河北省数学高三文数教学质量统一检测试卷(一)D卷

数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}320B x x =∈->N ，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1 C.{}1 D.{}2,32.已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A.1B.2C.D.3.已知向量()2,a m = ，()1,1b m =+ ，且a 与b 方向相反，若()2,1c =，则a 在c 方向上的投影向量的坐标是（）A.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B.42,55⎛⎫⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.函数()22cos 1xf x x =+的部分图像可能为（）A ．B ．C ．D ．5.某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男一女，则总的站排方法共有（）A.300种B.432种C.600种D.864种6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P ，A ，B ，C ，满足2PC =，PC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若ABC △的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（）A.163π B.8π C.12π D.16π7.若数列{}n a 满足123n n n a a a +=+（0n a ≠且1n a ≠-），则202320231a a +与202220221a a +的比值为（）A.13B.12C.2D.38.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（） A.53B.32C.23 D.33二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4B.若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为s ，则数据12x ，22x ，32x ，…，2n x 的标准差为2sC.随机变量X 服从正态分布()1,2N ，若()304P X >=，则()1022P X <<=D.随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()272128P X ==10.已知三棱锥S ABC -，则下列论述正确的是（）A.若点S 在平面ABC 内的射影点为ABC △的外心，则SA SB SC==B.若点S 在平面ABC 内的射影点为A ，则平面SBC 与平面ABC 所成角的余弦值为ABCSBCS S △△C.若90BAC ∠=︒，点S 在平面ABC 内的射影点为BC 的中点H ，则S ，A ，B ，C 四点一定在以H 为球心的球面上D.若90BAC ∠=︒，S ，A ，B ，C 四点在以BC 中点H 为球心的球面上，且S 在平面ABC 内的射影点的轨迹为线段BC （不包含B ，C 两点），则点S 在球H 的球面上的轨迹为以BC 为直径的圆（不包括B ，C 两点）11.投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p ，记n A 表示事件“在n 次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（）A.2A 与2A 是互斥事件B.()22P A p=C.()()()112n n P A p P A p+=-+ D.()()222n n P A P A +>第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()e 20xf x x xf =+'，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为______.13.在()()62x y x y +-的展开式中含25x y 的系数为______.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，AB 的中点为P ，以AB 为直径的圆与y 轴交于M ，N 两点，当MPN ∠取最大值时，此时sin MPN ∠=______.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知函数()()22ln f x x ax x a =+-∈R .（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围.16.（15分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos b c b A =-.（1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积为23a b =，求b .17.（15分）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.（1）根据图①、图②中的数据，画出22⨯列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？（2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.100.050.0250.0100.0050.001x α2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82818.（17分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验，否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若规定试验者乙至多可进行()*n n ∈N轮试验（若第n 轮不成功，也停止试验），记乙在第()*,k k k n ∈≤N 轮使得试验成功的概率为k P ，则乙能试验成功的概率为()1nk k P n P ==∑，证明：()13P n <.19.（17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，经过点1F 且倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF △的周长为8.（1）求C 的方程；（2）如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直.（i ）若3πθ=，求异面直线1AF 和2BF 所成角的余弦值；（ii ）是否存在02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，使得折叠后2ABF △的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由.参考答案及解析一、选择题1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.A二、选择题9.BCD10.ABD11.ACD三、填空题12.()2e 2ey x =--13.2414.2四、解答题15.解：（1）当0a =时，()22ln f x x x =-，定义域为()0,+∞，则()22222x f x x x x='-=-.（2分）令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，故()f x 在1x =处取得极小值，()11f =，（4分）所以()f x 的极小值为()11f =，无极大值.（5分）（2）因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以在区间[]1,2上，()0f x '≤，所以()220f x x a x =+-≤'，即22a x x≤-.（8分）令()22g x x x=-，只需()min a g x ≤，（9分）显然()g x 在区间[]1,2上单调递减，所以()()min 2143g x g ==-=-，（12分）所以3a ≤-，即a 的取值范围为(],3-∞-.（13分）16.（1）证明：（解法一）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，因为2cos b c b A =-，所以22222b c a c bbc b+--=，（1分）所以22a b bc =+，（2分）因为2222cos 2222a c b c bc c b aB ac ac a b+-++====，（3分）所以222222222cos 1212222a a b bc b c b B b b b b ---⎛⎫-=⋅-=== ⎪⎝⎭，（4分）所以cos cos 2A B =，（5分）又A ，()0,B π∈，所以2A B =.（6分）（解法二）由正弦定理得sin sin cos 2sin C BA B-=，所以sin 2cos sin sin C A B B =+，（2分）因为A ，B ，C 为ABC △的内角，所以A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，（4分）即()sin sin A B B -=，（5分）又A ，()0,B π∈，所以2A B =.（6分）（2）解：（解法一）由（1）可知22a b bc =+，因为23a b =，所以2232b b bc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即54c b =，（8分）所以22222235924cos 321622b b b a bc C b ab b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⋅⋅，（10分）因为()0,C π∈，所以sin 0C >，57sin 16C ==.（12分）记ABC △的面积为S ，则11357sin 22216b S ab C b ==⋅⋅⋅=所以解得8b =.（15分）（解法二）由正弦定理得sin sin a bA B=，即2sin cos sin a bB B B=，（7分）因为A ，()0,B π∈，所以sin 0A >，且sin 0B >，所以cos 2a B b=，（8分）又23a b =，所以3cos 4B =，所以7sin 4B ==，所以21cos cos 22cos 18A B B ==-=，所以37sin 8A =，（10分）所以()57sin sin sin cos cos sin 16C A B A B A B =+=+=.（12分）记ABC △的面积为S ，则11357sin 22216b S ab C b ==⋅⋅⋅=所以解得8b =.（15分）17.解：（1）由题意可得()0.00250.0050.01750.01201m ++++⨯=，解得0.015m =.（2分）数学成绩优秀的有10050%50⨯=人，不优秀的有10050%50⨯=人，经常整理错题的有()10040%20%60⨯+=人，不经常整理错题的有1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35⨯=人，则数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100（4分）零假设为0H ：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，根据列联表中的数据，经计算得到可得()220.0510035251525253.841505060406x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，（6分）根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（7分）（2）由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则X 的可能取值为0，1，2，经常整理错题的3名学生中，恰抽到k 人记为事件()0,1,2k A k =，则()()23225C C 0,1,2,3C k k k P A k -⋅==.（9分）由（1）知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占3576012=，数学成绩不优秀的学生占2556012=，参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m 人记为事件()0,1,2m B m =，则()001P B A =，()01512P B A =，()2025*******P B A ⎛⎫==⎪⎝⎭，()11712P B A =，()11225735C 121272P B A =⨯⨯=，()22274912144P B A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.()()()()()()()0001012020P X P A P B A P A P B A P A P B A ==⋅+⋅+⋅11223232222555C C C C 5251931C C 12C 144480=⨯+⨯+⨯=，()()()()()1112121P X P A P B A P A P B A ==⋅+⋅1123232255C C C 735119C 12C 72240=⨯+⨯=，()()()2322225C 49492C 144480P X P A P B A ==⋅=⨯=，（13分）故X 的分布列为X 012P19348011924049480（14分）则数学期()193119490120.7480240480E X =⨯+⨯+⨯=.（15分）18.（1）解：由题意得X 的可能取值为1，2，3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为13，所以()211139P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，（2分）依题意，在第二轮中，盒中有一个白球、两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为14，所以()2111219418P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（4分）易知()()()531126P X P X P X ⎡⎤==-=+==⎣⎦，（5分）所以X 的分布列为X 123P1911856（6分）数学期望()11549123918618E X =⨯+⨯+⨯=.（7分）（2）证明：当2k ≥时，不难知道()()2222111111..13412k P k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅-⋅⎢ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦，（8分）因为()()2222111111..13412k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-⋅⎢ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦()()()()()2222224351213431212k k k k k k ⨯+⨯⨯=⋅⋅⋯⋅⋅=⨯++++，所以()()()212112312312k P k k k k k ⎛⎫=⨯=-≥ ⎪++++⎝⎭.（11分）由（1）可知119P =，又11211931112P ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()()()*21211312312k P k k k k k ⎛⎫=⨯=-∈ ⎪++++⎝⎭N ，（14分）所以()121111113233412nk k P n P n n =⎛⎫==⨯-+-++- ⎪++⎝⎭∑ ()1213323n =-<+，即()13P n <.（17分）19.解：（1）由椭圆的定义知122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以2ABF △的周长48L a ==，所以2a =.（1分）又C 的离心率为12，所以12c a =，所以1c =，2223b a c =-=，（3分）所以C 的方程为22143x y +=.（4分）（2）（i ）联立直线l：)01y x -=+与22143x y +=，求得(A （因为点A 在x轴上方）及8,55B ⎛-- ⎝⎭.（5分）以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴、原x 轴、原y 轴正半轴所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,0F -，(A，8,,055B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，()20,1,0F ，所以(1F A = ，23313,,055BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.（7分）记异面直线1AF 和2BF 所成角为ϕ，则12121213cos cos ,28F A BF F A BF F A BF ϕ⋅===.（9分）（ii ）设直线l 的方程为1my x =+，折叠前()11,A x y ，()22,B x y ，折叠后A ，B 在新图形中的对应点记为A '，B '，由22152A F B F A B ++'='''，228AF BF AB ++=，得12AB A B ''-=.（10分）联立221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则122634m y y m +=+，122934y y m =-+，（11分）在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴所在直线为y 轴，原y 轴负半轴所在直线为z 轴），即()11,,0A x y '，()22,0,B x y '-，则()2221212A B x x y y +''=-+，()()221212AB x x y y =-+-所以()()()222221212121212AB A B x x y y x x y y -=-+--++''，（*）（12分）()()()122222212121212212x x y y x x y y =-+-+-++，()()()2222212121212124x x y y x x y y y y -+--++-，（**）由（*）（**()()22121212124x x y y y y -+--，（14分）因为()()()()22222121212121124x x y y m y y y y ⎛⎫-+-=+-= ⎪⎝⎭，所以()22222263611813434434m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即22222111814434434m m m ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，（16分）所以222121211834434m m m +=+++，解得22845m =，因为02πθ<<，所以1335tan 14m θ==.（17分）。

