解三角形复习课课件

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第一章 解三角形
(2)由 S＝12absin C＝10 3，C＝π3，得 ab＝40.① 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 c2＝(a＋b)2－2ab(1＋cos 3π)， ∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12.∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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第一章 解三角形
例 2 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC 的面积 S＝10 3，c＝7. (1)求角 C； (2)求 a，b 的值．
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第一章 解三角形
高中知数识学网·必络修5·人教A版
章末复习
第一章 解三角形
目标：正弦定理、余弦定理，解三角形与三角函数的综合问题 重点：解三角形与三角函数结合 难点：正弦定理、余弦定理，解三角形与三角函数的综合问题
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第一章 解三角形
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第一章 解三角形
所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin34π－B
＝sin
3π 4 cos
B－cos
3π 4 sin
B＝7102.
由正弦定理，得 c＝assiinnAC＝170，
所以 S＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
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第一章 解三角形
例3 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点， AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.

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第一部分 教材同步复习
6
已知条件 已知两直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
图形
解法 c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠A，∠ B＝90°－∠A b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A，∠ B＝90°－∠A
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12
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，则 AE＝5x，得 AB＝3x， ∴3x＝6，得 x＝2，∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE＝ABBE＝68＝CDDE＝D4E， 解得，DE＝136， ∴AD＝AE－DE＝10－136＝134，即 AD 的长是134.
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4
►知识点二 解直角三角形
1．解直角三角形的定义及依据 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形； (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③锐 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C； 1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①__2_c_h_____.(h 为斜边 c 上的高)
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第一部分 教材同步复习
11
【思路点拨】 本题考查解直角三角形．(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的 长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出 AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．

AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
2024/3/9
29
6. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边 三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
AB
＝
DB
∠ABE ＝ ∠ DBC
BE＝BC ∴△ABE≌△DBC(SAS)
D
C
2
1
A
B
思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：
找夹这个角的另一边
AD=CB （SAS）
找夹这条边的另一角
∠ACD=∠CAB（ASA）
找边的对角
∠D=∠（B AAS）
15
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需 要添加的一个条件是--------------
A
D
C
E
思路4：
找夹边
AB=AE (ASA)
∴ △ADC ≌ △EDB
D
C
∴ AC = EB
在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC
E
即 2AD < AB+AC
∴ AD 1 (AB AC) 2
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35
12.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C A
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上）
2024/3/9
10
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等

∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，

水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
1、在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是∠A,∠B, ∠C的对边.(1)已知a=3,b=3,求∠A;
(2)已知c=8,b=4,求a及∠A; (3)已知c=8,∠A=450,求a及b
2、填空：
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A为锐角， 且tanA=0.6，tanB=( ).
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时
间有多长？
M
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
A
C
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
240
∴AC=
1 2
AB=
1 2
x
240
=
120
∵AC = 120 < 150 ∴A城受到沙尘暴影响
30 °
B
当堂训练二
9，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向 240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙 尘暴中心150km的范围为受影响区域。
cos sin(90 ) sin
3、30°，45°，60°的三角函数值
30° 45° 60°
sina 1
2
2
3
2
2
cosa 3
2
1
2
2
2
tana
31
3
3
4、
S
ABC
1 absin c 1 ac sin b 1 bc sin a
2
2
2

(1)求∠GAC的度数;
【解析】(1)∵CG⊥CD,∴∠ACG=90°,
∵∠AGC=32°,
∴∠GAC=90°-∠AGC=90°-32°=58°,
∴∠GAC的度数为58°;
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面
3米处,那么他能挂上篮网吗?请通过计算说明理由.(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈
B.32cos 25°米
32
C.
米
sin25°
32
D.
米
cos25°
11.(2023·湖北中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人
机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚
(30-5 )
美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为___________
8.0
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则
cos A的值为
(C)
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5.(2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都
在Rt△DEC中,∠C=18°,CD=20米,
∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米),
13.(2023·绍兴中考)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直于地面OB,支架
CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行于地面OB,篮筐EF与支架

D
3300°°
BB
3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30By°杜小二 ∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。A
45°
D
C
30°
B
例题赏析 By 杜小二
例6
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海
C
影响?请说明理由.
60°
(2)为避免受到台风的影响,
B
A
该船应在多少小时内卸完货物?
3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30° By 杜小二
∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。
A
45°
D
C
45°
斜坡AB的坡度i=1∶3， i=1:3 斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
i=1:2.5 23
A
D
则斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡
AB的长应设计为多少？(精确到0.1m)．
4、仰角和俯角
视线
By 杜小二
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
5、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（
B）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
5，已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=

