20届高考数学(理)二轮复习 第5部分 [80分] 12+4标准练(二)

2019-2020年高三数学二轮复习高考小题标准练五理新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R，集合A=，则A等于( )A.(-∞，0]B.[2，+∞)C.[0，2]D.(-∞，0]∪[2，+∞)【解析】选D.依题意得A={x|0<x<2}，因此A=(-∞，0]∪[2，+∞).2.已知z=1-i(i是虚数单位)，则+z2=( )A.2B.2iC.2+4iD.2-4i【解析】选A.由题意可得，+z2=+(1-i)2=-2i=2.3.已知<α<π，sinα=，则tanα=( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选D.由题意得cosα=-=-，所以tanα==-2.4.命题p：“a=-2”是命题q：“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+12=0，即a=-2，因此选A.5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里【解析】选C.记每天走的路程里数为{a n}，易知{a n}是公比q=的等比数列，s6=378，s6==378，所以a1=192，所以a6=192×=6.6.设n=4sinxdx，则二项式的展开式的常数项是( )A.12B.6C.4D.1【解析】选B.因为n=4sinxdx=-4cosx=-4=4，所以二项式展开式的通项公式为T r+1=·x4-r·=(-1)r··x4-2r；令4-2r=0，解得r=2，所以展开式的常数项是T2+1=(-1)2·=6.7.在△ABC中，D为BC的中点，O在AD上且AO=AD，AB=2，AC=6，则·=( )A.2B.5C.D.4【解析】选D.由题意可知===(+)，又=-，所以·=(-)·(+)=(-)=(36-4)=4.8.如图所示的程序框图中，e是自然对数的底数，则输出的i的值为(参考数值：lnxx≈7.609)( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.由e i≥xx得i≥lnxx，而lnxx≈7.609，则输出的i的值为8.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.πa3【解析】选 A.由三视图可知该几何体为一个圆锥的，其中圆锥的底面圆的半径为a，高为2a，所以该几何体的体积V=×πa2×2a×=.10.已知椭圆C：+=1，点M(2，1)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，则△AOB的面积的最大值为( )A.1B.C.2D.2【解析】选C.由直线l∥OM，可设直线l的方程为y=x+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得，x2+2mx+2m2-4=0，则Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0，即m∈(-2，2)且m≠0，x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，所以S△AOB=|m|·|x1-x2|=|m|·=|m|=≤=2，当且仅当m2=4-m2，即m=±时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为2.11.已知点M(x，y)为平面区域内的动点，则(x+1)2+(y+1)2的最大值是( )A.10B.C.D.13【解析】选D.不等式组对应的平面区域是四边形区域，(x+1)2+(y+1)2的几何意义是点(x，y)到点(-1，-1)的距离的平方，由图可知，当点(x，y)为点(1，2)时，(x+1)2+(y+1)2取得最大值13.12.已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*)，且{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.由已知可得1-2a<0，0<a<1，且a12=17-24a>a13=1，解得<a<.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围是__________.【解析】由题意可知f′(x)=e x-m，存在x使得e x-m=-2有解，则m=e x+2有解，e x+2>2，知m>2成立.答案：(2，+∞)14.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-a，1)，B(a，-1)且a>0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最大值为________.【解析】当∠APB=90°时，点P的轨迹是以AB为直径的圆O，由题意可得圆C与圆O有公共点，O(0，0)为AB的中点，圆O的半径为，所以|CO|=5∈[-1，+1]，解得4≤≤6，15≤a2≤35，a>0，则≤a≤，即a的最大值是.答案：15.已知四面体ABCD满足AB=CD=，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是__________.【解析】在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE，AC=AD=BC=BD=2，则AE⊥CD，BE⊥CD，在Rt△AED中CD=，所以AE=，同理BE=，取AB的中点为F，由AE=BE，得EF⊥AB，在Rt△EFA中，AB=，EF=1，取EF的中点为O，则OF=，在Rt△OFA中，OA=，OA=OB=OC=OD，所以该四面体的外接球的半径是，其外接球的表面积是7π.答案：7π16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为________.【解析】由sinB+cosB=，得sin=，sin=1，而B∈(0，π)，所以B=.由正弦定理得，sinA==，又A+B+C=π，A∈，所以A=.答案：。

基础保分强化训练(五）答案 D解析2．在复平面内,表示复数z ＝错误!的点位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由复数除法运算，可得z ＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i ，所以在复平面内对应点的坐标为错误!，即位于第二象限，所以选B.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋错误!＝1(a >2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为4错误!，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ）A.错误! B 。

错误! C.错误! D 。

