2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1模块综合检测(一)Word版含解析

阶段质量检测(一) A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC 等于( )A.95B.54C.59D.49解析：选C ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45，∴AB DB ＝95.∴DB AB ＝59.又∵DB AB ＝EC AC ，∴EC AC ＝59.2.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3 解析：选A Rt △ACD ∽Rt △CBD ， ∴AC BC ＝AD CD ＝32.3．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE .若图中的两个三角形相似，则DE 的长是( )A ．6B ．8C ．6或8D ．14解析：选C 依题意，本题有两种情形：(1)如图1，过D 作DE ∥CB 交AB 于E . 则AD AC ＝DECB . 又∵DC ＝23AC ，∴AD AC ＝13.∴DE ＝13BC ＝6.(2)如图2，作∠ADE ＝∠B ，交AB 于E ， 则△ADE ∽△ABC . ∴AD AB ＝DE BC . 又∵AD ＝13AC ＝4，∴DE ＝AD ·BC AB ＝4×189＝8.∴DE 的长为6或8.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：选A AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm解析：选D 设AD ＝x ， 则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．6.如图，DE ∥BC ，S△ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：选C 由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8， 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19.∴AD AB ＝13，AD DB ＝12.7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：选C A 项中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 项中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ；D 项中AB AC ＝DEDF ，∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ；而C 项中不能保证三边对应成比例．8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：选C 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶4.令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.9.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD 且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：选A ∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25.∴S △DEF S △ABF＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. ∴S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25.10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3，则AE ∶EC 等于( )A.125B.512C.75D.57解析：选A ∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125.∴AE EC ＝AG CD ＝125.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，设l 1∥l 2∥l 3，AB ∶BC ＝3∶2，DF ＝20，则DE ＝________.解析：EF ∶DE ＝AB ∶BC ＝3∶2， ∴DE DF ＝25，又DF ＝20，∴DE ＝8.答案：812．如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析：∵PE ∥BC ，∠C ＝∠A ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A . ∴△PDE ∽△PEA . ∴PE PA ＝PD PE ， 即PE 2＝PD ·PA . 又PD ＝2，DA ＝1， ∴PA ＝3.∴PE 2＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 答案： 613.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3， 所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， 由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD＝34＋9－2×32×3×32＝214， 故ED ＝212. 答案：21214．如图，▱ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BCBM －ABBN 的值为________． 解析：∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DM MN . 又∵DC ∥AN ， ∴DM MN ＝MC MB. ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋MB MB ， 即DN MN ＝BC BM .∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MN MN ＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB ，AC 于点M ，N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC . ∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝ANNC . ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F .求证：BP 2＝PE ·PF . 证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB . ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC . ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC ， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB ，DC 于E ，F ，交DA ，BC 的延长线于G ，H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F ，H ，C 重合时，请判断PE ，PC ，PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD . ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD .∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PF ·PH . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ，∴PE PC ＝PB PD . ∵AD ∥BC ， ∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PCPG ，即PC 2＝PE ·PG .18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝14AC ，直线l 过点M 且与AC 垂直，与边AD 相交于点E .(1)如果AD ＝3，求证点B 在直线l 上；(2)如图(2)，如果直线l 与边BC 相交于点H ，直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD 的长；(3)如果直线l 分别与边AD ，AB 相交于E ，G ，当直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE 的长．解：(1)证明：连接BD ，交AC 于O 点， ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝12AC .∵AM ＝14AC ，∴AM ＝OM .在Rt △ABD 中，AB ＝1，AD ＝3， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝2.∴BO ＝OA ＝AB ＝1.∴△AOB 是等边三角形．又AM ＝OM ， ∴BM ⊥AO .∴点B 在直线l 上．(2)设AD ＝a ，则AC ＝1＋a 2.∵∠EAM ＝∠CAD ，∠AME ＝∠D ＝90°， ∴△AEM ∽△ACD .∴AE AC ＝AMAD. 又AM ＝14AC ＝141＋a 2，∴AE ＝AC ·AM AD ＝1＋a24a.由AE ∥HC ，得△AEM ∽△CHM ， ∴AE HC ＝AM MC ＝13.∴HC ＝3AE . 又BH ＝BC －HC ＝a －3(1＋a 2)4a ＝a 2－34a ，而S 梯形ABHE ＝12(AE ＋BH )·AB＝12⎝⎛⎭⎫1＋a 24a ＋a 2－34a ·1＝a 2－14a. ∵S 梯形ABHE ∶S 梯形EHCD ＝2∶7， ∴S 梯形ABHE ＝29S 矩形ABCD ＝29a .∴a 2－14a ＝29a .解得a ＝3，即AD ＝3.(3)如图，由题意知直线l 分别交AD ，AC ，AB 于E ，M ，G 三点， 则有△AEG ∽△DCA ，∴AG AD ＝AE DC . ∵DC ＝1， ∴AE ＝AGAD.∵S △AEG ＝12AE ·AG ，S △AEG S 多边形EGBCD ＝16，∴S △AEG S 矩形ABCD ＝17.∴12AE ·AG AD ·DC ＝17， 即AE ·AG AD ＝27.∴AE 2＝27，AE ＝147.。

