2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选大题冲关解答题规范训练3 新人教版

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测4 苏教版一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a、b，则4a2＋b2的最小值为________．2．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为________．4．若0≤θ≤π2，当点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14时，这条直线的斜率为________．5．P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．6．双曲线C：x2－y2＝1，若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C 的两条渐近线交于P，Q两点，且PA→＝2AQ→，则直线l的斜率为________．7．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P 作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．8．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为________．9．(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点A1(x1,0)、A2(x2,0)分别作x轴的垂线与抛物线x2＝2y分别交于点A′1、A′2，直线A′1A′2与x轴交于点A3(x3,0)，这样就称x1、x2确定了x3.同样，可由x2、x3确定x4，…，若x1＝2，x2＝3，则x5＝________.10．(xx·无锡模拟)如图所示，直线x ＝2与双曲线C ∶x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．11．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．12．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.13．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右两焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是PF 1上一点，若PF 2→·F 1F 2→＝0，OH →·PF 1→＝0，|OH →|＝λ|OF →|，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12(其中O 为坐标原点)．则椭圆C 离心率e 的最大值为________． 二、解答题(本题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)(xx·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，M (1,2)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点．(1)求直线AB 与CD 的方程；(2)判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．16．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． (1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值；(3)若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．17．(本小题满分14分)(xx·淮阴、海门、天一中学联考)已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ∶x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18．(本小题满分16分)(xx·南京模拟)在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O ，A ，B 三点的圆的方程．19．(本小题满分16分)(xx·南通、泰州、扬州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1(2,0)，离心率为e . (1)若e ＝22，求椭圆的方程； (2)设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥3，求离心率e 的取值范围． 20．(本小题满分16分)(xx ·苏州调研)如图，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴 于B 、C 两点．(1)若AB →＝λBC →，求实数λ的值；(2)设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．参考答案 过关检测(四)1．解析 由题意设x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，过定点P (1,2)，则1a ＋2b＝1，得ab ≥8(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)，所以4a 2＋b 2≥4ab ≥32(当且仅当“2a ＝b ”时取“＝”)．答案 322．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 23．解析 依题意，知切线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝kx .由|2k ＋1|k 2＋1＝2，得2k 2＋4k －1＝0， 解得k 1＝－1－62，k 2＝－1＋62， 于是，k 1＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋62＝－2. 答案 －24．解析 d ＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|1 ＝sin θ－sin 2θ＝14.即4sin 2θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝12.又0≤θ≤22，∴cos θ＝32，∴直线方程为x ＋3y －2＝0. ∴k ＝－33. 答案 －335．解析 设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时PM －PN ＝(PF 1＋2)－(PF 2－1)＝6＋3＝9 答案 96．解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件PA →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±37．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k2，k ＝－7或k ＝1.答案 －7或18．解析 易得F (－2,4)，H (2,3)，则直线FH 的方程为x ＋4y －14＝0.答案 x ＋4y －14＝09．解析 设A ′n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ，12x 2n 、A ′n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1，12x 2n ＋1，则割线A ′n A ′n ＋1的方程为：y －12x 2n ＝12x 2n ＋1－12x 2nx n ＋1－x n (x－x n )，令y ＝0得x n ＋2＝x n ＋1x n x n ＋1＋x n ，即1x n ＋2＝1x n ＋1＋1x n ，不难得到1x 3＝56，1x 4＝76，1x 5＝2.所以x 5＝12.答案 1210．解析 可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x 02a －b ＝y 0，∴[]2a ＋b 24－(a －b )2＝1，∴ab ＝14.答案 ab ＝1411．解析 如图，由PF 1→·PF 2→＝0，可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2 为矩形，因为矩形的对角线相等，故有 |PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210. 答案 21012．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b3ax x 2a 2－y2b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.答案32413．解析 由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2，∴|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案 2 314．解析 由题意知PF 2⊥F 1F 2，OH ⊥PF 1，则有△F 1OH 与△F 1PF 2相似，所以|OH ||OF 1|＝|PF 2||F 1P |＝λ，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c ＞0，P (c ，y 1)，则有c 2a 2＋y 21b 2＝1，解得y 1＝b 2a ，所以|PF 2|＝y 1＝b 2a.根据椭圆的定义得：|F 1P |＝2a －|PF 2|＝2a －b 2a，∴λ＝b 22a 2－b 2，即b 2a 2＝2λ1＋λ， 所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝21＋λ－1，显然e 2＝21＋λ－1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上是单调减函数，当λ＝13时，e 2取最大值12，故e 的最大值为22.答案2215．(1)解 设A (x 1，y 1)，则B (2－x 1,4－y 1)，代入双曲线x 2－y 22＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，2－x 12－4－y 122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝4，即A 、B 的坐标为(－1,0)、(3,4)，所以AB ：y ＝x ＋1，CD ：y ＝－x ＋3； (2)A 、B 、C 、D 四点共圆，证明如下：证明 由y ＝－x ＋3与x 2－y 22＝1联立方程组可得C 、D 的坐标分别为(－3－25，6＋25)、(－3＋25，6－25)，由三点A 、B 、C 可先确定一个圆(x ＋3)2＋(y －6)2＝40①，经检验D (－3＋25，6－25)适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．16．解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)∴当x ＝94时，PA min ＝22；当x ＝－3时，PA max ＝5.(3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2. 17．解 (1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )，则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧x 0－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．18．解 (1)由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝ 3.所以所求椭圆的方程为x 212＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)． 点F 的坐标为F (3，0)．则AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3x 2－3，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2.