微积分 定积分 练习题

定积分练习题定积分练习题在微积分学习中，定积分是一个重要的概念和工具。

它不仅可以用来计算曲线下的面积，还可以解决各种实际问题。

为了更好地理解和应用定积分，下面将给出一些练习题，通过解题的过程来加深对定积分的理解。

1. 计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。

解析：根据定积分的定义，我们可以将曲线y = x^2与x轴所围成的面积表示为∫[0, 2] x^2 dx。

为了计算这个积分，我们可以使用定积分的基本性质，即将曲线下的面积分成若干个小矩形，然后将这些矩形的面积相加。

将区间[0, 2]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = (xi)^2。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[0, 2] x^2 dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[0, 2] x^2 dx = 8/3。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

解析：这个定积分的计算与上一个例子类似。

我们可以将曲线y = 2x+1与x轴所围成的面积表示为∫[1, 3] (2x+1) dx。

同样地，我们可以将区间[1, 3]均匀分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (3-1)/n = 2/n。

在每个小区间中，选择一个任意点xi，然后计算该点处的函数值f(xi) = 2xi+1。

然后将每个小矩形的面积f(xi)Δx相加，即可得到曲线下的面积。

当n趋向于无穷大时，这个和式就可以表示为定积分∫[1, 3] (2x+1) dx。

通过计算这个和式，我们可以得到∫[1, 3] (2x+1) dx = 12。

3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

解析：这个定积分的计算稍微复杂一些，因为它涉及到三角函数。

我们可以将曲线y = sin(x)与x轴所围成的面积表示为∫[0, π/2] sin(x) dx。

练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。

定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<c)C ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：—(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪x4402＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )`A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.&∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x 的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ))[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )B ．1C ．4[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76 [答案] A~[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3dx ＝⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C（[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323. 4－x2dx ＝( )《A ．4πB ．2πC ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面|B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区】6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________. —[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， -即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12—C ．1或－12D ．－1或－12 [答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，,∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。