2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线21:2C y x =，则C 的准线方程为（ ） A ．18x =B ．18x =− C ．18y =D ．18y =−2．已知复数121iz =+，复数22i z =，则12z z −=（ ）A ．1BCD ．103．已知命题():0,,e ln xp x x ∀∈+∞>，则（ ）A ．p 是假命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ B ．p 是假命题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤C ．p 是真命题，():,0,ln xp x e x ¬∃∈−∞≤ D ．p 是真合题，():0,,ln xp x e x ¬∃∈+∞≤4．已知圆台,O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ） A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是（ ） A ．66log 0.5log 0.7> B ．0.50.60.6log 0.5> C ．65log 0.6log 0.5>D ．0.6050.60.6>6．集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x （单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181 体重y （单位：kg) 90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点()167,90对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ．则下列选项正确的是（ ）A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<>B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <><C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x =′仍是x 的函数，通常把导函数()y f x =′的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x =′′，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，1n −阶导数的导数叫做n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()()n y fx =，例如e x y =的n 阶导数()()e e n xx =．若()cos2x f x xe x =+，则()()500f =（ ） A ．49492+B ．49C ．50D ．50502−8．已知函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于,A B 两点．若3AB π=，则ω=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

河北省高三年级2022-2023学年度第一次模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则（ ） ()2i 32i z =-z =A. B.C.D.46i -3-46i --46i -+【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可. 【详解】，则. ()2i 32i 6i 4z =-=+46i z =-故选：A.2. 已知集合，，则（ ） {}2A x x =>{}0,1,2,3,4B =A. B.C.D.1A B ∈ 73A B ∉ 3A B ∉ 94A B ∈ 【答案】D 【解析】【分析】由元素与集合的关系，及集合的交集、并集运算一一判定. 【详解】显然，故，即A 错误；12,1A <∴∉1A B ∉ ，故，即B 错误； 772,,33A >∴∈73A B ∈ 由条件可知：，∴，即C 错误； {}3,4A B = 3A B ∈⋂由条件可知：，∴，故D 正确. {}()0,1,22,A B =+∞ 94A B ∈ 故选：D3. 在各项均为正数的等比数列中，，，则（ ） {}n a 313144a a =56a =2a =A. 6 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答.【详解】等比数列中，，由，得，由，得，{}n a 0n a >28313144a a a ==812a =228536a a a ==23a =所以. 23a =故选：C4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的16511=+数，其和为偶数的概率为（ ） A.B.C.D.123571045【答案】B 【解析】【分析】求出不超过12的质数，利用列举法结合古典概率求解作答. 【详解】不超过12的质数有，任取两个不同数有2,3,5,7,11，共10个，(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)其中和为偶数的结果有，共6个， (3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为. 63105=故选：B5. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“a b c αβ⋂=c αβa α⊂b β⊂a ，相交“是“，相交”的（ ） b a c A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：①若，相交，，，则其交点在交线上，故，相交， a b a α⊂b β⊂c a c ②若，相交，可能，为相交直线或异面直线． a c a b 综上所述：，相交是，相交的充分不必要条件． a b a c 故选：C ．6. 函数的图象大致是（）()3||3x y x x =-⋅A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除B,D，再判断时函数的正负即可得出.01x<<【详解】设，该函数的定义域为()3()3xf x x x=-⋅ R，，()3||3||()()()33()x xf x x x x x f x-⎡⎤-=---⋅=--⋅=-⎣⎦所以函数为奇函数，故排除B，D选项；()y f x=当时，，则，排除A选项.01x<<3x x<()3()30xf x x x=-⋅<故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为O O1l2l M，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为1l O A C2l O B D ABCD（）A. 10B. 12C. 13D. 15【答案】B【解析】【分析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，可得，1l1d2l2d22126d d+=，可求四边形的面积的最大值．ABCDS=ABCD【详解】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，1l1d2l2d直线，互相垂直，垂足为，，1l2l M∴22212||6d d OM+==，，AC∴=BD∴=．()()2212199186122ABCDS AC BD d d∴=⨯⨯=≤-+-=-=故选：B．8. 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°，这个值被称为黄金比例.0.618≈若（ ） t ==A.B.C.D.1214【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求出，代入求值式子，利用二倍角的正余弦公式化简作答. t 【详解】在中，，则，ABC ,36AB AC A ==72B =由正弦定理得， sin 36sin 36sin 362cos 722cos 722cos 72sin 722sin 72cos 72sin144BC t AC ===⋅=⋅=. sin 36sin 3614cos 722sin 724sin1444====⋅故选：D【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于函数的图象，下列说法正确的是（ ） ()132sin 2π4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭A. 是曲线的一个对称中心 π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =B. 是曲线的一条对称轴 5π8x =()y f x =C. 曲线向左平移个单位，可得曲线 2sin 2y x =5π8()y f x =D. 曲线向右平移个单位，可得曲线 2sin 2y x =5π8()y f x =【答案】AD 【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，再逐项计算判断作答. ()f x 【详解】依题意，函数， ππ()2sin(23π)2sin(2)44f x x x =--=--对于A ，，是曲线的一个对称中心，A 正确； πππ()2sin(2)0884f =-⨯-=π,08⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =对于B ，，不是曲线的对称轴，B 错误； 5π5ππ(2sin(20884f =-⨯-=5π8x =()y f x =对于C ，曲线向左平移个单位，得，C2sin 2y x =5π85π5ππ2sin[2(2sin(2)2sin(2)844y x x x =+=+=-+错误；对于D ，曲线向右平移个单位，得，D2sin 2y x =5π85π5ππ2sin[2()]2sin(22sin(2)844y x x x =-=-=--正确. 故选：AD10. 已知符号函数，偶函数满足，当时，，1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()f x x =则下列结论不正确的是（ ） A. B.()sgn 0f x >⎡⎤⎣⎦202312f ⎛⎫=⎪⎝⎭C. D.()()sgn 211Z f k k ⎡⎤+=∈⎣⎦()()sgn sgn Z f k k k =∈⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数的值域，再结合符号函数逐项判断作答. ()f x 【详解】当时，，而是偶函数，则当，，[]0,1x ∈()f x x =()f x []1,0x ∈-()()f x f x x =-=-因此当时，，其取值集合为，又，即是周期为2的函[1,1]x ∈-()||f x x =[0,1]()()2f x f x +=()f x 数，于是函数的值域为，的部分图象，如图，()f x [0,1]()f x当时，，A 错误；()0f x =sgn[()]0f x =，B 错误； 20231111()(1012()||22222f f f =-=-=-=当时，，C 正确；Z k ∈sgn[(21)]sgn[(1)]sgn(1)1f k f +===当时，取，则， Z k ∈2k =-sgn[()]sgn[(2)]sgn(0)0,|sgn ||sgn(2)||1|1f k f k =-===-=-=此时，D 错误. sgn[()]|sgn |f k k ≠故选：ABD11. 抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最26y x =F P A PA PF +小值为，则的值可以为（ ） 92AF A.B. 3C.D.923254【答案】ABC 【解析】【分析】分类讨论A 的位置，再由抛物线的定义转化线段和求最小值或三角形三边关系判定最小值即可.【详解】如上图所示，若A 在抛物线内，易知，抛物线的准线为，3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭32x =-过P 作PE 垂直于抛物线准线，垂足为E ，过A 作AB 垂直于抛物线准线，垂足为B ，交抛物线于，P '由抛物线的定义知，当且仅当A 、P 、B 三点共线时， PA PF PA PE AB +=+≥即重合时取得最小值，， P P ¢、39322A A AB x x ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭又A 在抛物线内，故，23618A y <⨯=所以，即； 339222A x AF -=≤=<39,22AF ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭若A 在抛物线外，连接AF 交抛物线于G 点，则， PA PF AF +=≥当且仅当重合时取得最小值，此时即. P G 、92AF =综上.39,22AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：ABC12. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） ln1.8a =0.8b =0.1e 0.1c -=-A. B.C.D.a b >a c <()ln 20.2c a +>0.9e 0.1a c -<+【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，求导探讨单调性，利用函数单调性逐项比()ln 1,0f x x x x =-+>较判断作答.【详解】令函数，求导得，当时，，当()ln 1,0f x x x x =-+>1()1f x x'=-01x <<()0f x '>1x >时，，()0f x '<即函数在上单调递增，在上单调递减，，当且仅当时取等号， ()f x (0,1)(1,)+∞()(1)0f x f ≤=1x =因此当且时，恒有，则，A 错误； 0x >1x ≠ln 1x x <-ln1.80.8a b =<=显然有，则，即有，B 正确；1e x x ->0.10.91e e 0.9--=>0.1e 0.10.8c b a -=->=>，C 正确；()0.1ln 20.2ln(2e )ln1.8c a -+=>=，D 正确.0.90.1e e 0.1a c --<=+故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，，若，则___________.()2,1a = ()1,0b =()1,2c = ()c a mb ⊥+ m =【答案】 4-【解析】【分析】用向量的坐标运算即可. 【详解】依题意：，()()211211200c a mb c a mc b m +=+=⨯+⨯+⨯+⨯=解得m =-4， 故答案为：-4.14. 的展开式中，的系数为 __． 226(1)(1)x x +-5x 【答案】 52-【解析】【分析】把展开，再利用二项式展开式的通项公式，求得的展开式中，的系22(1)x +226(1)(1)x x +-5x 数．【详解】由展开式的通项公式为.()61x -()616C 1rrr r T x -+=⋅-所在的展开式中含的系数为()()()()26624211211x x x x x +-=++⋅-5x .()()()5316661C 2C 1C 6220652⨯-+⨯-+⨯-=--⨯-=-故答案为：．52-15. 设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点作1F 2F 2214x y -=P 1F 平分线的垂线，垂足为，则______.12F PF ∠M OM =【答案】 2【解析】【分析】延长交于点，由，得到，根据双曲线的定义，得到1F M 2PF Q 1PMF PMQ ≌1PF PQ =，求得，在中，得到，即可求解. 24PQ PF -=24QF =12F QF 212OM QF =【详解】如图所示，延长交于点，1F M 2PF Q 由为的平分线及，可得，所以， PM 12F PF ∠1PM FQ ⊥1PMF PMQ ≌1PF PQ =根据双曲线的定义，可得，即，即， 1224PF PF a -==24PQ PF -=24QF =在中，由和分别为的中点，所以. 12F QF O M 121,F F FQ 2122OM QF ==故答案为：.216. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，，满足，，则该“鞠”的表面积为A B C D 2cm AB BC CD DA DB =====3cm AC =____________.【答案】 228πcm 3【解析】【分析】由题意画出图形，可得，均为等边三角形，设球心为O ，的中心为ABD △CBD △BCD △O '，取中点，连接AF ，CF ，OB ，，AO ，构造直角三角形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半BD F O B '径，再由球的表面积公式求解.【详解】由已知得，均为等边三角形，如图所示，ABD △CBD △设球心为O ，的中心为，取中点，连接AF ，CF ，OB ，，AO ，BCD △O 'BD F O B '则，，而，平面，∴平面， AF BD ⊥CF BD ⊥AF CF F ⋂=,AF CF ⊂ACF BD ⊥ACF可求得 而，， 则，AF CF ==3cm AC =1cos 2AFC ∠==-120∠= AFC在平面中，过点作的垂线，与的延长线交于点， AFC A CF CF E 由平面，平面，得，BD ⊥ACF AE ⊂ACF BD AE ⊥又，，平面，故平面， CF AE ⊥CF BD F = ,CF BD ⊂BCD ⊥AE BCD 过点O 作于点G ，则四边形是矩形， OG AE ⊥O EGO '而 ， 2sin 603O B BC ︒'=⨯=12O F O B ''==设球的半径为R ，，则由，，c (m OO x '=）222O O O B OB ''+=222OA AG GO =+得 ，， 2243x R +=22232x R ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得， ， 1cm x =R =故三棱锥外接球的表面积为. A BCD -22284ππ(cm )3S R ==故答案为：228πcm 3【点睛】方法点睛：对于三棱锥外接球的三种模型第一种模型为常见墙角模型，此时将三棱锥看作长方体中的一个部分，将长方体进行补全之后就可以找到外接球半径与长方体三边之间的关系.第二种模型为对边相等的三棱锥外接球，方法同样将其补形为长方体，我们可以通过画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对边，然后通过每一组在直角三角形中的满足勾股定理的形式而列出方程，然后再将三组方程相加之后就可以得到长方体三边的平方的关系，继而可以求出外接球的半径.第三种模型为确定球心来构造直角三角形，这种模型最关键的就是利用底面三角形的外心来确定球心，然后来构造直角三角形将立体图形转化为平面图形，在直角三角形当中来求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足ABC A B C a b c ()()cos 2cos cos B C b A C C a c ac++-=.（1）求角的大小；B（2）若，，求的面积. 6a c +=b =ABC 【答案】（1）；π3B =（2. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合诱导公式化简，再利用正弦定理及和角正弦公式求解作答.（2）由（1）的结论及已知，利用余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【小问1详解】 在中，由，得， ABC cos()cos 2cos()B C C b A C a c ac++-=cos cos 2(cos )A C bB a c ac ---=整理得，由正弦定理，得， cos cos 2cos c A aC b B +=sin cos sin cos 2sin cos C A A C B B +=即，又，有，则， sin()sin 2sin cos A C B B B +==(0,π)B ∈sin 0B ≠1cos 2B =所以. π3B =【小问2详解】由（1）知，，而，， π3B =6a c +=b =2222cos b a c ac B =+-得，解得， 222215()363a c ac a c ac ac =+-=+-=-7ac =所以的面积. ABC 11sin 722S ac B ==⨯=18. 在①，②、、成等比数列，③.这三个条件中任选两个，补充到下面550S =1S 2S 4S ()6632S a =+问题中，并解答本题.问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________. {}n a ()0d d ≠n n S （1）求；n a （2）若，且，求数列的前项和. ()122n n n b b a n --=≥111b a -=1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）条件选择见解析，42n a n =-（2） 21n nT n =+【解析】【分析】（1）根据所选条件，得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出数列的1a d {}n a 通项公式；（2）利用累加法可求得数列的通项公式，再利用裂项相消法可求得. {}n b n T 【小问1详解】解：①：因为、、成等比数列，则，即，1S 2S 4S 2214S S S =()()2111246a d a a d +=+因为，可得.0d ≠12d a =②：，可得.5151050S a d =+=1210a d +=③：，可得，可得.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；112210d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以，. 