①又点A ，B 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋12212＋－3y 223＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，23，代入①，得点A 的坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB .所以过O ，A ，B 三点的圆就是以OB 为直径的圆．其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.19．解 (1)由e ＝22，c ＝2，得a ＝22，b ＝2. 所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22，y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 02，－y 02. ①由题意，得OM →·ON →＝0.化简，得x 20＋y 20＝4，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．②设A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y20b 2＝1，x 20＋y 20＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 20a2＋k 2x 20b 2＝1，x 20＋k 2x 20＝4⇒1a 2＋k 2b 2＝14(1＋k 2)． 将e ＝c a ＝2a，b 2＝a 2－c 2＝4e2－4，代入上式整理，得k 2(2e 2－1)＝e 4－2e 2＋1.因为e 4－2e 2＋1＞0，k 2＞0，所以2e 2－1＞0，e ＞22. 所以k 2＝e 4－2e 2＋12e 2－1≥3.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧e 4－8e 2＋4≥0，2e 2－1＞0.解之，得12＜e 2≤4－23，22＜e ≤3－1.故离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，3－1. 20．解 (1)由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.因为AB ⊥AF ， 所以直线AB 的斜率为－33.则直线AB 的方程为y ＝－33x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3.所以点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413. 所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2413，5313.因为AB →＝λBC →，所以λ＞0，且λ＝AB BC. 所以λ＝24133－2413＝85.(2)因为△ACF 是直角三角形，所以△ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2. 所以圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 因为AB 是定值，所以当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大． 过点D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点，如图所以直线m的方程为y＝3(x－1)．代入圆D的方程，得(x－1)2＋3(x－1)2＝4.所以x＝0，或x＝2(舍)．则点P的坐标为(0，－3)．@839614 9ABE 骾35595 8B0B 謋v37743 936F 鍯920052 4E54 乔,29875 74B3 璳du38721 9741 靁j20499 5013 倓。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习精选过关检测4 理新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是( )．A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交2．(xx·青岛一模)设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，m ⊂α，n⊂β，有两个命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β.那么( )．A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“非p或q”是假命题D．“非p且q”是真命题3．如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为( )．4．(xx·东北三校模拟)如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为( )．A．2π B．4πC．6π D．8π5．(xx·北京西城一模)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．(xx·皖南八校联考)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．7．(xx·泰安一模)已知α、β是两平面，m、n是两直线，则下列命题中不正确的是( )．A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，直线m在面β内，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n8．(xx·汕头一检)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )．A.1010B.15C.31010D.359．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )．A.3B.1C.3D.310．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )．A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为13二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．(xx·青岛模拟)已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为________．12．如图是一个物体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，则实数a的值为________，该物体的体积为________cm3.13．(xx·孝感二模)如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，AD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)(xx·威海一模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，AC1与A1N相交于点E.(1)求三棱锥AMNA1的体积；(2)求证：AC1⊥A1M.16．(10分)(xx·湖南十二校二模)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)求直线A1C与平面A1DE所成角的正弦值．17．(10分)(xx·潍坊一模)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D为CB的中点，P为AB边上的动点．1(1)若P为AB中点，求证DP∥平面ACC1A1；(2)若DP⊥AB，求二面角DCPB的余弦值．18．(12分)(xx·陕西五校二模)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)证明：BN⊥平面C1NB1；(2)求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值．19．(12分)(xx·北京)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，DE的E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．参考答案过关检测(四) 立体几何1．D [若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.]2．D [p是假命题，q是真命题，所以D正确．]3．B [正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.]4．C [由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.]5．A6．B [由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B.]7．D8．C [连接BA1，因为CD1∥BA1，所以∠A1BE即为异面直线BE与CD1所成的角，令AA1＝2AB＝2，则EB＝2，A1E＝1，A1B＝5，故由余弦定理得cos∠A1BE ＝31010，即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为31010.]9．D [由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是23×32＝33，故侧棱与底面所成角的余弦值为332＝36.]10．B [取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD，假设A′C⊥BD，∵OC为A′C 在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误，∵CD ⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；V A′BCD＝13S△A′BD·CD＝16，D错误，故选B.]11．解析长方体的体对角线为外接球的直径，2r＝1＋22＋32＝14，∴S＝4πr2＝14π.答案14π12．解析由三视图知，该物体为正三棱柱与球的组合体，可知a＝3，V＝43π×123＋34×22×3＝π6＋33(cm3)．答案 3 π6＋3313．点N在线段EG上点N在线段EH上14．解析如图，连接AQ，∵PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴a2≥1，a≥2.答案[2，＋∞)15．(1)解∵三棱锥AMNA1的体积等于三棱锥MANA1的体积V＝13×12×6×3×1＝2 2 .(2)证明∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥面ACC1.连接MN，由M、N分别是中点可知MN∥BC，∴MN⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴MN⊥AC1，在Rt△A1C1N中，A1N2＝NC21＋A1C2＝3＋64＝92，∴A1N＝322，在Rt△AC1C中，AC21＝CC21＋AC2＝3＋6＝9，∴AC1＝3，由CC1∥AA1可得，NE＝13NA1＝22，EC1＝13AC1＝1，∴NE2＋EC21＝NC21.∴AC1⊥A1N，∴AC1⊥面A1MN，又∵A1M⊂面A1MN，∴AC1⊥A1M. 16．解如图建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,4)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，E (0,2,1)．(1)证明：A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,1)． ∵A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0， A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0. ∴A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →. ∴A 1C ⊥平面BED .(2)A 1E →＝(－2,2，－3)，A 1D →＝(－2,0，－4)， 设平面A 1DE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0， 取n ＝(－4，－1,2)，A 1C →＝(－2,2，－4)． 设直线A 1C 与平面A 1DE 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝8－2－821·24＝1442，则直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442. 