常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。

【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。

【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。

综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微稅分公式与定稅分廿算练习（附加三角函数公茨）一、基本导数公式⑴（C°（2）宀旷（3）（g）' =cosx⑷(cosx) =-sinx(5)(kmx) = sec2 x^(cot x) = -esc2 x(7)(secx) =secx ・tanx(8)(cscx) =-cscxcotx(log *)' = —1—(arcsin x) = 2_. (arccos x) = _ --^=⑫' 7x\n a丁1一2(⑷”1一2 ^（arctanx/^^Carccotx；=-占肋（0 = 1二、导数的四则运算法剧(w±v) =11 ±V r(MV)= ll'v + UV三、高阶导数的运算法剧（1）［"（WWxF—WQWx）1'”[“(ox + b)]'" = aS/切(o¥ + Z?)(4) ［“⑴•咻）尸）（x》H（x）JO囚、基本初等函数的n阶导数分衣（汕“（2）（严『(1 )⑶（打”）Mintsin(ox+b)Y) (4)7T 12>=a' sin ax+ b + n •—cos(ax +方)"⑸=a n cos ax + b + n•兰2丿\(町< ax + b）⑹五、微分公式与fit分运算法剧帥（祇+对"=（-1）"心"心一邛⑺cix + h)fl---- + c \naf ——dx= fsec 2 xdx = tanx + c ⑻」cos* x Jf —L — = f esc 2 xdx = -cot x + c f —⑼」siirx J(10」1 +对f dx = arcsin x + c(11) Jl-F八、补充秋分公貳J tan xdx = -In |cos x| + c J cot xdx = In |sin x| + cJ sec xdx = ln|sec x + tanx| + c j esc xdx = In |cscx-cot x\ + cc 11 x fl » x-a⑴ d (c) = 0 ⑵〃 (x")= “严么⑶〃 (sin x) = cos xdx(4) 〃 (cos x) = _sin 人〃v (5)d (tan x ) = sec 2 xdx 伦)d (cot x) = -esc 2 xdx(7)d (sec x) = sec x ・ tan xdx 侶)d (esc x) = - esc x cot xdx^.d(e x \ = e x dx.^.d(a x \ = a x \nadx,. ⑼ '丿 (10 '丿 (11)〃仃co U _1 d (arcsin x] = dx J(arccosx)=——=2dxd (arctan x)=〔】、dx d (arc cot -v)=-〔】、dxAs 做分运算法U⑴〃 (“ ± v ) = du ± dv ⑵ d (cu) = cdu⑶ d (wv) = vdu + udv ⑷ "L 一 lt ^v「丿v 2七.基本稅分公式kdx = kx+c"严⑶用讪⑺ j* sin xdx = - cos x+cdx = arctan x + cJ 1.. Jx = arcsin - + c [ 1.十、分部积分法公式⑴形如J""%,令« = dv = e ax dx 形』X sin皿令U = X n , dv = sin xdx 形』x”cos皿令十,d v =CO sxdx ⑵形如J V ，! aiCtan Xcix ,令“ =arctan x clv = x n clx 形如J V 4 ,令u = In xt dv = x'l dx⑶形如F Shl皿」严CQSxdx令“=严,血x,cosx均可十一、第二换元稅分法中的三角換元公貳dx = \n x + yjx2 ±a2⑴ J/x = osin/ ⑵ J ，+F x = atant (3)~a x = asect【将殊角的三角函数值】(1)cosO = 1k 73cos —=——6 2十二.重要公式（系数不为0的怖况）1-cosx-sinx 〜x tanx 〜x arcsinx 〜x arctan x~ x ln(l + x)~U~2—l~xlz十四、三角函数公衣1 •两角和公实sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A 一 3) = sin A cos B 一 cos A sin B cos(A + B) = cos A cos B-sinA sin B cos( A -B) = cos A cos B + sin 4 sin 3(1)sin 0 = 0 兀1sin — = _ (2) 6 2 (3)龙>/3sin —=——3 2sin — = 1 (4) 2 (5 ) sin 龙=0(1)tan 0 = 0(2)tanM6 3(3)tan ?