涉及两个三角形的一个不等式

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

三角不等式等号成立条件三角不等式是初中数学中的一个重要概念，它用于描述三角形中各边之间的关系。

三角不等式的等号成立条件是什么呢？下面我们来进行探讨。

我们先来回顾一下三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。

根据这个定义，我们可以得出三角不等式的一般形式：对于任意三角形ABC，有以下三个不等式成立：1. AB+BC>AC2. AC+BC>AB3. AB+AC>BC那么根据这三个不等式，我们可以推导出三角不等式的等号成立条件。

什么情况下，这三个不等式会变成等式呢？我们来看第一个不等式AB+BC>AC。

当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式会变成等式。

也就是说，当点A、B、C三个点在同一条直线上时，三角形ABC退化成一条线段，此时AB+BC等于AC。

接下来，我们来看第二个不等式AC+BC>AB。

当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式会变成等式。

也就是说，当点A、B、C三个点在同一条直线上时，三角形ABC退化成一条线段，此时AC+BC等于AB。

我们来看第三个不等式AB+AC>BC。

对于这个不等式，我们可以发现，当且仅当点A、B、C三个点共线时，这个不等式无法成立。

因为当三个点共线时，两边之和等于第三边，不满足不等式的要求。

三角不等式的等号成立条件是：当且仅当三个点共线时，即三角形退化为一条线段时，三个不等式中的两个会变成等式。

通过以上的讨论，我们可以得出结论：三角不等式的等号成立条件是三个点共线。

这个结论在初中数学中有着重要的应用，可以帮助我们判断三角形是否存在，以及解决一些与三角形有关的问题。

总结一下，三角不等式是描述三角形中各边之间关系的重要概念。

三角不等式的等号成立条件是当且仅当三个点共线时，即三角形退化为一条线段时，两个不等式会变成等式。

这个结论在数学中有着重要的应用，帮助我们解决与三角形相关的问题。

通过学习和掌握三角不等式的等号成立条件，我们可以更好地理解和应用三角不等式。

三角不等式的几何意义
三角不等式是指在一个三角形中，任意两条边的长度之和大于第三条边的长度。

几何上，三角不等式可以用来描述三角形的形状和大小。

更具体地说，假设有一个三角形ABC，其中AB、BC 和AC 分别表示三条边的长度。

根据三角不等式，我们可以得到以下三个不等式：
AB + BC > AC
AB + AC > BC
BC + AC > AB
这些不等式表明，如果我们将三角形ABC 中的任意两条边的长度之和与第三条边的长度进行比较，那么这两个长度之和总是大于第三条边的长度。

这意味着，如果我们将三角形ABC 的任意两个顶点连接起来，形成的线段总是比连接另外两个顶点形成的线段更长，这也就是为什么三角形是一种凸多边形的原因。

三角不等式还可以用来证明三角形的一些性质，例如勾股定理和正弦定理等。

因此，它在几何学中具有重要的应用。

第七讲几何不等式（1）几何问题中出现的不等式称为几何不等式．解数学竞赛中出现的几何不等式，需要熟悉几何中有关的基本不等式和常用的定理，还要掌握代数方法和三角方法．1．有关证明线段不等的公理和定理(1) 在联结两点的所有线中，线段最短．(2) 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3) 定点P到定直线的最短距离，是从P向定直线所作的垂线段的长．(4) 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的所对的第三边也大．(5) 托勒密不等式：在四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．(6) 欧拉定理,欧拉不等式若△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，两圆心间的距离为d，则d=)2(rR-，当且仅当△ABC为正三角形时，d=0. R≥2rR(7) 埃德斯——莫德尔不等式设P为△ABC内任意一点，Ra, R b, Rc分别表示P到顶点A、B、C的距离，d a, d b, d c分别表示P到三边BC，CA，AB的距离，则R a+ R b+ R c≥2(d a+ d b+ d c)(8) 费尔马点在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的点成为费尔马点，当∠BAC≥120°时，A点即为费尔马点，当△ABC内任一内角均小于120°时，则与三边张角均为120°时的P点即为费尔马点.2．有关证明角不等的定理(1)三角形的任何一个外角大于和它不相邻的任意一个内角．(2)在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．3．圆中有关不等量的知识(1)在同圆或等圆中，圆心角（锐角）大则所对的弧大、弦大、弦心距小．(2)过圆内一定点的弦中，以此点为中点的弦最小．(3)若A，B，C为圆上的点，P为圆外的点，Q为圆内的点，且P，C，Q都在直线AB的同侧，则∠AQB >∠ACB >∠APB,4. 有关面积的几何不等式(1) 外森比克不等式：设△ABC的边长和面积分别为a, b, c和S，则a2+b2+c2S3≥，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.4(2) 等周定理：周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形的面积最大.5．几何不等式的证明有时还要用到代数知识（如平均不等式等）和三角知识．例1. (1995 IMO)凸六边形ABCDEF，满足AB= BC= CD，DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60º．设G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB=∠DHE= 120º．试证：AG+ GB+ GH+ DH+ HE≥CF.例2. 已知正方形ABCD内部一点E,并且E到三个顶点A,B,C的距离之和的。