阶段质量检测(一) 卷一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．如图，已知＝，∥，则等于( )解析：选∵∥，＝，∴＝.∴＝.又∵＝，∴＝..如图，∠＝°，⊥于，＝，＝，则∶的值是( )．∶．∶∶∶解析：选△∽△，∴＝＝.．在△中，＝，＝，＝，为上一点，＝，在上取一点，得到△.若图中的两个三角形相似，则的长是( )．．．或．解析：选依题意，本题有两种情形：()如图，过作∥交于.则＝.又∵＝，∴＝.∴＝＝.()如图，作∠＝∠，交于，则△∽△.∴＝.又∵＝＝，∴＝＝＝.∴的长为或.．如图，在△中，∠＝°，是斜边上的高，是△的高，且＝，＝，则的值为( )解析：选＝·，即＝×，∴＝.∴＝＝＝.∵＝，∴＝.．如图，在△中，为斜边上的高，若＝，＝，则和的长分别为( )．和和和．和解析：选设＝，则由射影定理得(＋)＝，即＝(负值舍去)，则＝＝()，＝＝＝()．.如图，∥，△∶四边形＝∶，则∶的值为( )．∶．∶．∶．∶解析：选由△∶四边形＝∶，得△∶△＝∶.∵∥，∴△∽△.∴＝＝.∴＝，＝.．△和△满足下列条件，其中不一定使△与△相似的是( )．∠＝∠＝°′，∠＝°′，∠＝°．＝，＝，＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝，＝，＝．＝，＝，∠＝∠＝°解析：选项中∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△；项中∶∶＝∶∶＝∶∶；∴△∽△；项中＝，∠＝∠，。