=^(4) tan — 2 不存在(5) tan^ = 0 (1 ) 8t°不存在(2)cot- = V36(3)cot —3(4)7T ccot — = 02 (5) co”不存在 cos — = 0 (4) 2(5 ) cos/= _1(1 )(4)(7) sin x (lim ------- = 1lim 亦=1 lim arc cot x = 0XT30 (10)lim e x = oo2lim(l + x)7 =e (2)-八 7limarctanx = —(5 ) 一 2 lim arccot x =(8 ) x 一+ ・・・ + ©_\in\yfa(a >o) = 1lim «rctanx = - —(6 ) —x 2 (9) !呼 _0(12)十三、 下列常用等价无穷小关系（XT°）z 4 c、 tan A + tan 3 z 4 补 tan A- tan Btan(A + B) = ---------------------- tan(A -B) = ------------------------1 - tan A tan B 1 + tan A tan B/ , cot A ・ cot 3 — 1 z 4 c 、 cot A cotB + \cot(A + B) =----------------------- cot(A _ B)= -------------------------cot B +cot A cot B-cotA2 •二倍角公式sin 2A = 2 sin A cos A cos2A = cos 1 2 A-sin 2 A = l-2sin 2 A = 2cos 2 A-l 2 tan >4tan 2A = ---------- —1-tan" A3•半角公成.A /1-cosA A /1 + cosA Sin 7_V —2 — COS 2~\ —2—4 •和差化秋公6•万能公衣2 tan — 2 sin a = ---------- --- cos a =1-tan 2 — —tan a = 2- 1-tan 2- 2 27 •平方关系sin 2 x + cos 2 x= 1 sec 2 x-tan 2 x = \ csc 2x-cot 2x = l8.fl«关系tanx ・cotx = l secx-cosx= 1 cscx sinx = \9 •商数关系sinx cosxtan x = ------- cot x = ---------cos x sinx1 + tan2 —21+cos A sin A・ ・, c ・a+bsintz + sin/? = 2sin --------2 f c a + b cos a + cosb = 2 cos -------2a-b .・, r a + b . (i_b・ cos --- sin a 一 sin b = 2 cos2 2 2a_b f c . a + b . u_b cos a 一 cos b = -2 sin ----------- sin -------- 2•cos •sintan a + tan /?=sin(d + b)cos "・差公 Stsinasinb = -— 2L ]rcos (a + Z?) — cos (a -b)]sinocosZ? = — sin (« + /?) +sin (€/-/?) cos a sin Z?=21 r n cos a cos/? = — [cos (a+ Z?) + cos—[sin (//+ Z?)-sin (6/-/?)] 22tanI1 + tanA tan —= 21-cos A sin A A ------ = cot —= 1 + cos A 1 + cos A 21 一 cos A 1 一 cos A十五.几种常见的St分方程dv3.—阶拔性非齐次St 分方程：^+，，（A ）V =（?（A ）髙考定稅分应用常见題型大全选择题（共21小愿）1. （2012.） $0图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,囲点P 怡好取自明彫部分A. 1B. 1C. 1 D ・145672. （2010.）由曲a y=x 2, y=x 3围成的齐闭图形面枳为（ ）A. 1B. 1C. 1D. 712 4 3122,汪[0, 1]3•设f （x ）=l 2-^ 圧（1，2],因数图象与x 讷围成討闭区域的而枳为（ ）A. 3B. 45C. 5 6D.674（2对丄） d x4. 定枳分1X的值为（ )A. 9B. 3+ln2c. 3-ln2D. 6+ln245. 如图所示，曲Sy=x 2和曲Sy=V^围成一个叶形图（明影跚分），貝面枳是（ ）dy1 •可分离变量的做分方程：页= /(x)g(y)/1 (x)gi (y)^+z (x)g2 (y)dy=o2 •齐次做分方程:解为广"平（4sJ 2 开(x+cosx) dx6. 飞 =()A. TtB. 2C. -n7. 