错误!答案 D解析 设P (x 0,y 0)，S △PF 1F 2＝错误!｜F 1F 2｜·|y 0｜＝c ｜y 0｜＝4错误!，则|y 0｜＝错误!＝错误!，若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2＝4错误!，则0<｜y0|<2，即0〈错误!〈2，解得a〉4,e＝错误!＝错误!∈错误!，故选D.4．设a，b为实数，则“a2b<1”是“b<1a2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当b<1a2成立时，a2>0,从而ba2〈1一定成立．当a＝0时，a2b〈1不能得到b<错误!,所以“a2b〈1"是“b〈错误!”的必要不充分条件．5。

执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y＝x a，x∈［0，＋∞）是增函数的概率为( )A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!答案C解析执行程序框图，x＝－3，y＝3;x＝－2,y＝0；x＝－1，y＝－1;x＝0，y＝0；x＝1,y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15;x＝4，退出循环．则集合A中的元素有－1，0,3，8,15，共5个，若函数y＝x a，x∈[0，＋∞)为增函数,则a>0，所以所求的概率为错误!.6．已知数列｛a n}，｛b n}满足b n＝log3a n，n∈N*,其中{b n｝是等差数列，且a1a2019＝3，则b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝（)A．2020 B．1010 C。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+, 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①2019年直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,2019年则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln, 即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

[80分] 12＋4标准练(二)1.(2019·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z 等于( ) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i答案 D解析 z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i 2＝1＋i.2.(2019·全国Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B 等于( ) A.(－∞，1) B.(－2,1) C.(－3，－1) D.(3，＋∞) 答案 A解析 因为A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x >3或x <2}，B ＝{x |x －1<0}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |x <1}，故选A.3.(2019·昆明质检)函数y ＝f (x )＝1x－ln(x ＋1)的图象大致为( )答案 A解析 由题意知，函数的定义域为{x |x >－1且x ≠0}. 又函数f (x )＝1x－ln(x ＋1)，可得f (1)＝1－ln 2>0，故可排除C ，D ， 又由f (e 2－1)＝1e 2－1－ln e 2＝1e 2－1－2<0，排除B ，故选A.4.(2019·衡阳联考)下面几个命题中，假命题是( ) A.“若a ＋b <2，则2a ＋2b <4”的否命题B.“∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数y ＝log a x 在定义域内单调递增”的否定C.“若mx2－mx－2<0对∀x∈R恒成立，则－8<m<0”D.“x＋y≠4”是“x，y不都是2”的充分条件答案 C解析对于选项A，“若a＋b<2，则2a＋2b<4”的否命题是“若a＋b≥2，则2a＋2b≥4”，因为a＋b≥2，所以2a＋b≥22＝4，所以2a·2b≥4，所以2a＋2b≥22a·2b≥4，所以该选项正确；对于选项B，“∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数y＝log a x在定义域内单调递增”是假命题，所以其否定是真命题；对于选项C，当m＝0时，mx2－mx－2<0恒成立，所以选项C错误；对于选项D，“x＋y≠4”是“x，y不都是2”的充分条件，因为其逆否命题“x，y都是2”是“x＋y＝4”的充分条件是真命题，所以该命题是真命题.5.(2019·咸阳模拟)若a>0，b>0，二项式(ax＋b)6的展开式中x3项的系数为20，则定积分ʃa02x d x ＋ʃb02x d x的最小值为()A.0B.1C.2D.3答案 C解析二项式(ax＋b)6的展开式的通项为T k＋1＝C k6a6－k b k x6－k，当6－k＝3，k＝3时，x3项系数为C36a3b3＝20，∴ab＝1，而定积分ʃa02x d x＋ʃb02x d x＝a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号.6.如图所示的程序框图，输出y的最大值是()A.3B.0C.15D.8答案 C解析当x＝－3时，y＝3；当x＝－2时，y＝0；当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8； 当x ＝3时，y ＝15；当x ＝4时，结束， 所以y 的最大值为15.7.已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，则φ的可能值为( ) A.0 B.π6 C.π3 D.π12答案 A解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度， 可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象， 所以φ的可能值为0.8.(2019·衡阳模拟)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数：y ＝2|x |－1，y ＝x 21＋x 2，y ＝x 22＋cos x －1中，与函数f (x )＝x 4不是亲密函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 易知幂函数y ＝x 4的定义域为R ，为偶函数，在(－∞，0)上，f (x )单调递减，在(0，＋∞)上，f (x )单调递增，值域为{y |y ≥0}. 四个选项中函数的定义域都为R 且都为偶函数， 单调性也与y ＝x 4保持一致， 又y ＝x 21＋x 2的值域为{y |0<y <1}，所以与函数f (x )＝x 4不是亲密函数的个数为1.9.