122210a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-【小问2详解】解：，且，则， ()12284n n n b a n b n -=--=≥111b a -=13b =所以，当时，则有2n ≥()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++- ，()()()28412131220843412n n n n -+-=++++-=+=- 也满足，故对任意的，，13b =241n b n =-n N *∈241n b n =-则， ()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，. 11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 19. 为深入贯彻党的十九大教育方针.中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表： 表一：“双减”政策后 时间（分钟） [20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80](80,90]人数1060210520730345125表二：“双减”政策前 时间（分钟） [20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] (70,80](80,90]人数 4024556061040313012（1）用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；（2）为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备.该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌A ､B ：A 品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月（概率均为0.5）；B 品牌售价2百元，寿命3个月或4个月（概率均为0.5）.现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌A ；方案乙：购置1个品牌A 和2个品牌B .试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠. 【答案】（1）大多数学生的运动时间都变长（2）方案乙性价比更高 【解析】【分析】（1）从众数的角度分析数据的变化情况；（2）若采用甲方案，记设备正常运行时间为，则的取值可能为、，求出所对应的概率，即可得X X 78到分布列，从而求出的期望，再计算性价比，同理算出乙方案的性价比，比较即可； X 【小问1详解】解：双减政策后运动时间的众数是65，双减政策前的众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长； 【小问2详解】解：若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值可能为、， X X 78则，， 113(7)1224P X ==-⨯=111(8)224P X ==⨯=则的分布列：XX 78P 34 143129()78.444E X ∴=⨯+⨯=它与成本之比为·E(X)5+5=2940若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有、、， Y Y 678则，，， 1(6)4P Y ==P(Y =7)=581(8)8P Y ==Y678P 14 58 1815155()678.4888E Y =⨯+⨯+⨯=它与成本之比为()55.52272E Y =++ 5529,7240>方案乙性价比更高.20. 在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿ABCD //AD BC AB BC ⊥BD DC ⊥E BC ABD △BD 折起，使，连接、、，得到三棱锥．AB AC ⊥AE AC DE A BCD -（1）求证：平面平面；ABD ⊥BCD（2）若，二面角，求二面角的正弦值． 1AD =C AB D --B AD E --【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）推导出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理得出AB ⊥ACD CD AB ⊥CD BD ⊥平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；CD ⊥ABD ABD ⊥BCD （2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角为，由，可求得AB ⊥ACD C AB D --CAD ∠1AD =，进而可求得的长，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角AC AB D DB DC x y 坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值. B AD E --【详解】（1）在直角梯形中，，，则，ABCD //AD BC AB BC ⊥AB AD ⊥在三棱锥中，，，，所以平面，A BCD -AB AD ⊥AB AC ⊥AD AC A = AB ⊥ACD 平面，所以，CD ⊂ ACD CD AB ⊥因为，，所以平面，CD BD ⊥AB BD B = CD ⊥ABD 平面，所以平面平面；CD ⊂ BCD ABD ⊥BCD （2）由（1）可知平面，、平面，，， AB ⊥ACD AC AD ⊂ACD AB AC ∴⊥AB AD ⊥所以二面角的平面角即为．C ABD --CAD ∠由（1）可知，平面，平面，， CD ⊥ABD AD ⊂ ABD CD AD ∴⊥在中，，，故，，Rt CAD cos AD CAD AC ∠==1AD = AC =CD ∴==在直角梯形中，设，则 ABCD AB x =BD ==在三棱锥中，，，A BCD -AB AC ⊥ BC ∴==易知，得到，Rt ABD Rt DCB △△AD BD BD BC ==x =所以，，AB=BD =以、所在直线为、轴，过点作平面的垂线，以其为轴，建立空间直角坐标系DB DC x y D BCD z ，D xyz-易得、、、，A)B()C E ⎫⎪⎪⎭平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，ABD ()0,1,0m = ADE (),,n x y z =，，DA =DE ⎫=⎪⎪⎭ 由，得，得， 00n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩00+=+=x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令，则，所以，x =1y z ==-)1,1n =--，11cos ,122m n m n m n ⋅-∴===-⋅⨯sin ,m n ∴<>== 因此，二面角． B AD E --【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求二面角，以及利用二面角的定义取线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21. 已知函数．()22sin f x x ax =+（1）当时，求的单调区间； 1a =()f x （2）若，不等式恒成立，求实数a 的取值范围． 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()22sin 2cos x a x af x +≥【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,∞+（2）. (],0-∞【解析】【分析】（1）当时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即，，1a =0x <()/0fx <0x >时，，即可得到答案.()/0fx >（2）根据题意有不等式恒成立．令，则等价于不等式()2sin 2cos sin x a x ≥[]cos 0,1x t =∈恒成立，()()2sin 21*t a t ≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅①若，不等式（*）显然成立，此时 1t =a ∈R ②若时，不等式（*）等价于.求出的最小值即可得到答案. 01t ≤≤2sin 21t a t ≤-2sin 21tt -【小问1详解】，()2sin cos 2sin 22f x x x x x x '=+=+∵，所以是的一个零点． ()00f '=0x =()f x '又令，，则，，时，()()/fx g x =()/22cos 20g x x =+≥0x <()/0f x <0x >()/0f x >∴在，单调递减；在单调递增 ()f x (),0∞-()0,∞+【小问2详解】不等式在R 上恒成立，即不等式恒成立．()()22sin 2cos x a x af x +≥()2sin 2cos sin x a x ≥令，则等价于不等式恒成立，[]cos 0,1x t =∈()()2sin 21*t a t ≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅①若，不等式（*）显然成立，此时 1t =a ∈R ②若时，不等式（*）等价于 01t ≤≤2sin 21ta t ≤-设，当时，， ()()2sin 2011t h t t t =≤<-01t ≤<()()()22221cos 2sin 21t t t t h t t ⎡⎤-+⎣⎦'=-令，则，，()()()21cos 2sin 201t t t t t t ϕ=-+≤<()()221sin 2t tt ϕ'=-01t ≤<∵，∴在上单调递减，在单调递增， 0ϕ'=()tϕ⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭∴ ()min 102x ϕϕ==+>∴，在单调递增，()/0h t >()h t [)0,1()()min 00h t h ==∴0a ≤综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为．(],0-∞22. 已知椭圆C ：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四22221(0)x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B边形的面积为O 到直线1122A B A B 11A B（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 上一点P 作两条直线，分别与椭圆C 相交于异于点P 的点A ，B ，若四边形为平行OAPB 四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.OAPB 【答案】（1）；（2）是定值，定值为3.22143x y +=【解析】【分析】（1）由已知设直线的方程为，再利用已知条件列方程组，求出即可得到椭11A B 1x ya b-+=,a b 圆的方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，当直线的斜率存在AB AB 1x =±3OAPB S = AB 时，设：，，，AB y kx m =+11(,)A x y 22(,)B x y 联立，可得，利用根与系数的关系，求出弦长AB ，再22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(43)84120k x kmx m +++-=结合点到直线的距离公式求解三角形的面积，可推出结论. 【详解】（1）直线的方程为， 11A B 1x ya b-+=由题意可得，解得2ab ⎧=⎪=2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时 AB AB 1x =±3OAPB S = 当直线的斜率存在时，设：，，，AB AB y kx m =+11(,)A x y 22(,)B x y 联立，可得， 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(43)84120k x kmx m +++-=则，2248(43)0k m ∆=-+>，，122843km x x k +=-+212241243m x x k -=+， ()121226243my y k x x m k +=++=+∵四边形为平行四边形，∴，∴， OAPB OA OB OP +=2286,4343kmm P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭∵点P 在椭圆上，∴，整理得， 2222864343143km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=2234m k =+2||AB x=-=原点O 到直线的距离，AB d =， ||3OAPBS AB d =⋅== 综上，四边形的面积为定值3.OAPB 【点睛】此题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想和计算能力，属于较难题.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。

河北省2024届高三年级质量监测考试数学（答案在最后）命题：本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}210M x x =-≥，{}12N x x =-<<，则M N ⋂=（）A.{}1x x >-B.{}1x x ≥-C.{}11x x -<< D.{}12x x ≤<2.i 为虚数单位，复数z 满足()22i i z -=，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若2= a ，1a b -=，则b 的最大值为（）A.3B.5C. D.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，则2003S为（）A.0B.2C.2023D.40465.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（）种A.144B.264C.288D.4326.过点()1,0的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点（A 在第一象限），过点B 作直线=1x -的垂线，垂足为M ，若3AO OM =，则直线l 的斜率为（）A.33B.1C.2D.37.函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如下图所示，若()f x 在区间π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围是（）A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C.58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦8.已知函数()21f x x =-，则曲线()()[]()0,1y f f x x =∈与1y =围成的面积为（）A.14B.12C.1D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若随机变量()211,:X N μσ，()222,:Y N μσ，X 、Y 的分布密度曲线如图所示，则（）A.12μμ<B.12σσ<C.()()1122P X P Y μσμσ≤+<≤+D.()()1221P X P Y μσμσ≤+<≤+10.过点()1,2A 与函数()3f x x x =+相切的直线为（）A .240x y +-= B.310x y --=C.420x y --= D.7410x y -+=11.圆O 的半径为定长r ，M 是圆O 所在平面内一个定点（点M 与点O 不重合），P 是圆O 上任意一点，线段MP 的垂直平分线与直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O 上运动时（）A.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆B.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线C.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆的一部分D.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线的一支12.正四面体ABCD 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 、D 到α的距离分别为3、3、2（B 、C 、D 在α同侧），则（）A.平面ABC 与α夹角正弦值为23B.平面BCD 与α夹角正弦值为13C.正四面体ABCD 的内切球表面积为2πD.正四面体ABCD 的外接球体积为42π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知多项式()()2423456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a =______，123456a a a a a a +++++=______．14.已知tan22θ=，则sin sin 1cos 1cos θθθθ--+的值为______．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．16.牛顿法求函数()y f x =零点的操作过程是：先在x 轴找初始点()11,0P x ，然后作()y f x =在点()()111,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()22,0P x ，再作()y f x =在点()()222,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()33,0P x ，再作()y f x =在点()()333,Q x f x 处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数()2xf x =，初始点为()10,0P ，若按上述过程操作，则所得前n 个三角形112PQP △，223P Q P △，……，1n n n P Q P + 的面积和为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin sin 22B A C+是()sin B A -与sin C 的等差中项．（1）求A 的值；（2）若∠A 的平分线交BC 于点D ，且1AD =，2BD DC =，求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足11a =，且12n n a a n +-=．（1）求n a ；（2）n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：12n S ≤<．19.如图所示，直角梯形PABC 中，AB PC ∥，90B Ð=°，D 为PC 上一点，且22AB PA PD DC ====，将PAD 沿AD 折起到SAD 位置．（1）若SD CD ⊥，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；（2）若SB =SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．20.已知函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．（1）求a ；（2）证明：()f x x ≥．21.从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．22.()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点．（1）结论一：动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为定值；结论二：动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为定值；从以上两结论中任选一个进行证明；（2）过点()11,0F -且斜率为正值的直线1l 交C 于点A ，过2F 且与1l 垂直的直线2l 与曲线C 交于点B ，当四边形12ABF F 在x 轴上方时，求其面积的最大值．河北省2024届高三年级质量监测考试数学命题：本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}210M x x =-≥，{}12N x x =-<<，则M N ⋂=（）A.