已知函»f (x)的定义域Jl[-2, 4],且f (4)=f(・2)虬f (x)为f(x)的导函数,函数y=f ( x )的图象如图所示，團平面区锁f ( 2a +b ) <1 (a^O, b^O)所围成的而枳是8. f oVdx 与f o 1e xdx 相比有关系氏() A.2B. 2/ o'e'dx < J oQ dx J o 1e <dx> / Je” dx C.2D.z(f <e x dx ) 2= / 01e' dxJ Je x dx=( 01e' dxD ・返2D. 4C. 5D. 89. 若a= j JTO HQ「1 ,b= Jo cosxdx,则a 与b 的关系是(A. a< bB. a> bC. a=b10. r a J 0 ({1 - Cx-1) 2"X 2)%值是( )A. 7T _ 1B.兀_ ■ 1 C ・兀一 .14 3 432 3S R sinxdx)D. a+b=OD.兀11.若f(x)=2A. 12+e2 - eX>1h X<1（e为自然对数的U数），则；o f 3）12-e2+eB. 12+ec. D.dx ,=(丄-・e12.已知f(x)=2-|x|, M3 dx=(A. 3B. 4C.)3.5 D.4.513.设f ( x ) =3 - |x -1|, | J 22f ( x ) dx=(A. 7B. 8C. 7.5D. 6.514.枳分『三aVa2 - x2dx；15.f 巳知函数A. 1/216.是( A. 4(x)二C.na2D.2na2cosx,"x+b 0<x<1的图象与X轴所围成图形的面枳为（）B. 1C. 2D. 3/2_3兀由因数y=cosx ( 0WXW2H )的图象与頁线* 2 K y=l Bi围成的一f封团图％的面枳C. 7T “T+1° 2n17.曲Sy=x3在点（1, 1） 5b的幼裁与x轴及直线xT两围成的三角形曲而枳为（）A・丄B・212 6 C. 13D.丄2A. 16B. 18C. 20D. 2219.如图中阴影跚分的面枳是（尸sin. (x - 20.曲线 A. V2T-手）（0<x< 葺）―44 与坐标轴围成的面枳是（）B. 2-^2C. V2D. Q V22pk21.如图，P （3a, a ）是反比网函y=x （ k> 0 ）与00的一个交点，图中明影册分的面枳髙考定稅分应用常见題型大全（含答案）参考答案与試题解析选择題（共21小題）1. （2012.） 50图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P, IM 点P 恰好取自明影部分的側率为（ ）B. 9-2^3C. 32D. 35为10n,囲反比例因数的解桥衣为（B. 10y-D. 27y-y=x考/定枳分在求面枳中的应用;JI ・501974 专趣：计算臥分析：根H 題意，易得正方形OABC 的面枳，观察图形可得，阴黔部分由因数XX 与戶"匚围 成，由定枳分公式，廿算可得阴黔部分的面枳，逍而由几何槪塑公衣廿算可得答案.解答：解:禺据题意,正方形OABC 的面枳为1 x1=1,_2 2 2而明黔部分由因数y=x 与戶换围成，貝面枳为山(讥・x)dx=(亏/・2)|上瓦16 _1则正方形OABC 中任取一点P,点P 取自阴影部分的御率为二乞； 故选C.fiih 本题考査几何枫世的廿算，涉及定枳分在求面枳中的应用，关进是正彌卄算出阴影跚 分的面枳・ 考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专趣：计算题.分析：要求曲8y=x 3, y=x 3围应的討阳图形面枳,根据定稅分的几何意义,只要求/o 1(x 2-X s ) dxU 可.解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是(1, 1), (0, 0)故枳分区间是[0, 1]—X 1 - A X l~-所求封闭图形的面枳为丿oUx 2 ・x 3)dx=3 4 12,故选A.目评：本题考査定枳分的星胡知识，由定枳分求曲线围戒封闭图形的面枳.3 (2010-)由曲s y=x 2, y=x 3围应的对闻图形面枳为()A. _14 B. _15 C.丄6D. 17A. 112B. _14C.丄3D. 712x 2, xE [0, 1]3•设f （x ）=l 2_x »圧（1，2],因数图象与x 抽围成討ffl 区域的而枳为（ ） A. 3B. 4C. _5D. _64 5 6 7考点：分段函数的解折貳*法及其图象的作法；因数的图象；定枳分在求面枳中的应 用.501974 专趣：计算題；数形结合.分析「利用坐标系屮作出函数图象的形状，通过定枳分的企貳，分别对两部分用定枳分求出 其面枳，再把它们«|加，即可求出围戒的封用区域曲血图形的面枳.故选C自评：本題考査分段因数的图象相定枳分的运用，考查枳分与曲ii 图形面枳的关系，属干中 時題•解題关邃是找出被枳函数的原函数，注恿运算的准确性・考点：定枳分；傲枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974专题:廿算臥分析：由題设条件，求岀被枳函数的原函数，然后根掘槪枳分基本定理求岀定枳分的值即可. 