高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.1 不等关系与不等式

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

第一节不等关系与不等式【最新考纲】1。

了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式（组）的实际背景．1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1）a〉b⇔a－b>0;（2)a＝b⇔a－b＝0；（3）a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1）对称性：a>b⇔b<a；（双向性）（2)传递性：a>b，b>c⇒a〉c；(单向性）（3)可加性:a>b⇔a＋c>b＋c;(双向性)a>b,c〉d⇒a＋c〉b＋d；(单向性)（4)可乘性：a〉b，c〉0⇒ac>bc；a〉b，c<0⇒ac〈bc；a〉b〉0，c>d>0⇒ac〉bd；(单向性)(5）乘方法则:a〉b〉0⇒a n>b n（n∈N，n≥2）；（单向性）(6）开方法则：a>b>0⇒错误!〉错误!(n∈N，n≥2)；(单向性）(7)倒数性质：设ab>0,则a<b⇔错误!〉错误!。

（双向性)1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b,a〈b三种关系中的一种．( )(2)ac2〉bc2⇔a〉b.（)(3）a〉b⇔a3〉b3。

（）(4）若ab>0,则a〉b⇔错误!〈错误!。

( ）答案：(1）√（2）×（3）√(4）√2．(2016·东莞一模）设a，b∈R，若a＋|b｜〈0，则下列不等式中正确的是（)A．a－b>0 B．a3＋b3〉0C．a2－b2〈0 D．a＋b〈0解析：当b≥0时，a＋b〈0，当b<0时，a－b<0,∴a〈b〈0，∴a＋b<0.答案：D3．设a，b,c∈R，且a〉b，则( )A．ac>bc B.错误!〈错误!C．a2〉b2D．a3〉b3解析：当c〈0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，因y＝x3是增函数,D正确．答案：D4．如图所示，以x＋y为边长的正方形的面积与阴影部分的面积的大小关系描述正确的是（）A．（x＋y)2〉2xy B．(x＋y)2≥4xyC．(x＋y)2>4xy D．(x＋y)2≥2xy解析：直观得出（x＋y）2>4xy,但x＝y时，(x＋y)2＝4xy。

