必修5课件 1.1.1 正弦定理

解析：(1)∵a＝7，b＝8，∴a＜b，A＜B. 又∵A＝105°＞90°，∴三角形无解．
(2)由正弦定理得：sin B＝bsian A＝20·s1in0 60°＝ 3＞1， ∴三角形无解．
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(3)由正弦定理得：
sin
B＝bsicn
C＝10·sin 60°＝ 56
22，
∴B＝45°或135°，又∵b＜c，
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题型3 判定三角形的形状
例3 在△ABC中，已知acos B＝bcos A，判断△ABC的 形状．
解析：由正弦定理可知：sina A＝sinb B＝2R， 所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半 径． 依题意acos B＝bcos A， ∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 得sin Acos B－sin Bcos A＝0， 即sin (A－B)＝0，所以A－B＝0，即A＝B， 所以△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰直角三角形．
A为锐角
图 形
A为钝角或直角
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关系 式解 的个
数
①a＝bsin A ②a≥b
b sin A a b
一解
两解
a＜bsin A 无解
a＞b 一解
a≤b 无解
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跟踪 训练
2．已知在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，解这
个三角形．
解析：由正弦定理得sin3A＝sin 425°，sin A＝ 23，A＝60°或 120°.
答案：(1)大于
(2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7.
答案：1<x<7
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7．在△ABC中，已知A＝60°，sin B＝，则角B的大小为 ______．

sin a；A
b
c
b
b
sinB= c ，c = sin ；B
C
a
B
c
c
sinC= c ，c = sin ；C
课堂引入：
Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C 所b
？C
B
你能够得到什么结论？ a
课堂引入：
• 结论：在Rt△ABC中 ，∠A、∠B、∠C所对的 三边长分别为a，b，c， 则有：
角时，我们求解时会出现三种不同的 结果，这是为什么呢？
？什么情况下会有两解、一解或者是
无解的情况呢？
定理应用：
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况：
定理应用：
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况： ⑴若A为锐角时：
a bsinA 无解
（大边对大角）
a bsinA 一解(直角)
“向量法”
定理证明：
• 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
C
a a CD 2R siA n siD n
b
a
O
B
∴ sianAsibnBs=ic2nC R
A
（R为外接圆半径）
c
D
“外接圆法”
正弦定理：
在三角形ABC， ∠A、∠B、∠C所对的 三边长分别为a，b，c，则有：
a b c 2R sinA sinB siC n
2．理论上正弦定理可解决两类问题：
⑴两角和任意一边，求其它两边和一角； ⑵两边和其中一边对角，求另一边的对角， 进而可求其它的边和角．
定理应用：
从理论上正弦定理可解决两类问题： ①．已知两角和任意一边，求其它两边和 一角； ②．已知两边和其中一边对角，求另一边 的对角，进而可求其它的边和角。

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．

[通一类] 1． [例题多维思考] 若本题条件“(a2＋c2－b2)· tan B＝ 3 3 2 ac”改为“S△ABC＝ (b －a2－c2)”，其他不变，结果 12 如何？
3 2 1 2 2 解：∵S△ABC＝ (b －a －c )＝ ac· sin B， 12 2 ∴a2＋c2－b2＝－2 3ac· sin B. a2＋c2－b2 －2 3ac· sin B ∴cos B＝ ＝ ＝－ 3sin B. 2ac 2ac sin B 3 ∴ ＝－ . cos B 3 3 即 tan B＝－ . 3 ∵0<B<π， 5 ∴B＝ π. 6
2 2 2 2 2
∴c＝4.
(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x， 由余弦定理得： b2＋c2－a2 3x2＋4x2－x2 3 cos A＝ ＝ ＝ . 2bc 2 2· 3x· 2x π ∵0<A<π，∴A＝ . 6 π 同理可求得 B＝ . 3 π ∴C＝π－(A＋B)＝ . 2
《1.1.1 正弦定理》 课件 7
[读教材· 填要点]
余弦定理
语言 三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和 叙述 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 b2＝ a ＋c －2accos B 表达 2＋b2－2abcos C a 2 c＝
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc
a b c [自主解答] (1)由正弦定理，设 ＝ ＝ ＝ k， sin A sin B sin C 2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A 则 b ＝ ＝ ， ksin B sin B cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ . cos B sin B

A 60°
第二十二页，编辑于星期日：四点 十三分。
总结
条件
图形
解的 个数
a<bsinA
C
AD
无解
a=bsinA bsinA<a<b ab C
C
D A B2 B1
C
AB
AD B
一解 两解 一解
ab C
A
无解
a>b
C AB
一解
第二十三页，编辑于星期日：四点 十三分。
第二十四页，编辑于星期日：四点 十三分。
abc sin A sin B sin C
k
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业： P10
2
第二十页，编辑于星期日：四点 十三分。
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判
断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2°） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
C=124.30, c a sin C 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出
三角形的其他的边和角。
第十六页，编辑于星期日：四点 十三分。
1.1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450, a 2,b 2,求B
B=300
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（根据向量的数量积的 定义）
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sin C c sin A a c sin A sin C