17．(1)证明 连接DP ，AC 1，∵D 为C 1B 中点，P 为AB 的中点， ∴DP ∥AC 1，又∵AC 1⊂平面ACC 1A ，DP ⊄平面ACC 1A . ∴DP ∥平面ACC 1A 1.(2)解 取AB 中点O ，连接CO ，C 1O ， 由正三棱柱性质得CC 1⊥AB ，CO ⊥AB ，∴AB ⊥平面CC 1O ，∴AB ⊥C 1O . 取OB 的中点P ，连接DP ，则DP ∥OC 1， ∴DP ⊥AB .此时，PB ＝14AB ＝12.以O 为原点，分别以CO 、OB 、过点O 平行AA 1的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .在△ABC 中，CO ＝3，OB ＝1，∴C (－3，0,0)，B (0,1,0)，P 0，12，0.又C 1(－3，0,3)，∴D －32，12，32.∴CP →＝3，12，0，CD→＝32，12，32.设平面CDP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝0，m ·CD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋12y ＝0，32x ＋12y ＋32z ＝0.令x ＝3，得y ＝－6，z ＝1， ∴m ＝(3，－6,1)．又平面BCP 的一个法向量CC 1→＝(0,0,3)，∴cos 〈m ，CC1→〉＝m ·CC 1→|m |·|CC1→|＝3210·3＝1020.即二面角DCPB 的余弦值为1020.18．(1)证明 ∵该几何体的正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图．则B (0,0,0)，N (4,4,0)，B 1(0,8,0)，C 1(0,8,4)，C (0,0,4)． ∴BN →·NB 1→＝(4,4,0)·(－4,4,0)＝－16＋16＝0，BN →·B 1C 1→＝(4,4,0)·(0,0,4)＝0.∴NB ⊥NB 1，BN ⊥B 1C 1.又NB 1与B 1C 1相交于B 1， ∴BN ⊥平面C 1NB 1.(2)解 ∵BN ⊥平面C 1NB 1，∴BN →是平面C 1B 1N 的一个法向量n 1＝(4,4,0)， 设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0，n 2·NB 1→＝0⇒⎩⎨⎧x ，y ，z ·4，4，－4＝0，x ，y ，z ·－4，4，0＝0⇒⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0，所以可取n 2＝(1,1,2)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝4＋416＋16·1＋1＋4＝13＝33.∴所求二面角CNB C 的余弦值为3.19．(1)证明 因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)解 如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)， 所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM →＝(0,1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|n ·CM →|n ||CM→||＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)解 线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)， 所以⎩⎨⎧2y －23z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3.所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．,f@ 29689 73F9 珹` ?w34069 8515 蔕e29073 7191 熑25055 61DF 懟25139 6233 戳`。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选考前小题狂练3 理 新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝[2，＋∞)， 则图中阴影部分所表示的集合为( )．A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{1} 2．命题“∃x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0”的否定是( )．A ．∃x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 B ．不存在x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 C ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0 D ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 3．设i 是虚数单位，则i 1－i3＝( )．A.12－12i B ．1＋12iC.12＋12i D ．1－12i4．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( )．A.116 B.18 C.14 D.125．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )．A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位6．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，P (X >1)＝p ，则P (X >－1)＝( )．A ．pB ．1－pC ．1－2pD ．2p7．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．68．某同学设计右面的程序框图用以计算 12＋22＋32＋…＋202的值，则在判断 框中应填写 ( )．A ．i ≤19B ．i ≥19C ．i ≤20D ．i ≤219．已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )．A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π310．函数y ＝esin x(－π≤x ≤π)的大致图象为( )．11．过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为( )．A ．2 2B ．3C ．2 3D ．612．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距等于( )．A. 5 B ．2 5 C. 3D ．2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________． 14．一个棱锥的三视图如图所示， 则这个棱锥的体积为________．15．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________．16．已知函数f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 参考答案【小题狂练(三)】1．D[阴影部分的元素x ∈A 且x ∉B ，即A ∩∁U B ，选项D 符合要求．] 2．D [根据含有量词的命题的否定知D 正确．] 3．C [i 1－i 3＝i 1＋i ＝i·1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋i 2，故选C.] 4．B[由题意知，a 4＝1，所以q ＝12，故a 7＝a 1q 6＝18.]5．D [要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.]6．B [∵P (X <－1)＝P (X >1)，则P (X >－1)＝1－p .]7．B [CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝|CB →|2＋BM →·CB →＝9＋3×22×cos 135°＝3.] 8．C [由计算式可知程序到i ＝20终止，因此判断框中应填i ≤20.]9．D [注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因此D 正确．] 10．D [取x ＝－π，0，π这三个值，可得y 总是1，故排除A 、C ；当0<x <π2时，sinx 是增函数，e x 也是增函数，故y ＝e sin x也是增函数，故选D.]11．C [直线l 的方程为：x －y ＋2＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝22＝ 2.则|MN |＝252－22＝2 3.]12．B [∵抛物线y 2＝4x 的淮线x ＝－1过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴b ＝2，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.]13．解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为29.答案 2914．解析 依题意得，该棱锥的体积等于13×(3×4)×3＝12.答案 1215．解析 双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±kx ， 直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，∴k ×(－2)＝－1，即k ＝14.∴e ＝c a＝22＋124＝52. 答案5216．解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3J35039 88DF 裟 30574 776E 睮~32722 7FD2 習A35932 8C5C 豜34955 888B 袋24854 6116 愖lI<22537 5809 堉28704 7020 瀠。

2021年高考数学二轮复习 解答题分层综合练（三）理1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．2. 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2， PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．3．(xx·莱芜模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)(2)经过多次测试后，甲解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表仅供参考：n（ad－bc）2K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）4.在边长为3的正△ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，且满足AE ＝CF ＝CP ＝1(如图1)．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，连接A 1B 、A 1P (如图2)，使平面A 1EP ⊥平面BPE .(1)求证：A 1E ⊥平面BEP ；(2)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小．5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f （n ＋1）f （n ），n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．6．(xx·青岛摸底考试)已知A (－2，0)，B (2，0)为椭圆C 的左，右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线AP 的倾斜角为3π4，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．解答题分层综合练(三) 中档解答题规范练(3)1．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.2．