地显现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地显现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．18．若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示基础过关练题组一集合的含义与元素的特征1.(2021辽宁阜新二中高一月考)下列各组对象不能构成集合的是()A.中国古代四大发明B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数2.(2021山东省实验中学高一月考)下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是()A.P是由元素1,√3,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P是由元素π构成的集合,Q是由元素3.141 59构成的集合C.P是由元素2,3构成的集合,Q是由有序实数对(2,3)构成的集合D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x2=1的解构成的集合3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.题组二元素与集合的关系5.下列所给关系中正确的个数是()①π∈R;②√3∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.A.1B.2C.3D.46.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A7.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.(1)若-3∈A,求a的值;(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中的元素相同?题组三集合的表示方法8.下列各组集合中,表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={3,2},N={(3,2)}9.(2020河南周口项城三高高一第一次月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点为()A.{x|y=3x+1}B.{y|y=3x+1}C.{(x,y)|y=3x+1}D.{y=3x+1}∈N,m∈N,m≤10.(2021上海嘉定高一上学期期中)用列举法表示集合{m|m-2310}=.11.用适当的方法表示下列集合:(1)所有能被3整除的整数;(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.能力提升练一、选择题 1.()实数1不是下面哪一个集合中的元素( )A.整数集ZB.{x |x =|x |}C.{x ∈N|-1<x <1}D.{x ∈R|x -1x+1≤0}2.(2020山东烟台龙口高一调研,)设集合B ={x |x 2-4x +m =0},若1∈B ,则B =( ) A.{1,3}B.{1,0}C.{1,-3}D.{1,5}3.(2019山西大同一中高一上第一次月考,)方程组{x +y =2,x -y =0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b∈B },则M 中元素的个数为 ( )A.3B.4C.5D.65.(2020山西吕梁中学高一上期中,)设集合A ={x ∈N|3≤x <6},B ={3,4},若x ∈A 且x ∉B ,则x 等于 ( )A.3B.4C.5D.66.(2020山东潍坊一中高一上期中,)已知集合M ={x |x =k 2+14,k ∈Z},N ={x |x =k 4+12,k ∈Z},若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是 ( )A.x 0∈NB.x 0∉NC.x 0∈N 或x 0∉ND.不能确定7.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,)已知集合A ={a ,|a |,a -2},若2∈A ,则实数a 为 ( ) A.±2或4 B.2 C.-2 D.4 8.(2020上海洋泾中学高一月考,)给定集合A ,B ,定义A*B ={x |x =m -n ,m ∈A ,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A*B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-149.(2021山东济宁鱼台第一中学高一月考,)给定集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x ∈S ,如果x +1∉S ,x -1∉S ,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 ( ) A.6个 B.12个 C.9个D.5个二、填空题10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示B = .11.(2020山东济南外国语学校第一次段考,)设a ,b ,c 为非零实数,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |,则m 的所有值组成的集合为 .三、解答题12.(2020江西赣州赣县中学高一上月考,)已知集合M ={1,a ,b },N ={a ,a 2,ab },且集合M 与N 相等,求a ,b 的值.13.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A 由实数构成,且满足:若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ∈A.(1)若2∈A ,试证明A 中还有另外两个元素; (2)判断集合A 是不是双元素集合,并说明理由;(3)若A 中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A 中的所有元素.答案全解全析第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示基础过关练1.B2.A3.D 5.B 6.C 8.B 9.C1.B 根据集合的概念,可知集合中的元素具有确定性,可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的,能构成集合,但B 选项中“难题”的标准不明确,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合.故选B . 方法技巧判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性,若考查的对象是确定的,就能构成集合,否则不能构成集合.2.A 由于选项A 中集合P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合,而B ,C ,D 中P ,Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A .3.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边互不相等,故选D .4.解析(1)根据集合中元素的互异性,可知{x ≠3,x ≠x 2-2x ,x 2-2x ≠3,解得x ≠0且x ≠3且x ≠-1.(2)因为x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,且-2是集合A 中的元素,所以x =-2.此时集合A ={3,-2,8},符合题意.5.B 由常见数集的定义知①②正确,③④错误.