模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD ，△BCD 均与△ABC 相似． 2．已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD ，DC 于E ，F 两点，AD ，BF 的延长线交于点M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AMB ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·ABD ．AD 2＝AE ·ED解析：选A 在▱ABCD 中， ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BF BM . ∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC . ∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC .∴AD AM ＝AE AD ， ∴AD 2＝AE ·AM .3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A ．射影为线段时，线段的长为8 B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：选D 由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8. 4.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54C.32D. 2解析：选B ∵PQ ⊥PC ， ∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP . ∴Rt △APQ ∽Rt △BCP . ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3， ∴PB ＝3，AP ＝1. ∴AP BC ＝AQ BP .即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34，∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 5．如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PA PB 等于( ) A ．2 B.12C. 3 D ．1解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ，又PB ＝13PC ，∴PA 2＝3PB 2，∴PA PB ＝ 3.6.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°解析：选B ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠POC ＝2∠A ＝70°. ∵OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠POC ＝20°.7.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°解析：选C ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD . 又∵AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD ，由此得∠ACO ＝∠CAD . ∵OC ＝OA ， ∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠CAD ＝∠CAO . 故AC 平分∠DAB ， ∴∠CAO ＝40°. 又∠ACO ＝∠CAO ， ∴∠ACO ＝40°.8.如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，垂足是P ，DH ⊥BH ，垂足是H ，下列结论：①CH ＝CP ；②¼AD ＝»DB；③AP ＝BH ；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③解析：选D 显然①可由△PCD ≌△HCD 得到；②因为四边形ABCD 为圆的内接四边形，所以∠BAD ＝∠HCD ＝∠ACD ，即¼AD ＝»DB，②成立；而③连接BD ，则AD ＝BD ，∠DAP ＝∠DBH ，所以Rt △APD ≌△BHD ，得AP ＝BH ，③成立；对于④不能判定DH 是圆的切线，故应选D.9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( )A.35B.45C.12D.22解析：选C 如图所示为截面的轴面， 则AB ＝8，SB ＝6，SA ＝10，2cos ∠ASB ＝35，cos ∠BSP ＝cos 12∠ASB ＝1＋cos ∠ASB 2＝255.∴cos ∠SPB ＝sin ∠BSP ＝55. ∴e ＝cos ∠SPB cos ∠BSP ＝12.10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件： ①∠B ＋∠DAC ＝90°， ②∠B ＝∠DAC ， ③CD AD ＝AC AB， ④AB 2＝BD ·BC .其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选A 验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝ACAB可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC ，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.(陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析：∵B ，C ，F ，E 四点在同一个圆上， ∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ， ∴△AEF ∽△ACB ， ∴AE AC ＝EFBC ，26∴EF ＝3. 答案：312．如图，AB 是⊙O 的直径，¼AD ＝¼DE，AB ＝10，BD ＝8，则cos ∠BCE ＝________.解析：如图，连接AD .则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ， 所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB ＝DAAB ＝102－8210＝35. 答案：3513.如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.解析：由于PC 切⊙O 于点C ， 由切割线定理得PC 2＝PA ·PB ， ∴PA ＝PC 2PB ＝428＝2，∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6.由于CD ⊥AB ，且AB 为圆O 的直径， 由垂径定理知CE ＝DE ，连接OC ，在Rt △OCP 中，由射影定理，得OC 2＝OE ·OP ， 则OE ＝OC 2OP ＝95，∵CE 2＝OE ·EP ＝95×⎝⎛⎭⎫5－95＝95×165，5∴CD ＝245.答案：24514．如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB ＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.解析：∵AD ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE . ∴BE AE ＝CE DE ＝21.∵EF ∥AD ， ∴EF AD ＝CE DC ＝23.∵△ADE 与△AFE 的高相同， ∴S △AEFS △ADE ＝EF AD ＝23.∴S △AEF ＝23.答案：23三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦AG 交CD 于F .(1)求证：E ，F ，G ，B 四点共圆； (2)若GF ＝2FA ＝4，求线段AC 的长．解：(1)证明：如图，连接GB ，由AB 为圆O 的直径可知∠AGB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠AGB ＝∠BEF ＝90°. 因此E ，F ，G ，B 四点共圆．(2)连接BC.由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.又AF＝2，AG＝6，所以AE·AB＝12.因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2 3.16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD 于点F，证明：(1)∠BFM＝∠PEF；(2)PF2＝PD·PC.证明：(1)连接OE.∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE.∴∠PEF＋∠FEO＝90°.又∵AB⊥CD，∴∠B＋∠BFM＝90°.又∵∠B＝∠FEO，∴∠BFM＝∠PEF.(2)∵∠EFP＝∠BFM，∴∠EFP＝∠PEF.∴PE＝PF.又∵PE2＝PD·PC，∴PF2＝PD·PC.17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P 在圆O 上，圆O 的弦BC 切圆P 于点B ，CP 及其延长线交圆P 于D ，E 两点，过点E 作EF ⊥CE ，交CB 的延长线于点F .(1)求证：B ，P ，E ，F 四点共圆；(2)若CD ＝2，CB ＝22，求出由B ，P ，E ，F 四点所确定的圆的直径． 解：(1)证明：如图，连接PB . 因为BC 切圆P 于点B ，所以PB ⊥BC . 因为EF ⊥CE ，所以∠PBF ＋∠PEF ＝180°， 所以B ，P ，E ，F 四点共圆．(2)连接PF ，因为B ，P ，E ，F 四点共圆， 且EF ⊥CE ，PB ⊥BC ，所以此圆的直径就是PF . 因为BC 切圆P 于点B ，且CD ＝2，CB ＝22， 所以由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ， 所以CE ＝4，所以DE ＝2，则BP ＝PE ＝1. 又因为Rt △CBP ∽Rt △CEF ， 所以EF BP ＝CECB ，得EF ＝ 2.在Rt △FEP 中，PF ＝PE 2＋EF 2＝3，即由B ，P ，E ，F 四点确定的圆的直径为 3.18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求PA 的长． 解：(1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE CE ＝EFED . ∵∠DEF 是公共角， ∴△DEF ∽△CED .∴∠EDF ＝∠C . ∵CD ∥AP ， ∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA .∴DE PE ＝EFEA .即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4，∴EC ＝9. ∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：PA 2＝PB ·PC ， ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝152 3.。

模块综合测评(一)（时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（每小题6分,共48分）1.如图1,AB ∥EM ∥DC ,AE =ED ，EF ∥BC ，EF =12 cm ，则BC 的长为（ ）A 。

6 cmB 。

12 cm C.18 cm D.24 cm图1思路解析:根据AE =ED ,AB ∥EM ∥DC ,有BM =MC .又EF ∥BC ,所以EF =MC ，于是BC EF 21=. 答案：D2。

顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是（ )A.菱形B.矩形 C 。

正方形思路解析：因为等腰梯形的两条对角线相等,所以得到的四边形对边平行，并且四条边都相等,由此该四边形为菱形. 答案:A3.如图2，在ABCD 中,E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE 面积相等的三角形有…（ ） A 。

5个 B 。

6个 C 。

7个 D 。

8个 D 。

梯形图2思路解析:利用三角形面积公式,等底等高的两个三角形面积相等,再利用平行四边形的面积为中介,建立面积相等关系。

答案：C4。

如图3，△ABC 的底边BC ＝a ，高AD ＝h ，矩形EFGH 内接于△ABC ,其中E 、F 分别在边AC 、AB 上，G 、H 都在BC 上，且EF ＝2FG ,则矩形EFGH 的周长是( ）图3A 。

a ah ah + B.a h ah+26 C.a h ah -2 D.ah h +26 思路解析：由题目条件中的EF ＝2FG ,要想求出矩形的周长，必须求出FG 与高AD ＝h 的关系.由EF ∥BC 得△AFE ∽△ABC ,则EF 与高h 即可联系上。

