一道不等式题的最佳改进的探究历程_李多敏

一道高考压轴小题的多解探究与反思
在高考压轴小题中，有一道多解题引发了考生的热议和反思。

这道题的题干是“某公司从事餐饮业，日销售额达6万，该公司的年销售额最少是多少？”。

对于这道题目，不同的考生可能会有不同的解法和思路。

其中，一种常见的思路是根据年销售额和日销售额之间的关系，进行计算和推导。

具体来说，可以将一年分成365天，再将总销售额除以365天，得到每天的平均销售额，最后将平均销售额乘以30天（一个月的平均天数）即可得到月销售额，再将月销售额乘以12个月即可得到年销售额。

按照这种思路，可以得到的答案是6万 x 365 = 2190万。

然而，这种计算方法并不是唯一的解法。

事实上，这道题目还可以有其他的解法和思路。

例如，可以通过估算和逻辑推断来得到答案。

具体来说，可以考虑该公司的销售额是否可能比6万更低，例如可能有某些时间段销售额较低，或者某些门店销售额较低等等。

在这种情况下，可以通过逻辑推断和估算，得出一个较为接近实际的年销售额。

按照这种思路，可以得到的答案可能是1000万、1500万等等。

综上所述，这道高考压轴小题的多解探究与反思，不仅体现了高考题目中的多样性和灵活性，也体现了考生思维和解题能力的多元和多样性。

因此，我们需要更加注重培养考生的创新思维和多元解题能力，鼓励考生在解题过程中，积极探索和发掘不同的解题思路和方法。

同时，我们也需要反思和审视高考题目的设计和出题标准，更加重视题目的灵活性、多样性和实用性，让高考真正成为一个能够体现学生
综合素质和创新能力的评价体系。

含脊优化问题的变换坐标改进优化算法1李春明中国石油大学（华东）机电工程学院，山东东营 (257061)E-mail ：lchming@ , mingming000111@摘 要：采用加固围墙的内点惩罚函数法和传统的外点惩罚函数法，研究了约束优化问题的求解。

针对惩罚函数法的序列无约束优化问题含有脊的特点，提出了基于坐标变换的无约束优化改进算法，适合于坐标轮换法、模式搜索法、Powell 法等无须计算梯度值的方法。

对含等式约束和不等式约束的优化问题进行了计算。

计算结果表明（1）如采用变换坐标改进优化算法则可寻得含脊优化问题的真最优点，否则易寻得伪最优点；（2）一维盲人探路优化方法是一种有效的一维寻优方法；（3）加固围墙的内点惩罚函数法对初始点没有特殊要求，比传统的内点惩罚函数法具有更广的适用范围。

关键词：机械优化设计，加固围墙的内点惩罚函数法，脊，坐标变换，教学 中图分类号：TH1221．引言多数优化问题具有约束条件，其优化求解方法有直接解法和间接解法两类。

典型的间接解法之一是惩罚函数法，包括内点式和外点式两种形式，均是通过求解序列含脊无约束优化问题寻得最优点。

有些优化问题本身就含有脊。

当脊线两侧目标函数等值线的切线之间不包含坐标轴时，如采用坐标轮换法、模式搜索法、Powell 法等利用坐标轴方向确定寻优方向的无约束优化方法求解，则通常会寻得伪最优点。

在教学实践和研究实践中，这一问题通常被忽略。

本文通过采用加固围墙的内点惩罚函数法和传统的外点惩罚函数法求解含等式和不等式约束的优化问题算例研究该问题。

约束优化问题的一般形式为[1]：m in (),..()01,2,,()01,2,,nj k f Rs t g j m h k l∈⊂≥===""可行域x x x x惩罚函数法是约束优化问题的常用间接处理方法，其基本思想是把一个有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题求解，使其序列最优点收敛于原约束优化问题的最优点。

