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课题 4.2.2 提公因式法学习目标1.进一步探索寻找多项式各项公因式的过程，能通过转化确定带括号多项式各项的公因式；2. 会用提取公因式法较复杂的多项式进行因式分解；3. 领会确定多项式各项的公因式的一般方法，培养观察、转化与计算能力；重点难点重点：会用提取公因式法进行因式分解难点：会确定较复杂的多项式各项的公因式教法选择合作探究、练习指导课型新授课课前准备多媒体课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节课的设计以上节课的知识为基础，在训练学生代数感觉的基础上，开展更深层次的练习。
教案设计了许多的关于解决多项式符号问题的题目，加强练习强化和归纳细化，让学生获得知识的同时，提升能力。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、回顾思考：（把下列各式因式分解）（1）am+an （2）a2b-5ab （3）m2n+mn2-mn （4）-2x2y+4xy2-2xy 二、引入新课，探索新知（一）知识链接1、计算① m（a+b+c）=② x(3x-6y+1)=2、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：（1）2－a=_____（a－2）；（2）y－x=_____（x－y）；（3）b+a=_____（a+b），（4）-m-n=____-（m+n）；提问提取公因式的基本方法与步骤，然后让学生进行因式分解出示例2，引导学生通过观察、类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取例2的公因式出示2中问题，学生观察思考，为解决符号问题准备回顾提取公因式的方法与步骤，回答并进行练习用类比的方法找到式子中相同的因式，说出公因式的特征（多项式），并尝试说出分解的结果观察式子特征，进行恒等变形，并寻找规律，总结探究注意的事项主备人：备课组长签字：教学内容教师活动 学生活动 （二）自主学习，合作探究 1、议一议;多项式ma+mb+mc 各项都含有的相同因式是 ，多项式3x2－6xy+x 各项都含有的相同因式是 。
4.2 提公因式法（1）●学习目标分析（一）知识与技能1.了解公因式的意义，能准确的确定一个多项式各项的公因式；2.初步会用提公因式法分解因式，进一步理解因式分解与整式乘法的关系.（二）方法与过程经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,培养合作探究的意识，积累合作的经验，进一步培养学生认真、严谨的科学态度.（三）情感态度价值观积极参与数学活动，养成独立思考的习惯，提高数学合作交流意识水平，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法，进一步深化学生逆向思维能力.●教学重点能观察出多项式的公因式，并能利用提公因式法分解因式.●教学难点正确识别多项式各项的公因式.●教学方法独立思考、合作交流探究.●教具准备：多媒体课件●探究活动设计本节教学共设计了两个探究活动：一是探究如何确定公因式；二是探究如何提取公因式分解因式。
探究方法与步骤：1、创设问题情境，引发学生独立思考。
2、学生小组合作交流，共同探究。
3、交流展示讨论结果，归纳总结探究结论。
●教学过程设计：第一环节：温故知新1.因式分解的概念：把一个多项式化为___________的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。
2．下面由左到右的变形，哪个是分解因式？（1） 5x(2x -1)= 10x 2-5x(2) 10x 2-5x = 5x(2x -1)整式乘法与分解因式之间的关系是什么？【设计意图】 因式分解的概念及整式乘法与分解因式之间的关系两个知识点与本节课的学习紧密相关。
提公因式法分解因式实质上是逆用整式乘法中的单项式乘多项式将一个多项式化为两个整式乘积的形式。
第2题中设计的的两个等式也旨在渗透这一点。
加上课件动态演示互逆变形过程，增强了直观性。
通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程学习因式分解的方法，以提高学生对知识间联系的认识。
第二环节：创设情境、导入新课近年来，我国土地沙漠化问题严重. 3月12日植树节到来之际，，学校组织了 “我参与、我奉献、我快乐”植树活动，要求每行种树15棵，其中初一年级种树27行，初二年级种树35行，初三年级种树38行，问完成这次植树活动学校共需要多少棵树苗？师：解决这个问题，你能列出怎样的算式？哪种算式计算起来较为简便？生：列式：①15×27+15×35+15×38②15×（27+35+38）15×27+15×35+15×38=15×（27+35+38）=15×100=1500师：这种运算方法的根据是什么？生：根据是乘法对加法的分配律师：为什么能逆用分配律呢？这个式子的各项有什么特点？生：这个式子的各项有相同的因数。
《提取公因式法》教学设计苍南星海学校（董丽姬）一：教材解析提公因式法是浙教版七年级下册第四章4.2课时主要是在理解因式分解和公因式概念的基础上，用提取公因式法进行因式分解，它与前面所学的整式乘法是互逆的．通过这节课的学习，一方面了解因式分解与整式乘法的关系，掌握提取公因式法这个最基本的因式分解方法，另一方面为今后解方程、代数式求值、分式各种运算等问题作必要的知识储备；同时在教学中渗透“类比”的数学方法，从而促进学生观察、分析、概括能力的发展．因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，等号左边是几个整式的和，等号右边是几个整式的积，本质就是“和→积”．提取公因式法作为因式分解的基本方法，通过逆向使用乘法分配律，把一个多项式转化为公因式与另一个因式的积的形式，因此找对公因式成为了关键。
二：教学目标（１）掌握公因式的概念，会用提取公因式法进行因式分解。
（２）理解添括号法则。
（３）通过观察、分析、交流，激发学生学习的热情。
三：教学重点和难点重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则，还会运用整体的思想。
难点：确定公因式。
四：教学过程（一）复习与巩固判断下列因式分解是否正确通过对因式分解的回顾是让学生明白，因式分解是将多项式化为几个整式积的形式。