设FG ＝x ,∵EF ＝2FG ，∴EF ＝2x .∵EF ∥BC ,∴△AFE ∽△ABC .又AD ⊥BC ，设AD 交EF 于M ,则AM ⊥EF . ∴AD AM =BC EF ,即AD DM AD -=ax 2。

2018-2019年人教版高中《数学选修4-1》精选试题及答案单选题（共5道）1、下列说法中正确的个数是①垂直于半径的直线是圆的切线；②过圆心且垂直于切线的直线必过切点；③过切点且垂直于切线的直线必过圆心；④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．A2B3C4D52、在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE：BC的值为（）A1：B1：2C1：3D1：43、如图梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，点M，N分别在两腰上，MN过点O，且MN∥AD，OM=ON，则AD，BC，MN满足的关系是（）AAD+BC=2MNBAD•BC=MN2C+=DMN=4、图中的同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则圆环的面积为（）A9πB8πC4πDπ5、如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（）AcosABsinACsin2ADcos2A简答题（共5道）6、如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB 于D，⊙N与⊙O内切且与AB，CD分别切于E，F，求证：AC=AE．7、圆O是的外接圆，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点D，，AB=BC=3，求BD以及AC的长．8、如图，是的一条切线，切点为，都是的割线，已知．（1）证明：；（2）证明：．9、如图，在半径为R的⊙O中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧上一点，则∠ACB的度数是______度．10、如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR 为等腰三角形．（Ⅰ）求∠PQM的大小；（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．填空题（共5道）11、如图，AB∥CD，E、F分别为AD、BC的中点，若AB=18，CD=4，则EF的长是．12、将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为______．13、如图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，若，，，，则．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=______．15、如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=2AC=8，过C作△ABC外接圆的切线CD，BD⊥CD于D，BD与外接圆交于点E，则DE=______．------------------------------------- 1-答案：B2-答案：tc解：根据题意，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则S△ADE：S△ABC=1：4∵DE∥BC则△ADE∽△ABC设相似比是k则面积的比是k2=1：4因而相似比是1：2∴DE：BC=1：2．故选：B．3-答案：tc解：∵AD∥BC，MN∥AD，∴，，∴=1，∵OM=ON，∴+=，故选：C．4-答案：tc解：连接OA、OP；∵同心圆大⊙O的弦AB切小⊙O于P，∴∠OPA=90°，AP= AB=3，∴圆环的面积=πOA2-πOP2=（OA2-OP2）π=9π．故选A．5-答案：tc解：如图，连接BE．∵BC为半圆的直径，∴∠BEC=∠AEB=90°．∴在直角△ABE中，cosA=，∵点D、B、C、E四点共圆，∴∠ABC+∠DEC=180°．∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AED．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴=．∵S△ADE=AE•AD•sinA，S△A BC=AB•AC•sinA，∴S△ADE：S△ABC===cos2A．故选：D．-------------------------------------1-答案：证明：连接BC，设AD为x，ED为r，大圆的半径是R在大圆中用射影定理与勾股定理，BD•AD=CD2，和AD2+CD2=AC2，得x•（2R-x）+x2=AC2得2Rx=AC2．在△ONE中用勾股定理得（r+x-R）2+r2=（R-r）2，∴（r+x）2=2Rx 又AE=r+x，∴AE2=AC2，∴AC=AE．证明：连接BC，设AD为x，ED为r，大圆的半径是R在大圆中用射影定理与勾股定理，BD•AD=CD2，和AD2+CD2=AC2，得x•（2R-x）+x2=AC2得2Rx=AC2．在△ONE中用勾股定理得（r+x-R）2+r2=（R-r）2，∴（r+x）2=2Rx 又AE=r+x，∴AE2=AC2，∴AC=AE．2-答案：试题分析：解：由切割线定理得，故，解得（6分）因为，所以∽（8分）所以，得（10分）点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学·选修4－1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(10×5＝50分)1．如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为()A．12 cm B．16 cmC．20 cm D．24 cm答：D2．如图所示，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则⊙O的半径等于()A．4 B．5 C．6 D．7答：BA．45°B．60°C．90°D．135°答：C4．如图所示，在⊙O中，弦AB长等于半径，点E为BA延长线上的一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是()A．60°B．50°C．45°D．30°答：B5．如图所示，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，点A、B是切点，则∠AOB＝()A．90°B．60°C．45°D．30°答：B6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )A.32B.22C.655D.455答：C7．如图所示，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答：B8．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于点E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为()A．2 B．3C．3.5 D．