２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀从多个角度寻找证明不等式的思路◉西华师范大学㊀李㊀倩㊀冯长焕㊀㊀摘要:数学是一门非常灵活的学科,随着知识和经验的积累,同一道数学题目可以从不同的角度进行思考,往往可以得到多种解题方法．多种方法的探讨不仅能拓宽中学生的解题思路,而且还有助于培养发散性思维能力,避免思维定式．由此可见,在中学课堂上,提倡和开展 一题多解 的训练是很有必要的．本文中以一道不等式证明题为例从多个角度出发,寻找解题的思路方法,从而培养中学生的创造性能力．关键词:中学数学;不等式证明;多角度解题１原题呈现题目㊀如果a ,b ,c 均为正数,则a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２．该不等式中有三个变量,因此本题属于三变量不等式证明题．首先应该仔细观察该不等式的特点㊁左右两边变量的关系,然后将其进行合理的变形㊁转化,进而证明不等式．２解法探寻在不等式求解的过程中,当不等式两边出现复杂的关系式时,要尽量向相对简单的关系式转化,这样有助于找到二者之间的关系,从而通过关系式的整合找到解题思路．因此,现探讨如下思路．思路一:观察左右两边,左边存在b ＋c ,a ＋b ,a ＋c 的组合关系式,为消去左边分母,对左边关系式进行转化．观察到不等式左边每一项都含有分母,因此需要针对每一项进行变形以消去分母．在原不等式的基础上进行变形㊁转化,在不等式x ＋y ２ȡx y (注:x ＞０,y ＞０,当且仅当x ＝y 时,等号成立)的基础上进行延伸,在解题的过程中进行及时的调整．证明:由不等式x ＋y ２ȡx y ,得a ２b ＋c ＋b ＋c４＋b ２a ＋c ＋a ＋c ４＋c ２a ＋b ＋a ＋b４ȡ２a ２b ＋c b ＋c４＋２b ２a ＋c a ＋c ４＋２c ２a ＋b a ＋b４＝a ＋b ＋c ,当且仅当a ＝b ＝c ,等号成立．所以有a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ＋a ＋b ＋c２ȡa ＋b ＋c ．整理,得a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．思路二:对含有分母的项进行调整．在使用基本不等式时,通过观察不等式的和㊁积之间的关系,先将a ２b ＋c 调整为４a ２b ＋c ,将b ２a ＋c 调整为４b２a ＋c ,将c ２a ＋b 调整为４c２a ＋b,同时为保证其值不发生变化,在不等式左边加上相应的项,然后使用不等式x ＋y ２ȡx y(x ＞０,y ＞０,当且仅当x ＝y 时等号成立),从而证明原不等式成立．证明:由基本不等式,可得４a ２b ＋c ＋４b ２a ＋c ＋４c２a ＋b＋(b ＋c )＋(a ＋c )＋(a ＋b )ȡ４(a ＋b ＋c )．因此４ˑ(a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c２a ＋b)ȡ２(a ＋b ＋c ),从而有a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．１８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀思路三:利用柯西不等式证明不等式成立．柯西不等式是将两数列中 各项积的和 与 和的积 巧妙地结合在一起,在排列上规律明显,具有简洁㊁对称㊁和谐的美感,在解决不等式证明问题时,可以联想柯西不等式．柯西Ｇ施瓦茨不等式:若a １,a ２, ,a n 和b １,b ２, ,b n 是任意实数,则有(ðn k ＝１a kb k)２ɤ(ðn k ＝１a ２k) (ðnk ＝１b ２k)．于是有(a ２１＋a ２２＋a ２３)(b ２１＋b ２２＋b ２３)ȡ(a １b １＋a ２b ２＋a ３b ３)２,当且仅当b i ＝０(i ＝１,２,３)或存在一个数k ,使得a i ＝k b i (i ＝１,２,３)时,等号成立．证明:由柯栖不等式,得(ab ＋c)２＋(ba ＋c)２＋(cb ＋a )２éëêêùûúú (b ＋c )２＋(a ＋c )２＋(b ＋a )２]ȡ(a ＋b ＋c )２,当且仅当a b ＋c ＝b a ＋c ＝ca ＋b时,等号成立．所以有２a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b éëêêùûúú(a ＋b ＋c )ȡ(a ＋b ＋c )２．故a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．思路四:利用向量证明不等式．向量作为高中数学的重要知识点,不仅可以给学生带来新的认识,还可以为解题提供新的思路．证明不等式时,经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理,否则会很难证明．运用向量知识可以将问题简单化,容易证明结果．柯西不等式是利用向量证明的,由此为解决该问题提供了新的思路与方法．设向量m ң＝(b ＋c ,a ＋c ,b ＋a ),n ң＝(ab ＋c,ba ＋c,cb ＋a),其夹角为φ,由向量夹角公式,可得m ң n ң＝|m ң| |n ң|c o s φ．由于向量夹角的范围为[０,π],０ɤc o s ２φɤ１,则有(m ң n ң)２＝mң２nң２c o s ２φɤmң２nң２,从而证得原不等式．证明:令m ң＝(b ＋c ,a ＋c ,b ＋a ),n ң＝(a b ＋c,b a ＋c,c b ＋a)．于是,有㊀(a ＋b ＋c )２＝(m ңn ң)２ɤmң２nң２＝[(b ＋c )＋(a ＋c )＋(a ＋b )](a ２b ＋c ＋b２a ＋c＋c ２a ＋b)＝２(a ＋b ＋c )(a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c２a ＋b)．故a ２b ＋c ＋b ２a ＋c ＋c ２a ＋b ȡa ＋b ＋c２,即原不等式成立．我们从四种角度出发,得到了四种不同的解题思路．在解题时,从多种角度考虑问题,可以帮助学生培养创造性思维．创造性思维的核心是发散性思维．发散性思维方式是指遇到问题时,能从多角度㊁多层面㊁多结构去思考㊁寻找答案,既不受现有知识的限制,也不受传统方法的束缚．当然,也可以利用数学中的函数㊁方程㊁几何等知识寻找新的解题思路与方法．在面对问题时,首先弄清问题是什么,抓住关键信息㊁图或者表;其次是多寻找几个解题的突破口,拟定一个解题计划;再次是对问题进行解决㊁证明;最后是检验解题过程与方法,并反思该方法是否可以解决这一类问题．思路一和思路二相对来说是学生比较熟悉的,用得比较多的方法;思路三利用柯西Ｇ施瓦茨不等式是能最快解决问题的方法;思路四利用空间向量解决该问题是很灵活的方式,但同时也有一定的局限性．要解决一道题目,经常会遇到各种各样的问题,其原因可能有很多,如找不到切入点㊁知识掌握不牢固㊁解决方法不恰当㊁审题不细致等．因此,教师在课堂教学中,要激发学生主动解题的兴趣,启发学生的发散性思维,引导学生从多角度考虑问题．每当学生想出一种解题方法,教师应该给予肯定和鼓励．通过一题多解可以有效地提高解决数学问题的效率,学生可以根据自己所熟悉的知识选择适合自己的思路来解决问题．Z２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