故选B.6.C 令3k -1=-1,解得k =0∈Z ,∴-1∈A ; 令3k -1=-11,解得k =-103∉Z ,∴-11∉A ; ∵k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A ;令3k -1=-34,解得k =-11∈Z ,∴-34∈A. 故选C .7.解析 (1)由-3∈A 且a 2+1≥1, 可知a -3=-3或2a -1=-3, 当a -3=-3时,a =0; 当2a -1=-3时,a =-1.经检验,0与-1都符合要求. ∴a =0或a =-1. (2)易知a 2+1≠0.若集合A 与集合B 中元素相同, 则a -3=0或2a -1=0.若a -3=0,则a =3,此时集合A 包含的元素为0,5,10,与集合B 包含的元素不相同.若2a -1=0,则a =12,此时集合A 包含的元素为0,-52,54,与集合B 包含的元素不相同.故不存在实数a ,x ,使集合A 与集合B 中元素相同.8.B A 中,集合M 表示点(3,2),集合N 表示点(2,3),故M 与N 不是同一集合;B 中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C 中,集合M 表示点集,集合N 表示数集,故M 与N 不是同一集合;D 中,集合M 表示数集,集合N 表示点集,故M 与N 不是同一集合.9.C 因为集合是点集,所以代表元素是(x ,y ),所以用描述法表示为{(x ,y )|y =3x +1}.故选C .10.答案 {2,5,8}解析 由m ∈N ,m ≤10得m =0,1,2, (10)经检验,可知当m =2时,2-23=0∈N ,当m =5时,5-23=1∈N ,当m =8时,8-23=2∈N ,所以{m|m -23∈N ,m ∈N ,m ≤10}={2,5,8}.11.解析 (1){x |x =3n ,n ∈Z }.(2)(x ,y )-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0. (3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.能力提升练1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.A9.A一、选择题1.C 1∉{x ∈N|-1<x <1},故选C.2.A ∵集合B ={x |x 2-4x +m =0},1∈B , ∴1-4+m =0,解得m =3.∴B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}.故选A .3.A 解方程组{x +y =2,x -y =0得{x =1,y =1,用集合表示为{(1,1)},故选A . 4.B 由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,列表如下:a +b a 1 2 3 b 4 5 6 7 5 6 7 8则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 中共有4个元素,故选B . 5.C A ={x ∈N|3≤x <6}={3,4,5}, B ={3,4},由x ∈A 且x ∉B ,知x =5. 6.A M ={x|x =2k+14,k ∈Z}, N ={x |x =k+24,k ∈Z}, ∵2k +1(k ∈Z )是一个奇数,k +2(k ∈Z )是一个整数,∴x 0∈M 时,一定有x 0∈N ,故选A . 7.C 由条件2∈A 可知,a =2或|a |=2或a -2=2,解得a =±2或a =4.由集合中元素的互异性可知a <0,所以满足条件的只有a =-2,故选C . 解题模板由集合中元素的特征求解字母的值的步骤:8.A 由题可知,m =4,5,6,n =1,2,3, 当m =4,n =1,2,3时,m -n =3,2,1; 当m =5,n =1,2,3时,m -n =4,3,2; 当m =6,n =1,2,3时,m -n =5,4,3.所以A*B ={1,2,3,4,5},元素之和为15,故选A .9.A 要不含“好元素”,说明这三个数必须相连,故不含“好元素”的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6种可能.故选A . 二、填空题10.答案 {4,9,16}解析 ∵集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },∴t =±2时,x =4;t =3时,x =9;t =4时,x =16,∴B ={4,9,16}. 11.答案 {-4,0,4}解析 因为a ,b ,c 为非零实数,所以当a >0,b >0,c >0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |=1+1+1+1=4;当a ,b ,c 中有一个小于0(不妨设a <0,b >0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1+1+1-1=0;当a ,b ,c 中有两个小于0(不妨设a <0,b <0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1+1+1=0; 当a <0,b <0,c <0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1-1-1=-4.所以m 的所有值组成的集合为{-4,0,4}. 三、解答题12.解析 由集合M 与N 相等得{1=a 2,b =ab或{1=ab ,b =a 2,解得{a =-1,b =0或{a =1,b =1, 经检验,{a =1,b =1不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,a =-1,b =0.13.解析 (1)证明:∵2∈A ,∴11-2=-1∈A. ∵-1∈A ,∴11-(-1)=12∈A. 又∵当12∈A 时,11-12=2∈A , ∴A ={2,-1,12}.∴A 中还有另外两个元素,分别为-1,12. (2)不是双元素集合.理由:由题意得,若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x∈A ,11-11-x=x -1x ∈A ,且x ≠11-x ,11-x ≠x -1x ,x ≠x -1x, 故集合A 中至少有3个元素,不是双元素集合.(3)由(2)可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ,x -1x 都为A 中的元素,∵x ·11-x ·x -1x=-1,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,∴A 中元素个数不为3,又∵A 中元素个数不超过8,∴A 中有6个元素,且(11-x )2=1或(x -1x)2=1,解得x =2或x =12.结合(1)可知此时A 中有2,-1,12这三个元素.设A 中其他三个元素分别为m ,11-m ,m -1m (m ≠1且m ≠0),则A =2,-1,12,m ,11-m ,m -1m .∵A 中所有元素之和为143,∴12+2-1+m +11-m +m -1m =143⇒m =-12,3,23, ∴A 中的所有元素为12,2,-1,-12,3,23.。

第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