(2019·银川一中模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为62的正方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.2πC.3πD.6π 答案 C解析 由三视图可知，该几何体为底面边长为62，侧棱长为62的正四棱锥，如图所示.设球心为O ，球的半径为R ， 则PO ′＝P A 2－O ′A 2＝32－34＝32⇒OO ′＝32－R ， 在Rt △AOO ′中，O ′A 2＋O ′O 2＝OA 2， 即⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫32－R 2＝R 2⇒R ＝32，∴球的表面积为4πR 2＝3π.10.(2019·河南名校联考)已知a ∈Z ，若∀m ∈(0，e)，∃x 1，x 2∈(0，e)且x 1≠x 2，使得(m －2)2＋3＝ax 1－ln x 1＝ax 2－ln x 2，则满足条件的a 的取值个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A解析 因为m ∈(0，e)，所以y ＝(m －2)2＋3∈[3,5]， 由题意得f (x )＝ax －ln x 在(0，e)上不单调， 因为f ′(x )＝a －1x ，所以1a ∈(0，e)，a >1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )∈(1＋ln a ，＋∞)， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )>0，f (x )∈(1＋ln a ，a e －1)，因此⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln a ≤3，a e －1>5，所以6e <a ≤e 2，因为a ∈Z ，所以a ＝3,4,5,6,7.11.(2019·四平一中模拟)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限.记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1＋k 2取得最小值时，△P AB 的重心坐标为( ) A.(1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，43 C.⎝⎛⎭⎫43，1 D.⎝⎛⎭⎫43，43答案 B解析 由题意知，A (－1,0)，B (1,0)，设P (x ，y )， 由题意得，k 1＝y x ＋1，k 2＝y x －1，∴k 1k 2＝y 2x 2－1＝2,2k 1＋k 2≥22k 1k 2＝4，当且仅当2k 1＝k 2时取等号，此时k 1＝1(舍负)，直线P A 的方程为y ＝x ＋1， k 2＝2，直线PB 的方程为y ＝2(x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2(x －1)，解得P (3,4)，∴△P AB 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫－1＋1＋33，0＋0＋43＝⎝⎛⎭⎫1，43. 12.(2019·全国Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点.下述四个结论：①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 答案 D解析 如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增，所以③正确.13.(2019·全国Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________. 答案 23解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23.14.(2019·全国Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________. 答案 0.98解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.15.(2019·上饶联考)已知点Q (x 0,1)，若⊙O ：x 2＋y 2＝1上存在点P ，使得∠OQP ＝60°，则x 0的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－33，33解析 由题意画出图形如图.因为点Q (x 0,1)，要使圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点P ，使得∠OQP ＝60°，则当∠OQP 的最大值大于或等于60°时一定存在点P ，使得∠OQP ＝60°，而当QP 与圆相切时∠OQP 取得最大值，此时OP ＝1，|Q ′P |＝|OP |tan 60°＝33.图中只有Q ′到Q ″之间的区域满足|QP |≤33，∴x 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33.16.如图，在四边形ABCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形，AB ＝2，∠BAD ＝π2，∠CBD ＝π2，沿BD 把△ABD 翻折起来，形成二面角A －BD －C ，且二面角A －BD －C 为5π6，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________.答案2053π 解析 由题意可知BC ＝BD ＝2，△BCD ，△ABD 的外接圆圆心分别为CD ，BD 的中点E ，F ，分别过E ，F 作△BCD ，△ABD 所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，连接AF ，EF ，由题意可知∠AFE 即为二面角A －BD －C 的平面角， 所以∠AFE ＝5π6.又∠OF A ＝π2，所以∠OFE ＝π3，EF ＝12BC ＝1，所以OE ＝EF ·tan π3＝3，所以R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝5， 所以V ＝43πR 3＝2053π.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(五)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |3－x ≥0}，B ＝{2，3，4}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．{3} C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．已知z (2－i)＝1＋i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．－15－35iB.15＋35i C ．