一类次线性非自治二阶系统的多重周期解

一类超线性p（t）-Laplacian系统的无穷多周期解张申贵【摘要】Using critical point theory, the author studied the existence of periodic solutions for non-autonomous p(t)-Laplacian systems with superlinear nonlinearity.Some sufficient conditions for the existence of infinitely many periodic solutions were obtained via the symmetric mountain pass theorem.%利用临界点理论研究非自治p(t)-Laplacian 系统周期解的存在性，在具有超线性增长非线性项时，根据对称山路定理，得到了系统无穷多个周期解存在的充分条件。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】5页(P34-38)【关键词】周期解;p(t)-Laplacian系统;临界点理论【作者】张申贵【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言考虑非自治p（t）－Laplacian系统：其中p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且假设：（A）F：［0，T］×ℝN→ℝ满足：F（t，x）关于变量t可测，F（t，x）关于变量x连续可微，存在a∈C（ℝ＋，ℝ＋），b∈L1（0，T；ℝ＋），使得非自治p（t）－Laplacian系统在非线性力学模型［1］、变流体模型［2］和图像恢复模型［3］等领域应用广泛.当p（t）＝2时，Rabinowitz［4］给出了如下条件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得对所有的a.e.t∈［0，T］和都成立.由于p（t）－Laplacian算子具有较复杂的非线性性，所以将已有结果推广为非自治p（t）－Laplacian系统增加了研究难度.近年来，人们开始利用临界点理论研究非自治p（t）－Laplacian系统周期解的存在性［5－11］.特别地，当条件（AR）成立时，Zhang等［5］得到了非自治p （t）－Laplacian系统无穷周期解的存在性定理.条件（AR）可以推出非线性项▽F（t，x）是超线性的，但很多超线性函数并不满足条件（AR）.例如本文在比条件（AR）更弱的超线性条件下，研究p（t）－Laplacian系统无穷多周期解的存在性.先将系统（1）的周期解转化为定义在一个适当空间上泛函的临界点，然后利用临界点理论中对称山路定理得到该问题无穷多解存在性的充分条件.1 预备知识记p（t）∈C（［0，T］，ℝ＋），定义其范数为记Sobolev空间其范数为记其中引理1［5］紧嵌入C（［0，T］，ℝN），则存在常数C0＞0，使得对∀u∈W1，p（t）T，有引理2［5］记则：引理3［5］在Sobolev空间上定义泛函φ如下：φ弱下半连续且连续可微，则是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.定义1 设X为Banach空间，若泛函φ∈C1（X，ℝ）满足：对任何点列及任何｛un｝⊂X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蕴含｛un｝有收敛子列，则称泛函φ满足（C）条件.命题1（对称山路定理）［12］设E 为实Banach空间，φ∈C1（X，ℝ）是偶函数且满足（C）条件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ满足：1）存在常数ρ，α＞0，使得2）对所有E的有限维子空间及常数使得则泛函φ有无穷多个临界点.2 主要结果假设以下条件成立：（H1）对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H2）设存在r1＞p＋和M＞0，对a.e.t∈［0，T］一致成立；（H3）存在常数L＞0，C1＞0，使得当时，有（H4）存在常数L＞0，C2＞0，使得当时，有其中（H5）F（t，u）关于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.本文的主要结果如下：定理1 设（H1）～（H5）成立，则问题（1）在中有无穷多个周期解.证明：1）证明泛函φ满足（C）条件，设使得先证明｛un｝在中有界.用反证法.若｛un｝在中无界，则当n→∞时，‖un‖→∞.由条件（H3）和假设（A）知，存在常数C4＞0，使得对所有的u∈ℝN 和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有从而可得其中令则‖vn‖＝1.若｛un｝在 W1，p（t）T 中无界，反设当n→∞时，‖un‖→∞.由式（7），有由式（8）及内插不等式，有其中由反设，当n→∞时，‖un‖→∞，可取‖un‖＞1，由式（4），有又由式（5），当n充分大时，有由条件（H4）和式（5），当n充分大时，有其中由积分的绝对值不等式、Hölder不等式、式（9），（11），并注意到有由式（10），当n→∞时，有1＝o（1），矛盾.故｛un｝在中有界.再注意到紧嵌入C（［0，T］；ℝN）和的一致凸性，类似于文献［5］中定理3.2的证明，｛un｝有收敛子列，故泛函φ满足（C）条件.2）证明存在常数ρ，α＞0，使得其中由条件（H2），存在两个正常数ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0为式（3）中的正常数，且对a.e.t∈［0，T］和成立.令ρ＝δ／C0，‖u‖＝ρ，因为ρ＜1，由式（4），（12），有令ρ充分小，使得取从而φ（u）≥α，对和‖u‖＝ρ成立.3）证明对任何的有限维子空间W，存在正常数R，使得φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立，其中BR（0）为以原点为球心、以R为半径的球.由于dim W＜＋∞，有限维空间上各种范数等价，故存在正常数C7，使得对∀u∈W，有由条件（H1）及假设（A）知，存在常数C8＞0，使得对所有的u∈ℝN和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有因此，对充分大的‖u‖＝R＞1，有φ（u）≤0对u∈W＼BR（0）成立.从而泛函φ满足命题1的所有条件，故由命题1知，泛函φ 在中有无穷多个临界点，于是问题（1）在中有无穷多个周期解.注1 当p（t）＝2时，令取σ＜2，则F满足定理1中条件（H1）～（H5），但不满足文献［5－11］中定理的条件.参考文献【相关文献】［1］Zhikov V.On Some Variational Problems［J］.Russian J Math Phys，1997，11（5）：105－116.［2］Ruzicka M.Electrorheologial Fluids：Modeling and Mathematial Throry［M］.Berlin：Springer，2000.［3］CHEN Yun－mei，Levine S，Rao M.Variable Exponent，Linear Growth Functionals in Image Restoration［J］.SIAM J Appl Math，2006，66（4）：1383－1406.［4］Rabinowitz P H.Periodic Solutions of Hamiltonian Systems［J］.Comm Pure Appl Math，1978，31（2）：157－184.［5］ZHANG Liang，TANG Xian－hua，CHEN Jing.Infinitely Many Periodic Solutions for Some Second－Order Differential Systems with p（t）－Laplacian［J］.Boundary Value Problems，2011，33（2）：1－15.［6］FAN Xian－ling，FAN Xing.A Knobloch－Type Result for p（t）－Laplacian Systems ［J］.J Math Anal Appl，2003，282（2）：453－464.［7］WANG Xian－jun，YUAN Rong.Existence of Periodic Solutions for p（t）－Laplacian Systems［J］.Nonlinear Anal：Theory Methods ＆ Applications，2009，70（2）：866－880.［8］GE Bin，XUE Xiao－ping，ZHOU Qing－mei.Existence of Periodic Solutions for a Differential Inclusion Systems Involving the p（t）－Laplacian［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31（5）：1786－1802.［9］ZHANG Liang，TANG Xian－hua.Subharmonic Solutions for Some Non－autonomous Hamiltonian Systems with p（t）－Laplacian［J］.Bull Belg Math Soc，2011，18（3）：385－400.［10］ZHANG Liang，CHEN Yi.Existence of Periodic Solutions of p（t）－Laplacian Systems［J］.Bull Malays Math Sci Soc，2012，35（1）：25－38.［11］ZHANG Liang，ZHANG Peng.Periodic Solutions of Second－Order Differential Inclusions Systems with p（t）－Laplacian［J］.Abstract and Applied Analysis，2012，38（2）：475965.［12］Mawhin J，Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems［M］.New York：Springer，1989.。