解答： r 2(2x+-) dx解: 1X = ( x 2+lnx ) |i 2= ( 22+ln2 ) - (12+ln1 ) =3+ln2故选 B.4.「2 定枳分1 （2x+丄）dxx的值为(A. 9B. 3+ln2）C ・ 3-ln2 D. 6+ln2s= S Jx 2dx+r f ■ (2- x) dx二# (2 - 号)冷Sih 本題考査求定枳分，求解的关建是拿常住定枳分的定义及相关因数的导数的求法，属 于基胡題・考/定枳分；定枳分的简单应用.501974 专題：计算臥分析：味立由曲S y=x 2fn 曲找X 仮两个解桥貳求出交点坐林，然后在XG (0, 1)区间上 利用定枳分的方法求出围应的面枳即可.(x=l (x=0 解得(尸1或ty=o,设曲线与頁线围应的面枳力s,_1囲 s= J' o 1 (Vx-X 2) dx=3 故选：C目评：考查学生求因数交点帝法的能力，利用定枳分求图形而枳的能力.J 2 开(x+cosx) dx 6. 一" =() A. TiB. 2考fi ： a 枳分基本定理；定枳分的简单应用.501974 专题:计算臥 分析：1由于 F ( x ) = 2x 2+sinx 为 f ( x ) =x+cosx 的一个原函数即 F ( x )二f ( x ), ffi 据 J ?f ( x )dx=F (x)『公氏即可求出值.解苔： 1解：•・•( 2x 2++sinx) =x+cosx,D.返2C.-nD. 423貝而枳是( )=(2x 2+sinx ) 2=2.故笞案为:2.点评：此題考査学生拿捋函数的求导法则，会求因数的定枳分运算，是一道基就臥7.已知函 at (x)的定艾域为［-2, 4］, flf(4)=f( - 2)=1, f'(x ) ^f(x)的导函数,函数y=f* ( x )的图象如图所示，则平面区域f ( 2a +b ) <1 (a5：0f bMO)两围成的面枳是考点:定枳分的简单应用.501974分ffi ： ffilg 导函数的图象，分桥原函数的性喷或作出原函数的草图，找出a 、b 満足曲条件, 画出平面区域，即可*解.解答•2解:由图可知［・2, 0)上f (x) <0,函数f (x)在［・2, 0)上单期递«,(0, 4］上r (x) >o, •••因数f (x)在(0, 4］上单调递增,故在［・2, 4］上，f(x)的最大值为f ( 4 ) =f (・2)=1,r-2<2a-Hb<4《a>0.-.f ( 2a+b ) <1 ( azO, b^O ) =>〔b 》0表示的平而区域如图所示： 故选B.r2( x+cosx ) dxJTSih 本題考査了导数与函数单燜It 的关系及找性规则问题的绘台应用，属干高苗題•解 决时要注意数形结合思想应用.28. j 01e x dx 与J o*e x dx 相比有关系式(C.z(f 01e x dx ) 2= f 01e x dx考点:定枳分的简单应用;定枳分.501974 专题：计算亂 分析：2根据枳分所表示的几何意义是WiSx=0,x=1及函9y=e x 或y=e‘ 在图象第一象限 岡W 与坐标轴围成的面枳，只需酉出函数图象规察而枳大小即可.解皐解:/Mix 表示的几何意义是WSSx=0, x=1及函fiy=e x 在图象第一象限职与坐 标轴围成的面枳,Jo'e x "dx 表示的几何豆义是111^ x=0, x=1及函» y=e x '在图象第一象限同* 与坐标箱囲成的面枳, 如因2 2••当 0 < x < 1 时，e"x > e“ ,故有：j o e x dx > f 01e' dx故选B.A.2/ o 1e'dx < J 01e , dx B. zJ Je x dx> / o e' dxD.2J Je x dx= / 01e" dx定枳分运算是求导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可 u 于基雷題.J R sinxdx| 9.若圧 T , b= ；O cosxdx , H a 与b 的关系是( ) A. a<bB. a> bC. a 二bD. a+b=O考点：定枳分的简单应用.501974 专題：计算臥2-1 1亠 > 1, 1 .I jS1 1 •11 11pfiih 本題主要考查了定枳分, 利用几何意义怖求解, T Rsinxdx a= 2・ cosx ) T=・ cos2 )JI-cos 2 ) = - cos2«sin24.6°,b=J Jc 0S xdx =sinx1°=sin1 - sin0=sin1 «sin57.3°.S R sinxdx I n•. a= 2 =(・ cosx )2 =(・ cos2 )JT・ cos 2 )二・ cos2« -cos114.6°=sin24.6°,b=」0cosxdx =s inx I 0=S jn1 - sin0=sin1 -sin57.3°,・•・b > a.故选A.Sih 本题考査定枳分的应用，是基础題.解题时娶汰真审題，仔细解答. 10. ；o (V1- (x-l) «2) ^^[1 是( )A.丄£_丄B. _K _1C.匹—丄D.考点：定枳分的简单应用.501974y专题：计算題.