4解析：依条件，BC＝CD，而ED2＝EA·EB＝EA·(EA＋AB)，∴22＝EA2＋3EA，得EA＝1，则EB＝4.易得EC2＝EB2＋BC2，即(2＋BC)2＝16＋BC2，BC＝3.答案：B9．如图，P为⊙O外一点，割线PAB交⊙O于A、B两点，若PO＝10，且PA2＝36－PA·AB，则⊙O的半径为()A．8 B．6 C．4 D．3解析：设直线PO与⊙O交于C、D.∵PA2＝36－PA·AB，即PA2＋PA·AB＝36.∴PA·PB＝36，设所求为r，则(10－r)(10＋r)＝36.r＝8.答案：A10．一圆柱面与一平面相截，平面与母线所成的角为60°，截线上最长的弦为43，则圆柱面的半径为()A. 3 B．2 3 C．3 D．6答：C二、填空题(4×5＝20分)11．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．答：99°12．如图，已知△ABC中，边AC上一点F分AC为AFFC＝23，BF上一点G分BF为BGGF＝32，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.答：3513．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB ＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．答：714．如图，已知F为抛物线的焦点，l为其准线，过F引PQ⊥轴AB，交抛物线于P、Q，A在l上，以PQ为直径作圆，C为l上一点，CF交⊙F于D.CA＝4，CD＝2，则PQ＝________.解析：过P作PE⊥l，延长CF交⊙F与G.∵PF＝PE，又PE＝AF，即PF＝AF.∴l为⊙F切线．∴CA2＝CD·CG，即16＝2(2＋DG)，DG＝6，∴PQ＝6.答案：6三、解答题(共80分)15．(12分)如图所示，已知两同心圆中，大圆的弦AB、AC切小圆于D、E，△ABC 的周长为12 cm，求△ADE的周长．解析：连接OD、OE.∵AB、AC切小圆于D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC.∴AD＝12AB，AE＝12AC.又∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.∵△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝12(cm)，∴△ADE的周长＝12×12＝6(cm)．故△ADE的周长为6 cm.16．(12分)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD＝AC，AE ＝6，BD＝5，求CF的长．解析：先证明四边形AEBC是平行四边形，然后利用切割线定理求出EB的长，即得AC的长，再通过三角形相似求出CF的长．因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB ＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB (EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF ，解得CF ＝83.17．(14分)已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AB 、BC 、CD 、DA 四边中点分别为点E 、F 、G 、H .求证：点E 、F 、G 、H 四点共圆．分析：要证明此四点共圆，可以利用圆内接四边形的判定定理． 证明：如图所示，连接EF 、FG 、GH 、EH . ∵点E 、F 分别是AB 、BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC . 同理：EH ∥BD ，∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，即∠HEF ＝90°.同理：∠HGF ＝90°，∴∠HEF ＋∠HGF ＝180°，∴E 、F 、G 、H 四点共圆．18．(14分)如图所示，AF 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D .DE ⊥OB ，垂足为点E .(1)求证：点D 是AB 的中点．证明：(1)连接DO .⎭⎪⎬⎪⎫OA 为⊙C 的直径⇒∠ADO ＝90°⇒OD ⊥AB OD 过⊙O 的圆心⇒点D 为AB 中点．(2)求证：DE 是⊙C 的切线．证明：连接CD .⎭⎪⎬⎪⎫点C 为OA 的中点点D 为AB 的中点⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫CD ∥OB DE ⊥OB ⇒CD ⊥DE ⇒DE 为⊙C 的切线．(3)求证：BE ·BF ＝2AD ·ED .证明：AF 为⊙O 的直径⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫∠ABF ＝90°∠BED ＝90°⇒∠ABF ＝∠BED OA ＝OB ⇒∠BAF ＝∠DBE ⇒⎭⎬⎫△ABF ∽△BED ⇒AB BE ＝BF ED ⇒BE ·BF ＝AB ·ED AB ＝2AD ⇒ BE ·BF ＝2AD ·ED .19．(14分)如图所示，已知P 是直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF ⊥AB 于点H ，CF 交AB 于点E .(1)求证：PA ·PB ＝PO ·PE ；证明：连接OD.∵DF⊥AB，∴∠AOD＝∠DCF.∴180°－∠AOD＝180°－∠DCF.∴∠POD＝∠PCE，又∵∠P为公共角，∴△PCE∽△POD.∴PCPO＝PEPD.∴PC·PD＝PO·PE.由割线定理PC·PD＝PA·PB，∴PA·PB＝PO·PE.(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径为2，求CF的长．解析：∵AB⊥DF，∴DE＝EF.∵DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形．∴∠F＝∠FEH＝∠HDE＝45°.∵∠P＝15°，∴∠DCF＝∠P＋∠CEP＝15°＋45°＝60°.∴∠DOH＝60°.在Rt△ODH中，DH＝OD·sin∠DOH＝2·sin 60°＝ 3.在Rt△DHE中，DE＝DHcos 45°＝6，在Rt△CDE中，∠DCE＝60°，∴CE＝DE·cot 60°＝6·33＝ 2.∴CF＝EF＋CE＝6＋ 2.20．(14分)如图，已知椭圆的焦点为F1、F2，A、B为顶点，离心率e＝2 2.(1)求证：A、F1、B、F2四点共圆；解析：(1)∵e＝ca＝22，∴a2＝2c2.又a2＝b2＋c2，∴b2＋c2＝2c2.∴b＝c，即OA＝OF1＝OB＝OF2.又AB⊥F1F2，∴四边形AF1BF2是正方形．∴A、F1、B、F2四点共圆．(2)以BF1直径，作半圆O1，AF切半圆于E，交F1B延长线于F，求cos F的值．解析：连接O1E.∵AF切⊙O1于E，∴O1E⊥AF.∴△O1EF∽△AF1F.∴EFF1F＝O1EAF1＝12.∴F1F＝2EF.又由切割线定理，得EF2＝FB·FF1.∴BF＝12EF.∴O1B＝FF1－BF2＝34EF，FO1＝O1B＋BF＝54EF.∴cos F＝EFO1F＝45.。