－15＋35iD.15－35i 3．从[－6，9]中任取一个m ，则直线3x ＋4y ＋m ＝0被圆x 2＋y 2＝2截得的弦长大于2的概率为( )A.23B.25C.13D.154．已知等比数列{a n }中，若4a 1，a 3，2a 2成等差数列，则公比q ＝( ) A ．1 B ．1或2 C ．2或－1D ．－15．“a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知在△ABC 中，BC →＝ 2 BD →，AD ⊥AB ，|AB →|＝2，则BC →·AB →＝( ) A ．－4 2 B ．4 2 C ．－2 2D ．2 27．执行如图所示的程序框图，若输出的值为－1，则判断框中可以填入的条件是( )A ．n ≥999?B ．n ≤999?C ．n ＜999?D ．n ＞999?8．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值等于( )A ．8 2B ．8C ．4 2D ．49．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]10.如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知双曲线M 的焦点F 1、F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．21B ．14C ．7D ．012．已知f (x )＝a e xx ，x ∈[1，2]，且∀x 1，x 2∈[1，2]，x 1≠x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜1恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，9e －22C.()e 13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，4e 2 题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2x ≤2，，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．14．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝______．15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1－x )6展开式中x 3的系数为______． 16.若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．18.(本小题满分12分)如图，直线P A 与平行四边形ABCD 所在的平面垂直，且P A ＝AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．20．(本小题满分12分)某市教师进城考试分笔试和面试两部分，现把参加笔试的40名教师的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]．得到频率分布直方图如图所示．(1)分别求成绩在第4，5组的教师人数；(2)若考官决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试， ①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若决定在这6名考生中随机抽取2名教师接受考官D 的面试，设第4组中有X 名教师被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )． (1)当a ＝0时，求函数f (x )在点P (e ，f (e))处的切线方程；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，函数f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φy ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围．高考仿真模拟卷(五)答案1．解析：选C.A ＝{x |x ≤3}，B ＝{2，3，4}， 所以A ∩B ＝{2，3}，故选C.2．解析：选D.由已知可得z ＝1＋i 2－i ＝（1＋i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以z ＝15－35i.3．解析：选A.所给圆的圆心为坐标原点，半径为2，当弦长大于2时，圆心到直线l 的距离小于1，即|m |5＜1，所以－5＜m ＜5，故所求概率P ＝5－（－5）9－（－6）＝23.4．解析：选C.因为4a 1，a 3，2a 2成等差数列，所以2a 3＝4a 1＋2a 2，又a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，则2a 1q 2＝4a 1＋2a 1q ，解得q ＝2或q ＝－1，故选C.5．解析：选A.a ＝b ＝1时，两条直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行， 反之由ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行，可得ab ＝1，显然不一定是a ＝b ＝1， 所以，必要性不成立，所以“a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的充分不必要条件． 故选A.6．解析：选A.BD →＝AD →－AB →，所以BC →＝ 2 BD →＝2(AD →－AB →)，所以BC →·AB →＝2(AD →－AB →)·AB →＝ 2 AD →·AB →－ 2 AB →2＝0－2×22＝－4 2.7．解析：选C.该程序框图的功能是计算S ＝2＋lg 12＋lg 23＋…＋lg nn ＋1＝2－lg(n ＋1)的值．要使输出的S 的值为－1，则2－lg(n ＋1)＝－1，即n ＝999，故①中应填n ＜999？.8．解析：选C.F (1，0)，故直线AB 的方程为y ＝x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1，可得x 2－6x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.由抛物线的定义可知：|F A |＝x 1＋1， |FB |＝x 2＋1，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36－4＝4 2. 故选C.9.解析：选B.如图所示，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f (x )只有一个交点．10．解析：选C.