非自治Langrange系统多重周期解的存在性[摘要]langrange系统是一类比较重要的微分方程模型,它来自于天体物理和非线性弹性问题.利用临界点理论研究具有两类具有线性增长非线性项的非自治langrange系统多重周期解的存在性,推广已有结果.[关键词]langrange系统; 多重周期解; 线性增长非线性项；临界点.1.引言与主要结果本文研究非自治langrange系统(1)的多重周期解的存在性, 其中 .langrange函数，且满足满足:对 , 是可测的；对 , 是连续可微的,且存在 , ,使得,对所有和成立.是阶实对称矩阵，，关于是周期的,且存在使得（2）对所有成立，且其中，为中的标准基.设关于是周期的, ,即(3)对所有和成立,其中为整数, 为中的标准基.设存在 , 使得(4)对所有和成立.(5)对所有和成立,其中为中的标准基.许多文献对问题(1)周期解的存在性进行了研究，当时，问题(1)的特殊情形为非自治二阶系统(6)非自治二阶系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的整个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以系统(或它的扰动系统)的形式出现，因此对该系统的研究具有重要的理论和实际意义．非自治二阶系统周期解的存在性一直是人们所关注的重要问题,并得到了一系列重要的结果,如文献[1-6].在周期位势下即(3)式中情形,文献[1]和文献[2]中研究了非自治二阶系统(6)周期解与多重周期解的存在性, 当位势是周期即(3)式成立时, 文献[3]在非线性项有界，即时,得到非自治二阶系统(6)多重周期解的存在性. 文献[4]中,唐春雷将文献[3]中结果推广为次线性非线性项，即的情形,得到了多重周期解的存在性定理.受以上文献启发，本文在具有部分周期位势和线性增长非线性项即(4)式成立的情形下,研究非自治langrange系统的多重周期解的存在性,得到以下结果：定理1.1: 设条件成立,则问题(1)在sobolev空间上至少有个不同的周期解.注1 当极限值为时, (5)式为著名的ahmad-lazer-paul型强制性条件,易见在(5)式中极限可以是下方有界的,极限值放宽为定理1推广和补充了文献[4]中结果,它对应于(5)式当极限值为 , 的特殊情形.当位势函数关于是偶函数和具有线性增长非线性项，本文得到以下结果：定理1.2: 设条件 , 和成立 ,且(7)对所有和成立, 且存在及整数 >1，使得（8）对所有若关于是偶函数且，则问题（1）在sobolev空间中至少有2 个不同的非平凡周期解。