综合测试（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)1。

如图,梯形ABCD 中，AB∥CD，S △DEC ∶S △CEB =1∶2,则S △DEC ∶S △EAB 等于（ )A.1∶6B.1∶5C.1∶4D.1∶3图1解析:∵BE DE S S ECB DEC =∆∆, ∴BE DE=21.∵DC∥AB，∴△DEC∽△EAB。

∴41)(2==∆∆BE DE S S ECB DEC。

答案:C2。

在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，下面有四个条件：①AC AEAB AD =;②AC ECAB DB =;③BC AEDB AD =；④BC DEDB AD =。

其中一定能判定DE∥BC 的有( ）图2A 。

1个 B.2个 C.3个D 。

4个解析:①②③正确,④错误。

答案:C3.如图,BD=CD,AE∶DE=1∶2，延长BE 交AC 于F ，且AF=5cm ，则AC 的长为（ )图3A.30cmB.25cmC.15cm D 。

10cm解析:过点D 作DG∥BF 交AC 于G.∵D 是BC 的中点,∴G 是FC 的中点,即CG=FG 。

∵EF∥DG,AE∶ED=1∶2, ∴ED AE FG AF ==21。

∴41=FC AF 。

∴51=AC AF 。

∵AF=5，∴AC=25cm。

答案:B4.如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点,在下列条件中①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB; ③AC 2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC 和△ACB 相似的条件是( ）图4A.①②④B.①③④ C 。

②③④D.①②③解析:①②③正确,④错误.答案：D5。

如图，△ABC 中边BC=12cm,高AD=6cm ，边长为x 的正方形PQMN 的一边在BC 上其余两个顶点分别在AB 、AC 上,则x 等于( )图5A.3cm B 。

讲末检测一、选择题1.在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( ) A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm解析 如图，∵DE ∥BC ，∴AE EC ＝AD DB ＝12.又∵AD ＝4 cm ，∴DB ＝8 cm. 答案 D2.两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20D.16和19解析 由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C 1C 2＝34.又∵C 1＋C 2＝35，∴C 1＝15，C 2＝20，即两个三角形周长分别为15，20. 答案 C3.如图所示，在△ABC 中，P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则AR ∶RP 等于( ) A.3∶14 B.14∶3 C.17∶3D.17∶14解析 如图，过点Q 作QM ∥AP 交PC 于M ，则CM MP ＝CQ QA ＝34.又∵BP PC ＝25，∴BP PM ＝710.又RP QM ＝BP BM ＝717，QM AP ＝CQ AC ＝37，∴RP AP ＝317，∴AR RP ＝143. 答案 B4.如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，若AB ＝14，AC ＝19，则MN 的长为( ) A.2 B.2.5 C.3D.3.5解析 延长BN 交AC 于D ，则△ABD 为等腰三角形，∴AD ＝AB ＝14，∴CD ＝5.又M ，N 分别是BC ，BD 的中点，故MN ＝12CD ＝2.5. 答案 B5.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边的长度之和为( ) A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析 设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217＝x 5＝y3，解得x ＝15，y ＝9，故x ＋y ＝24. 答案 A6.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC 与BD 交于点O ，有下列结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽ △ACB ；③S △DOC ∶S △AOB ＝DC ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC ，其中始终正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①④正确，②③错误. 答案 B7.如图所示，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若S △AEF ＝6 cm 2，则S △CDF 等于( )A.54 cm 2B.24 cm 2C.18 cm 2D.12 cm 2解析 由题意知△AEF ∽△CDF ，∴S △AEFS △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝54 cm 2. 答案 A8.如图所示，身高为1.6 m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC ＝2 m ，BC ＝8 m ，则旗杆的高度是( ) A.6.4 mB.7 mC.8 mD.9 m解析 ∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴CD BE ＝ACAB ，∵AC ＝2 m ，BC ＝8 m ， ∴AB ＝10 m ，又∵CD ＝1.6 m ，∴1.6BE ＝210，∴BE ＝8(m). 答案 C9.如图所示，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数是( ) A.3对 B.4对 C.5对D.6对解析 △ABD ∽△CBE ∽△AFE ∽△CFD ，共有6对. 答案 D10.如图，△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD 的值为( ) A.12 B.1 C.32D.2解析 如图，过D 作DG ∥CE 交AB 于G ，则BG GE ＝BD DC ＝21. 又AE EB ＝13，∴AE ＝EG ，∴AF FD ＝AE EG ＝1.又DG CE ＝BD BC ＝23，EF ＝12DG ， ∴EF CE ＝13，∴EF FC ＝12，∴EF FC ＋AF FD ＝32. 答案 C 二、填空题11.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 解析 如图，连接DE ，DB .∵点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，∴EF ＝12BD ，AE ＝EB ＝a 2.又∵CD ＝a2＝BE ，CB ⊥AB ，DC ∥AB ，∴DE 垂直平分线段AB . ∴BD ＝AD ＝a ，∴EF ＝a2. 答案 a 212.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝________；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析 由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ， 可以得到F 、D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6(cm).由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm). 答案 6 cm 5 cm13.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________.解析 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB . 设AD ＝x ，则AB ＝5＋x ， 又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，解得x ＝4或x ＝－9(舍).。