由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD ＝90°，所以BD ＝2a ，所以∠BAD ＝90°，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ， 因为AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，且AO ＝BO ＝OD ＝OC ＝2a2， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊥BD ， 所以AO ⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO ＝OE ，连接ED ，EA ，EB ，则四边形BCDE 为正方形，即有BC ∥DE ，所以∠ADE (或其补角)即为异面直线AD 与BC 的所成角， 由题意得AE ＝a ，ED ＝a ，所以△AED 为正三角形，所以∠ADE ＝60°， 所以异面直线AD 与BC 所成角的大小为60°.故选C.11．解析：选B.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，所以b a ＝73，①又抛物线的准线为x ＝－4，所以c ＝4，②又a 2＋b 2＝c 2，③所以由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点，所以由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝6，④又PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82，⑤联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.12．解析：选D.∀x 1，x 2∈[1，2]，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2－1＝f （x 1）－x 1－[f （x 2）－x 2]x 1－x 2＜0，则g (x )＝f (x )－x ＝a e xx －x ，在[1，2]上单调递减， 即g ′(x )＝a e x （x －1）x 2－1≤0，即a e x （x －1）x 2≤1恒成立，(1)当x ＝1时，显然恒成立，a ∈R ； (2)当x ∈(1，2]时，a ≤x 2e x （x －1），令t (x )＝x 2e x （x －1），则t ′(x )＝－x e x （x 2－2x ＋2）e 2x （x －1）2，当x ∈(1，2]时，t ′(x )＜0，t (x )min ＝t (2)＝4e 2，所以a ≤4e2，故选D.13．解析：作出线性约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z ＝x ＋2y 过点A (2，2)时，z 取得最大值6.答案：614．解析：由已知条件可得q 4－1＝a 4a 1＝813＝27，即q ＝3，所以a n ＋1a n ＝q ＝3，则b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝1.又因为b 1＝log 3a 1＝log 33＝1，可得等差数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：n n ＋115．解析：由题意得，二项式(1－x )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－x )r ＝(－1)r C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1－x )6展开式中x 3的系数为－C 36－C 56＝－26. 答案：－2616．解析：由给定的图象可知A ＝1，T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.由f (x )＝0可知函数f (x )与x 轴正半轴的第一个交点为⎝⎛⎭⎫π6，0，故阴影部分的面积为S＝∫π60⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x －π6d x＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6⎪⎪⎪⎪π6＝cos 0－cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝2－32.答案：2－3217．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B)cos (A ＋B)＝0，可得cos B sin C －(a －sin B)cos C ＝0，即sin (B ＋C)＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc ＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 18．解：(1)证明：因为AB ＝AD ，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD.又PA ∩AC ＝A.所以BD ⊥平面 PAC.(2)设AC ∩BD ＝O ，取PC 的中点Q ，连接 OQ ，在△APC 中，AO ＝OC ，CQ ＝QP ，所以OQ ∥PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OQ ⊥平面ABCD.如图，取OA ，OB ，OQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，P(3，0，2)，所以AP →＝(0，0，2)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BC →＝(－3，－1，0)，PB →＝(－3，1，－2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥PB→得⎩⎨⎧－3x －y ＝0，－3x ＋y －2z ＝0，令x ＝1，则y ＝－3，z ＝－3，所以n ＝(1，－3，－3)为平面PBC 的一个法向量． 所以cos 〈AP →，n 〉＝AP →·n |AP →|×|n |＝－232×1＋3＋3＝－217.设直线P A 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，n 〉|＝217.19．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1. 故A 为线段BM 的中点．20．解：(1)第4组的教师人数为0.04×5×40＝8，第5组的教师人数为0.02×5×40＝4，所以第4，5组的教师人数分别为8，4.(2)①因为第3组的教师人数为0.06×5×40＝12，所以第3，4，5组中抽取的人数分别是3，2，1，则甲，乙同时进入面试的概率为P ＝C 110C 312＝122. ②由①知X 的所有可能取值为0，1，2，且X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115. 故X 的分布列为法一：所以X 的数学期望E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23. 