（二）导入新课温故知新 导入新课师：计算怎么做简便？ 生：师：依据是什么？生：乘法分配律。
师：老师记得乘法分配律，等号左边是一项乘以括号里的项，所以这个应该是_______生：乘法分配律的逆运算。
师：每个式子里都有一个，小学里我们学过，叫______ 生：公因数。
师：那老师把23写成a,2.2,4,3.8分别写成b,c,d 。
就得到ab+ac+ad=a(b+c+d)。
刚刚我们把23叫做公因数，那对于多(1)()ma mb m a b +=+2(2)(1)(1)1x x x +-=-232232(3)27333a b c a b c =⋅⋅21(4)21(2)a a a a a -+=-+(5)3123(4)a b a b +=+23 2.223423 3.8⨯+⨯+⨯=23 2.223423 3.823(2.24 3.8)⨯+⨯+⨯=⨯++原式项式ab+ac+ad各项里都含有因式a，我们可以给它起个名字，叫_______生：公因式设计意图：类比小学公因数的概念，让学生给今天学习的知识点起名字，激发学生的学习热情，增强学生的自豪感。
4.2《提公因式法》一、教材分析：（一）教材所处的地位这节课是北师大版八年级下册第四章第二节《提公因式法》。
学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用（二）根据课程标准，教材的编写意图确定以下几个目标：1：知识与技能：了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.2：过程与方法：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法3：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。
二、本课内容及重点、难点分析：根据《标准》的要求，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式 x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.本课的教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
北师大版八年级数学下册第四章第4.2节《提公因式教法》说课一、说课标北师大版义务教育数学教材第四章《提公因式法（1）》的教学内容在课程标准的“数与代数”的一级主题中的“数与式”的二级主题下的“整式与分式”中，下表中红色字表示。
解读如下：1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2.会确定多项式提公因式后剩余的因式，进一步理解因式分解的意义。
定多项式提公因式后剩余的因式是《提公因式法》得难点，这里涉及到多项式除以单项式，学生掌握起来有一定难度，教学中应侧重这方面的讲解和巩固。
二、说教材1.教材的地位和作用本节课是新北师大版八年级（下）第四章第二节《提公因式法》的第一课时。
学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。
分解因式的变形不仅体现了“化归”的思想，而且也是后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础。
分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
2. 学情分析学生的知识技能基础：初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。
在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生的活动经验基础：初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中多为学生创造自主学习、合作学习的机会。
让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。
学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．可能存在的障碍：学生在提出多项式的公因式后，在对另外一个因式的确定上可能会出现一些问题，如漏项、粗心导致的错误等。
4.2 提取公因式法教案一、教学内容：多项式的公因式，用提取公因式法分解因式二、教学目标：1.会确定多项式的公因式；2.会用提取公因式法分解因式三、教学重点：提取公因式法分解因式四、教学难点：公因式确实定五、教学方法：讲授法、互动法六、课前准备：准备好课本、备课本、点名册等七、教学课时安排：一课时〔30分钟〕八、教学过程〔一〕、导入：上节课我们学习了因式分解的概念和根本知识，那么现在我们先回忆下什么是因式分解。
因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式。
判断以下从左到右的变形是否是因式分解：○1a(b+c)=ab+bc ○2a2-2a+1=a(a-2)+1 ○3a2-2a=a(a-2)通过讨论我们知道a2-2a=a(a-2)是因式分解，那么这个因式分解是通过用什么方法来实现的呢？这就是我们今天所有学习一种分解因式的方法———提取公因式法。
〔二〕、新授课：1、公因式有多项式的乘法我们可以得出：m(a+b+c)=ma+mb+mc 根据等式性质我们可以把左式写成ma+mb+mc= m(a+b+c) 由左式我们可以看出它是个因式分解，并且等式左边多项式的每项都含有一个共同的因式m。
结论：一般地，一个多项式中的每一项都含有一样的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提取公因式法分析：ma+mb+mc= m(a+b+c) 可以看出这个因式分解的方法：找出公因式，多项式每项都除以这个公因式，再把被除数与公因式写成因式积的形式。
结论：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来进展因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
3、公因式确实定以多项式3ax2y+6x3yz为例，多项式每项可表示如下：3ax2y=3·a·x·x·y 公因式确定方法：把多项式每一项分解为最小因式，找出共同因式。