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)， 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]， 则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.3．解：(1)由表中数据得K 2＝50×（22×12－8×8）230×20×30×20＝509≈5.556>5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答同一道几何题的时间分别为x 、y 分钟，则基本事件满足的区域为⎩⎨⎧ 5≤x ≤76≤y ≤8(如图所示)，设事件A 为“乙比甲先解答完此题”，则满足的区域为x >y ，所以由几何概型的概率计算公式得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18. (3)X 的可能取值为0，1，2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有C 26＝15种；恰有一人被抽到有C 12·C 16＝12种；2人都被抽到有C 22＝1种，所以P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，X 的分布列为：X0 1 2 P152837128所以E (X )＝0×1528＋1×37＋2×128＝12.4．解：(1)证明：在题图1中，取BE 的中点D ，连接DF . 因为AE ＝CF ＝1，所以AF ＝AD ＝2， 而∠A ＝60°，所以△ADF 是正三角形， 又AE ＝DE ＝1，所以EF ⊥AD . 在题图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，所以∠A 1EB 为二面角A 1­EF ­B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE ， 所以A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP .(2)建立分别以EB 、EF 、EA 1为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E (0，0，0)，A 1(0，0，1)，B (2，0，0)，F (0，3，0)，P (1，3，0)，则A 1E →＝(0，0，－1)，A 1B →＝(2，0，－1)，BP →＝(－1，3，0)．设平面A 1BP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥平面A 1BP 知，n ⊥A 1B →，n ⊥BP →，即⎩⎨⎧2x －z ＝0，－x ＋3y ＝0，令x ＝3，得y ＝1，z ＝23，则n ＝(3，1，23)，cos 〈A 1E →，n 〉＝A 1E →·n|A 1E →|·|n |＝－32，〈A 1E →，n 〉＝150°，所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为60°. 5．解：(1)令x ＝n ，y ＝1， 得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，所以{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，所以f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)证明：设T n 为{a n }的前n 项和，因为a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<2.即证a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.(3)因为f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以b n ＝(9－n )f （n ＋1）f （n ）＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2，实用文档 所以当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0.所以当n ＝8或9时，S n 取得最大值．6．解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12·2a ·b ＝23，a ＝2，解得b ＝ 3.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1，0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2，则点D 的坐标为(2，－4)，BD 中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，x 24＋y 23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－27，y 0＝－127， 因为点F 的坐标为(1，0)，直线PF 的斜率为43，直线PF 的方程为：4x －3y －4＝0， 点E 到直线PF 的距离d ＝|8＋6－4|5＝2. 所以d ＝r .故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．。

实用文档1．已知平面向量=（3，1），=（x ，–3），且，则x= （ ）A ．－ 3B ．－1C ．1D ．32．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．B ．C ．D ． 4．123212lim 12311n n n n n n n n →∞--+-+-+++++（） 的值为 （ ） A ．－1 B ．0 C ． D ．15．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为的偶函数 B ．周期为的奇函数C ． 周期为2的偶函数D ．.周期为2的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 4 9．当时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（ ） A ． 4 B ．C ．2D ．10．变量x 、y 满足下列条件： 212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 11．若则（ ）A ．B ．C ．D ．12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限选择题专题训练（文三）1. C2.A3.C4. A5. B6. D7. D 8. A 9. A 10.B 11.D 12.B gpF39399 99E7 駧29491 7333 猳37975 9457 鑗36273 8DB1 趱c34318 860E 蘎€33425 8291 芑35827 8BF3 诳33594 833A 茺34403 8663 虣25026 61C2 懂实用文档。

角函数与平面向量 理 新人教版1．已知函数f (x )＝2 cos 2x －3，则下列选项正确的是( )．A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的值域为[－3，－1]2．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，若a ⊥b ，则|b |＝( )．A. 5 B ．25 C ．5D ．203．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π8 B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π4．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－36．函数y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 具有性质( )．A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，最大值为1B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，最大值为2C ．图象关于直线x ＝－π3对称，最大值为2D ．图象关于直线x ＝－π6对称，最大值为1 7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )．A.π6B.π4C.π3D.56π8．若△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1，则sin A sin B sin C的值为( )．A.14B.32C.34D.129．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB→＋AC→＝2AO→，且|OA→|＝|AC→|，则向量BA→在向量BC→方向上的射影的数量为( )．A.32B.32C．3 D．－3 210．在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是( )．A．等边三角形B．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形11．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.12．已知|a |＝|b |＝|a －b |＝2，则|3a －2b |＝________.13．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin2A ＋B 2－cos 2C＝72，且c ＝7，则△ABC 的面积的最大值为________． 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量p ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－sin A ，127，q ＝(cos 2A,2sin A )，且p ∥q . (1)求sin A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .临考易错提醒1．应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z，也可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常函数就不存在最小正周期．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是2π|ω|；求函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是π|ω|.3．易混淆y＝A sin(ωx＋φ)的图象的变换顺序，不清楚每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．4．应注意正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点与x轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心是函数图象与x轴的交点以及在定义域内被排除掉的点．5．注意向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加．向量的减法是被减向量加上减向量的相反向量，特别要注意对平面上任意一点O，向量AB→＝AO→＋OB→(加法的三角形法则)＝OB→－OA→(减法的三角形法则)．6．易混淆向量共线与直线共线的区别，向量共线是指向量所在的直线平行或者重合，而直线共线是指它们重合．7．应注意向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据AB→＝(x B－x A，yB－y A)，无论向量AB→在平面上如何移动，向量AB→的坐标是唯一的．8．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0，而不是等于0，0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0.9．易误认向量的数量积的运算定律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b )·c ≠a·(b·c )；a·b ＝0时未必有a ＝0或b ＝0.10．已知两边及其中一边的对角解三角形时，应注意对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系，二是两边的大小关系．参考答案 保温特训(三)1．D [当cos x ＝0时，f (x )取最小值，f (x )min ＝－3；当cos x ＝±1时，f (x )取最大值，f (x )max ＝－1，所以函数f (x )的值域为[－3，－1]．] 