法二：所以X 的数学期望E (X )＝2×26＝23. 21．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－x ln x ＋x －1，则f ′(x )＝－ln x ，则f ′(e)＝－1，f (e)＝－1，所以函数f (x )在点P (e ，f (e))处的切线方程为y ＋1＝－(x －e)，即x ＋y ＋1－e ＝0.(2)f ′(x )＝2ax －1－ln x －(2a －1)＝2a (x －1)－ln x ，易知，ln x ≤x －1，则f ′(x )≥2a (x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)，当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (1)＝0符合题意．所以a ≥12. 当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0显然不满足题意，故a ≤0舍去．当0<a <12时，由ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x，则f ′(x )≤2a (x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝x －1x·(2ax －1)． 因为0<a <12，所以12a>1.当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x )≤0恒成立，此时f (x )在⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减，f (x )≤f (1)＝0不满足题意，所以0<a <12舍去． 综上可得，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 22．解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1θ1＝π3， 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝53θ2＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5θ2＝π3， 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.23．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ，所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－124，－12<n ≤122＋4n ，n >12， 所以φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．。

..[80分] 12＋4标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12，根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)等于( ) A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．4 答案 B解析 ∵y ′＝4x 3＋2ax ，∴－4－2a ＝8， ∴a ＝－6，∴f (－1)＝1＋a ＋1＝－4.5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．1B. 2..C.12D.22答案 D解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.9．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得则sin∠ACB ＝32， 再由正弦定理得ABsin∠ACB＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133，因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( ) A.24143 B.1143 C.2413 D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________． 答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x 2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.u ＝(x ＋y )2xy＝x 2＋2xy ＋y2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca≤3＋1.。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3）C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．2．（5分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，根据等差数列的性质即可求出n＝9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d ＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，故选：C．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．5．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．6．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】在已知数列递推式中，取m＝1，可得，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式列式求解．【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以在侧视图中与点E对应．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．9．（5分）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【分析】求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t＝||的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得x．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．10．（5分）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．11．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．