{}1x x >-B.{}1x x ≥-C.{}11x x -<< D.{}12x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】求出集合M 中元素范围，再求交集即可.【详解】集合{}{2101M x x x x =-≥=≥或}1x ≤-，所以{}12M N x x ⋂=≤<．故选：D ．2.i 为虚数单位，复数z 满足()22i i z -=，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算及复数几何的意义从而求解.【详解】由已知()22i i 1z -==-，所以()()()2i 121i 2i 2i 2i 55z -+-===----+，z 对应点坐标为21,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故C 正确.故选：C ．3.若2= a ，1a b -=，则b 的最大值为（）A.3B.5C. D.【答案】A 【解析】【分析】（法一）设a 与a b -夹角为θ．因为()b a b a =-- ，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为2a =r ，如图设a OA = ，b OB = ，由1a b -= 知点B 在以A 为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案.【详解】（法一）设a 与a b - 夹角为θ．因为()b a b a =-- ，得()()()22222b a b a a ba b a a=--=---⋅+ 222cos a b a b a aθ=---⋅+ 14cos 4θ=-+，当cos 1θ=-时，2b 最大值9， b 的最大值3，故选：A ．（法二）因为2a =r ，如图设a OA = ，b OB = ，由1a b -=知点B 在以A 为圆心1为半径的圆上，当点B 与O 、A 在一条直线，位于图中B '位置时，b 的最大值3.故选：A.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，则2003S为（）A.0B.2C.2023D.4046【答案】B 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出q 的值，然后利用等比数列的求和公式可求得2023S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()21211n n n n n S S a a a q ++++-=+=+，若1q =-，则()2110n n n S S a q ++-=+=，此时，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，合乎题意；若1q ≠-，对任意的n *∈N ，则0n a ≠，则()()2312111n n n n n n a q S S q S S a q ++++++-==-+，此时，数列{}()*2n n S S n +-∈N是等比数列，不合乎题意.综上所述，1q =-，所以，()()()202320231202321112111a q S q⎡⎤⨯---⎣⎦===---.故选：B.5.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（）种A.144B.264C.288D.432【答案】B 【解析】【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有34A 种不同方法，对于34A 中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种．反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种．同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种，则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种，所以双面绣不同色彩设计方法共有34A 11264⨯=种．故选：B ．6.过点()1,0的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点（A 在第一象限），过点B 作直线=1x -的垂线，垂足为M ，若3AO OM =，则直线l 的斜率为（）A.33B.1C.D.【答案】D 【解析】【分析】法一：由题意可证得A 、O 、M 在一条直线上，可得3AF FB =，根据抛物线的定义作出几何图形，可求得直线l 的斜率.法二：由法一得到3AF FB =，即可得123y y =-，联立直线和抛物线方程，韦达定理，即可求得直线l 的斜率.法二：由法一得到3AF FB =，结合点差法，可求得A 点的坐标，由()1,0F ，根据两点的斜率公式即可求得.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0F ，()21,M y -，()111,FA x y =- ，()221,FB x y =-，因为A 、B 、F 三点共线，//FA FB，所以()()1221110x y x y ---=，因为2114y x =，2224y x =，则2114y x =，2224y x =，所以22122111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()121240y y y y -+=，因为120y y -≠，则124y y =-，因为()11,OA x y =，()21,OM y =- ，21212114+=+y y x y y y ，又124y y =2121121114044-+=+=+=y y y x y y y y ，则//OA OM，又,OA OM 有一个公共点，所以点A 、O 、M 在一条直线上，由3AO OM =，得3AF FB =．（法一）过点A 作AN 垂直与=1x -于点N ，作BD AN ⊥于点D ，因为2:4C y x =得3AF AN r ==，BFBM r ==，所以4AB r =，2AD AN BM r =-=，则在Rt △ABD 中，2AB AD =，30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，则直线l 的倾斜角为60︒，所以直线l的斜率tan 60k ==（法二）设直线():1l y k x =-与24y x =联立得2440y y k--=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y k+=，124y y =-，由3AF FB =得123y y =-，由121212443y y ky y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，解得123y y k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩或123y y k ⎧=⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎩因为A在第一象限，所以123y y k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩（舍去），所以k =（法三）设()11,A x y ，()22,B x y ，2114y x =①2222224936y x y x =⇒=②①－②得()()()1212123349y y y y x x -+=-③由3AF FB =得3AF FB =，()()11221,31,x y x y --=-，1234x x +=，1230y y +=．代入③得1290x x -=，解得13x =，1y =(3,A ，()1,0F，23031AF k -==-线AB故选：D ．7.函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如下图所示，若()f x 在区间π0,2⎛⎤⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围是（）A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.47,33⎛⎤⎥⎝⎦C.58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象求出ϕ，由x 的取值范围求出2π3x ω+的取值范围，再结合正弦函数图象得到不等式组，解得即可.【详解】由图可知函数过点(，所以()02sin f ϕ==，即sin 2ϕ=，又0πϕ<<，所以π3ϕ=或2π3ϕ=，依题意可得0ω>，若π3ϕ=则靠近y 轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；所以2π3ϕ=，即()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2π2ππ2π,3323x ωω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦．又sin y x =，2π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图象如下所示：要使函数()f x 在区间π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则3ππ2π2π223ω≤+<，解得5833ω≤<，即ω的取值范围是58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ．8.已知函数()21f x x =-，则曲线()()[]()0,1y f f x x =∈与1y =围成的面积为（）A.14B.12C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由题设得到()f x 分段函数形式，讨论自变量范围求()()[]()0,1y f f x x =∈的解析式，数形结合求图象围成的面积即可.【详解】由()121,221112,2x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，又()()()21f f x f x =-，当10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12112,12f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()21212114f f x f x x x =-=--=-，当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()121120,2f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()12121241f f x f x x x =-=--=-，当13,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()121210,2f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()12122134f f x f x x x =-=--=-，当3,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12121,12f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()21221143f f x f x x x =-=--=-，函数图象如下图所示，故曲线()()y f f x =，[]0,1x ∈与1y =围成的面积为12．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若随机变量()211,:X N μσ，()222,:Y N μσ，X 、Y 的分布密度曲线如图所示，则（）A.12μμ<B.12σσ<C.()()1122P X P Y μσμσ≤+<≤+D.()()1221P X P Y μσμσ≤+<≤+【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的图象，结合正态曲线的性质，逐项分析判断即得.【详解】观察图象知，X 的均值比Y 的均值小，X 的标准差比Y 的标准差大，即12μμ<，12σσ>，即A 正确，B 错误；111111((1))22P P X X μσμσμσ≤+-≤≤+=+，22222211()()22P P Y Y μσμσμσ=+≤+-≤+≤，而11112222)()(P P X Y μσμσμσμσ=-≤≤≤+-≤+，则1122(())P X P Y μσμσ≤+=≤+，C 错误；由12μμ<，12σσ>，得21221211,μσσμμσσμ<+<+++，因此12121122)(()())(P X P X P Y P Y μμμσσσσμ+<≤+≤<≤=≤++，D 正确.故选：AD10.过点()1,2A 与函数()3f x x x =+相切的直线为（）A.240x y +-=B.310x y --=C.420x y --=D.7410x y -+=【答案】CD 【解析】【分析】当A 为切点时，根据()1f '的值和()1,2A 直接求解出切线方程；当A 不是切点时，设出切点()3,B t t t +，然后根据AB 斜率的表示求解出B 的坐标，则切线方程可求.【详解】因为()3f x x x =+，所以()231f x x ='+；若A 点是切点，则()14f '=，则切线方程为()241y x -=-，即420x y --=，故C 正确；若A 点不是切点，设切点()3,B t t t +，则B 处切线斜率为()231f t t =+'，又因为直线AB 的斜率为321ABt t k t +-=-，则322311t t t t +-+=-，3233312t t t t t -+-=+-，化简可得()()22110t t +-=，所以12t =-或1t =（舍去，此时,A B 重合），所以点B 为15,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故切线斜率为1724f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'，则切线方程为()7214y x -=-，即7410x y -+=，故D 正确．故选：CD ．11.圆O 的半径为定长r ，M 是圆O 所在平面内一个定点（点M 与点O 不重合），P 是圆O 上任意一点，线段MP 的垂直平分线与直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O 上运动时（）A.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆B.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线C.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆的一部分D.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线的一支【答案】AB 【解析】【分析】利用椭圆和双曲线定义求解.【详解】当点M 在圆O 内且不与点O 重合时，由图可知：||||||||QM QO QP QO r +=+=，又||OM r <，由椭圆的定义可得：点Q 的轨迹是以点O 、M 为焦点的椭圆，即点Q 的轨迹是椭圆；当点M 在圆外时，由图可知：||||||||||||QM QO QP QO r -=-=，又||OM r >，由双曲线的定义可得：点Q 的轨迹是以点O 、M 为焦点的双曲线，即点Q 的轨迹是双曲线，故选：AB12.正四面体ABCD 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 、D 到α的距离分别为3、3、2（B 、C 、D 在α同侧），则（）A.平面ABC 与α夹角正弦值为3B.平面BCD 与α夹角正弦值为13C.正四面体ABCD 的内切球表面积为2πD.正四面体ABCD的外接球体积为3【答案】BC 【解析】【分析】A,求出四棱锥的边长，即可得出结论；B 项，求出,MH MD 即可得出平面BCD 与α夹角正弦值；C 项，求出内切球半径即可得出表面积；D 项，求出外接球半径即可得出体积.【详解】由题意，点B 、点C 到α的距离均为3，∴BC α∥设BC 中点为M ，M 、D 在α内投影为M '，D ¢，则3MM '=，2DD '=，正四面体中设AD x =，则2AM x =，2MD x =，()cos cos MAD MAM DAD ∠=∠-∠''23322x x =+解得x =，∴3AM =,3MD =∴点M 到α的距离均为3，∴面ABC ⊥面α，故A 错误，由几何知识，321MH MM HM ''=-=-=,平面BCD 与α夹角为MDH ∠，1sin 3MH MDH MD ∠==，B正确．C 项，取CD 中点E ，连接,AE BE ，取点A 在BCD △的投影为F ，连接AF ，在AF上取一点G 使得FH HI =，则内切球半径r HF HI ==，由几何知识，123,32AC AD CD BC CE DE CD =======，3123,1,2233AE BE BC EF BE BF BE =======,1,EF EI ==2AI AE IE ===在AEF △中，由勾股定理得,2222AF AE EF =-=在AHI 中，由勾股定理得,()22222rr -=+,解得：22r =，∴正四面体ABCD 的内切球表面积为2224π4π2π2r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确.D 项，在AF 上取一点G 使得AG BG =，则外接球半径R AG BG ==，在BFG 中，由勾股定理得()2222R R=+,解得：322R =,∴正四面体ABCD 的外接球体积为3344ππ332V R ⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭故D 错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查内切球与外接球，勾股定理，二面角，考查学生分析和处理问题的能力，作图能力，具有很强的综合性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知多项式()()2423456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a =______，123456a a a a a a +++++=______．【答案】①.4②.4-【解析】【分析】利用二项式定理及赋值法求解即可【详解】由题意()()()()244221441x x x x x =+-++-则含3x 的项为：()()()322322133333444C 14C 14C 1424416x x x x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=--=⋅⋅+，故34a =；令0x =，即04a =，令1x =，即01234560=++++++a a a a a a a ，∴1234564a a a a a a +++++=-，故答案为：4；4-．14.已知tan 22θ=，则sin sin 1cos 1cos θθθθ--+的值为______．【答案】32-【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.【详解】（法一）22222sincos 2sin cossin sin 22221cos 1cos 1cos sin 1cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ-=--+⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222sincos 2sin cos cos sin 1222222tan 22sin 2cos sin cos tan 22222θθθθθθθθθθθθ=-=-=13222=-=-．（法二）因为tan 22θ=，所以22tan2242tan 1431tan 2θθθ⨯===---，则()()22sin sin 2sin cos 2sin cos 2sin cos 2cos 21cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin tan θθθθθθθθθθθθθθθθθ-====-+-+-33242⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：32-．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．