涉及三角形一动点的3个不等式猜想的证明三角形一动点猜想是一种有趣的数学推理，它试图证明三角形的一动点的三个不等式的关系。

这种猜想最初由埃克斯特·科恩斯在1892年提出，现在已被证明正确。

这三个不等式可以这样表示：1. 对于ΔABC中的任意一点P，有AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC2. AP + BP ≤ AB + 2PC3. AP + BP ≥ AB - 2PC在三角形等边等腰等腰中，AP + BP = AB + 2PC，所以第二和第三不等式都是等号，而第一个不等式是一个大于等于号。

我们来证明三角形一动点不等式的三个猜想，首先，我们通过一个简单的实例来证明这三个不等式猜想的正确性。

假设我们有一个三角形ΔABC，其中AB = BC = AC = 6，P是ΔABC的内点，则AP = 4，BP = 5，CP = 7。

第一个不等式要求AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，即4 + 5 + 7 ≥ 6 + 6 + 6，显然成立。

第二个不等式要求AP + BP ≤ AB + 2PC，即4 + 5 ≤ 6 +2×7，显然成立。

第三个不等式要求AP + BP ≥ AB - 2PC，即4 + 5 ≥ 6 -2×7，显然成立。

由此可见，这三个不等式猜想都是正确的。

为了证明这三个不等式猜想，我们还需要使用一些数学知识。

首先，我们需要证明第一个不等式是对的。

我们可以用勾股定理，即a2 + b2 = c2来证明这个不等式。

我们假设ΔABC 中有一个边BC，那么根据勾股定理，它就有：BC2 = AP2 + BP2，所以BC2 - AP2 - BP2 = 0，即BC2 - (AP + BP) ( AP + BP ) - BP2 = 0，即(AP + BP) ( BC - AP - BP ) = 0。

现在，我们可以把这个等式用到第一个不等式中，即AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，所以(AP + BP) ( BC - AP - BP ) ≥ (AB + BC + AC) ( BC - AP - BP )，即AP + BP + CP ≥ AB + BC + AC，这就证明了第一个不等式。