【解答】解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．12．（5分）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i+m＝a i（i＝1，2…）的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【分析】分别为4个选项中k＝1，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001．【解答】解：对于A选项：序列11010 11010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满足C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列11011 11011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满足条件，排除；对于C选项：序列10001 10001 10001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列11001 11001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满足条件．故选：C．【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用客观题12+4标准练D一、选择题1.(2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2019河北邢台二中二模,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数为()A.0B.1C.2D.33.若实数x,y满足|x-1|-ln y=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()4.(2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),其体积为12.6立方寸.若取圆周率π=3,则图中的x值为()A.1.5B.2C.3D.3.15.若数列{a n}是正项数列,且+…+2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)6.将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,上为增函数,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.87.(2019黑龙江齐齐哈尔高三二模,理7)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为,则直线AF2的方程是()A.2x+3y-5=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=08.如图是计算函数y=---的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是()A.y=-x,y=0,y=x2B.y=-x,y=x2,y=0C.y=0,y=x2,y=-xD.y=0,y=-x,y=x29.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=9,a2为整数,且S n≤S5,则数列的前9项和为()A.-B.-C.-9D.810.已知函数f(x)=e x+-ln x的极值点为x1,函数g(x)=e x+x-2的零点为x2,函数h(x)=的最大值为x3,则()A.x1>x2>x3B.x2>x1>x3C.x3>x1>x2D.x3>x2>x111.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.+112.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题13.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.14.(2019辽宁沈阳高三四模,理)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题,每人均有的概率解答正确,且三个人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率为.15.(2019山东济宁高三二模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在体积为36π的球面上,其中PA⊥平面ABC,底面ABC为正三角形,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.16.(2019江苏苏、锡、常、镇四市高三二调,14)已知e为自然对数的底数,函数f(x)=e x-ax2的图象恒在直线y=ax上方,则实数a的取值范围为.参考答案考前强化练4客观题12+4标准练D1.A解析因为z=-i,所以i,故选A.2.D解析集合A中,x2+y2=1,表示以原点为圆心,1为半径的圆,集合B中y=x,表示一条直线,在同一个坐标系中画出图象,得到两函数有两个交点,则A∩B真子集的个数是22-1=3.故选D.3.A解析由实数x,y满足|x-1|-ln y=0,可得y=e|x-1|=--因为e>1,故函数在[1,+∞)上为增函数,由y=e|x-1|知其图象关于直线x=1对称,对照选项,只有A正确,故选A.4.C解析由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个长方体组合而成,由题意可知,12.6=π×2×1.6+(5.4-1.6)×1×x,解得x=3.5.A解析+…+=n2+n,∴n=1时,=2,解得a1=4.n≥2时,+…+-=(n-1)2+n-1,相减可得=2n,∴a n=4n2.n=1时也满足=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4=2n2+2n.故选A.6.C解析f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2=sin ωx-cos ωx=2sinωx-,f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=2sinωx+-的图象,∴函数y=g(x)=2sin ωx.又y=g(x)在0,上为增函数,,即,解得ω≤6 所以ω的最大值为6.7.D解析设内切圆半径为r,则πr2=,∴r=F1(-c,0),∴内切圆圆心为-c+,0 ,由|AB|=3知A-c,,又F2(c,0),所以AF2方程为3x+4cy-3c=0.由内切圆圆心到直线AF2的距离为r,即--,得c=1,所以直线AF2的方程为3x+4y-3=0.