微专题深度分析系列05----不等式求最值（惠州市2016届高三第三次调研考试）设实数,x y 满足条件203600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ）答案：A A ． B ． C ． D ． 由线性规划可得：236,(0,0)a b a b +=>>，辨析：120,0,623963a b a b ab ab >>∴=+≥⇒≥⇒≥，234a b +≥≥，则23a b +的最小值为4 错因：不能取到等号，总结不等式求最值的操作程序：①构建变量与常数的不等式；②验证相等法一（调和均值）：2323()()32a b a b a b +=++2332a b b a =+++132566≥+=，当且仅当65a b ==时，取等号，则23a b +的最小值为256. 法二（三角消元）：0,0,236132a b a b a b >>+=⇔+=，可设223cos ,2sin a b θθ==，则2223233cos 2sin a b θθ+=+方案一：222222222234sin 9cos 45cos 3cos 2sin 6sin cos 6(1cos )cos θθθθθθθθθ+++==⋅-，设22445cos cos 5t t θθ-=+⇒=， 则原式2525366(9)(4)6(13)t t t t t==----+，则3612t t +≥，当且仅当6t =时，取“=”，故65a b ==时，23a b +的最小值为256. 方案二：222222222222232(sin cos )3(sin cos )132sin 3cos 25663cos 2sin 3cos 2sin 3cos 2sin θθθθθθθθθθθθ+++=+=++≥，当且仅当222sin 3cos θθ=时，取“=”，故65a b ==时，23a b +的最小值为256. 法三（代数消元）：620,0,2360033a a b a b b a ->>+=⇔=>⇒<<，则23291252(3)2(3)a ab a a a a ++=+=--， 设121255t a t a -+=⇒=⇒212525252(3)2(12)(27)182(39)a t a a t t t t +==-----+，则21836t t +≥，当且仅当18t =时，256831134取“=”，故65a b ==时，23a b +的最小值为256. 法四（和与积的不等互化）：设23230(2)30(2)3(2)6t tab b a b ta a tb ta ta a b+=⇒--=⇒--=⇒---= (2)(3)6ta tb ⇒--=，233202030ta t ta tb a b b a-+=⇒=>⇒->⇒->，则有6=23a b +⇒256=236132(2)+3(3)613126t ta tb t ta tb t t +⇒-=--≥⇒-≥⇒≥， 当且仅当2(2)3(3)ta tb -=-时，取“=”（15106,236b a a b -=+=），故65a b ==时，23a b +的最小值为256. 法五（判别式构建不等式）：620,0,2360033a a b a b b a ->>+=⇔=>⇒<<，设2323t tab b a a b+=⇒=+ ⇒222252(56)120(56)960361562506ta t a t t t t t +-+=⇒∆=--≥⇒-+≥⇒≥或16t ≤（方程为负根，故舍） 当且仅当65a b ==时，23a b +的最小值为256. 法六（数形结合）：以,a b 分别为横纵坐标，则有：0,0,236a b a b >>+=表示不含端点的线段，设2332a t b a b ta +=⇒=-表示以点23(,)t t为对称中心的反比例型曲线（双曲线），则双曲线与线段有交点，当且仅当线段与双曲线相切时，t 有最小值，则有22252(56)120(56)9606ta t a t t t +-+=⇒∆=--=⇒=或16t =，当256t =时，65a b ==；适合题意；当16t =时，16a =-；不适合题意； 所以当且仅当65a b ==时，23a b +的最小值为256. 点评：不等式求最值的程序：①构建变量与常数的不等式；②验证相等。