1.在△ABC中，∠C= 90° 在 中 ° 2 2 已知∠ ° ① 已知∠B=45°，BC=2, 则AB=__________, 2 45° ° AC=_________, ∠A=_________ 1 60° 已知BC= 3 ，AB=2,那么 那么AC=___,∠A=___, ° ②已知 那么 ∠ 30° ° ∠B=___ 已知∠ 那么AB=__, ③已知∠A=30°,∠B=60°,那么 °∠ ° 那么 BC=__,AC=__ A
4.如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64° 4.如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端 64 双眼离地面为1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度。 1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度 双眼离地面为1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度。
A
A
B
C
3.如图，四边形ABCD中，AB ，CD=1,∠A=600， 如图，四边形 如图 中 AB=2， ∠ 求四边形ABCD的面积。 的面积。 的面积 ∠B=∠D=900，求四边形 ∠
A
1
B C
D
2
3.如图，四边形ABCD中，AB ，CD=1,∠A=600， 如图，四边形 如图 中 AB=2， ∠ 求四边形ABCD的面积。 的面积。 的面积 ∠B=∠D=900，求四边形 ∠
引例： 引例： 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64 20m处看塔的顶端 64° 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗? 1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗 双眼离地面为1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗?

斜三角形，要化成直角三角形
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1）仰角和俯角 （2）坡度
i＝
视线 铅 垂 线
仰角 水平线 俯角
北 A
h l
=tan
α
α为坡角
视线
h α
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45° 南
东
例1：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是30º ，求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
复习课
三角函数定义
定义 函数值 互余关系 函数关系
解 直 角 三 角 形
锐角三 角函数
特殊角的三角函数值 互余两角三角函数关系 同角三角函数关系
两锐角之间的关系
解直角 三角形
三边之间的关系 边角之间的关系
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边 斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
例：如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资 由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达 后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以 40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中 心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.
(1)问:B处是否受到台风的 影响?请说明理由.
BD=160海里＜200海里
北
(2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物? AC= 160 3 120
160
D
120 200
C
60°
160 3 120 4 3 3 3.8小时 40

B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
21/32
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=

2 2
AC
例2、在直角三角形ABC中，∠C=90o，∠A=60o两直角 边的 和为14，求这两条直角边的长。
A
解：依题意画图 1，设AC x，则BC 3x.
AC BC 14
C
图1
B
x 3x 14
解得 x 7 3 7, 3x 21 7 3
两条直角边分别长 7 3 7, 21 7 3。
第六章 解直角三角形 （复习课）
教学目标：
1、增强对本章的基本概念 和关系式的记忆和理解。
2、能熟练地运用本章知识解
决有关问题。 3、加深对本章的解题方法和解题
思路的体会。
一、知识结构框图：
锐角三角函 数的值
锐角三角函数
同角锐角三 角函数之间 的关系
解直角 三角形
应 用
互为余角的 锐角三角函 数之间的关 系
三、例题讲解：
例1、已知 Rt ABC
12 中，∠C=Rt∠,sinA= 13 ，
求角A的
其它锐角三角函数值。 解：Rt ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABC 中，C Rt , 12 BC sin A 13 AB 设BC 12 t , AB 13t. 由勾股定理，得
AB BC 5t， AC 5t 5 cos A ， AB 13t 13 BC 12 t 12 tgA ， AC 5t 5 AC 5t ctgA 。 BC 12 t
2 2 2 2 2
2
思考题：在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。（广东省1990中 考试题） B α D β C A

例1 (1)锐角ABC中，b 1, c 2,
则边a的取值范围是__3_，__5_ .
(2)若2a 1, a,2a 1为钝角三角形的三边长，
则实数a的取值范围是_(_2_,8_)__ .
(3)锐角ABC中，若C＝2B,
则
c
2, 3
的取值范围是____
.
b
(4ห้องสมุดไป่ตู้在ABC中，若 b c 1,
解三角形复习
（最值问题）
你对三角形知多少？
A
1、 内角和定理: A B C
c
b
B
sin( A B) sinC,cos(A B) cos C
aC
sin A B cos C ,cos A B sin C
2
2
2
2
2、 大边对大角: a b A B sin A sin B
(1)求 cos C的值； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业的参考答案

2 3
1.(1)A 6
(2)Smax
16

2.(1)A (2) 2 2,2 2 4
3.(1)A (2)b c 3,2 3 3
3
32
4.(1)cosC 5
(2)Smax 25
(1)求角A的大小； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业：
2.在锐角ABC 中，内角A，B，C所对的边分别
为a, b, c， 且 b2
a2
c2

cos(A C ) ,
ac
sin Acos A
(1)求 角A;
(2)若a 2,求bc的取值范围.

分析多个直角三角形之间的关系，解 决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。