故选D.8.B解析由题意及框图可知,在①应填“y=-x”;在②应填“y=x2”;在③应填“y=0”.9.A解析由题意S n=n2+a1-n=n2+9-n,d<0,d∈Z,对称轴n=,当d=-1时,对称轴n=,不满足S n≤S5,若d=-2,对称轴n=5满足题意,∴d=-2,a n=a1+(n-1)×(-2)=11-2n,而=-,∴前9项和为+…+=-++…+=-=---=-10.A解析∵f'(x)=e x+x-在(0,+∞)上单调递增,且f'=>0,f'=<0,∴x1∈且+x1-=0.∵函数g(x)=e x+x-2在(0,+∞)上单调递增,且g =>0,g=-2<0,∴x2∈.又g(x1)=+x1-2=-x1+x1-2=-2>0=g(x2),且g(x)单调递增,∴x1>x2.由h'(x)=-,可得h(x)max=h(e)=,即x3=,∴x1>x2>x3.故选A.11.D解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线方程为x=-,∵准线经过双曲线的左焦点,∴c=∵点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,∴M的横坐标为,代入抛物线方程,可得M的纵坐标为±p.将M的坐标代入双曲线方程,可得=1,∴a=-p,∴e=1+故选D.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥2 则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥4 则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,则需:--解得-2≤m<4.综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).13.-解析∵向量m=(1,2),n=(2,3),∴m-n=(-1,-1).∴m·(m-n)=-1-2=-3,=-则m在m-n方向上的投影为--14解析记“三人中至少有两人解答正确”为事件A;“甲解答不正确”为事件B,则P(A)=2+3=;P(AB)=,∴P(B|A)=15.9解析由球的体积公式可得R3=36π,解得R=3.不妨设底面正三角形的边长为2a,则S△ABC=2a·2a·sin 60°=a2.设棱锥的高为h,由三棱锥的性质可得R2=a2+2=9,解得h2=36-a2,据此可得:h2-△=3a4·36-a2=12--3=64=81.81,V P-ABC≤9 当且仅当=12-a2,a2=时等号成立.故-综上可得,三棱锥P-ABC体积的最大值为9.16.(-2e-1,0]解析因为函数f(x)=e x-ax2的图象恒在直线y=ax的上方, 所以∀x∈R,e x-ax2>ax恒成立,即e x>a x2+x恒成立.当a>0时,若x→-∞,则e x→0 a x2+x→+∞,不满足e x>a x2+x恒成立.当a=0时,e x>0×x2+x=0恒成立.当a<0时,不等式e x>a x2+x恒成立等价于<min,记h(x)=,则h'(x)=--,此时,h(x)在(-∞,-1)上递减,在-1,上递增,在,+∞上递减,其简图如下:所以h(x)min=h(-1)=---=-,所以<-又a<0,解得-<a<0.综上所述:-<a≤0.。

2020高考理科数学第二轮复习综合测试及答案本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为（）2．复数1cos45sin45zi=-o o的共轭复数是（）A．i2121+B22C22i D．i+13．已知m,n是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β且m,n,αα⊂⊂则α∥β；②若n,mαβI=∥n，则m∥α且m∥β；③若m,α⊥m∥β则αβ⊥；④若α∥β，且m,n,γαγβI I==则m∥n．其中的正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．圆心在抛物线24x y =上的动圆过点（0,1），且与定直线l 相切，则直线l 的方程为（ ）A ．1x =B ． 116x =C ．116y =-D ． 1y =-5．若sin(cos ),cos(sin )a x b x ππ==，且3,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则 （ ）A ．221a b +=B ．a b <C ．a b >D ．a b =6．设函数()ln(f x x x =+，则对于任意的实数a 和b ，0a b +<是()()0f a f b +< 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件7．若函数1()2ax f x x +=+（a 为常数），在()2,2-内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦8．已知点P 是椭圆C ：22184x y +=上的动点，12,F F 分别为左、右焦点，O 是坐标原点，则12PF PF PO-的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．[]0,2C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎡⎣9．已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A —BCD 的中截面B为M ，则O 到平面M 的距离为 （ ）A ．4aBCD 10．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的个数最多是 （ ）A ．30B ．60C ．120D ．24011．在算式“4×□+1×△=30”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□, △）应为（ ）A ．（4, 14）B ．（6, 6）C ．（3, 18）D ．（5, 10）12．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水2t 2升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供 （ ）A ．3人洗浴B ．4人洗浴C ．5人洗浴D ．6人洗浴第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.13．如右图是由三个相同的正方形相接，在ABC ∆中，锐角α=∠ACB ，则=αtan _______.14．若,x y R ∈，且2186x y xy ==，则_____.x y += 15．有４个不等式：2,<<3<<．其中不正确的个数是___ ___.16．若连续且不恒等于的零的函数()f x 满足'()()0f x f x +=，试写出一个符合题意的函数()______.f x =三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数()sin()cos f x x x ϕ=+的图像关于原点(0,0)O 对称，试求函数()f x 的解析式．18．（本小题满分12分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。