【答案】193π81【解析】【分析】首先根据几何关系球内切球的半径和截面圆的半径，再代入圆台体积公式，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面，1BM =，2AB =，所以60B ∠= ，所以1tan 303OM =⨯=，AB =，23AO AM =过球心O 且与圆锥底面平行的截面的截面圆的半径为22133⨯=，所得圆台的体积1423193ππ1393381V ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭故答案为：193π8116.牛顿法求函数()y f x =零点的操作过程是：先在x 轴找初始点()11,0P x ，然后作()y f x =在点()()111,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()22,0P x ，再作()y f x =在点()()222,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()33,0P x ，再作()y f x =在点()()333,Q x f x 处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数()2xf x =，初始点为()10,0P ，若按上述过程操作，则所得前n 个三角形112PQP △，223P Q P △，……，1n n n P Q P + 的面积和为______．【答案】41e 1log e e en n n ---【解析】【分析】导数求切点处切线的方程，得11ln 2n n x x +-=-，122311ln 2n n PP P P P P +==== ，()11e n nf x -=，表示出1122231n n n PQP P Q P P Q P S S S ++++ ，利用等比数列求和公式结合对数的运算求值.【详解】设(),0n n P x ，则()(),n n n Q x f x ，因为()2x f x =，所以()2ln 2xf x ='，则()(),n n n Q x f x 处切线为()2ln 2·2n n x xn y x x =-+，切线与x 轴相交得()11,0n n P x ++，11ln 2n n x x +-=-，因为10x =得1ln 2n n x -=-，所以122311ln 2n n PP P P P P +====，()()211log e ln 21122en n n n f x -----===，所以112223123*********ln 2e e e e n n n PQ P P Q P P Q P n S S S +-⎛⎫+++=⋅+++++ ⎪⎝⎭423111111111111e 1e 1e 1log e 12ln 2e e e e 2ln 22ln 2e e e e 1e n n n n n n n n ------⎛⎫=+++++==⋅ ⎪--⎝⎭- ．故答案为：41e 1log e e en n n ---（其它形式只要正确均得分）．【点睛】关键点点睛：本题关键步骤是利用()(),n n n Q x f x 处的切线方程求出()11,0n n P x ++坐标，得到1n n x x +-和()n f x 的值，从而得到每个三角形的底和高，可求出面积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin sin 22B A C+是()sin B A -与sin C 的等差中项．（1）求A 的值；（2）若∠A 的平分线交BC 于点D ，且1AD =，2BD DC =，求△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）338【解析】【分析】（1）由题意可知，()2sin cos sin sin 22B BB AC =-+，再结合三角恒等变形，进行化简，即可求得角A ；（2）根据角平分线定理可得，2c b =，再根据三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】△ABC 中πA B C ++=，π222A CB ++=，所以sincos 22A C B+=，()sin sin C A B =+，又因为sinsin 22B AC +是()sin B A -与sin C 的等差中项，得()()()2sincos sin sin sin sin 22B BB AC B A A B =-+=-++，2sincos 2sin cos 22B BB A =，sin 2sin cos B B A =，()1cos 0π2A A =<<，π3A =．【小问2详解】由题意得，2BD AB DC AC ==，即2cb=，所以2c b =，因为ABD ACD ABC S S S +=△△△，所以111sin 30sin 30sin 60222b c += ，所以b c +=．因为2c b =，所以32b =，c =所以1sin 6028ABC S bc ==△．18.已知数列{}n a 满足11a =，且12n n a a n +-=．（1）求n a ；（2）n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：12n S ≤<．【答案】（1）21n a n n =-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由递推公式12n n a a n +-=利用累加法从而可求解.（2）由（1）知可得()()11111111111n a a n n n n n n⎛⎫≤=<=- ⎪-+--⎝⎭，利用裂项求和从而可求解.【小问1详解】12n n a a n +-= ，212a a ∴-=，324a a -=，L ，()121n n a a n --=-．由上述n 1-个等式相加得()()1242221n a a n n -=+++-+- ，()()212421111n a n n n n n ∴=++++-=-+=-+ ．【小问2详解】证明：11a =，210n a n n =-+>，所以10na >，1231111111n n S a a a a a =++++≥= ，当2n ≥时，()()111111111n a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+--⎝⎭，21112a ∴<-，311123a <-，411134a <-，L ，1111n a n n <--．123111111111111222231n n S a a a a n n n=++++<+-+-++-=-<- ．综上，12n S ≤<，得证．19.如图所示，直角梯形PABC 中，AB PC ∥，90B Ð=°，D 为PC 上一点，且22AB PA PD DC ====，将PAD 沿AD 折起到SAD 位置．（1）若SD CD ⊥，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；（2）若6SB =SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217．【解析】【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；（2）以O 为原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面SAD 与平面SBC 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】梯形PABC 中，//AB PC ，90B Ð=°，易知1cos cos 2DAB ADP ∠=∠=，所以60ADP ∠=︒，而PA PD =，所以PAD 为等边三角形，∴SD AM ⊥，又∵SD CD ⊥，//CD AB ，∴SD AB ⊥，,AB AM ⊂面AMB ，AB AM A = ，∴SD ⊥面AMB ，∵SD ⊂面SAD ，∴平面AMB ⊥平面SAD ；【小问2详解】由（1）知△SAD 为等边三角形，∴BAD 为等边三角形，取AD 的中点O ，得SO AD ⊥，3SO =，3BO =，∵6SB =SO OB ⊥，因为,OB AD ⊂面ABCD ，OB AD O = ，∴SO ⊥面ABCD ．以O 为原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，得()B，3,,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(S，(SB =，3,,22SC ⎛=- ⎝ ，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =，∴00n SB n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得033022x y =⎨-+=⎪⎩，令1x =，则y z ==，则(1,n =．取平面SAD的法向量为()OB =，cos ,7n OB n OB n OB⋅===⋅．∴平面SAD 与平面SBC夹角的余弦值为7．20.已知函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．（1）求a ；（2）证明：()f x x ≥．【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率即可得解；（2）可转化为求证ln e ln 1x x x x +≥++，换元后求证e 1≥+t t ，构造函数后求函数的最小值不小于0即可得证.【小问1详解】()e ln 1x f x x a x =--，得()()1e x a f x x x'=+-，所以()12e f a '=-．函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．2e 2e 1a -=-，得1a =．【小问2详解】由（1）得()e ln 1xf x x x =--．证明()f x x ≥，即证e ln 1x x x x --≥，即ln e ln 1x x x x +≥++，设ln x x t +=，即证e 1≥+t t ．下面证明e 1≥+t t 成立：构造函数()e 1=--tg t t ，求导得()e 1tg t '=-，则(),0t ∈-∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；()0,t ∈+∞时，()0g t '>，()g t 单调递增．故函数()()00≥=g t g ，即e 1≥+t t 恒成立，得ln e ln 1x x x x +≥++，所以e ln 1x x x x --≥，()f x x ≥得证．21.从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．【答案】（1）应该派甲去，理由见解析（2）1023256．【解析】【分析】（1）由平均数和方差的公式求出,x x 甲乙，22,s s 甲乙，再比较它们的大小即可得出答案；（2）设比赛局数为随机变量X ，求出X 的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出()E X ，再结合错位相减法求出()E X ，即可得出答案.【小问1详解】分别计算甲乙运动员在平均成绩x 甲，x 乙和方差22,s s 甲乙，5 6.39.59.267.25x ++++==甲，7.27.3 6.677.97.25x ++++==乙，而()()()()()22222217.25 6.37.29.57.29.27.267.2 3.2765s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()22222217.27.27.37.2 6.67.277.27.97.20.185s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，因为x x =甲乙，22s s >甲乙，所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应该派甲去，有可能超常发挥取得更好成绩．【小问2详解】设比赛局数为随机变量X ，由题意知X 的可能取值必须为偶数：2、4、6……20．则()11111222222P X ==⨯+⨯=，当4X =时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两局二人各胜一局的概率为1112222⨯⨯=．故()1111114222224P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．发现，当418X ≤≤时，双方前两局，前四局，……到前2X -局甲乙胜负局数均相同，且第1X -局，第X 局均为甲胜或乙胜，于是设()*2,29X n n n =∈≤≤N ()1111111112222222222n n nP X n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．显然1n =时，也满足上式．而20n =时，说明双方前两局，前四局，……到前18局甲乙胜负局数均相同，()99111202222P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列为X2468……1820P12212⎛⎫ ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭412⎛⎫ ⎪⎝⎭912⎛⎫ ⎪⎝⎭912⎛⎫ ⎪⎝⎭故X 的数学期望()2349911111124681820222222E X =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ．设23491111124681822222Y =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ ①则234510111111246818222222Y =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ ②①－②得2345910111111112222821822222222Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 234591011111112182222222⎛⎫=++++++-⨯ ⎪⎝⎭ 910911111122218212212⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=--81142Y =-()98981111110232042042222256E X Y =+⨯=-+⨯=-=．所以需要进行的比赛局数的数学期望为1023256．【点睛】关键点睛：本题的关键点是设比赛局数为随机变量X ，求出X 的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出()E X ，再结合错位相减法求出()E X ，即可得出答案.22.()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点．（1）结论一：动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为定值；结论二：动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为定值；从以上两结论中任选一个进行证明；（2）过点()11,0F -且斜率为正值的直线1l 交C 于点A ，过2F 且与1l 垂直的直线2l 与曲线C 交于点B ，当四边形12ABF F 在x 轴上方时，求其面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）8136249+【解析】【分析】（1）()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，根据条件列式整理即可；（2）根据（1）的结论分别求出12,AF BF ，然后表示出四边形12ABF F 的面积，利用三角变形求其最值.【小问1详解】选结论一证明，()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，022x -≤≤，所以2200143x y +=，得2200134y x =-，即2200334x y =-．动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为0000===00041422x x +===+．选结论二证明，()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，022x -≤≤所以2200143x y +=，得2200134y x =-，即2200334x y =-．动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为00===041242x x -===-；【小问2详解】过点A 作4x =-的垂线垂足为Q ，过点1F 作1F P 垂直于AQ ，垂足为P ，由（1）知112AF AQ =，所以12AF AQ =，123AP AQ PQ AF =-=-，设1AF O θ∠=，则1QAF θ∠=，111123cos cos AP AF QAF AF AF θ-∠===，得11cos 23AF AF θ⋅=-，即132cos AF θ=-，因为12AF BF ⊥，所以2π2BF O θ∠=-，同理可得232sin BF θ=-则四边形12ABF F 面积121133222cos 2sin AF BF θθ=⋅=⋅⋅--()()()919122cos 2sin 242sin cos sin cos θθθθθθ=⋅=⋅---++设sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=，且π4t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为θ为锐角，所以ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，(t ∈，所以()2214742sin cos sin cos 2422t t t t θθθθ--+-++=-+=．函数2472t t y -+=在(t ∈单调递减，当t =时，2472t t y -+=取到最小值9422-，所以四边形ABEF 面积最大值为981249+=．【点睛】关键点点睛：一：充分利用第一问的结论来解决第二问的问题；二：充分利用sin cos θθ+和sin cos θθ的关系，利用换元法求最值.。