关于含字母参数的不等式问题的解法山东省诸城繁华中学数学组李玉莲含字母参数的不等式问题是高中数学中的难点之一，也是近年来高考常见题型。

这类问题最突出的特点即难点是不等式中含字母参数，解题过程具有一定的深度和难度。

在历年来的高考题的分析中，常见这类问题的失分率偏高。

造成失分原因，除对不等式的性质掌握不够外，主要是对参数的讨论不够全面。

因为这类问题的常规解题思路是就字母分区间讨论来解不等式，往往是思路易想，实施颇难，许多同学往往忽略字母参数的出现，重复或遗漏的情况不免出现。

本文通过实例就解这类问题的方法进行初步探讨，总结了含字母参数的不等式问题的求解策略和思想方法，主要是五个方面进行了讨论：利用特殊函数（一、二次代数函数）的单调性；分离参数法；函数最值法；数形结合法及化不等为相等的方法。

各种解题方法紧紧扣住“参数”这一关键词来进行解题设计，再准确运用不等式的诸多性质，从而达到了解题的目的。

1、 主要内容含字母参数的不等式问题是难度大且又地位重要的内容，熟悉、掌握若干基本方法，是解决这类问题的前提。

一、 根据一次函数和二次函数的单调性函数、不等式是高中数学的核心内容，它们联系密切，覆盖面广，综合性大，尤其含字母参数的不等式问题更感棘手。

解决这方面的不等式问题往往根据函数的单调性，下面分别利用一次函数、二次函数的性质来讲：㈠利用一次函数的单调性一次函数b ax x f y +==)(在],[n m x ∈上恒大于零的充要条件是⎩⎨⎧>=00b a 或⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或⎩⎨⎧><0)(0n f a 或等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，b ax x f y +==)(在],[n m x ∈上恒小于零的充要条件是⎩⎨⎧<=00b a 或⎩⎨⎧<>0)(0n f a 或⎩⎨⎧<<0)(0m f a 或等价于⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f说明：在不等式恒成立的问题中，若主元（或参数）能变为一次的形式，则可利用一次函数的性质。