2．B [因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x －4＝0，解得x ＝4，所以|b |＝x 2＋4＝25，选B.]3．B [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ，∵x ＝π4时，y ＝1＋1＝2， ∴x ＝π4是函数图象的一条对称轴．] 4．D [由a ·(a ＋b )＝0得a ·a ＋a ·b ＝0，即|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得cos 〈a ，b 〉＝－12，∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2.又因为函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z.f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝－1.]6．A [因为y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin x ＋sin π3cos x －cos π3sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最大值为1，又当x ＝－π3时，y ＝0，故选A.] 7．A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B，sin B＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.] 8．D [根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12ab sin C ＝122R sin A ·2R sinB·sin C＝2R2sin A sin B sin C，将R＝1和S＝1代入得sin A sin B sin C＝1 2 .]9．A [由已知可知，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且A＝π2，又因为|OA→|＝|CA→|，∴C＝π3，B＝π6，∴AB＝3，AC＝1，故BA→在BC→上的射影|BA→|cos π6＝32.]10．D [∵AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，∴AB→2－AB→·AC→＝BA→·BC→＋CA→·CB→，∴AB→(AB→－AC→)＝BC→·(BA→－CA→)，∴AB→·CB→＝BC→2，∴CB→·(BC→＋AB→)＝0，∴CB→·AC→＝0，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．]11．解析∵cos α＝－45且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.∴tan α＝－34.∴tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·ta nπ4＝17.答案1 712．解析因为|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4＋4－2a·b＝4，所以解得a·b＝2，所以|3a－2b|2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝36＋16－24＝28，故|3a －2b|＝27.13．解析∵AB→·AC→＝4，∴bc cos A＝b2＋c2－a22＝4，∴b2＋c2－a2＝8，同理a2＋c2－b2＝24，∴c2＝16，∴c＝4.答案414．解析因为4sin2A＋B2－cos 2C＝72，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝7 2，2＋2cos C－2cos2C＋1＝7 2，即cos2C－cos C＋14＝0，解得cos C＝12.由余弦定理得cos C＝12＝a2＋b2－72ab，ab＝a2＋b2－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝7时，“＝”成立)从而S＝12ab sin C≤12·7·32＝734，即S的最大值为734.答案73 415．解(1)∵p∥q，∴127cos 2A＝(1－sin A)·2sin A，∴6(1－2sin2A)＝7sin A(1－sin A)，5sin2A＋7sin A－6＝0，∴sin A＝35，sin A＝－2(舍)．(2)由S△ABC＝12bc sin A＝3，b＝2，得c＝5，又cos A＝±1－sin2A＝±4 5，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A.当cos A＝45时，a2＝13，a＝13；当cos A＝－45时，a2＝45，a＝3 5.<K32354 7E62 繢23701 5C95 岕26826 68CA 棊34055 8507 蔇}j39860 9BB4 鮴32800 8020 耠n21191 52C7 勇N 33078 8136 脶。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选大题冲关解答题规范训练2 理 新人教版1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．2．如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上(异于C ，D )的点，AE ＝3，圆O 直径为9.(1)求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；(2)求二面角DBCE 的平面角的正切值．3．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格互不影响． (1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数的分布列和数学期望．4．已知函数f (x )＝－2x ＋4，令S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)． (1)求S n ；(2)设b n ＝a nS n(a ∈R )且b n <b n ＋1对所有正整数n 恒成立，求a 的取值范围． 5.如图，已知B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点， F 是椭圆右焦点，且BF ⊥x 轴，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆E 的方程；(2)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P 是l上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆E 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →，求λ的取值范围．6．已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)(x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值； (3)试求实数a 的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y ＝x 2的图象恒在函数y ＝f (x )图象的上方．【解答题规范练(二)】1．解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1， ∴2cos 2A 2－2sin 2A 2＝－1. ∴cos A ＝－12. (2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3. ∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理得a sin A ＝bsin B， 即23sin 2π3＝2sin B ，∴sin B ＝12. ∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6. ∴C ＝π－A －B ＝π6.∴c ＝b ＝2. 2．(1)证明 ∵AE 垂直于圆O 所在的平面，CD 在圆O 所在的平面上，∴AE ⊥CD . 在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，∵AD ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面ADE .∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE .(2)解 ∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD ⊥DE ，∴CE 为圆O 的直径，即CE ＝9.设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2＝81－a 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2－AE 2＝a 2－9，由81－a 2＝a 2－9，则，a ＝3 5.∴DE ＝6.以D 为坐标原点，分别以ED ，CD 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E (－6,0,0)，C (0，－35，0)，A (－6,0,3)，B (－6，－35，3)．设平面ABCD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎨⎧ －6x 1＋3z 1＝0，－35y 1＝0.取x 1＝1，则n 1＝(1,0,2)．同理，可求出平面BCE 的一个法向量为n 2＝(5，2,25)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝529，故所求的二面角平面角的正切值为25. 3．解 (1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝13，至少有一人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )(B )(C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×13×23＋12×23×13＋12×23×23＝49； P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×23×13＋12×13×23＋12×23×23＝49； P (ξ＝2)＝P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＝12×13×13＝118； P (ξ＝3)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝12×13×13＝118. 所以ξ的分布列是ξ的期望E (ξ)＝0×9＋1×9＋2×18＋3×18＝18. 4．解 (1)法一 因为f (x )＋f (1－x )＝6，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)， ∴2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2f (1)＝6n －2. 即S n ＝3n －1.法二 S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1) ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n －1n ＋n n ＋4n ＝3n －1.(2)由a n S n <a n ＋1S n ＋1，得：a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－a 3n ＋2<0(*)，显然a ≠0. ①当a <0时，则13n －1－a 3n ＋2>0，∴由(*)式得a n <0. 但当n 为偶数时，a n >0，矛盾，所以a <0不合题意；②当a >0时，因为a n >0恒成立，由a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－a 3n ＋2<0，得a >3n ＋23n －1＝1＋33n －1， 当n ＝1时，1＋33n －1取最大值52，故a >52. 综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 5．