2018年以来，随着人们对非线性系统的研究日益深入，多重正解的概
念逐渐被提出。

二阶周期边值问题也属于非线性系统，多重正解的在
该问题的研究上得到了重视。

多重正解（Multiplicity of Solutions）指的是对于某些特定的初始或边
界条件，有不止一个正解。

与经典的解决方案方法相比，多重正解常
常具有更丰富的物理意义。

因此，二阶周期边值问题的多重正解也受到了广大研究者的广泛关注。

利用多重正解可以更好地求解一些经典问题，如格罗兹山问题
（Görtzmann）等。

而对于二阶周期边值问题，多重正解的作用更加明显，能够找出解的更为全面的物理学意义。

在实际的应用中，多重正解能够很好地解决一些困难的问题，如求解
叶屈曲理论问题（Leafstiff theory）、求解离散网格问题以及求解有限
元法等。

有了多重正解，就可以得到解的更可靠的求解结果。

多重正解对于二阶周期边值问题的研究中具有重要意义，其重要的好
处在于可以拓展一些经典问题的研究范畴，也能更好地解释有关问题
的解的结果，从而为后续更加深入的研究提供便利。

总之，多重正解是对于二阶周期边值问题研究的重要结果。

它不仅能
有效拓展研究局限，而且还具有可靠且更可信的求解结果。

多重正解
提供了一条全新的研究路径，为二阶周期边值问题求解提供了不同的
解决思路。