第六章§1：不等关系与不等式(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“a ＋c>b ＋d ”是“a>b 且c>d ”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知a ，b 满足0<a<b<1，下列不等式中成立的是A ．a a <b bB ．a a <b aC ．b b <a bD ．b b >b a 3．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是A ．ab(a －b)<0B ．1a －b >1bC ．－a>－bD ．a 2>ab4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定5．设[x]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为______． 7．某高校在2011年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b 名学生，则新生占学生的比例______(填“变大”“变小”或“不变”)，其理论依据用数学关系式表达为____________．8．已知三个不等式：①ab>0，②c a >db ，③bc>ad ，以其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成______个正确命题．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知0<α－β<π2，π2<α＋2β<32π，求α＋β的取值范围．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购粮方式也不同，其中，甲每次买1 000 kg 粮食，乙每次消费1 000元买粮食．若两次购粮价格分别为m ，n 元/kg 且m ≠n.(1)求两人购粮均价分别是多少？ (2)谁的购粮方式更合算？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：∵a ＋c>b ＋dD ⇒/a>b 且c>d ，∴充分性不成立．∵a>b 且c>d ⇒a ＋c>b ＋d ，∴必要性成立，故选A 项． 答案：A2．解析：取特殊值法．令a ＝14，b ＝12，则a a ＝(14)14＝(12)12，b b ＝(12)12，∴A 项错．a b ＝(14)12<(12)12＝b b ，∴C 项错．b b ＝(12)12<(12)14＝b a ，∴D 项错．b a ＝(12)14>(12)12＝a a ，∴B 项正确．答案：B3．解析：取a ＝－3，b ＝－2代入检验知B 项不成立．答案：B4．解析：设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则 T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s2b ＝s·a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ，则2t ＝2sa ＋b， ∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b＝s·(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B 项．答案：B5．解析：∵[x －3]＝[x]－3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13y ＝4[x －3]＋5，得[x]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x<21，∴93<x ＋y<94，故选D 项． 答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a ＝5－12∈(0,1)，∴函数f(x)＝a x 为R 上的减函数．又∵f(m)>f(n)，∴m<n. 答案：m<n7．解析：补录前比例为nm ，补录后比例为n ＋b m ＋b ，n ＋b m ＋b －n m ＝mn ＋mb －mn －nb (m ＋b )m ＝(m －n )b (m ＋b )m.由已知m>n>0，b>0，∴(m －n )b (m ＋b )m >0，∴n ＋b m ＋b >nm .∴比例变大．答案：变大n m <n ＋bm ＋b(m>n>0，b>0) 8．解析：由不等式性质，得⎭⎪⎬⎪⎫ab>0c a >d b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ab>0bc －ad ab >0⇒bc>ad ；⎭⎬⎫ab>0bc>ad ⇒c a >db；⎭⎪⎬⎪⎫c a >d b bc>ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫bc －ad ab >0bc>ad ⇒ab>0.故填3.答案：3三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：设α＋β＝A(α－β)＋B(α＋2β)＝(A ＋B)α＋(2B －A)β.∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝12B －A ＝1，∴⎩⎨⎧B ＝23A ＝13.∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)．∵α－β∈(0，π2)，∴13(α－β)∈(0，π6)．∵α＋2β∈(π2，32π)，∴23(α＋2β)∈(π3，π)．∴α＋β∈(π3，76π)．∴α＋β的取值范围是(π3，76π)．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)甲购粮均价为a ＝1 000m ＋1 000n 2 000＝m ＋n2 元/kg ；乙购粮均价为b ＝ 2 0001 000m ＋1 000n ＝2mnm ＋n元/kg.(2)由(1)知，a －b ＝m ＋n 2－2mn m ＋n ＝(m －n )22(m ＋n ).∵m ≠n ， ∴a －b>0.∴a>b ，说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高．因此乙的购粮方式更合算．。

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式一、不等关系与不等式（一）应用不等式表示不等关系 ※相关链接※1、将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。

常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义。

※例题解析※〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车。

根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。

思路解析：把握关键点，不超过1000万元，且A 、B 两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围。

解答：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则 ,.,,+≤+≤⎧⎧⎪⎪≥≥⎪⎪⎨⎨≥≥⎪⎪⎪⎪∈∈⎩⎩40x 90y 10004x 9y 100x 5x 5y 6y 6x y Nx y N（二）比较大小 ※相关链接※比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。

1、“作差法”的一般步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断符号；（4）得出结论。

用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法。

常用的结论有，，等。

当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差。

2、作商法的一般步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）得出结论。

注：当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论，如：，；3、特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.※例题解析※〖例〗（1）（2012·南平模拟）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( )()()()l ++-22a bb A a 1b 1B 1a11C g a b 0D 33（）＞（）＜（）＞（）＜(2)已知a 1,a 2∈(0,1)，记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1，则M 与N 的大小关 系是( )（A ）M ＜N （B ）M ＞N （）M=N （D ）不确定 （3）已知a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小.【方法诠释】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法求 解.(3)利用作商法求解判断. 解析：(1)选D.令,=-1a 2b=-1,则A 、B 、均不成立，故选D. (2)选B.∵M-N=a 1a 2-a 1-a 2+1=a 1(a 2-1)-(a 2-1) =(a 1-1)(a 2-1) 又a 1,a 2∈(0,1)，故(a 1-1)(a 2-1)＞0,故M ＞N.(3)∵()---==a b a b a bb a a b a b a a a b b b，又a ＞b ＞0,故,a1b＞a-b ＞0,∴(),-a ba 1b＞即,a b b a a b 1a b ＞又a b b a ＞0,∴a a b b ＞a b b a ,∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b ＞a b b a .（三）不等式性质的应用〖例〗（1）（2011·浙江高考）若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ()充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（2）已知函数f(x)=ax 2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(-2)的取值范围.【方法诠释】(1)利用不等式的基本性质进行判断.(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.解析：(1)选A.0＜ab ＜1可分为两种情况:当a ＞0,b ＞0时，由0＜ab ＜1两边同除以b 可得;1a b＜当a ＜0,b ＜0时，两边同除以a 可得.1b a ＞∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的充分条件，反之，当11a b b a ＜或＞时，可能有ab ＜0,∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的不必要条件，故应为充分不必要条件.(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m 、n 为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得+==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩m n 4m 3n m 2n 1，解得，∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10. 方法二:()()()()()(),,..⎧=-+⎪-=-⎧⎪⎪⎨⎨=+⎪⎪⎩=--⎪⎩1a f 1f 1f 1a b 21f 1a b b f 1f 12［］即［］ ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即5≤f(-2)≤10.（四）不等式的证明〖例〗已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)≥425。