12 福建中学数学 2018年第2期关于三角形内角平分线长的一个不等式卢素霞 福建省厦门市集美中学（361021）三角形的内角平分线长的平方之和与内切圆半径的平方之间存在一个漂亮的不等式，本文拟给出该不等式的一个简短证明．最后还给出涉及中线长及高的两个类似不等式．文[1]给出如下漂亮的几何不等式：定理1 设ABC D 的三边长为a b c ，，，对应的内角平分线长为a b c w w w ，，，内切圆半径为r ，则222227a b c w w w r ++≥（1），当且仅当ABC D 为等边三角形时取等号．由均值不等式知22221()(ab c aw w w w ++⋅ 222332222211111)339a b c b c a b c w w w w w w w w +≥⋅=．故若能证得定理2则定理1成立．定理2 设ABC D 的三边长为a b c ，，，对应的内角平分线长为a b c w w w ，，，内切圆半径为r ，则21+aw 2221113b c w w r+≤（2）．当且仅当ABC D 为等边三角形时取等号．文[1]中定理2的证明不容易．本文利用均值不等式和余弦定理给出定理2的一个简易证明． 证明 设三角形的面积为S ， 则易知2Sr a b c=++．角A 的平分线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积和为S ，即11sin sin 2222a a A Acw bw S +=， 所以2()sin 2a SW A b c =+．同理2()sin 2b SW Ba c =+， 2()sin2c SW C a b =+． 于是不等式（2）等价于 222222()sin ()sin ()sin 222A B C b c a c a b +++++21()3a b c ≤++(3）． 由余弦定理222cos 2b c a A bc+−=， 得22221cos 2sin 224A A bc b c a bc−−−+== ()()4a b c a b c bc +−−+=．同理2()()sin 24B b c a b c a ac +−−+=， 2()()sin 24C c a b c a b ab+−−+=．代入（3），可知不等式（3）等价于23[()(a b c a +2)()()()()(b c a b c b a c b c a b c a c a +−−++++−⋅−+++22)()()]4()b c a b c a b abc a b c +−−+≤++（4），将a x y b x z c y z =+=+=+，，（其中x y z ，，为内切圆在三边的切点到所在边的顶点的距离）代入上式，借助计算机计算并化简知不等式（4）等价于4444443232323(x y z y x z y z y x z x x y x z y x ++++++++323232222222)8()y z z x z y x y z x z y y z x +++≥++（5）， 由均值不等式得444444()()()x y z y x z y z y x z x +++++2222222()x z y x y z y z x ≥++． 从而不等式（5）等价于323232323232x y x z y x y z z x z y +++++2222222()x y z x z y y z x ≥++（6）． 综上，欲证不等式（2）只需要证不等式（6）． 由不等式222()()()0x y x z y z −+−+−≥， 得222x y z xy yz xz ++≥++． 所以，再次由均值不等式得 323232323232()()()x y x z y x y z z x z y +++++ 333222x yz y xz z xy ≥++ 2222()2()xyz x y z xyz xy yz xz ++≥++ 2222222()x y z x z y y z x =++．则不等式（6）成立，且等号成立的条件是x yz =，即三角形为等边三角形．综上我们完成了定2018年第2期 福建中学数学 13 理2的证明．下面我们给出定理1的一个更加简短的证明，只是要利用一些已知的三角形不等式．定理1的证明方法2由文[2]知a b b c w w w w ++33c a w w S ≥．由2a b c S r ++=，且文[3]中的不等式63a b c r ++≥， 得233()272a b b c c a w w w w w w a b c r r ++≥⋅++=， 且等号在等边三角形时取到．根据222a b c a b b c c a w w w w w w w w w ++≥++， 可知定理1成立． 最后，我们给出类似定理1而涉及中线和高的结论．定理3 设ABC D 的三边长为a b c ，，，对应的中线长为a b c m m m ，，，内切圆半径为r ，则222227a b c m m m r ++≥（7），当且仅当ABC D 为等边三角形时取等号． 证明 利用柯西不等式和文[3]中不等式： 63a b c r ++≥，得22222211()(63)3633a b c a b c r r ++≥++≥=．由三角形的中线公式得：22222223()274a b c m m m a b c r ++=++≥， 且等号在等边三角形取到，所以定理3成立． 定理4 设ABC D 三边长为a b c ，，，对应的高长为a b c h h h ，，，内切圆半径为r ，则222227ab c h h h r ++≥（8），当且仅当ABC D 为等边三角形时取等号．证明 2222a b c S S S Sh h h r a b c a b c====++，，，，所以由均值不等式知：22222222111()()a b c h h h a b c r a b c ++=++++ 2332221(3)327abc a b c ≥×=． 所以定理4成立．参考文献[1]丁遵标．关于三角形内角平分线长的几何性质[J]．数学传播，2005，29（3）：60-64[2]匡继昌．常用不等式（第4版）[M]．济南：山东科学技术出版社，2010[3]吕爱生．能揭示欧拉不等式本质的简证[J]．数学通报，2009，48 （4）：63椭圆一般弦长公式的另种妙推陈凤儿 广州大学数学与信息科学学院（510006）笔者近日拜读文献[1]，受益匪浅，作者在文中用仿射变换保持平行线段比值的不变性给出了椭圆一般弦长公式的一个妙推．整个过程行云流水，一气呵成，读后深受启发．于是笔者满怀激情去寻找求解椭圆一般弦长公式另种解法．功夫不负有心人，经过一番探究后，笔者得到了另种方法，以下展示以供同行交流讨论． 文[1]中提到如下椭圆一般弦长公式： 定理[1]设直线0Ax By C ++=与椭圆2222x y a bΓ+：1(0)a b =>>相交于M N ，两点，则：222222222222ab A B A a B b C MN A a B b ++-=+．以下我们给出另种证明，在给出其证明前，我们需要引用如下的一个引理： 引理[2] 两个三角形面积之比是仿射不变量． 利用这个引理，我们给出上述定理的另证． 证明 设椭圆Γ的上和右顶点分别为A B ，．作仿射变换x ax y by '⎧=⎪⎨'=⎪⎩，，且设M N O A B ，，，，，及直线l 在此仿射变换下所对应的元素分别为M N O A B '''''，，，，，l '．此时椭圆Γ变成单位圆．如图1和图2所示．根据引理，可得OMN O M N OAB O A B S SS S '''∆∆'''∆∆=．因为12OAB S ab ∆=，12O A B S '''∆=，。

三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。

三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。

2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。

3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。

我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。