分桥：根据枳分两表示的几何意义是以(1,0 )为岡心，1为半径第一象限岡％与施物裁XX? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，只需求出風的面枳秦以呱分之一与Uft 物我在第 一象限的部分与x 轴flisx=i 围成的图形的面枳即可.解答：解；枳分所表示曲几何意义是£1(1, 0 )为風心，1为半径第一象限同扳与施掏找y=x? 在第一象限的跚分坐标轴围应的面枳，故只需求出岡的而枳秦以呱分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和頁线x=1围应 的图形的面枳之差.I -------------------- - 仃 7T、勺 7T 13 1 1即打(Ji 匸"17巨-恭)d*=E.瑞/djz.gx I L T _I 故苔案选A目评：本題主要考查了定枳分，定枳分运算是*导的逆运算，解題的关邃是求原因数，也可 利用几何意义怖求R, BT 1«8考点:定枳分的简单应用.501974 专題：廿算臥分析：由于因数力分段函数，枚将枳分区同分为两部分，进而分别求出祁应的枳分，即可得 到结论. 解答：解：S pf (x) dx = s Jxdx+ / \ ( - e x ) dx_^x 2 丨| [寺- /+e 故选C.点评：本題車点考查定枳分，解趣的关址是將枳分区冋分为两部分，再分别求出相应的枳分.12. B fflf(x)=2-|x|, H ；-l f 3)dx=() A. 3B. 4C. 3.5D. 4.5由題意，『°匹⑴山二j 匕1(2+Q 如凭(2-"气由就可求定枳分的 E.解：由題意，J 3 [f (x) dx= J 11 (2+x) dx+ Q (2 ~ x) dx _ ( )| j 十11. -就 X >1q 若 f(x)」hh x<l (e 为自然对数的庇数)，则J 'o f Cx) dx =(A ・22+e 2 - eB. 12+eC.丄2-e 2+eD. 1-纸2 - e考点专定枳分的简单应用.501974• • •• 題分析(2x -丄2 1 1 2X丿 I 也2 ・ 2+4 ・ 2=3.5故选C.点本題考查定枳分的it 算，解題的关扯是利用定枳分的性质化为两个定枳分的和. 评：13. 设 f ( x ) =3 ・|x ・1|,呱 J / (x)dx=( )A. 7B. 8C. 7.5D. 6.5考点:定枳分的简单应用.501974 专趣：廿算臥分析：J / (x)dx=/ *(3・|x ・1|)dx,将 J* (3 ・|x ・1|)dx 转化成丿(2+x ) dx+ / ,2(4・x)dx,然后根曾定枳分的定义先求岀被枳函数的原函数，於后求解即可.解苔：丄，解：J 22f ( x ) dx= J -22 ( 3 - |x -1|) dx= f 2 ( 2+x ) dx+ f i 2 ( 4 - x ) dx= ( 2x+ 2x 2) | 丄2'+ ( 4x- 2X 2) h 2=7故选A.fii?：本趣壬要考查了定积分，定枳分运第是求导的逆运算，同时考査了转化与划IH 的思想， 属于SMg. 14. 枳分 -aVa 2 ~ x 2<ix考点：定枳分的简单应用;定枳分.501974 专題：计算臥 分析：J 2 _―2本蝕利用定枳分的几何意艾it 算定枳分，即求被枳因数x 与x 轴所围成的 图形的面枳,围成的图象是半个亂解苔：r a A / 2 -― A V解：禺稠定枳分的几何意艾，则」-aVa x dx 表示岡心在原点，半径为3的岡 的上半同的面枳， 故J 爲需F 嗨"3兮兀/ 故选B.fiih 本小題主要考查定枳分、定枳分的几何意义、岡的面枳等基罐知识，考查考査数形结合思亂属于基妣題・15. 巳知因数1一齢1,0<x<l 的图象与x 轴所围成图形的面枳为（ ）A. 1/2B. 1C. 2D. 3/2考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专題：廿算题.分析：根据几何图形用定枳分表示岀所围成的封闻图形的面枳，求岀函数f （x ）的枳分，求 岀所求即可.D.解 i J 彳（-x+1） d x+ J °JT cosxdx解：由題意图象与X轴所围戒图形的面枳为一厅=(・ 2* +x ) |0'+sinx 21=2+1=2点评：本題考査定枳分在求面枳中的应用，求解的关邃是正确利用定枳分的运算规则求岀定枳分的值，本题易因力对两个知识直不熟悉公述用猜而导致錯误，牢固拿捋好基隅知识很車雯.3兀16. 由因数y=cosx（0wxw2ii）的图象与頁线“巳及yT两围成的一个齐闭图形的而枳是（）A. 4B. 3兀-C.兀 *D. °考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专題:计算题.分: 丫』由题意可知函数*COSX(0WXW2TI)的图象与頁线"2及y卄围成的一个封囲图竺9形可利用定枳分进｛亍廿算，只要求门(1-cosx ) dx I!P nJ.然后根据枳分的运算公式进行求解即可.