解 (1)依题意半焦距c ＝1，左焦点为F ′(－1,0)．则2a ＝|BF |＋|BF ′|，由B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，|BF |＝32， 由距离公式得|BF ′|＝52，2a ＝4，a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝22－1＝3. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设M (x 0，y 0)．∵M 在椭圆E 上，∴y 20＝34(4－x 20)． 由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →·A 2P →＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)． ∵－2<x 0<2，∴λ＝A 2M →·A 2P →∈(0,10)．6．解 (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2(x >0)，当a >0时，f ′(x )>0恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)由f ′(x )＝0得x ＝－a ，①当a ≥－1时，f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数．f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32得a ＝－32(舍)． ②当a ≤－e 时，f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上恒为减函数．则f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32得a ＝－e 2(舍)． ③当－e<a <－1时，由f ′(x )＝0得x 0＝－a .当1<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(1，x 0)上为减函数；当x 0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，e)上为增函数．∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，得a ＝－ e. 综上知：a ＝－ e.(3)由题意得：x 2>ln x －a x在(1，＋∞)上恒成立，即a >x ln x －x 3在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x ln x －x 3(x >1)，则g ′(x )＝ln x －3x 2＋1.令h (x )＝ln x －3x 2＋1，则h ′(x )＝1x－6x . 当x >1时，h ′(x )<0恒成立．∴h (x )＝g ′(x )＝ln x －3x 2＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g ′(x )<g ′(1)＝－2<0.所以g (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴g (x )<g (1)<－1，故a ≥－1.37204 9154 酔28890 70DA 烚29167 71EF 燯34610 8732 蜲22192 56B0 嚰26042 65BA 斺27381 6AF5 櫵39437 9A0D 騍33632 8360 荠%25595 63FB 揻23363 5B43 孃 C。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1函数与导数、不等式 新人教版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝( )．A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5}2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a－c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．(xx·汕头测评)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )．A ．1 B.12 C ．－12 D ．－15．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )．7．(xx·泉州质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要8．下列结论错误的是( )．A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真 C ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题9．(xx·太原模拟)a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋3b ＝1，则3a ＋1b的最小值为( )．A ．12B ．16C ．24D ．3210．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )．A ．1B ．2C ．0 D. 2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11．函数y ＝log 2x (3－x )的定义域是________．12．(xx·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)． 三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值． 16．(10分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 17．(10分)已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 18．(12分)(xx·郑州质检)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R .(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)(x ≥1)，求证：当p ≤－12时，有g (x )≤0.19．(12分)(xx·临沂一模)设函数f (x )＝x e x，g (x )＝ax 2＋x .(1)若f (x )与g (x )具有完全相同的单调区间，求a 的值； (2)若当x ≥0时恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围．参考答案1．C [∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．] 2．C [∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ， ∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.] 3．B [由f (a )＝1，得log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.]4．A [由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2.解得a ＝1.]5．B [观察函数y ＝2x和函数y ＝x ＋2的图象可知，函数f (x )＝2x－x －2有一个大于零的零点，又f (1)＝1－2＜0，f (2)＝2－2＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．]6．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，∴f ′(x )＞0，排除A 、C 项，又当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )有两个极值点，排除B 项，故选D.]7．C [函数f (x )在(1，＋∞)单调递增，则a ＞0，x ＝－b2a ≤1，所以b ≥－2a .这与f (2)≥0等价．而f (2)≥0，不能确定函数f (x )在(1，＋∞)单调递增．]8．C [根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.] 9．A [3a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝3＋9b a ＋ab＋3≥6＋2a b ·9b a ＝12(当且仅当9b a ＝ab时，取“＝”号)．]10．B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.]11．解析 由x (3－x )＞0，得0＜x ＜3，故其定义域为(0,3)．答案 (0,3)12．解析 对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0，得，a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案 2113．解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 414．解析 取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④15．解 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m ＝1± 3.∵m ＜1，∴m ＝1－ 3. 16．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1.f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ＜2－3，或x ＞2＋3时，得f ′(x )＞0； 当2－3＜x ＜2＋3时，得f ′(x )＜0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)与(2＋3，＋∞)；f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)＜0，且f ′(3)＞0， 解得54＜a ＜53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.17．解 (1)由题意知，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1，当(2b )2－4a ≤0时，f (x )无极值，当(2b )2－4a ＞0，即b 2＞a 时，f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1＝0有两个不同的解，即x 1＝－b －b 2－aa，x 2＝－b ＋b 2－a a，因此f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．①当a ＞0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12 ②当a ＜0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：12(2)由题意知f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋1≥0在区间(0,1]上恒成立，则b ≥－ax2－12x，x ∈(0,1]． 设g (x )＝－ax2－12x，x ∈(0,1]． ①当1a∈(0,1]，即a ≥1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋12x ≤－2a4＝－a .等号成立的条件为x ＝1a∈(0,1]，[g (x )]最大值＝g ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＝－a ，因此b ≥－a . ②当1a ＞1，即0＜a ＜1时，g ′(x )＝－a2＋12x 2＝1－ax 22x 2＞0，[g (x )]最大值＝g (1)＝－a2－12＝－a ＋12，所以b ≥－a ＋12. 综上所述，当a ≥1时，b ≥－a ；当0＜a ＜1时，b ≥－a ＋12.18．