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|15A x x =∈≤<R ，{}2|340B x x x =∈--<R ，则A B = （）A ．(]1,1-B ．()1,4-C ．[)1,4D ．[)1,52．已知复数z 满足(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部为（）A ．12B ．52C ．12-D ．52-3．已知平面向量a ，b 满足()2⋅-=a a b ，且1=a ，2=b ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．6πB ．23πC ．3πD ．56π4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A ．3B ．3C ．3D ．5．已知sin()2cos()αβαβ+=-，4tan tan 3αβ+=，则tan tan αβ⋅=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，490a a +>，110S <，则n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S 7．已知双曲线22:148x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若112F A F B =，则AB =（）A ．B ．C ．D ．48．已知函数()F x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，则下列说法正确的是（）A ．当3ω=时，()f x 在47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若12()()2f x f x -=，且12min2x x π-=，则函数()f x 的最小正周期为πC ．若()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为3D ．若()f x 在[]0,2π上恰有4个零点，则ω的取值范围为2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点(,)P x y 满足到两个定点1(,0)F a -，2(,0)(0)F a a >的距离之积为9，则下列结论正确的是（）A ．3a =B ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为[)1,+∞C ．12PF F △周长的最小值为12D ．12PF F △面积的最大值为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在等比数列{}n a 中，11a =，23464a a a ⋅⋅=，则5a =____________．13．已知函数231,0()44,0x x x f x x x⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，若y x =与()y f x =的图象相切于A 、B 两点，则直线AB的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为52．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接OB 、OD ，若12OBF ODF S S =△△，求BD 的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，13A G A D '''=，AB BC ⊥，1AB =，BC =，2BD =．（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线A B ''于点M ，求线段GM 的长；（2）若AC BD ⊥，当二面角B AC D ''--为直二面角时，求直四棱柱ABCD A B C D ''''-的体积．17．（本小题满分15分）在ABC △中，AB =，AC =，点D 在边BC 上，且BD CD =．（1）若2BAD π∠=，求BC 的长；（2）若3BAC π∠=，点E 在边AC 上，且12AE EC =，BE 与AD 交于点M ，求cos AMB ∠．18．（本小题满分17分）已知函数e ()xf x x=．（1）当0x >时，求函数()f x 的最小值；（2）设方程21()x f x x +=的所有根之和为T ，且(,1)T n n ∈+，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式()ln e 1f x ax a x ≥-+-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列012,,,,n a a a a ，即用如下方法与一个函数联系起来：2012()n n G x a a x a x a x =++++ ，则称()G x 是数列{}n a 的生成函数．例如：求方程1210100t t t =+++ 的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为210()(1)G x x x =+++ ，其中x 的指数代表(1,2,3,,10)i t i = 的值．210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ ，则非负整数解的个数为100a ．若2()1f x x x =+++ ，则23()xf x x x x =+++ ，可得(1)()1x f x -=，于是可得函数()f x 的收缩表达式为：1()1f x x=-．故101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== 根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12ki i ka =≤∑，不同的“规范01数列”个数记为m b ．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定01b =，计算1b ，2b ，3b ，4b 的值，归纳数列{}m b 的递推公式；（3）设数列{}m b 对应的生成函数为2012()m m F x b b x b x b x =+++++ ①结合()F x 与2()F x 之间的关系，推导()F x 的收缩表达式；②求数列{}m b 的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．340x y +-=14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。

2023年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 复数z在复平面内对应的点为，则( )A. 8B. 4C.D.3. 截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜图观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线图的顶点到焦点的距离为( )A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为( )A. 70B. 72C. 74D. 765.“”是“圆：与圆：有公切线”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位.现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为( )A. 96B. 120C. 144D. 2407. 设向量，满足，，若，，则向量与的夹角不等于( )A. B. C. D.8. 已知，，，则( )A. B. C. D.9. 下列说法正确的是( )A. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，20，22的第80百分位数为16B. 若随机变量，且，则C. 若随机变量，则方差D. 若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数和方差都会发生变化10. 设函数的最小正周期为，则( )A.B. 函数的图象可由函数的图象向左平移个长度单位得到C. 函数的图象关于点中心对称D. 函数在区间上单调递增11. 已知正方体的棱长为2，M，N分别是AB，的中点，则( )A.B.C. 知平面MND截此正方体所得截面的周长为D. 三棱锥的体积为312. 设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则( )A. 为偶函数B. 在上单调递减C. 在区间上有4046个零点D.13. 曲线在点处的切线的斜率为______ .14. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______ 用数字作答15. 已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，B是C的上顶点，过的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，与的周长比为，则椭圆的离心率为______ ；如果，且，则的面积为______ .16. 已知函数，则的最小值是______ .17. 的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设求C；若，求18. 植物生长调节剂是一种对植物的生长发育有调节作用的化学物质，它在生活中的应用非常广泛.例如，在蔬菜贮藏前或者贮藏期间，使用一定浓度的植物生长调节剂，可抑制萌芽，保持蔬菜新鲜，延长贮藏期.但在蔬菜上残留的一些植物生长调节剂会损害人体健康.某机构研发了一种新型植物生长调节剂A，它能延长种子、块茎的休眠，进而达到抑制萌芽的作用.为了测试它的抑制效果，高三某班进行了一次数学建模活动，研究该植物生长调节剂A对甲种子萌芽的具体影响，通过实验，收集到A的浓度与甲种子发芽率Y的数据.表一A浓度发芽率Y若直接采用实验数据画出散点图，如图1所示除了最后一个数据点外，其他各数据点均紧临坐标轴，这样的散点图给我们观察数据背后的规律造成很大的障碍，为了能够更好的观察现有数据，将其进行等价变形是一种有效的途径，通过统计研究我们引进一个中间量x，令，通过，将A浓度变量变换为A的浓度级变量，得到新的数据.表二A浓度A浓度级12345发芽率Y如图2所示新数据的散点图，1散点的分布呈现出很强的线性相关特征.请根据表中数据，建立Y关于x的经验回归方程；根据得到的经验回归方程，要想使得甲种子的发芽率不高于，估计A浓度至少要达到多少？附：对于一组数据，，…，，其经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，，证明：平面SOC；侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.20.已知等差数列的前n项和记为，满足若数列为单调递减数列，求的取值范围；若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求21. 已知点在双曲线C：上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，求双曲线C的方程；若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个多选只按先做给分，证明：直线l过定点.①；②22. 伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数且，正整数n不小于2，那么研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题.证明：当时，对任意恒成立；证明：对任意，恒成立.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，故选：可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z在复平面内对应的点为，则，故，所以故选：先求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：如图所示建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，由题意可知点在抛物线上，，解得，焦点，焦点到顶点的距离为故选：如图所示建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，由题意可知点在抛物线上，代入抛物线方程解得p，即可得出结论．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属基础题．4.【答案】B【解析】解：数列为各项均为正数的等比数列，，，设公比为q，且，，解得，舍，故，，，故选：根据已知条件求得q以及通项公式，再根据等比数列的性质即可求解结论．本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，当两圆无公切线时，则两圆内含，所以两圆的圆心距，即，解得，当两圆有公切线时，则或，故由”可以推出“圆：与圆：有公切线”，反之由“圆：与圆：有公切线”推不出“”，所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分不必要条件．故选：当两圆无公切线时，则两圆内含，求出a的取值范围，进而求出两圆有公切线时a的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．本题主要考查了圆与圆的位置关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，可分为两种情况：1，1，1，3，且甲、乙分在同一所中学，故不同的安排方法种数为，1，1，2，2，且甲、乙分在同一所中学，故不同的安排方法种数为，故甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为种，故选：根据题意，可分为两种情况：1，1，1，3和1，1，2，2，再结合甲、乙分在同一所中学，最后用分类加法计数原理计算即可．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设向量与的夹角为，，向量，满足，，，则，即，故，当时，，则，当时，不成立，当时，，则，综上所述，，所以故选：对算式两边同时平方，并对t分类讨论，即可求解．本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：令，且，则，由得，由得，由得，在上单调递增，在上单调递减，，即，，，，又，即，，在上单调递增，则，，即又，，，，故选：构造函数，且，求出可得的单调性，分别判断a与b，c与a的大小关系，即可得出答案．本题考查利用导数研究函数的单调性和运用函数单调性比较大小，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于选项A，这组数据按从小到大的顺序排列共10个数字，由可得这组数据的第80百分位数为第8个数据与第9个数据的平均数，又，即这组数据的第80百分位数为18，即选项A错误；对于选项B，随机变量，且，则，即选项B正确；对于选项C，随机变量，则，则方差，即选项C正确；对于选项D，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数会增加正数x，方差不会发生变化，即选项D错误，故选：由离散型随机变量的期望与方差，结合百分位数及正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，重点考查了百分位数及正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义，属基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数的最小正周期为，，，故A正确；把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的图象，故B错误；令，可得，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；当，，函数在区间上单调递增，故D正确，故选：由题意，利用两角差的余弦公式化简，再根据函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角差的余弦公式，函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：对A，B选项，建系如图，则根据题意可得：，，，，，，，，，，，与不平行，，选项错误，B选项正确；对C选项，如图，取的中点Q，再取QB的中点P，则易证四边形AQND为矩形，，又易知，，易得平面MND截此正方体所得截面为梯形MPND，又根据题意可得梯形MPND的周长为：，选项正确；对D选项，由C选项分析可知，到平面MPND的距离等于B到平面MPND的距离的3倍，三棱锥的体积，选项错误．故选：对A，B选项，建系，根据向量法，即可求解；对C选项，取的中点Q，再取QB的中点P，从而可得平面MND截此正方体所得截面为梯形MPND，再计算梯形各边，即可求解；对D选项，由C选项分析易得：到平面MPND的距离等于B到平面MPND的距离的3倍，从而可得，再根据锥体的体积公式，计算即可得解．本题考查向量法求解线线平行问题，向量法求解线线垂直问题，正方体的截面问题，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．12.【答案】AB【解析】解：因为的图象关于直线对称，所以将的图象向右平移个单位得的图象关于y轴对称，再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于y轴对称，即为偶函数，A正确；由题意可得当时令，则在恒成立，所以单调递减，又，所以当时，单调递增，当时，，单调递减，因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；由A可得关于对称，结合是奇函数可得，所以，即是以为周期的周期函数，因为，结合单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，又因为是定义在R上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，所以在区间上有3036个零点，C错误；因为，，，，所以，D错误；故选：利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究的单调性，结合奇函数的性质判断B，利用是奇函数和是偶函数求得的周期判断本题考查函数的性质，考查周期性，单调性，奇偶性，属于难题．13.【答案】【解析】解：的导数为，所以在点处的切线的斜率为故答案为：根据导数的几何意义与导数的运算法则即可得解．本题主要考查导数和函数的切线方程，属于中档题．14.【答案】【解析】解：展开式中奇数项二项式系数和为32，所以，所以，所以，故通项公式，整理得，令，所以，故常数项为故答案为：根据展开式中奇数项二项式系数和为32，计算n，再写出通项公式，求出常数项即可．本题考查了二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：的周长为，的周长为4a，由题意可得，可得，而，可得，即，，解得；再由，可得，，所以椭圆的方程为：，焦点，，，所以，所以直线PQ的斜率为，设直线PQ的方程为，设，，联立，整理可得：，显然，解得，，所以，所以，故答案为：；由椭圆的定义可得与的周长，可得它们之比，由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率；再由的值，可得a的值，进而由离心率的值可得c的值，再求b的值，可得，B，的坐标，求出的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，求出直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得P，Q的纵坐标，代入三角形的面积公式，可得的面积．本题考查椭圆的性质的应用及椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．16.【答案】7【解析】解：函数，，，，令，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，故的最小值是故答案为：根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，推得，再结合换元法，并利用导数研究函数的单调性，即可求解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．17.【答案】解：根据题意，由正弦定理可得，即，所以根据余弦定理及中可得根据题意，由正弦定理可得，所以，解得①，因为②，①②联立可解得或，又因为，则，，舍去，所以【解析】利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可．本题主要考查解三角形，属于中档题．18.【答案】解：，，，，；由，解得，则又，得，得，即，要想使得甲种子的发芽率不高于，估计A浓度至少要达到【解析】由已知求得与的值，即可求得Y关于x的经验回归方程；由求得x的最小值，代入，求解u值得结论．本题考查线性回归方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：设BD交OC于点M，底面ABCD为矩形，在中，，为AB的中点，，在中，，，，，，，，，即，，为等边三角形，为AB的中点，，平面平面SAB，平面SAO，平面平面，，平面ABCD，平面ABCD，，即，又，，SO，平面SOC，平面解：由E在侧棱SD上，设，底面ABCD为矩形，，平面平面SAB，平面平面，，平面以O坐标原点，过点O作平行于AD的直线为z轴，以OB和OS所在直线分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系，，为等边三角形，为AB的中点，，，，，，，设平面SCD的法向量为，，即，令，；设平面ABE的法向量为，由，可得，令，，，，平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，，整理得，或，均符合，或，综上，侧棱SD上存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，此时或，【解析】利用相似三角形和勾股定理证出，根据平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的性质，证得，根据直线和平面垂直的判定定理，证出平面SOC；根据平面与平面垂直的性质以及为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角与平面与平面的夹角公式及关系，解出的值，求出存在点E，得出或本题考查了线面垂直的证明以及两个平面的夹角计算，属于中档题．20.【答案】解：由得，，若数列为单调递减数列，则满足恒成立，即，得恒成立，解得：，则的取值范围为；根据题意数列为：1，，，，，，，，，，，，⋯，可将数列分组：第一组为：1，；第二组为：，，；第三组为：，，，；第k组为：，，，；则前k组一共有项，当时，项数为90，故相当于是前12组的和再加上，1，2，，这五项，即，可看成是数列的前12项和，【解析】利用递减数列的定义得到恒成立，即可求解；根据条件分析新数列的特征，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算，即可求解．