提示:这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径.
4.推论:设

R 是△ABC 外接圆的半径,则sin
=

sin
=

=2R.
sin
课前篇自主预习
5.做一做:
(1)判断正误.
①正弦定理只适用于锐角三角形和钝角三角形,不适用于直角三
角形. (
)
②在△ABC中,一定有asin A=bsin B=csin C. (
①a>b,一个解;
探究三
核心要点
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
核心要点
当堂检测
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助
边之间的关系进行判断.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
核心要点
当堂检测
变式训练已知△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(
)
答案:①× ②×
sin
=
sin
(2)①在△ABC 中,若 a=4b,则


;
②在△ABC 中,若sin = cos,则角 C=


sin

.
4
解析:①因为sin = sin,所以sin = = =4.




②因为sin = sin,又因为sin = cos,
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.
典例满足条件a=4,b=3 √2 ,A=45°的三角形的个数是(
)
A.1个
B.2个
C.无数个
D.不存在
分析:先求出bsin A的值,然后与a,b比较,可以判断解的个数.

自主解答：A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
b＝as·isninAB＝10× sins7i5n6°0°＝1406×＋
3 22＝5(3 4
2－
6)，
c＝as·isninAC＝106×＋
2 22＝习1．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°,
b＝ 2 ，则 a＝（ B ） 1
的取值范围是

0,
3

若A 是最大角，则A
的取值范围是
3
,


2.在△ABC中，A,B,C的对边分别为 a, b, c 则
(1)
a bc sin A sin B sin C
(2) a : b : c＝ sinA∶sinB∶sinC
3.解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的__边__和__角____
如
a＝
bsinA； sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角
的正弦值，如 sinA＝absinB.
三.利用正弦定理求三角形的边和角
题型一:已知两角及一边解三角形 例1 ：在△ ABC 中，已知 a＝10，B＝60°，C＝45°，求 A，b，c.
思维突破：已知两角及一边，可直接用正弦定理及三角形内角和定理得到.
思考：你还会用 其它方法证明吗？
正弦定理内容： a b c 2R sin A sin B sin C
合作探究1：
1．正弦定理对任意三角形都适合吗？
都适用。
2．用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？哪几个？ 三个，任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角。
3．正弦定理的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边与角，

6
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• 单击此例处编2辑母版文本样式 • 第二级 • 第根三据级 下列条件解三角形： • 第四级 （1）• b第=五4级0,c=20,C=25 （2）a=15,b=20,A=108
7
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• 单•击第此二练处级 编习辑：母版文本样式
• 第三级
（• 第口四答级）一个三角形的两角分别是 30 和45 ，若角45 所对边 • 第五级
3
单正击弦此定处理编辑母版标题样式
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• 第二级
• 第三级
abc sin A sin B sin C
• 第四级
• 第五级
你能证明吗？
4
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利用正弦定理，可以解决以下两类解斜 • 单三击角此形处编的辑问母题版文：本样式
• 第二级
（1）•已第知三级两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先 • 第四级 用三角形•内第角五级和定理求出第三角，再使用正弦定理）；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步 求出其他的边和角）．
5
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• 第•二第在级三级ABC中， （1•）第已四• 级第知五级a 16,b 26, A 30，求B,C, c （2）已知a 16,b 26, A 30，求B,C, c．
的长为8，那么角 30 所对边的长是
.
8
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• 单•击第此二处级练编习辑母版文本样式
• 第•在三第级四A级BC中： （1）• 已第五知级A=75 , B 45 , c 3 2, 求C, b． （2）已知A=30 , B 120 ,b 12,求a, c．

由正弦定理sibnB＝sianA得，
b＝assiinnAB＝8×sinsi4n56°0°＝4 6，
由sianA＝sincC得，
c＝assiinnAC＝8×sinsi4n57°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
点评：已知两角和一边(如 B，C，a)，求其他角与边的 步骤是：
(1)A＝180°－(B＋C)； (2)用正弦定理，b＝assiinnAB； (3)用正弦定理，c＝assiinnAC.
解：(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105°>90°，本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，C＝60°<90°，本题有一解．
∵sinB＝bsicnC＝10·5sin660°＝ 22，
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝bssiinnBA＝10×sins4in57°5°＝10×
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC 中，sinA:sinB:sinC＝a:b:c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3
D．4
【解析】由正弦定理的概念知③④正确．
【答案】B
2．在△ABC 中，若 A＝60°，B＝45°，BC＝3 2，则
1.1.1 正弦定理
学习目标： 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及 其变形． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的 形状.
新知初探 1．正弦定理 (1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_正__弦__
的比相等，即在△ABC 中，sianA＝sibnB＝__si_nc_C__. (2)变形：设△ABC 的外接圆的半径为 R，则有 sianA＝sibnB＝sincC＝__2_R__.

2
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。

2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30