(1)解 当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1＞0，得0＜x ＜1，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明 由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1) ＝x ln x ＋p (x 2－1)， 得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立， 所以当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )≤g (1)＝0满足题意． 19．解 (1)f ′(x )＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，－1)内单调递减；当x ＞－1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－1，＋∞)内单调递增．又g ′(x )＝2ax ＋1，由g ′(－1)＝－2a ＋1＝0得，a ＝12.此时g (x )＝12x 2＋x ＝12(x ＋1)2－12，显然g (x )在(－∞，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)内单调递增，故a ＝12.(2)由f (x )≥g (x )，得f (x )－g (x )＝x (e x－ax －1)≥0， 令F (x )＝e x －ax －1，则F ′(x )＝e x－a . ∵x ≥0，∴F ′(x )＝e x－a ≥1－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数，而F (0)＝0， 从而当x ≥0，F (x )≥0，即f (x )≥g (x )；若a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数，而F (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时F (x )＜0，即f (x )＜g (x )，则f (x )≥g (x )不成立．综上，a 的取值范围为(－∞，1]．36947 9053 道125869 650D 攍25423 634F 捏21404 539C 厜f 29719 7417 琗 33460 82B4 芴`28464 6F30漰 U34268 85DC 藜。

教版1．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－55，则tan α＝________. 2．sin 2π4－cos 2π4的值是________．3．(xx·江苏百校联考)已知tan(α＋β)＝12，tan β＝－13，则tan α＝________.4．(xx·南师大附中阶段测试)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋15BC →，则S △APD S △ABC＝________.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则△ABC 的面积为________．6．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝________.7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 8．(xx·南师大附中阶段测试)若α，β∈(0，π)，cos α＝－750，tan β＝－13，则α＋2β＝________.9．在△ABC中，若A＝30°，b＝2，且2BA→·BC→－AB→2＝0，则△ABC的面积为________．10．已知函数f(x)＝1－3sin 2x＋2cos2x，则函数y＝f(x)的单调递减区间为________．11．(xx·苏州调研)如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.12．(xx·江苏百校联考)在△ABC中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足AP→＝sin2θ·AO→＋cos2θ·AC→(θ∈R)，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．13．已知函数f(x)＝sin x＋cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b －a的取值范围是________．14．(xx·常州质量检测)已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC＋BCAC＋AB2BC·AC的最大值为________．考前名师叮嘱1．在三角函数求值问题中，已知sin α，cos α，tan α，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任意一个，借助三角函数的定义及同角三角函数的基本关系等可以求其余五个；2．在三角函数图象变换中，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，再确定平移的单位，根据φω的符号确定平移的方向；3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω＞0的最小正周期是2πω；y＝A tan(ωx ＋φ)，ω＞0的最小正周期是πω，如果没有ω＞0的限制，在公式中要对ω加绝对值；4．含有同一个角的正弦、余弦的三角恒等变换，要充分注意同角三角函数基本关系的应用，当求值的目标比较复杂时，要注意先变换求解目标，使之达到最简的形式，然后再根据这个结果，选用已知公式进行求解；5．在处理三角形中边角关系时，一般全部化为角的关系，或者全部化为边的关系，题中出现边的一次式，可以联想到正弦定理，出现边的二次式，可以联想到余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式的变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；6．向量的数量积与它们的模和夹角有关，所以数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直)等问题的重要工具；7．坐标运算是向量的又一种运算，要明确向量平行与垂直的两个充要条件，然后由题设条件建立相关参数的方程组．参考答案保温特训(三)1．解析利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－255－55＝2.答案22．解析利用二倍角的余弦公式求解．sin2π4－cos2π4＝－cos⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＝0.答案03．解析tan α＝tan[(α＋β)－β]＝12＋131－16＝1.答案14．解析取BC的中点为P，则AD→＝14(AB→＋AC→)＝12AP→，则点D是中线AP的中点，所以S△APDS△ABC＝110.答案1 105．解析由正弦定理得sin B＝b sin Cc＝12，所以B＝π6＝A，所以a＝b＝1，故答案346．解析 因为函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝π2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π2＝12.答案127．解析 由诱导公式可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝29－1＝－79. 答案 －798．解析 由条件得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－17，tan β＝－13，所以tan 2β＝－231－19＝－34，tan(α＋2β)＝－17－341－328＝－1，所以α＋2β＝11π4.答案11π49．解析 因为2BA →·BC →－AB →2＝0，所以2ac cos B －c 2＝0⇒a 2＋c 2－b 2＝c 2⇒a ＝b ＝2，所以∠A ＝∠B ＝30°，∠C ＝120°，所以△ABC 的面积为12×2×2×32＝3. 答案310．解析 因为f (x )＝1－3sin 2x ＋2cos 2x ＝2＋cos 2x －3sin 2x ＝2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z 时函数递减，所以递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )11．解析 在△BCD 中，由余弦定理可得BC ＝103，在直角△ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝30. 答案 3012．解析 因为AP →＝sin 2θ·AO →＋cos 2θ·AC →(θ∈R )，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以C 、P 、O 三点共线，且sin 2θ，cos 2θ∈[0,1]，所以点P 在线段OC 上，设|PO →|＝t (t ∈[0,2])，故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2t (2－t )(－1)＝2t 2－4t ，当t ＝1时，取最小值－2.答案 －213．解析 由条件可得，长度最小的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，此时b －a ＝3π4，长度最大的定义域可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，此时b －a ＝3π2，即b －a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 14．解析 由三角形的面积公式得12c 2＝12ab sin C ⇒c 2ab＝sin C ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ⇒a b ＋b a ＝c 2ab ＋2cos C ＝sin C ＋2cos C ，所以AC BC ＋BCAC＋AB 2BC ·AC ＝2sin C ＋2cos C ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4，最大值是2 2.答案 2227267 6A83 檃20739 5103 儃37090 90E2 郢36644 8F24 輤332710 7FC6 翆 35389 8A3D 訽37983 945F 鑟@26905 6919 椙39685 9B05 鬅22440 57A8 垨v*。

2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测3 苏教版(2)一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分) 1．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 3．(xx·南京学情分析)若不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．4．已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．5．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________.6．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝________.7．(xx·南京模拟)已知集合P ＝⎩⎨⎧x ，y⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3≥0，4x ＋3y －6≤0，y ≥0，x ≥0，Q ＝{(x ，y )|(x－a )2＋(y －b )2≤r 2，r ＞0}．若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是______．8．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.9．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________． 10．(xx·无锡模拟)已知f (x )＝x 2－52x，f (3＋2sin θ)＜m 2＋3m －2对一切θ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．11．(xx·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．12．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．13．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1125的最小正整数n 是________． 14．