集合的定义及其表示知识点总结及练习(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--集合的含义及其表示学习目标：1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合之间的关系；并记住几种常见数集的表示；2．理解并掌握用列举法和描述法表示集合的方法，理解集合相等的概念；3．了解集合的分类．重点难点：元素与集合之间的关系和集合的表示方法．授课内容：一、知识要点1．集合的含义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为集合的元素．（１）元素与集合的关系a∈；若a是集合A的元素，记作Ab∉．若b不是集合A的元素，记作A（２）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．（３）常用数集及其记法：自然数集，记作 N；；正整数集，记作 N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R．2．集合的表示方法：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内即：{x∣p(x)}．图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法．包括：维恩图和数轴法3．集合的分类：根据元素个数的多少可分为：有限集合、无限集；特别地，我们把不含有任何元素的集合叫空集，记作．相等集合：．二、典型例题知识点1：集合的含义1．判断下列每组对象能否构成一个集合（1）所有3的倍数（2）很大的数的全体（3）中国的直辖市（4）young中的字母（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210x x++=的实数解（10）π的近似值（11）世界上最高的山峰（12）高一数学课本中的难题2．用符合“∈”或“?”填空（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国 A；美国 A；印度 A；英国 A．（2）0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z（3）集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系．○10 23知识点2：集合中元素的性质3．若方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为 ．4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是 ．5．只有三个元素的集合1，a ，b a ，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+ b 2006的值．6．不包含-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，则11a a+-∈A ，如果2∈A,求A 中的元素．7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ．8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素．知识点3：集合的表示9．用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics 中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数集合； （6）{(x,y)|3x+2y=16，x ∈N ，y ∈N }．10．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使y =有意义的x 的集合； （3）方程x 2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x 2+3x-6上所有点的集合；11．下列语句中，正确的是 （填序号）．（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示．12．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）．（1）M ={3，2}，N ={2，3} （2）M ={(3，2)}，N ={（2，3）}（3）M ={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M ={1，2}，N ={(1,2)}13．下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号）．（1）{1,2},x y == (2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或 （6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x14．设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”．（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素；（4）满足条件的集合A 共有多少个．三、课堂练习1．下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1，1}．其中正确命题的个数为________．2．集合A ＝{x 2,3x ＋2,5y 3－x}，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x | x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．3．已知集合A 中含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，那么a 为________．4．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{ab|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P*Q 中元素的个数是________．5．已知集合M ＝{x|x ＝7n ＋1，n ∈N}，则2010________M ，2011________M ． (填∈或?)．6．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m|m ＝x |x|＋y |y|＋xy |xy|}为________． 7．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 的值为________．8．已知集合A ＝{0,2,3}，定义集合运算A ※A ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则A ※A ＝________．9．由下列对象组成的集体属于集合的是________．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．10．用符号“∈”或“?””填空(1)0________N ，5________N ，16________N ；(2)－12________Q ，π________Q； (3) 2－3＋2＋3________{x|x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q}．11．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝1的解集用集合表示为__________．12．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________．13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合．14．已知集合A＝{x|126－x∈N，x∈N}，试用列举法表示集合A．15．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R．(1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．。