解答：__3兀解：由函数0cosx(owxw2ii )的图象与IS X=^~g y=1 围成的一个封用图形的面枳，3打3尺2 9就是：f c (1 - cosx ) dx= ( x - sinx ) |cSih本题考査余弦因数的图象，定枳分，考查廿算能力，解題的关进是两挟封冈图形的面枳之和规是上跚頁接枳分騷去下跚枳分.17. 曲Sy=x3在点(1, 1) ft的幼找与x轴员直线xT所围成的三角形的而枳为( )A. 1B. 1C. 1D. 112 6 3 2考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分析：徹帝所围应的三角形的ffiR,先求出在点(1, 1)处的幼找方棺，只须求岀貝斜率的值即可，故娶利用导数求出在XT 处的导函数值，再结合导数的几何恿义RP可求岀幼缆的料率，从而冋題解决.解苔：解：*,••y/x2,当XT时,y=3得tn线的斜率为3,所a k=3；所以曲裁在点(1,1)处的切找方f?力：y - 1=3x ( x -1 ),即3x - y - 2=0.2令y=O 得：X=3,・・・幼线与X轴、1«X=1 01围应的三角形的面枳为:2 Z 丄S=2x（1-3）x1=6故选B.自评：本小題壬要考查頁找的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上杲方样等基雷知识,属于基《|题.考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分ffi： U图象中知施掏找与頁线的交点坐标分别为（2,・2）, （8, 4）. 11 （2.・2）作x 轴的垂找把阴影甜分分为Si, S2两部分，利用定枳分的方法分别求出它*的面枳并相m即可得到阴影部分的面枳.解答：解：从图象中知擅物线与頁找的交找坐标分别为（2,・2）, （8, 4）.过（2, -2）作X轴的垂找把明黔册分分为&, S2两部分，分别求出它们的面枳A- A2：Al= j 02[V^ -（-伍）]dx=2 M'您dx=328A2= J 28[V2^- （x-4）]dx= 316 38Bi以阴静部分的面枳A=A,+A2= 3 3=18故选B.自评：本題考査定枳分在求面枳中的应用，解題是要连意分割，关樂是iiig在x轴下方的部分枳分为负（枳分的几阿恿义强関代数和），属干基陶题・考查学生利用定枳分求阴影面枳的方法的能力.19.如图中阴影跚分的面枳是（）A. 2V3 C. 32 D. 35考定枳分在求而枳屮的应用.501974& :专it算題.Si：分求阴影跚分的面枳，先要对阴影部分逍行分留到三个象限，分别对三跚分进行枳分求和ffi： I®可.解解：I y=2x与擅胸裁y=3・x2解得交点为（・3,・6）和（1, 2）§： M^Sy=3・x2与x轴负半轴交点（■循，0）设阴影部分面枳为s is二冗（3-X2-2X） d x+ J 1 苗（3- /）d x - ； °32xd x+ （3- x2） d —■|+2V5+9 - 2A/332 =3两以阴影部分的面枳为3,故选c.&本題考査定枳分在求而枳屮的应用，解题是要诜意分割，关扯是iilg在X轴下方的部评：分枳分为负（枳分的几何意义强调代数和），属干星础题・考点：定枳分在求面枳中的应用.501974专题:计算亂分桥:先禺据题恿酉出区域，然后依齬图形得到枳分下限为0,枳分上限力4 t U而利用定枳分表示出曲边梯形的面枳,量后用定枳分的定义求出Bi求即可.得到枳分上限为4 ,枳分下限力07T . x JT x 7T 3 兀・f兀、---- ui ri I v —----------------- J ----------- ui m I v — --------- J2-—2 -2^2・・・围成的而枳是 2Sih 本題主要考査了学生会求岀原函数的能力,UK 考查了数形结合的思想，冋时会利用 定枳分求图形面枳的能力，解题的关进就是求原因数.k21.如图，P (3a, a)是反比网函y=x( k> 0 )与00的一个交点，图中明影册分的面枳为10n,囲反比例因数的解桥衣为(考点:定枳分在求面枳中的应用.501974 专题：计算題；数形结台. 分林：2根齬岡的对称性以及反比例函数的对怖性可得，阴影部分的面枳等干圆的面枳的4, 囿可求得阖的半径，再ffifiP 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可来得k 的值.解答：辭：设冏的半径是「，根齬圆的对称性以及反比侧函数的对林11可得：丄4nr 2=10n解得:r=2V10.k••点 P(3a, a)是gltN 函 y =^(k>0)与G>0 的一个交点.3a 2=k 討(3&)2 + 界=「 _L_:.a 2= 1 Ox ( 2^/10 ) 2=4.B. 10y-C. 12 y=xD. 27 y~y=xk=3x4=12,12则反比例函数的解桥衣是:y= «. 故选c.贞评:本S££考査反比傅函数图象的对称性的知识戌,解决本題的关谡是科用反比例函数的对称牧得到阴影部分与團之间的关系.。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。