本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得过与x轴平行的直线方程为，与两条渐近线的交点M，N的横坐标分别为，，所以，可得，设双曲线的方程为：，将代入双曲线的方程：，交点，所以双曲线的方程为：；证明：设，，因为直线AP，BP分别为，，用齐次式方程解答，设直线l的方程为，设双曲线的方程为，整理可得，将式代入，整理可得，因为直线PA，PB的斜率存在且不为0，所以，两边同时除以，整理可得：，，且可得，，若选①：，可得，可得，所以直线l的方程为，整理可得：，可得直线恒过定点；若选②：，可得，整理可得，所以可得，解得，，即直线恒过定点【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由题意可得M，N的坐标，进而可得a，b的关系，将P的坐标代入双曲线的方程，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，可得双曲线的方程；由直线PA，PB的斜率存在，用设齐次式方程解决此问题，设直线l的方程及椭圆的方程，代入整理，由直线PA，PB的斜率之和或斜率之积求出参数的关系，进而可证得直线l恒过的定点的坐标．本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合应用，齐次方程的求解运算的应用，属于中档题．22.【答案】证明：令，当时，，原不等式成立；当时，，当时，，，单调递减；当，，单调递增；所以，即；要证对任意，恒成立，只需证，即证，由知对于任意正整数，所以，那么，下面证明成立，要证成立，只需证，令即证明成立；令，则；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，所以当时，，所以，所以上面式可化为所以命题得证．【解析】构造函数，求导数，利用导数求出最小值，可证不等式；把目标式转化为证明，通过贝努利不等式放缩，构造函数，等比数列求和等可证明结论成立．本题考查了贝努利不等式放缩和等比数列求和公式，属于中档题．。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共4页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M x x x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）． A ．2 B ．23 C ．0D ．1− 2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =− ，若a b ⊥ ，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ） A ．13 B ．35C ．45D ．233．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113 B ．3713 C ．11126 D ．37264．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）A ．44B ．46C ．48D ．545．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．126．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC．D．7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z =D ．1212z z z z ⋅=⋅10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3XB n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===− D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上”C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．13．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .14．函数2e 12()e 21x x x h x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围.16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值；(2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值.18.（本小题17分） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C 交于另一点D ，且3BF FD = ． (1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围； (2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点．。

2024年河北省高三数学1月质量检测联考试卷2024年1月全卷满分150分，考试时间120分钟．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}*250,{12}A x x xB x x=∈-≤=∈-<N Z∣∣，则A B=（）A．{}0,1,2,3,4,5B．{}0,1,2C．{}1,2D．{}1,2,3,4,52．已知a∈R，若()11iz a a=-++为纯虚数，则1z+=（）C．3．设π02α-<<，若sin tan1cos2ααα=-，则sinα=（）A．45-B．35-C．3-D．13-4．已知,,a b c为不共线的平面向量，||||b c=，若0a b c++=，则b在a方向上的投影向量为（）A．14aB．14a-C．12aD．12a-5．设函数()ln(0xf x a a x a=->且1)a≠在区间()1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（）A．[)e,+∞B．)2e,⎡+∞⎣C．[)2e,+∞D．)e e,⎡+∞⎣6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为（）A．35B．2150C．611D．347．已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕着边CD旋转至,,EFCD P Q分别为线段,CE BD上的动点，且PQ CD⊥，若2AF=，则PQ的最小值为（）A．B．22C．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的离心率为2，左､右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，,B C 是E 上位于第一象限的两点，2//A B CF ，若4CF a=，则12tan A BA ∠=（）A．B．D．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知甲､乙两组数据分别为8,9,11,10,12，和,8,9,10,15a ，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（）A．甲组数据的中位数为10B．乙组数据的第75百分位数为9.5C．甲､乙两组数据的极差相同D．甲组数据的方差小于乙组数据的方差10．已知圆台上､下底面半径分别为O 的球面上，则该圆台的体积可能为（）A．7π3B．14π3C．7πD．14π11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y -+=，圆222:(5)(3)4C x y -+-=，AB 是圆1C 的一条直径，点P 在圆2C 上，设直线l 为两圆的公切线，则（）A．圆1C 和圆2C 外切B．直线l 斜率的最小值为0C．直线l 斜率的最大值为247D．PAB 面积的最大值为712．已知10,e ln e 1a aa b b ->=-，则（）A．1e b <<B．e 2e e a b>-C．1b a <+D．1ea b +<三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(0xf x a b a =+>且1)a ≠，若()()112f f --=，则=a ．14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．15．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，将()f x的图象向左平移π6个单位长度，所得函数()g x 的图象关于原点对称，且()g x 在ππ,3618⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，则ω=．16．已知椭圆2212:1,,43x y C F F +=为C 的左､右焦点，P 为C 上的一个动点（异于左右顶点），设12F PF △的外接圆面积为1S ，内切圆面积为2S ，则122S S +的最小值为．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．17．记锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos a b C c B =+．(1)求tan tan tan tan A B A B +-的值；(2)若22A C B +=，且1b =，求ABC 的面积．18．一个骰子各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为1Y，第二次正面朝上的数字为2Y ，记不超过12Y Y 的最大整数为Y ．(1)求事件“Y 0=”发生的概率，并判断事件“16Y =”与事件“Y 0=”是否为互斥事件；(2)求Y 的分布列与数学期望．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD AB ,,222CD AB AD AB CD AD ⊥===，E 在棱PB上，PD 平面AEC ，设PEEB λ=．(1)求λ；(2)若点A 到平面PBC 的距离为1，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值．20．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，且324321S S S S -=．(1)求数列n n S a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；(2)已知11a =，设1n n n S b a +=，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：212nn n T >+-．21．已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>，过焦点F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，且AB 的最小值为2．(1)求Γ的方程；(2)过F 且与l 垂直的直线交Γ于,C D 两点，设直线,AB CD 的中点分别为,M N ，过坐标原点O 作直线MN 的垂线，垂足为H ，是否存在定点P ，使得PH为定值，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．22．已知函数()22(ln )(1),f x x a x a =--∈R．(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若1x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围．1．C【分析】解出集合后再求交集即可.【详解】由250x x -≤，解得05x ≤≤，所以{}1,2,3,4,5A =，由12x -<，解得13x -<<，所以{}0,1,2B =，{}1,2⋂=A B ，故选：C．2．B【分析】根据纯虚数的定义可得1a =，进而利用复数的模长公式即可求解.【详解】由()11iz a a =-++为纯虚数，得10a -=，解得1a =，所以2i,112i z z =+=+==故选:B．3．C【分析】将切化为弦，列方程求解即可.【详解】由已知得sin tan 1cos 2ααα=-，故sin sin 1cos 2cos αααα=-，因为π02α-<<，所以sin 0α≠，故111cos 2cos αα=-，解得122cos ,sin 33αα==-，故选：C．4．D【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解.【详解】由0a b c ++= 可得()a b c=-+ ，又||||b c = ，如图所示，由平行四边形法则可得四边形ABCD 为菱形，故,BD AC 互相垂直平分，所以b 在a方向上的投影向量为12a -，故选：D．5．A【分析】根据单调性与导数的关系可得()ln 0x af x a a x -'=≥在()1,+∞上恒成立，进而即可求解.【详解】依题意，()ln 0x af x a a x -'=≥在()1,+∞上恒成立，记()()ln x a g x f x a a x ='=-，则22()(ln )0x ag x a a x '=+>在()1,+∞上恒成立，()f x '在()1,+∞上单调递增，所以只需()ln ln 10a a a a a -=-≥，解得e a ≥，故选：A．6．B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B．7．A【分析】根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据余弦定理求解120ADE ∠=，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由于,,,,CD DE CD AD DE AD D AD DE ⊥⊥⋂=⊂平面ADE ，所以CD ⊥平面ADE ，//,CD EF EF ∴⊥平面ADE ，由于2,1AF EF ==，则AE =在ADE V 中，利用余弦定理可得2221131cos 222AD DE AE ADE AD DE +-+-∠===-⋅,所以120ADE ∠=，过P 作CD 的垂线，垂足为M ，由PQ CD ⊥，,,PQ PM P PQ PM =⊂I 平面PMQ ，所以CD ⊥平面PMQ ，又QM ⊂平面PMQ ，所以QM CD ⊥，所以120PMQ ∠=，不妨设PM x =，则1QM x =-，所以由余弦定理得，PQ =，故选：A．8．D【分析】由题意4CF a=，114,6F F a FC a ==，余弦定理得1cos CFF ∠，得2tan BA F ∠，由12tan tan 3BA F BA F ∠∠⨯=，求1tan BA F ∠，最后由()1221tan tan A BA BA F BA F ∠∠∠=-求值即可.【详解】设双曲线的焦距为2c ，左焦点为1F ，离心率2ca =，则1124,426F F c a FC a a a ===+=，由余弦定理得2221(4)(4)(6)1cos 2448a a a CFF a a ∠+-==-⨯⨯，所以1tan CFF ∠=-又2//A B CF，所以2tan BA F ∠=设()00,B x y ，则10tan y BA F x a ∠=+，020tan y BA F x a ∠=-，所以2220122220tan tan 13y b BA F BA F e x a a ∠∠⨯===-=-，所以1tan BA F ∠=()21122121tan tan tan tan 1+tan tan BA F BA FA BA BA F BA F BA F BA F∠∠∠∠∠∠∠-=-===⨯，故选：D．【点睛】思路点睛：双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和122PF PF a-=，1CFF 中利用余弦定理得1cos CFF ∠，可求得2tan BA F∠，点B 坐标满足双曲线方程，可得12tan tan 3BA F BA F ∠∠⨯=，可求1tan BA F∠，利用1221A BA BA F BA F ∠∠∠=-计算即可．9．AD【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可.【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为10,A 选项正确；由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，故乙组数据的平均数也为10，故得891015105a++++=，所以8a =，又50.75 3.75⨯=，乙组数据从小到大排列为8,8,9,10,15，所以乙组数据的第75百分位数为10,B 选项错误；易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为7,C 选项错误；两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D 选项正确，故选：AD．10．AC【分析】设圆台外接球球心为O ，球心到上，下底面的距离为12,h h ，求出1h 和2h ，分O 位于上下底面之间和O 位于下底面下方即可求解.【详解】设圆台外接球球心为O ，球心到上，下底面的距离为12,h h ，则22211h +=，解得12h =，同理可得21h =，若O 位于上下底面之间，则圆台的高为123h h +=，此时圆台体积为(2213π1π27π3⨯⨯⨯+⨯=，若O 位于下底面下方，则圆台的高为121h h -=，此时圆台体积为(2217π1π1π233⨯⨯⨯+⨯=.故选：AC．11．BCD【分析】A 选项，计算出圆心距，得到1212C C r r >+，A 错误；B 选项，画出图形，得到内公切线1l 的斜率最小，计算出最小斜率；C 选项，内公切线3l的斜率最大，设其倾斜角为α，利用二倍角公式和斜率定义求出答案；D 选项，计算出17PC ≤，得到面积最大值.【详解】A 选项，221:(1)1C x y -+=的圆心为()11,0C ，半径为11r =，222:(5)(3)4C x y -+-=的圆心为()25,3C ，半径为22r =，125C C ==，因为1212C C r r >+，所以1C 和2C 外离，A 选项错误；B 选项，画出两圆如下：可以看出共有4条公切线，其中内公切线1l的斜率最小，其中1l：1y =与1C 和2C 均相切，所以直线l 斜率的最小值为0,B 正确；C 选项，由B 选项可知，1l：1y =，内公切线3l 的斜率最大，设其倾斜角为α，直线12C C 的斜率303514k -==-，即3tan 24α=，则2224tan 71tan2tan 2ααα==-，所以直线l 斜率的最大值为247．C 选项正确；D 选项，易知1122527PC C C ≤+=+=，此时12,,P C C三点共线，当1PC AB ⊥时，PAB 面积取得最大值，最大值为1772AB ⨯=，D 选项正确，故选：BCD ．12．ABD【分析】由题意可得：1ln e eab b -=-，对于A：由于0a >分析可得0ln e b b <<，运算求解即可；对于B：由题意可得e 2e e a b >-等价于e ln 2b b >-，1e b <<，构建()eln 2(1e)f x x x x =+-<<，结合导数单调性分析证明；对于C：由题意可得1b a <+可得()()11ln 1e e 0aa a -+++->，0a >，构建()()()11ln 1e e(0)x g x x x x -=+++->，结合导数单调性分析证明；对于D：由题意可得1ea b +<等价于111e e e e 0a a a a ++-++->，结合基本不等式分析判断.【详解】由题意可得：1ln e eab b -=-，对于选项A：由于0a >，则10e e e a-<-<，即0ln e b b <<，显然1b >，因为ln ,x y x y ==均在()1,∞+内单调递增，且函数值均为正值，则()ln h x x x=在()1,∞+内单调递增，且()e e h =，由0ln e b b <<解得1e b <<，A 选项正确；对于选项B：因为e2e e a b >-，等价于()1ln e e e 2e 22e a b b b b -=->--=-，即证eln 2b b >-，1e b <<，设()e ln 2(1e)f x x x x =+-<<，则()221e e 0x f x x x x '-=-=<，则()f x 在()1,e 上单调递减，则()()e 0f x f >=，B 选项正确；对于选项C：令()ln ,1x x x x ϕ=>，求导得()1ln 0x x ϕ=+>'，函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，要证1b a <+，只需()()1e e1ln 1aa a --<++，即()()11ln 1e e 0a a a -+++->，0a >，设()()()11ln 1e e(0)x g x x x x -=+++->，则()()11ln 1e xg x x -+-'=+，因为()1ln 1,e xy x y -=+=-均在()0,∞+内单调递增，则()g x '在()0,∞+内单调递增，且()()01e0,1ln20g g =-=''，可知存在()00,1x ∈使得()00g x '=，则()g x 在()00,x 上单调递减，因为()00g =，所以()00g x <，C 选项错误；对于选项D：因为,e xy x y ==均在()0,∞+内单调递增，且函数值均为正值，则e xy x =在()0,∞+内单调递增，要证1e a b +<，只需()11e e1e aa a -+-<+，即111ee e e 0a a a a ++-++->，因为11ee 2e a a +-+>=，可得1111ee e e e e 0a a a a a a ++-+++->+>，D 选项正确；故选：ABD．