数学人教A 版选修4-1模块测试（时间:120分钟，满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图,已知AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，那么下列比例式成立的是( ）A ．OA OC OA OC '='B ．A B BC AB BC ''''=C ．A C OC AC OC ''='D ．AB OC A B CC ='''2．在Rt△ABC 中，CD ,CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 为( ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，△ABC 内接于O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则O 的半径为（ ）A ．B ．4C ．D ．54．如图，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．3C D ．非上述结论5．如图,PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ,B ，点C 在O上．如果∠P ＝50°，那么∠ACB 等于（ )A ．40° B．50° C．65° D．130°6．P 是Rt△ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 作直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，在△ABC 中,D ，E 分别为AB ,AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为( ）A ．1∶B ．1∶2 C．1∶3 D．1∶48．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心,AB 为半径,作A 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，并交BA 的延长线于G ，连接AF ,则BF 的度数是( )A ．45° B．60° C．90° D ．135°9．一个圆的两弦相交,一条弦被分为12 cm 和18 cm 两段，另一弦被分为3∶8的两部分，则另一弦的长为（ )A ．11 cmB ．33 cmC ．66 cmD ．99 cm10．如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ,则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9 D．2∶311．小华同学自制了一 个简易的幻灯机,其工作情况如图所示,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30 cm,幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是（ ）A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm12．如图，已知△ABC 中，23BD DC =，34AE EC =,AD ，BE 交于F ，则AF BF FD FE⋅的值为（ ）。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(一) 选修4－5(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ＜－23} C ．{x |x ＜－23或x ＞2}D ．{x |－23＜x ＜2}解析：因为|3x －2|＞4，所以3x －2＞4或3x －2＜－4，整理得x ＞2或x ＜－23.答案：C2．设a 、b 、c ∈R ，给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞b ⇒a 2＞b 2；③a ＞|b |⇒a 2＞b 2；④a ＜b ＜c ，a ＞0⇒c a ＞cb其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故①不正确； 若a ＝0，b ＝－1，则a 2＜b 2，故②不正确； 若a ＞|b |≥0，则a 2＞b 2，故③正确；若c ＞b ＞a ＞0，则1a ＞1b ，从而c a ＞cb ，故④正确． 答案：B3．若a 、b 、c 、d ∈R ，且ab ＞0，－c a ＜－db ，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ab C.a c ＞b d D.a c ＜b d解析：对－c a ＜－db 两边同乘以－ab ，由－ab ＜0，得bc ＞ad . 答案：B4．若P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P 、Q 、R 的大小顺序是( ) A ．P ＞Q ＞R B ．P ＞R ＞Q C ．Q ＞P ＞RD ．Q ＞R ＞P解析：P ＝2＝422，Q ＝7－3＝47＋3，R ＝6－2＝46＋2.∵22＜6＋2＜7＋3， ∴422＞46＋2＞47＋3， ∴P ＞R ＞Q . 答案：B5．若a 、b ∈R ，则不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |中等号成立的充要条件是( ) A ．ab ＞0 B ．ab ≥0 C ．ab ＜0 D ．ab ≤0 解析：若ab ＝0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |； 若ab ＞0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |； 若ab ＜0，则|a |＋|b |＞|a ＋b |. 故选B.答案：B6．已知a＞b＞0，且ab＝1，若c＝2a＋b，P＝log c a，N＝log c b，M＝log c(ab)，则()A．P＜M＜N B．M＜P＜NC．N＜P＜M D．P＜N＜M解析：方法一：因为a＞b＞0，且ab＝1，所以a＞1,0＜b＜1，a＋b＞2ab＝2，c＝2a＋b∈(0,1)，所以log c a＜log c(ab)＜log c b，即P＜M＜N.故选A.方法二(特值法)：令a＝2，b＝1 2，于是c＝22＋12＝45.从而log c a＝log452＜0，log c b＝log4512＞0，log c(ab)＝log451＝0.故P＜M＜N.答案：A7．设a＞1，方程|x＋log a x|＝|x|＋|log a x|的解是() A．0≤x≤1 B．x≥1 C．x≥a D．0＜x≤a解析：∵|x＋log a x|＝|x|＋|log a x|，∴x·log a x≥0.又∵a＞1，x＞0，∴log a x≥0，∴x≥1.答案：B8．若a1－a＞0，且x＞1，则下列不等式成立的是()A．a x＜x 1a＜log a x B．log a x＜a x＜x1aC ．log 1ax ＜x1a＜a xD ．a x ＜log a x ＜x1a解析：由a 1－a ＞0，x ＞1，得0＜a ＜1，且log a x ＜0＜a x ＜1＜x 1a.答案：B9．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项解析：当n ＝k 时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1；当n ＝k ＋1时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项． 答案：D10．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤1，|x 2|≤1时，|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|，若令g (x )＝x 2＋2x －1(|x |≤1)，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉MD ．不能确定解析：g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2| ≤|x 1－x 2|·(|x 1|＋|x 2|＋2) ≤4|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M . 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若|x ＋y |＝4，则xy 的最大值是__________．解析：xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4. 答案：412．若x ＜0，则函数f (x )＝x 2＋1x 2－x －1x 的最小值是__________． 解析：令t ＝x ＋1x .∵x ＜0，∴t ≤－2.∴f (x )≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1x 2，x ＝1x ，x ＜0，即x ＝－1时等号成立．答案：413．若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋4|＜a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵|x －2|＋|x ＋4|≥|2－x ＋x ＋4|＝6，∴a ≤6. 答案：(－∞，6]14．下列四个命题中：①a ＋b ≥2ab ；②sin 2x ＋4sin 2x ≥4；③设x 、y都是正数，若1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是12；④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε.其中所有真命题的序号是__________．解析：①不正确，a 、b 符号不定；②不正确，sin 2x ∈(0,1]，利用函数y＝x ＋4x 单调性可求得sin 2x ＋4sin 2x ≥5；③不正确，(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋6＝16；④正确，|x －y |＝|x －2＋2－y |≤|x －2|＋|2－y |＜ε＋ε＝2ε.答案：④三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知函数f (x )是R 上的增函数，a 、b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 证明：(1)∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )是R 上的增函数，于是f (a )≥f (－b )． 又a ＋b ≥0⇒b ≥－a .同理f (b )≥f (－a )． 两式相加，可得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． (6分)(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0. 下面用反证法证明，设a ＋b ＜0，则⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＜0⇒a ＜－b ⇒f (a )＜f (－b )，a ＋b ＜0⇒b ＜－a ⇒f (b )＜f (－a )⇒f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与已知矛盾，故有a ＋b ≥0成立．从而逆命题成立．(12分)16．(12分)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值． 解：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5， x ≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5， x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.于是|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.(6分)(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.(12分)17．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，都能使m 整除f (n )，如果存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．解：先找出最大的m 值，由f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9可知，f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360，f (4)＝1 224，猜想能整除f (n )的最大整数为36.(4分)下面用数学归纳法证明f (n )能被36整除． ①当n ＝1时，f (1)＝36，能被36整除． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，f (k )能被36整除． 那么n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由归纳假设可知3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而(3k －1－1)为偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．故f (k ＋1)能被 36整除． 由①与②知，f (n )能被36整除．由于f (1)＝36，从而能整除f (n )的最大整数是36.(12分)18．(14分)已知数列{an }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，an ＋1an ＝(an －1＋2)(an －2＋2)，n ＝3,4,5，….(1)求a 3；(2)求证：an ＝an －2＋2，n ＝3,4,5，…； (3)求{an }的通项公式及前n 项和S n . 解：(1)由题设，当n ＝3时，得a 3a 4＝10.因为a 3、a 4均为非负整数，所以a 3的可能值为1、2、5、10. 若a 3＝1，则a 4＝10，a 5＝32，与题设矛盾； 若a 3＝5，则a 4＝2，a 5＝352，与题设矛盾； 若a 3＝10，则a 4＝1，a 5＝60，a 6＝35，与题设矛盾； 故a 3＝2.(4分)(2)当n ＝3时，a 3＝a 1＋2，等式成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，等式成立，即a k ＝a k －2＋2，则a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k－2＋2)．因为a k ＝a k －2＋2≠0，所以a k ＋1＝a k －1＋2.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式a k ＋1＝a k －1＋2也成立． 综上，可知对于所有n ≥3，有 a n ＝a n －2＋2.(8分)(3)由a 2k －1＝a 2k －3＋2＝a 2(k －1)－1＋2，且a 1＝0，可得a 2k －1＝2(k －1)＝(2k －1)－1.再由a 2k ＝a 2k －2＋2，且a 2＝3，得 a 2k ＝3＋(k －1)·2＝2k ＋1， 以上k ＝1,2,3…因此a n ＝n ＋(－1)n ，n ＝1,2,3，… 故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n (n ＋1)， 当n 为偶数时，12n (n ＋1)－1，当n 为奇数时.(14分)。