已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2，2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 时成立，则αβ＝________.二、解答题(本题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －ax －a 2＋1＜0，x ∈R. (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围； (2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．17．(本小题满分14分)已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q .(1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分16分)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23.(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．19．(本小题满分16分)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1＜c n .20．(本小题满分16分)(xx·苏锡常镇扬调研)如图，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，底AB 的长为4(百米)．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S 1和S 2. (1)若小路一端E 为AC 的中心，求此时小路的长度； (2)求S 1S 2的最小值．过关检测(三)1．解析 设公差为d . 则a 5－a 2＝3d ＝6，∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13. 答案 132．解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 2＋a 102＝11×42＝22.答案 223．解析 由题意，得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.答案 {a |－1＜a ＜3}4．解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10 5．解析 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n.答案 n ·2n6．解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.答案 287．解析 集合P 所在区间如图阴影部分所示，由题意，Q⊆P ，且AB ⊥BC ，所以当r 最大时，圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2是四边形OABC 的内切圆，从而a ＝b ＝r ，于是由|3a －4a ＋3|5＝a 且|4a ＋3a －6|5＝a ，解得a ＝b ＝12，所以ab ＝14.答案 148．解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100.答案 1009．解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋2≥2x 2·14x2＋2 y 2·14y2＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时取等号． 答案 410．解析 由题意m 2＋3m －2＞f (3＋2sin θ)的最大值．设x ＝3＋2sin θ，则x ∈[1,5]．问题转化为求f (x )＝x 2－52x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5x 在x ∈[1,5]上的最大值，由f (x )在[1,5]上单调增，得f (x )max ＝f (5)＝2.于是由m 2＋3m －2＞2，即m 2＋3m －4＞0解得m ＜－4或m ＞1. 答案 (－∞，－4)∪(1，＋∞)11．解析 因为a 7＝S 7－S 6＝2×72＋7p －2×62－6p ＝26＋p ＝11，所以p ＝－15，S n ＝2n 2－15n ，a n ＝S n －S n －1＝4n －17(n ≥2)，当n ＝1时也满足．于是由a k ＋a k ＋1＝8k －30＞12，得k ＞214＞5.又k ∈N *，所以k ≥6，即k min ＝6.答案 612．解析 设鱼池的长、宽分别为x m ，432x，所以S ＝(x ＋6)·⎝ ⎛⎭⎪⎫432x ＋8＝432＋48＋2 592x＋8x ≥480＋288＝768，仅当8x ＝2 592x，即x ＝18，432x＝24时等号成立．答案 24 m 18 m13．解析 由3a n ＋1＋a n ＝4得，a n ＋1－1＝－13(a n －1)(运用构造数列法)，∴{a n －1}是以a 1－1＝8为首项，以－13为公比的等比数列，所以a n －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，所以a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋1.所以S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋n ＝8×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1＋13＋n ＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n×6＋n ，所以|S n －n －6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ×6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ×6＜1125，即3n＞750.将n ＝5,6,7代入验证符合题意的最小正整数n ＝7. 答案 714．解析 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2，2a 4＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q ，22＋3d ＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2d ≠0，q ＝4，所以a n ＝2n ，b n ＝22n －2，代入a n ＝log αb n＋β，得2n ＝(2n －2)log α2＋β，即2n (1－log α2)＝β－2log α2，所以⎩⎪⎨⎪⎧log α2＝1，β－2log α2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，β＝2.故αβ＝22＝4.答案 415．解 (1)若4∈B ，则4－a3－a2＜0⇒a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12.②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.16．(1)解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n)，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]， 两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞52.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.17．解 (1)由已知Q ＝{x |ax 2－2x ＋2＞0}，若P ∩Q ≠∅，则说明在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x值，使不等式ax 2－2x ＋2＞0成立，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个x 值，使a ＞2x －2x 2成立，令u ＝2x －2x 2，则只需a ＞u min .又u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.从而u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12， ∴a ＞－4，∴a 的取值范围是{a |a ＞－4}．(2)方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，则方程ax 2－2x ＋2＝4，即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，分离a 与x ，得a ＝2x 2＋2x ，故在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有x 的值，使a ＝2x 2＋2x 成立． ∵a ＝2x 2＋2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12， ∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. 18．解 (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44.∴a n ＋2－a n ＝2，又a 2＋a 1＝2－44，∴a 2＝－19.同理得：a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列．从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －24n 为奇数，n －21n 为偶数.(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 22－22n ，故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －12·(－44)＝－23＋n ＋1n －12－22(n －1)＝n 22－22n －32. 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243.综上所述：当n 为偶数时，S n 取得最小值为－242；当n 为奇数时，S n 取最小值为－243.19．(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝23n ＋1(－2n －1)＜0， ∴c n ＋1＜c n .20．解 (1)因为E 为AC 的中点，所以AE ＝CE ＝32.因为32＋3＜32＋4，所以点F 不在BC 上．若点F 在AB 上，则AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3.所以AE ＋AF ＝5，AE ＝32.所以AF ＝72＜4.在△ABC 中，cos A ＝23.在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos A ＝94＋494－2×32×72×23＝152，所以EF ＝302. 即小路一端E 为AC 的中点时小路的长度为302(百米)． (2)若小道的端点E 、F 都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF ＝y ，则x ＋y ＝5. S 1S 2＝S △CAB －S △CEF S △CEF ＝S △CAB S △CEF－1 ＝12CA ·CB sin C 12CE ·CF sin C －1 ＝9xy －1≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1 ＝1125(当x ＝y ＝52时取等号)． 若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC )上和底上， 设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5. S 1S 2＝S △ABC －S △AEF S △AEF ＝S △ABC S △AEF－1＝12xy－1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝2325(当x ＝y ＝52时取等号)．11 25.27934 6D1E 洞34632 8748 蝈37757 937D 鍽29636 73C4 珄<25702 6466 摦 •38650 96FA 雺>27572 6BB4 殴27126 69F6 槶23107 5A43 婃t<故最小值是。