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．13．2【分析】根据条件得到(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即可求出a 的值.【详解】依题意，()010f b =+=，解得1b =-，又()()()11212f f f --==，所以()11f =，故()111f a b a =+=-=，解得2a =．故答案为：2.14．110【分析】由等差数列性质得6a ，结合等差数列求和公式即可求解.【详解】因为322318,6S a a ===，所以()11164211611210,111102a a a a a S a ⨯+=-====．故答案为：110.15．3【分析】根据余弦函数的性质可得πππ,62k k ω=+∈Z ，结合单调性列不等式即可求解.【详解】由题意知()()πcos ,6g x x g x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于原点对称，因此πππ,62k k ω=+∈Z ，解出63,k k ω=+∈Z ，由于()g x 在ππ,3618⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，πππππ,6366186x ωωωωωω⎛⎫+∈-+ ⎪⎝⎭，因此ππ2π,366πππ2π,186k k ωωωω⎧≤-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解出7291852k k ω+≤≤，由于k ∈Z ，所以取0k =，解得902ω<≤，又由于63,k k ω=+∈Z ，且k ∈Z ，则0,3k ω==．故答案为：316．2π【分析】当P 为短轴端点时，12F PF θ∠=最大，进而求出θ的范围，由正弦定理得外接圆的半径1sin R θ=，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到12F PF △的面积3tan2S θ=，由三角形内切圆的半径公式可得12F PF △的内切圆半径tan2r θ=，化简可得21221192πtan 2424ta 2=n S S θθ⎛⎫ ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最值即可.【详解】由于22143x y +=，所以2a =，b =122F F =，设12F PF θ∠=，当P 为短轴端点时，θ最大，此时12F PF △为等边三角形，所以π03θ<≤，设12F PF △外接圆半径为R ，则22sin R θ=，即1sin R θ=，由余弦定理得：()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-⋅=+-⋅⋅+，整理可得1261cos PF PF θ⋅=+，所以12F PF △的面积1226sincos13sin 22sin 3tan 21cos 212cos 12S PF PF θθθθθθθ=⋅===++-，故12F PF △的内切圆半径12122tan2S r PF PF F F θ==++，所以()22212212π2π2tan sin 2S S R r θθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，因为2222sin cos 2tan222sin sin cos 1tan 222θθθθθθθ==++，所以22221222(1tan )119122π2tan πtan π2π224224tan 4tan 22=S S θθθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎪⎢⎥++=++≥+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，当且仅当229tan 12=44tan 2θθ，即21tan 23θ=，即π3θ=时取等号，所以122S S +的最小值为2π．【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论：(1)椭圆焦点三角形的周长22l a c =+；(2)椭圆焦点三角形的面积2tan2S b θ=；(3)三角形外接圆的半径公式：2sin sin sin a b cRA B C ===；(4)三角形内切圆的半径公式：2Sr l =(其中S 为三角形面积，l 为周长)17．(1)1-(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可得πtan 1,,4C C ==进而根据正切的和差角求解，（2）根据正弦定理，结合面积公式即可求解.【详解】（1）由条件及正弦定理得sin sin sin sin cos A B C C B =+而πA B C ++=，所以()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B=+=+，因此sin sin sin cos B C B C =，由于π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0B C ≠≠，得πtan 1,,4C C ==因此是锐角三角形，因此tan tan A,B 均存在，所以()tan tan tan tan 1tan tan 1A B C A B A B +=-+==-，故tan tan tan tan 1A B A B +-=-；（2）由（1）可知，π4C =，则π22A B +=，且ππ4A B ++=，故5ππ,123B A ==，利用正弦定理得sin sin b c B C =，解出c =ππ21sin sin 4622B ⎛⎛⎫=+=⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故1c =-，因此ABC面积)11333sin 12224bc A =⋅⋅=⨯⨯=．18．(1)()5012P Y ==，事件“16Y =”与事件“Y 0=”为互斥事件；(2)分布列见解析，()4136E Y =【分析】（1）列举出Y 0=所包含的情况数，计算出()0P Y =，判断出事件“16Y =”与事件“Y 0=”不能同时发生，为互斥事件；（2）求出Y 的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望值.【详解】（1）当2Y 取16,Y 取值为1,2,3,4,5时，Y 0=，当2Y 取15,Y 取值为1,2,3,4时，Y 0=，当2Y 取14,Y 取值为1,2,3时，Y 0=，当2Y 取13,Y 取值为1，2时，Y 0=，当2Y 取12,Y 取值为1时，Y 0=，所以()12345506612P Y ++++===⨯，当16Y =时，261,0Y Y ≥≠，事件“16Y =”与事件“Y 0=”不能同时发生，为互斥事件；（2）Y 的取值为0,1,2,3,4,5,6，()12,Y Y 取值为()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,5,3,4,4,5,4,6,4,5,5，()()6,5,6,6时，()1211663P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()()()()2,1,4,2,5,2,6,3时，()412669P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()()3,1,6,2时，()2136618P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()4,1时，()1146636P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()5,1时，()1156636P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()6,1时，()1166636P Y ===⨯，所以Y 的分布列为Y0123456P5121319118136136136所以()511111141012345612391836363636E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19．(1)12λ=(2)14【分析】（1）利用线面平行判断线线平行，结合平行线分线段成比例分析即可.（2）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量求法处理即可.【详解】（1）连接,BD AC ，相交于O ，由AB CD 可知12DO CD OB AB ==，PD ⊂面PBD ，平面PBD 平面EAC EO =，由PD 平面AEC 可知，PD EO ，则12DO PE OB EBλ===；（2）易知45AC CAB ∠==，又2AB =，故由余弦定理得22=，解得BC =222BC AC AB +=，所以AC BC ⊥，又PA ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为PA AC A = ，AC ⊂面PAC ，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥平面PAC ，而BC ⊂面PBC ，所以面PBC ⊥面PAC ，又平面PBC ⋂平面PAC PC =，过A 作AH 垂直PC 于H ，则AH ⊥平面PBC ，所以1AH =，设PA a =，对PAC △使用等面积法可得12a=，解得a =建立空间直角坐标系如图所示，()(()()0,2,0,,1,0,0,1,1,0B P D C ，由12PE EB =，可得220,,,1,,3333E DE ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为AH ⊥平面PBC ，所以AH为平面PBC 的一个法向量，因为PA AC =，所以H 为PC的中点，所以11,222AH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设直线DE 与平面PBC 所成角为θ，则12sin 14DE AH DE AHθ⋅=⋅ ，所以直线DE 与平面PBC所成角的正弦值为14．20．(1)12n nn S a -=(2)证明见解析【分析】（1）由324321S S S S -=，得34432S S a a =，等比数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为1公比为2，可得通项；（2）由n S 与n a 的关系，求出{}n b的通项，通过放缩法证明不等式.【详解】（1）n S 为数列{}n a 的前n 项和，324321S S S S -=，则有()44334321S a S a S S ---=，所以34432S S a a =，等比数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公比为2，又111S a =，所以12n n n S a -=；（2）证明：由（1）知，12n n n S a -=⋅，当2n ≥时，2112n n n S a ---=⋅，所以121122n n n n n n n a S S a a ----=-=⋅-⋅，所以2112,221n n n n a n a ---=≥-，则()2111211211112122212212nn n n n n n n nn n S a b a a -++-+⋅⎛⎫====++>+ ⎪--⎝⎭，因此()011122222122n n n n n nT b b b -=+++>++++=+- ．21．(1)22y x =(2)存在定点3,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得PH为定值34【分析】（1）设出直线:2pAB x my =+，联立抛物线方程，求出()2212AB p m p =+≥，得到1p =，求出答案；（2）在（1）的基础上，得到21,2M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2111,2N m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得到直线MN 的方程，得到直线MN 过定点3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，H 在以OQ 为直径的圆上，所以存在定点3,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得PH为定值34．【详解】（1）当直线l 的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立可得2220y pmy p --=，设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,2y y pm y y p +==-，所以()2122122AB y p m p =-==+≥=，所以1p =，所以Γ的方程为22y x =．（2）由（1）可知，()2221212212121221,22442y y y y y y x x y y m m +-+++====+，所以21,2M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2111,2N m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以直线MN 斜率为222111m mm m m m +=--，所以直线221:12m MN y x m m m ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭，即2312m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以直线MN 过定点3,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为OH ⊥MN ，所以H 在以OQ 为直径的圆上，取OQ 的中点P ，则12PH OQ =为定值，所以存在定点3,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得PH为定值34．【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)()f x 在()0,∞+上单调递减(2)(),1a ∈-∞【分析】（1）求导，构造函数()2ln g x x x x=-+，利用导数求解单调性即可求解，（2）求导，结合分类讨论求解函数的单调性，即可结合极值点的定义求解.【详解】（1）当1a =时，()()()22ln 221ln x f x x x x xx x =--=-+'，设()2ln g x x x x=-+，则()()()211121x x g x x x x -+-=-+='，所以当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，当1x =时，()g x 取得极大值()10g =，所以()()10g x g ≤=，所以()()0,f x f x '≤在()0,∞+上单调递减；（2）()()()22ln 221ln x f x a x x ax ax x x '=--=-+，设()2ln h x x ax ax =-+，则()21212ax ax h x ax a x x -++=-+='，（i）当a<0时，二次函数()221F x ax ax =-++开口向上，对称轴为21,Δ84x a a ==+，当80a -≤<时，()()2Δ80,0,a a F x h x =+≤≥单调递增，因为()10h =，所以当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点．当8a <-时，2Δ80a a =+>，又()10,1104F F a ⎛⎫<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00F x =，所以当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x h x >单调递增，又()10h =，所以当()0,1x x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点；（ii）当0a =时，()2ln xf x x ='，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点；（iii）当01a <<时，()221F x ax ax =-++开口向下，对称轴为21,Δ804x a a ==+>，此时()110F a =->，故()01,x ∞∃∈+，使()00F x =，当01,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,0F x h x '>>，因此()h x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()10h =，当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当()01,x x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，所以1x =为()f x 的极小值点；（iv）当1a >时，()01110,,14F a x ⎛⎫=-<∃∈ ⎪⎝⎭，使()00F x =，当()0,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x '<<，因此()h x 在()0,x +∞上单调递减，又()10h =，当()0,1x x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以1x =为()f x 的极大值点；（v）当1a =时，由（1）知1x =非极小值点．综上所述，(),1a ∈-∞．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.。

河北省石家庄市2024年数学（高考）统编版质量检测(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题若，则的值为（）A．B．C．D．第(3)题复数的虚部是（）A．1012B．1011C．D．第(4)题已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（）A ．点E在定直线上B．点E在定直线上C ．点E在定直线上D．点E在定直线上第(5)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的离心率为（）A．B．2C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A．30B．60C．120D．180第(8)题是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）A．若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为B．若AP=，则点P的轨迹长度为C．若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是D．若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是第(2)题已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）A．B．C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是-1第(3)题某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，甲同学更靠后D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。