图中蓝色与红色标出6x3yz=2·3·x·x·x·y·z小结：应提取多项式各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的一样字母的最低次幂的积。
课题4.2提公因式法（二）项目主题第一章因式分解课型问题生成课问题解决课问题拓展课实践整合课项目桥梁课成果展示课素养目标分解基础素养目标 1.会用提取公因式法进行因式分解。
2.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．核心素养目标 1.法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．2.找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．延展素养目标 进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法教学重难点教学重点:用提公因式法把多项式分解因式教学难点:探索多项式因式分解方法的过程主备人教学过程第一环节回顾与思考活动内容：把下列各式因式分解：把下列各式分解因式：(1) (2) +9b(3) (4)第二环节探索新知（例题讲解）活动内容：因式分解：（1）a（x–3）+2b（x–3）（2）练一练1、x(a+b)+y(a+b)2、3a(x-y)-(x-y)3、6(p+q)2-12(q+p)4、a(m-2)+b(2-m)为，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。
第六节小结思考活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？第七解分层作业A：本第98页习题4．3第1，2题B:板书设计4.2提公因式法反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．。
4.2提公因式法教学目标【知识与技能】1.了解公因式的意义,能够确定多项式中各项的公因式;2.了解因式分解的提公因式法,能够用提公因式法对多项式进行因式分解.【过程与方法】经历对多项式各项的公因式的意义和因式分解的提公因式法的探究过程.对公因式是多项式的情况,能够用整体思想因式分解.【情感、态度与价值观】养成独立思考的习惯,培养合作交流的意识,在因式分解过程中感受因式分解在简化计算中所起到的作用.教学重难点【教学重点】用提公因式法因式分解.【教学难点】能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.教学过程一、情境导入问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为43,32,74,宽都是12,求这块场地的面积.解法一:S=12×43+12×32+12×74=23+34+78=5524;解法二:S=12×43+12×32+12×74=12×(43+32+74)=12×5512=5524.观察上面的解题过程,你发现哪种方法更简便?二、合作探究探究点1公因式典例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab[解析]系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,所以公因式为3ab.[答案]D多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点2用提公因式法进行因式分解典例2因式分解:(1)4a2+6ab+2a;(2)-5x 3+10x 2-15x ;(3)14a 3b 2-2a 2b 3. [解析] (1)原式=2a ·2a +2a ·3b +2a ·1=2a (2a +3b +1).(2)原式=-5x ·x 2+(-5x )·(-2x )+(-5x )·3=-5x (x 2-2x +3).(3)原式=14(a 3b 2-8a 2b 3)=14a 2b 2(a -8b ).提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式;(3)提公因式并确定另一因式.探究点3 提取多项式公因式进行因式分解典例3 下列因式分解正确的是 ( )A.mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1)B.6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +q -1)C.3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x +2)D.3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x +y )[解析] mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1),A 项正确;6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +3q -1),B 项错误;3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x -2),C 项错误;3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x -y ),D 项错误.[答案] A【误区警示】当公因式是形如(a -b )n 或(b -a )n 时,要注意幂指数n 的奇偶性:当n 为偶数时,(a -b )n =(b -a )n ;当n 为奇数时,(a -b )n =-(b -a )n .因此,在确定公因式的时候,“互为相反数的因式”是可以变为“相同的因式”的,这样就可以作为公因式,利用提公因式法因式分解.三、板书设计提公因式法{ 公因式{系数的最大公约数相同字母的最低次幂提公因式法的步骤{①确定公因式②提取公因式③确定另一个因式提取多项式公因式进行因式分解教学反思本节运用类比的数学方法,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由提公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.。