第六章 第一节 不等关系与不等式一、选择题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．a －b >0 B ．a ＋b >0 C ．a 2－b 2>0D ．a 3＋b 3<0解析：由b >|a |，可得－b <a <b .由a <b ，可得a －b <0，所以选项A 错误．由－b <a ，可得a ＋b >0，所以选项B 正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项C 错误．由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项D 错误．答案：B2．(2011·天津高考)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．若a >b ，则下列不等式正确的是 ( ) A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3为增函数，若a >b ，则a 3>b 3.答案：B4．(2012·枣庄模拟)设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a >0，b >0，a <b ，∴1a >1b ，由不等式的性质a －1a <b －1b.∴由a <b 可得出a －1a <b －1b；当a －1a b －1b 时，可得(a －b )－(1a －1b，即(a －b )(1＋1ab)<0.又∵a >0，b >0，∴a －b <0.∴a <b ，故由a －1a b －1b可得出a <b .∴“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的充要条件．答案：C5．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0＜a ＜1b，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab 1＋a 1＋b 0.答案：A6．若x >y >1，且0<a <1，则①a x <a y ；②log a x >log a y ；③x －a >y －a；④log x a <log y a . 其中不成立的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y ，log a x <log a y ，故①成立，②不成立．x a >y a >0，∴x －a <y －a ，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y .即log x a >log y a ，∴④也不成立． 答案：C 二、填空题7．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b2＋b a2－(1a ＋1b)＝a －b b2＋b －a a2＝(a －b )(1b 2－1a 2)＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴a ＋b a －b 2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b8．以下四个不等式：①a <0<b ，②b <a <0，③b <0<a ，④0<b <a ，其中是1a <1b成立的充分条件有________．解析：a <0<b ⇒1a <1b ，但1a <1ba <0<b ，故①符合要求；b <a <0⇒1a <1b ，但1a <1b b <a <0，故②符合要求；b <0<a1a <1b ，因此③不是1a <1b成立的充分条件；0<b <a ⇒1a <1b0<b <a ，因此④正确．答案：①②④9．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2， ∴－π＜α＋β＜π，∴－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π. ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.答案：(－π2，π2) [－π2，0) 三、解答题10．比较x 3与x 2－x ＋1的大小．解：x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)． ∵x 2＋1>0，∴当x >1时，(x －1)(x 2＋1)>0，即x 3>x 2－x ＋1； 当x ＝1时，(x －1)(x 2＋1)＝0，即x 3＝x 2－x ＋1； 当x <1时，(x －1)(x 2＋1)<0，即x 3<x 2－x ＋1. 11．若a >b >0，c <d <0，e <0， 求证：e a －c 2>e b －d 2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2.12．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，求x 3y4的最大值．解：法一：由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9， 令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2， 即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y4的最大值是27. 法二：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.。