4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。
教学难点：确定多项式的公因式。
教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。
学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。
四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。
培养学生的初步归纳能力。
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。
学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。
简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。
（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能够运用提公因式法解决一些实际问题。
教材通过具体的例子引导学生探究提公因式法的原理，并通过大量的练习让学生熟练掌握这一方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法，对因式分解有一定的了解。
但由于年龄和认知特点，学生可能对提公因式法的理解不够深入，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.让学生理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的技巧。
2.培养学生运用提公因式法解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和运用。
2.难点：提公因式法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生探究提公因式法的原理。
2.使用案例教学法，通过具体的例子让学生理解并掌握提公因式法。
3.采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深对提公因式法的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
3.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾因式分解的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，引导学生观察和分析，让学生尝试找出其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在练习中出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固提公因式法的应用。
5.拓展（10分钟）让学生运用提公因式法解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，加深学生对提公因式法的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的主要知识点，方便学生复习。
4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。
主备人：卫金萍审核人：时间：备注课题：§4.2提公因式法（一）学习目标：1、了解因式分解的意义及整式乘法的区别与联系；2、理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式。
重点：会用提公因式法把多项式因式分解；难点：找出多项式的公因式，并能正确地提公因式。
一、自主学习1、某工厂有一个圆环形的机器零件，该零件的外壁是一个半径为R的圆，内壁是一个半径为r的圆，工人师傅求得圆环的面积为π（R2－r2），他为什么这样记录呢？2、请你用自己的语言给公因式和因式分解下个定义，并举例说明。
3、、今天学习的因式分解的方法叫什么？在运用时的关键是什么？4、、你能总结一下找公因式的方法吗？二、小组合作：1、填空题：（1）a（m-6），b（m-6）的公因式是________ （2）a（b-a）=-a（）（3）（a+b）（a-b）-（b+a）=（）（a-b-1）八年级数学导学案（4）2（x-y）-(x-y)2=(x - y) ( )2、把下列各式进行因式分解（1）3a2＋12a （2）－4x2y－16xy＋8x2（3）3（a-b）+a（b-a）（4）a（m-6）+b（m-6）( 5 ) 6(m-n)2+3(m-n) （6）x（x-y）+y（y-x）三、展示反馈：1.把下面多项式中各项的公因式填在括号内：(1)7(a-2)2+14(a-2) （）(2)a2b(x-y)-ab(y-x)2（）(3)x(x-y)-y(y-x)2 ( ) (4) 5(a-1)2-10(1-a) ( )2、选择题：（1）将多项式－4ab－8a2进行因式分解，得（）A、－a(4b＋8a)B、－2a(2b＋4a)C、－4a(b－2a)D、－4a(b＋2a)(2)计算：（－3）n＋2（－3）n－1，得（）A、3n－1B、（－3）n－1C、－（－3）n－1D、（－3）n3、把下列各式因式分解：（1）x2y－xy2 (2)4ab2c＋16ab(3)－2xy－4x2y＋8x3y (4)(3a＋b)(2a－3b)－3a(3a＋b)四、能力提升：思考：3200－4×3199＋10×3198是7的倍数吗？为什么？。
第六章第2节《提取公因式法》【教学背景】“提取公因式法”是“浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。
（老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。
它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。
例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。
利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。
（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。
）能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)3.7 =3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。
4.2提公因式法（一）•教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.•教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.•教学难点让学生识别多项式的公因式.•教学过程I•创设问题情境，引入新课3371一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为4，一，4，宽都是-，求这块场地的面积.131317337解法一：S=一x——+——+—x—=_+_+_=24———4848131********解法二：S=—x-+—x-+—x-二一（—+—-) =一x4=24———4—4—4—从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.II.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c,宽都是m则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c）,可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m,等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.解：(1)3x+6=3x+3X2=3(x+2);(2)7X2—21X=7X・X—7X・3=7X(X—3);(3)8a3b2－12ab3c+abc=8a2b•ab—12b2c•ab+ab•c=ab(8a2b—12b2c+c)(4)—24x3—12x2+28x=—4x(6x2+3x—7)3.议一议通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.III.课堂练习(一)随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.(1)ma+mb(m)(2)4kx—8ky(4k)(3)5y3+20y2(5y2)(4)a2b—2ab2+ab(ab)2.把下列各式分解因式(1)8x—72=8(x—9)(2)a2b—5ab=ab(a—5)(3)4m3—6m2=2m2(2m—3)(4)a2b—5ab+9b=b(a2—5a+9)(5)—a2+ab—ac=—(a2—ab+ac)=—a(a—b+c)(6)—2x3+4x2—2x=—(2x3—4x2+2x)=—2x(x2—2x+1)(二)补充练习把3x2—6xy+x分解因式解：3x2—6xy+x=x(3x—6y)大家同意这种做法吗？改正：3x2—6xy+x=x(3x—6y+1)后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x・1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.W.课时小结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幕指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5•公因式相差符号的，如（x—y）与（y—x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.V.活动与探究利用分解因式计算：（1）32004—32003;（2）（—2）101+（—2）100.解：（1）32004—32003=32003X（3—1）=32003X2=2X32003（2）（—2）101+（—2）100=（—2）100X（—2+1）=（—2）100X（—1）=—（—2）100 =—2100信息化教学设计模板【预习单】观潮班级：姓名：一、抄一抄：难读的字：难记的字：难理解的字词：二、读一读：文中第（）自然段的描写让我印象深刻。
4.2提取公因式法课型：新授 执笔:姚琼晖 审核： 魏柯平班级： 姓名：【学习目标】 ⑴认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式【学习重点、难点】1． 学习重点2． 学习难点∶正确地找出公因式【学习过程】一、温故上节课知识∵2(12)24ab c ab abc +=+ ∴24ab abc +可因式分解为 。
二、探索新知识1、公因式的概念对于多项式24ab abc +中的两个项2ab 和4abc 的因数 ，它们的字母因式中有公共的 ，所以因式2ab 一般地， ，2、提取公因式法 2.1如：24=2(12)ab abc ab c ++，像这样把一个多项式各项所含有的 提取出来进行因式分解的方法，叫做提取公因式法。
例如：228+12ab c abc 中的两个项28ab c 和212abc 28=222ab c a b b c ⨯⨯⋅⋅⋅⋅ 212223abc a b c c =⨯⨯⋅⋅⋅通过比较发现两个项都含有的因式有2×2，,,a b c ,再含有公因式，我们应该把所有的公因式提取出来，对于多项式228+12ab c abc 提取公因式 。
由此可见，我们在用提取公因式法进行因式分解时，所提取的公因式的数字因数就是各项系数的 ，字母因数是各项都含有的相同字母的 。
2.2 如：因式分解236mx nx -先确定要提取的公因式是：3x ，所以236mx nx -=3x ( )子，并回答括号内的式子是怎样计算出来的。
。
提取公因式法的一般步骤是：1. ；2.3. 。
2.3 确定下列多项式的公因式，并分解因式：（1）22a a - (2) 65x x - (3)221220s t st - (4)432262a a a --+提醒：首项为负的应该将负号提取出来 3、添括号 3.1填空：（1） 1-2x =+( ) ； （2） 2x --=-( ) （3） 2425x x -+-=-（ ）括号前面是“+”号，相当于提取了公因式“+1”，原式除以“+1所以括到括号里的各项都 ；括号前面是“—”号，相当于提取了公因式 ，原式除以“—1”所得的商与原式 ，所以括到括号里的各项都 。
